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重要不等式


大学中常用不等式,放缩技巧
一:一些重要恒等式 ⅰ:1 +2 +…+n =n(n+1)(2n+1)/6 ⅱ: 1 +2 +…+n =(1+2+…+n)
3 3 3 2 2 2 2

Ⅲ:cosa+cos2a+…+cos2 a=sin2 a/2 sina ⅳ:e=2+1/2!+1/3!+…+1/n!+a/(n!n) ⅴ:三角中的等式(在大学中

很有用) cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)] cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α -β )] (0<a<1)

n

n+1

n+1

sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)] sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2) sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2) cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2) cosθ -cosφ =-2sin(θ /2+φ /2)sin(θ /2-φ /2)

tan + tanB + tanC=tanAtanBtanC cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1

sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC ⅵ : 欧拉等式 e =-1
∏i

(i 是虚数, 是 pai)



ⅶ:组合恒等式(你们自己弄吧,我不知怎样用 word 编) 二 重要不等式 1: 绝对值不等式 ︱︱ x ︱ - ︱ y ︱︱≤∣ x ±y ∣≤︱ x ︱ + ︱ y ︱ ( 别看简单,常
用)

2 :伯努利不等式 ( 1+x1)( 1+x2)…( 1+xn )≥ 1+x1+x2+… +xn(xi 符号 相同且大于 -1) 3 :柯西不等式 ( ∑ aibi) ≤∑ ai ∑ bi
2 2 2

4: ︱ sin nx ︱≤ n ︱ sin x ︱ 5; (a+b) ≤ 2 max(︱ a ︱ , ︱ b ︱ ) (a+b) ≤ a + b (a+b) ≥ a + b 6:(1+x) ≥ 1+nx 7: 切比雪夫不等式 若 a1 ≤ a2≤…≤ a n, ∑ aibi≥ (1/n) ∑ ai∑ bi 若 a1 ≤ a2≤…≤ a n, ∑ aibi≤ (1/n) ∑ ai∑ bi 三:常见的放缩 (√是根号 )( 均用数学归纳法证 ) 1 : 1/2 ×3/4 ×…×(2n-1)/2n<1/ √ (2n+1) ; 2 : 1+1/ √ 2+1/√ 3+ … +1/ √ n>√ n; 3: n ! < 【 (n+1/2) 】
n+1 n n n p p p p p p p p p

(0<p<1) (p>1) (x>-1)

p

b1≤ b2 ≤…≤ bn

b 1≥ b2 ≥…≥ bn

4 : n >(n+1) n!≥ 2

n-1

5 : 2 ! 4 !… (2n)! > { (n+1) !}

n

6 :对数不等式(重要) x/(1+x) ≤㏑( 1+x )≤ x 7 : (2/ ∏ )x ≤ sinx ≤ x 8: 均值不等式我不说了(绝对的重点)

9 :( 1+1/n ) <4 四:一些重要极限 ( 书上有,但这些重要极限需熟背如流 )

n


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