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2014高二秋季讲义






一 等差数列与等比数列题型及其易错点 .............................. 1 二 利用数列递推公式求解通项 .......................................... 5 三 数列求和方法 ............................................

............. 10

.......................................... 16 五 不等式典型题精讲 ................................................... 20 六 线性规划与解题技巧 ................................................ 26 必修五内容巩固与综合复习(期中) ...................................... 30 七 圆锥曲线-椭圆 ........................................................ 34 八 圆锥曲线-抛物线 ..................................................... 39 九 圆锥曲线-双曲线 ..................................................... 42 十 导数概念与导数运算 ................................................ 46 十一 导数四则运算及复合函数求导 .................................. 50 十二 导数应用 ............................................................ 55 选修内容巩固与综合复习(期末)......................................... 60 高二上学期期末测试题 ................................................... 64
四 解三角形基本题型与方法

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等差数列与等比数列题型及其易错点

命题方向 1:对定义的考察
? 例 1.若数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, an?1 ? 2an n ? N ,则 a5 ? ______;前 8 项的和 S8 ? ______.

跟踪训练:若数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, an ?1 ? 2an ,则 a1 ? a2 ? … ? an ? ______. 2 2 a 例 2.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? an ? 1,求 ? n ? 的通项公式.

?

?

跟踪训练:设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 且 (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?
1 ? an ?1 n
n k ?1

1 1 ? . 1 ? an ?1 1 ? an ? 1

,记 S n ? ? bk ,证明: S n ? 1 .

例 3.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 2n .设 bn ?

an .证明:数列 ?bn ? 是等差数列. 2 n ?1

命题方向 2:基本量的计算
例 1.已知 ?an ? 是等差数列, a1 ? a2 ? 4, a7 ? a8 ? 28 ,则该数列前 10 项和 S10 等于( A.64 B.100 跟踪训练 1:已知等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a3 ? ?3 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?an ? 的前 k 项和 Sk ? ?35 ,求 k 的值. C.110 ) D.120

1

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跟踪训练 2:已知等差数列 ?an ? 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8.求等差数列 ?an ? 的通项公式.

1 例 2.在等比数列 ?an ? 中,若 a1 ? , a4 ? 4, 则公比 q ? ______; Sn ? ______. 2 跟踪训练 1:等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , 2 S 2 , 3S3 成等差数列,则 ?an ? 的公比为______. 20 ,求 ?an ? 的通项公式. 3 例 3.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .若 a1 ? 1, S6 ? 4S3 , ,则 a4 ? ______.
跟踪训练 2:已知 ?an ? 为等比数列, a3 ? 2, a2 ? a4 ? 跟踪训练 1:设等比数列 ?an ? 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,则 A.2 B.4
S4 ?( a2



D. 17 2 a 跟踪训练 2: Sn 为等比数列 ? n ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2,3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? ( ) C. A.3 B.4 C.5 D.6

15 2

命题方向 3:对数列性质的考察
例 1.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 ? ______. 11 跟踪训练 1:在等差数列 ?an ? 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 a9 ? a11 的值为______. 3 跟踪训练 2:等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 3S2 ? 0 ,则公比 q ? ______. 例 2.已知 ?an ? 为等差数列, a3 ? a8 ? 22, a6 ? 7 ,则 a5 ? ______.
5

跟踪训练 1:在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a10 ? 3 ,则 a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 a9 ? (

) D.243

A.81 B. 27 27 C. 3 a 跟踪训练 2:已知等差数列 ? n ? 中, a3 a7 ? ?16, a4 ? a6 ? 0 ,求 ?an ? 前 n 项和 Sn .

例 3.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 A.2 B.

S6 S ? 3 ,则 9 ? ( S3 S6



跟踪训练 1:各项均为正数的等比数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? a3 ? 5, a7 ? a8 ? a9 ? 10 ,则 a4 ? a5 ? a6 ? ______. 跟踪训练 2:设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若
S S3 1 ? ,则 6 ? ( S12 S6 3
2

7 3

C.

8 3

D.3



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A.

3 10

B.

1 3

C.

