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2016

时间:2017-12-17


2.1 第三课时 演绎推理
一、课前准备 1.课时目标 (1). 了解演绎推理的含义; (2). 能正确地运用演绎推理进行简单的推理; (3). 了解合情推理与演绎推理之间的联系与区别。 2.基础预探 (1)演绎推理的定义: ,这种推理称 为演绎推理.要点:由_____到_____的推理. (2)三段论中包含了 3 个命题, 称为 “大前提” ,它提供了一个 一般原理; 称为“小前提” ,它指出了一个 对象。这两个判断结合 起来,揭示了 的内在联系,从而得到第三个命题------结论。 (3)① 所有的金属都能够导电,铜是金属,所以 ; ② 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行, 冥王星是太阳系的大行星, 因此 ③ 奇数都不能被 2 整除,2007 是奇数,所以 (4)“三段论”是演绎推理的一般模式: 第一段:_________________________________________; 第二段:_________________________________________; 第三段:____________________________________________. 二、学习引领 1. 演绎推理的特点 (1) .演绎推理的前提是一般性原理,演绎所得的的结论是蕴含于前提之中的个别、特 殊事实,结论完全蕴含于前提之中,因此演绎推理是由一般到特殊的推理; (2) 、在演绎推理中,前提于结论之间存在着必然的联系,只要前提和推理形式是正确 的,结论必定正确。因此演绎推理是数学中严格的证明工具。 (3) 、在演绎推理是一种收敛性的思维方法,它较少创造性,但却具有条理清晰、令人 信服的论证作用,有助于科学论证和系统化。 2. 合情推理和演绎推理的关系 (1)联系:两个推理是相辅相成的,演绎推理是证明数学结论,建立数学体系的重要思 维过程的.但数学结论,证明思路的发现,主要靠合情推理. (2)区别:合情推理的前提为真时,结论不一定为真,而演绎推理的前提为真时,结论 必定为真. 3. 三段论的理解 若集合 M 的所有元素都具有性质 P,S 是 M 的一个子集,那么 S 中所有元素也都具有性质 P. . ;

1

M

?

p

S

三、典例导析 题型一 演绎推理的一般模式 例 1.把下列演绎推理写成三段论的形式. (1)在一个标准大气压下, 水的沸点是 100 ℃, 所以在一个标准大气压下把水加热到 100 ℃ 时,水会沸腾; (2)因为 2100+1 是奇数,所以 2100+1 不能被 2 整除; (3)三角函数都是周期函数,y=tanα 是三角函数,因此 y=tanα 是周期函数; (4)如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角,那么∠A+∠B=180°; (5)菱形的对角线互相平分. 思路导析:分清大前提、小前提及结论. 解:(1)大前提:在一个标准大气压下,水的沸点是 100℃, 小前提:一个标准大气压下把水加热到 100 ℃, 结论:水会沸腾. (2)大前提:一切奇数都不能被 2 整除, 小前提:2100+1 是奇数, 结论:2100+1 不能被 2 整除. (3)大前提:三角函数都是周期函数, 小前提:y=tanα 是三角函数, 结论:y=tanα 是周期函数. (4)大前提:两条直线平行,同旁内角互补, 小前提:∠A 与∠B 是两平行直线的同旁内角, 结论:∠A+∠B=180°. (5)大前提:平行四边形对角线互相平分, 小前提:菱形是平行四边形, 结论:菱形对角线互相平分 规律总结: 三段论由大前提、小前提和结论组成;大前提提供一般原理,小前提提供 特殊情况, 两者结合起来, 体现一般原理与特殊情况的内在联系, 在用三段论写推理过程时, 关键是明确命题的大、小前提,而大、小前提在书写过程中是可以省略的. 变式练习 1 指出下面推理中的错误. (1)自然数是整数, 大前提 -6 是整数, 小前提 所以-6 是自然数. 结论 (2)中国的大学分布在中国各地, 大前提 北京大学是中国的大学, 小前提 所以北京大学分布在中国各地. 结论

2

题型二 几何问题中三段论的应用 例 2 在平面四边形 ABCD 中,AB=CD,BC=AD,求证:四边形 ABCD 为平行四边形.写 出三段论形式的演绎推理.