1 8

D.

例 4.已知两个等差数列 ?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和分别为 An 和 Bn ,且

An 7 n ? 45 a ? ,则 7 ? ______. Bn n?3 b7

1 9

随堂测试
1. (2010?浙江)设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则
S5 ?( S2



A. ?11 B. ? 8 C .5 D.11 2. (2002?北京)若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个 数列有______项. 3. (2010?山东)已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26 .设 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .求 a n 及 Sn .

4. (2009?全国)在数列 ?an ? 中, an ? 2an?1 ? 2n?1 ? n≥2 ? .设 bn ?

an ,求数列 ?bn ? 的通项公式. n

课下巩固

1.已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? a8 ? 8 ,则该数列前 9 项和 S9 等于( A.18 B.27 C.36 2.已知等差数列 ?an ? 中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1 ,则 a12 的值是( )

) D.45

A.15 B.30 C.31 D.64 3.设公比为 q ? q ? 0? 的等 比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .若 S2 ? 3a2 ? 2, S4 ? 3a4 ? 2 ,则 q ? ______. 4.各项均为正数的等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? 2, S3n ? 14 ,则 S 4 n 等于( ) A.80 B.30 C.26 D.16 5.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,则 S4 , S8 ? S4 ,S12 ?S8 ,S16 ?S 成等差数列.类比以上结论有:设等 12 T16 比数列 ?bn ? 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 ,______,______, 成等比数列. T12 a ? a2 ? … ? an 7n ? 2 a ? 6.两个等差数列 ?an ? , ?bn ? , 1 ,则 5 ? ______. b1 ? b2 ? … ? bn n?3 b5 7.在等差数列 ?an ? 和 ?bn ? 中,a1 ? 25 ,b1 ? 75 ,a100 ? b100 ? 100 ,则数列 ?an ? bn ? 的前 100 项和为______.
3

8.设等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 5, a10 ? ?9 .

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(1)求 ?an ? 的通项公式并判断 ?an ? 从第几项起开始为负值? (2)求 ?an ? 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值.

9.已知 {an } 为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 +a4 ? 12 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 , ak , Sk ? 2 成等比数列,求正整数 k 的值.

10.等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项,求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项和 S n .

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利用数列递推公式求解通项

命题方向 1:累加法
例 1.已知 a1 ? 1 , an ? an?1 ? n ,求 a n .

例 2.已知 {an } 中, a1 ? 3, an?1 ? an ? 2n ,求 a n .

例 3.已知 ?a n ? 满足 a1 ?

1 1 , an?1 ? an ? 2 ,求 a n . 2 n ?n

例 4.在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? ln(1 ? 1 ) ,则 an ? ( ) n A. 2 ? ln n B. 2 ? (n ? 1) ln n C. 2 ? n ln n 跟踪训练:已知 {an } 中, a1 ? 3, an?1 ? an ? 2 ? n ,求 a n .
n

D. 1 ? n ? ln n

命题方向 2:累乘法
例 1.已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

2 n , an?1 ? an ,求 a n . 3 n ?1

跟踪训练:已知 a1 ? 1 , an ? n ? 1 an?1 ( n≥2 ),求 a n . n ?1
5

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例 3.已知 a1 ? 1 , an ? n(an?1 ? an ) (n ? N* ) ,求数列 ?a n ? 通项公式.

跟踪训练:已知 an?1 ? nan ? n ? 1, a1 ? ?1 ,求数列 ?a n ? 的通项公式.

命题方向 3:待定系数法
例 1.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1 n ? N? ,求数列 ?an ? 的通项公式.

?

?

例 2.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? 2an ? 3n ,求 a n .

例 3.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 1 an ? 1 ,求通项公式 a n . 2 2n

命题方向 4:倒数法
例 1.已知数列 ?a n ?的首项 a1 ?

2an 2 , an ?1 ? , 3 an ? 1

?1 ? (1)证明:数列 ? ? 1? 是等比数列; a ? n ? ?n? (2)数列 ? ? 的前 n 项和 Sn . ? an ?