思路导析:为了证明这个命题为真,我们只需在前提(AB=CD 且 BC=AD)为真的情况下, 以已知公理、已知定义、已知定理为依据,根据推理规则,导出结论为真. 解: (1)连结 AC. (2)AB=CD,BC=AD,CA=AC

(3)平面几何中的边边边定理是: 有三边对应相等的两个三角形全等. 这一定理相当于: 对于任意两个三角形,如果它们的三边对应相等,则这两个三角形全等,(大前提) △ABC 和△CDA 的三边对应相等,(小前提) △ABC 与△CDA 全等.(结论) 符号表示: AB=CD 且 BC=DA 且 CA=AC? △ABC≌△CDA. (4)由全等三角形的性质可知:全等三角形的对应角相等.这一性质相当于: 对于任意两个三角形,如果它们全等,则它们的对应角相等,(大前提) △ABC 和△CDA 全等,(小前提) 它们的对应角相等,即∠1=∠2,∠3=∠4.(结论) (5)内错角相等,两直线平行;(大前提) ∠1 与∠2、∠3 与∠4 分别是 AB 与 CD、AD 与 BC 的内错角,(小前提) AB∥CD,AD∥BC.(结论) (6)两组对边分别平行的四边形为平行四边形,(大前提) 四边形 ABCD 的两组对边分别平行,(小前提) 四边形 ABCD 是平行四边形.(结论) 规律总结:通过演绎推理三段论的练习,掌握严格的逻辑推理过程,正确认识演绎推理 的特点. 明白演绎推理是一种收敛性的思维方法, 及其在科学建设中的理论化和系统化的作 用. 变式训练 2 梯形的两腰和一底如果相等,它的对角线必平分另一底上的两个角. 已知在梯形 ABCD 中(如图),AB=DC=AD,AC 和 BD 是它的对角线.求证:AC 平分∠BCD,DB 平分∠CBA.

题型三 演绎推理的应用

3

π 例 3 设 f(x)=sin(2x+φ )(-π <φ <0), y=f(x)的图象的一条对称轴是直线 x= . 8 (1)求 φ ;(2)求 y=f(x)的单调递增区间. 思路导析: (1) y=f?x?在对称轴处取得最值 →
π sin(2 +? )= ? 1 8

→φ值

π π (2) y=sinx增区间为[2kπ - ,2kπ + ],k∈Z → 得递增区间 2 2 π 解: (1)∵x= 是函数 y=f(x)的图象的对称轴, 8

? π ∴sin(2? +φ )=±1,φ ? k? ? ( k ? Z ) 8 4 π π ∴ +φ =kπ + ,k∈Z. 4 2
3π ∵-π <φ <0,∴φ =- 4 3π 3π (2)由(1)知 φ =- ,因此 y=sin(2x- ) 4 4 π 3π π π 5π 由题意得 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z 时,即为 kπ + ≤x≤ +kπ ,k∈Z 时, 2 4 2 8 8 函数单调递增, 3π π 5π ∴函数 y=sin(2x- )的单调递增区间为[kπ + ,kπ + ],k∈Z. 4 8 8 规律总结:应用三段论证明问题时,要充分挖掘题目的外在和内在条件(小前提),根 据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提),并保证每一步的推理都是正确的、严密的, 才能得出正确的结论. 1 3 1 2 变式训练 3 已知 R 上的函数 f(x)= ax + bx +cx(a<b<c)在 x=1 时取得极值,且 3 2 b y=f(x)的图象上有一点处的切线斜率为-a,求证 0≤ <1. a 四、随堂练习 1.演绎推理是以下列哪个为前提,推出某个特殊情况下的结论的推理方法( ). A.一般的原理原则; B.特定的命题; C.一般的命题; D.定理、公式. 2.下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A.两条直线平行,同旁内角互补,由此若∠A,∠B 是两条平行直线被第三条直线所截 得的同旁内角,则∠A+∠B=180° B.某校高三(1)班有 55 人,高三(2)班有 54 人,高三(3)班有 52 人,由此得出高三所 有班人数超过 50 人 C.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质 1 1 D.在数列{an}中,a1=1,an= (an-1+ )(n≥2),由此归纳出{an}的通项公式 2 an-1 3.下列说法:①演绎推理是由一般到特殊的推理;②演绎推理得到的结论一定是正确的;③

4

演绎推理的一般模式是“三段论”的形式; ④演绎推理得到的结论的正误与大前提、 小前提 和推理形式有关.其中正确的有________. 4.补充下列推理的三段论: (1)因为互为相反数的两个数的和为 0,又因为 a 与 b 互为相反 数且 所以 b=8. (2) 因为 又因为 e ? 2.71828 ? 是无限不循环小数,所以 e 是无理数. 2 5. 设 m∈(-2,2),求证方程 x -mx+1=0 无实根.(用三段论形式证) 五、课后作业 1. 为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文 ?密文(加密) ,接受方由密文 ?明 文(解密) ,已知加密规则为:明文 a, b, c, d 对应密文 a ? 2b,2b ? c,2c ? 3d ,4d ,例如, 明文 1, 2,3, 4 对应密文 5,7,18,16 .当接受方收到密文 14,9, 23, 28 时,则解密得到的明文为 ( ) . A. 4,6,1,7 B. 7,6,1,4 C. 6,4,1,7 D. 1,6,4,7 2 2. 用演绎推理证明“y=x (x>0)是增函数”时的大前提为________. 3.在求函数 y= log 2 x-2 的定义域时,第一步推理中大前提是当 a有意义时,a≥0,小前 提是 log 2 x-2 有意义,结论是________. 4. 如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO⊥底面 ABCD.求证:BD⊥平面 PAC.

第三课时演绎推理答案解析 一、基础预探 1. 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论;一般;特殊 2. 第一个命题;第二个命题;特殊;一般原理与特殊对象的 3. ①铜导电②冥王星以椭圆型轨道绕太阳运行③2007 不能被 2 整除 4. 大前提——已知的一般原理;小前提——所研究的特殊情况;结论——根据一般原理, 对特殊情况做出的判断. 三.典例导析变式训练 1. 解:(1)推理形式错误.M 是“自然数” ,P 是“整数” ,S 是“-6” ,故按规则“-6”应 是自然数(M)(此时它是错误的小前提),推理形式不对,所得结论是错误的. (2)推理形式错误.大前提中的 M 是“中国的大学” ,它表示中国的各所大学,而在小前提中 S 虽然也是“中国大学” ,但它表示中国的一所大学,二者是两个不同的概念,故推理形式 错误,得到错误的结论. 2. 证明:(1)等腰三角形两底角相等(大前提), △DAC 是等腰三角形,DA、DC 是两腰(小前提), ∠1=∠2(结论). (2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等(大前提),∠1 和∠3 是平行线 AD、BC 被 AC 截出的内错角(小前提),∠1=∠3(结论). (3)等于同一个量的两个量相等(大前提), ∠2 和∠3 都等于∠1(小前提), ∠2=∠3(结论),即 AC 平分∠BCD.

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(4)同理,DB 平分∠CBA. 1 3 1 2 3. 证明:由 f(x)= ax + bx +cx,得: 3 2 f′(x)=ax +bx+c. 又函数在 x=1 处有极值,故 f′(1)=a+b+c=0. 又∵a<b<c,∴a<0,c>0. ∵y=f(x)的图象上有一点处的切线斜率为-a, 2 ∴方程 ax +bx+c=-a 有实根. 2 2 ∴Δ =b -4a(a+c)≥0,即 b -4a(a-a-b)≥0, b b b ?b?2 整理,得? ? +4? ≥0,解得 ≥0 或 ≤-4. a a a a ? ? b 1 由 b<c=-a-b,得 2b<-a,∴ >- . a 2 b b 由 a<b 且 a<0,且 <1.综上可得 0≤ <1. a a 四、随堂练习 1.A 根据定义可判断。 2.A 解析:两条直线平行,同旁内角互补????大前提,∠A,∠B 是两条平行直线被第三 条直线所截得的同旁内角????小前提,∠A+∠B=180°?????结论。故 A 是演绎 推理,而 B、D 是归纳推理,C 是类比推理. 3. 答案:①③④解析:根据演绎推理的含义,可知①③④是正确的. 4. 答案: (1)a= -8; (2)无限不循环小数都是无理数 2 2 5. 证明:因为如果一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的判别式 Δ =b -4ac<0,那么方程 无实根,(大前提) 2 2 一元二次方程 x -mx+1=0 的判别式 Δ =m -4,当 m∈(-2,2)时,Δ <0,(小前提) 2 所以方程 x -mx+1=0 无实根.(结论) 五、课后作业 1.C. 由题意知 a+2b=14,2b+c=9,2c+3d=23,4d=28,解得 a=6,b=4,c=1,d=7,故选 C 2. 答案:增函数的定义。 解析:证明函数的单调性一般是根据函数单调性的定义. 3. 答案: y= log 2 x-2 的定义域是[4, +∞)。 解析: 由大前提知,log2 x-2 ≥0, 解得 x≥4. 4. 证明:因为一条直线与一个平面垂直,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线,(大 前提) PO⊥底面 ABCD,BD? 平面 ABCD,(小前提) 所以 PO⊥BD.(结论) 又因为正方形的对角线互相垂直,(大前提) AC,BD 分别为正方形 ABCD 的两条对角线,(小前提) 所以 BD⊥AC.(结论) 因为一条直线垂直于一个平面的两条相交直线,则此直线垂直该平面,(大前提) 由 BD⊥PO,BD⊥AC 且 AC∩PO=O,(小前提): BD⊥平面 PAC.(结论)
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