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命题方向 5:其他方法一瞥
例 1.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0,
1 1 ? ? 1 ,求 ?an ? 的通项公式. 1 ? an ?1 1 ? an

2 例 2.设正项数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ? 2an ?1 ? n≥2? ,求 a n .

跟踪练习:数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? 2 an?1 ? n≥2? ,求 a n .

an ? an?1 , n ? N* .令 bn ? an ?1 ? an . 2 证明:(1) {bn } 是等比数列; (2)求 {an } 的通项公式.

例 3.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 ? 2 , an? 2 ?

例 4.已知 ?an ? 中, a1 ? 4, an ? 4 ? (1)设 bn ?

4 ? n≥2 ? . an ?1

1 ,证明: {bn } 为等差数列; an ? 2

(2)求 {an } 的通项公式.

随堂测试
1. (2008?四川)设数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ?1 ? an ? n ? 1,则通项 an =______. 3. (2010?海南)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an?1 ? an ? 3 ? 2
7
2 n?1

1? ,则该数列通项 an ? ______. 2. (2006?重庆)在数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ? n≥



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(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? nan ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

4. (2008?四川)在数列 {an } 中, a1 ? 1 , 2an?1 ? (1 ? 1 )2 an .求 {an } 的通项公式. n

3an 5.(2008?陕西)已知数列 {an } 的首项 a1 ? 3 , an ?1 ? .求 {an } 的通项公式. 2 a 5 n ?1

课下巩固
1? * 1.已知 a1 ? 1 , an ?1 ? an ? ? ? ? (n ? N ) ,则通项 an ? ______. 2 ?2? 2.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2n an ,则通项 an ? ______.
n

3.已知 a1 ? 1 , an ? n(an?1 ? an ) (n ? N* ) ,则通项 an ? ______. 式是 an ? ______.

2 2 4.设 ?an ? 是首项为 1 的正项数列,且 ? n ? 1? an ,则它的通项公 ?1 ? nan ? an ?1an ? 0 ( n =1,2, 3,…)

5.在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an ? 2an?1 ? 2n?1 ? n≥2? 求数列 ?an ? 的通项公式.

6.已知 a1 ? 10 , an?1 ? an 2 ,则通项 an ? ______. 1 1 ? ? 2 ? n ? N? ? ,求这个数列的通项公式. 7.数列{ a n }满足 a1 ? 3, an ?1 an

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8.已知数列{ a n }满足 a1 ? 1, n≥2 时, an ?1 ? an ? 2an ?1an ,求通项公式 a n .

9.设数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?1 ?

an , 求 an . an ? 3

5 5 2 , an?2 ? an?1 ? an ? n ? 1,2,3 3 3 3 求数列 ?bn ? 的通项公式.
10.设 a1 ? 1 , a2 ?

? ,令 bn ? an?1 ? an ? n ? 1,2,3 ? .

11.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? an ? 2n .

an .证明:数列 ?bn ? 是等差数列; 2n?1 (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S . n
(1)设 bn ?

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数列求和方法

命题方向 1:公式法
例 1.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列. (1)求 ?an ? 的公比 q ; (2)若 a1 ? a3 ? 3 ,求 Sn .

跟踪训练 1:等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 a3 , a5 分别为等差数列 ?bn ? 的第 3 项和第 5 项,试求数列 ?bn ? 的通项公式及前 n 项和 Sn .

跟踪训练 2:已知等差数列 ?an ? 中, a3 a7 ? ?16, a4 ? a8 ? 0 求 ?an ? 前 n 项和 Sn .

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命题方向 2:错位相减法
例 1:已知数列 ?an ? 通项公式 an ? n ? 2n ,求数列 ?an ? 的前 n 项和.

例 2.设 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1, a3 ? b5 ? 21 . (1)求 ?an ? , ?bn ? 的通项公式;
? ? (2)求数列 ? an ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ?

命题方向 3:裂项相消法
例 1.已知 an ?
1 ,求数列 {an } 的前 n 项和 Sn . n ? n ? 1?

跟踪训练 1:已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (1)求 a n 及 Sn ; (2)令 bn ?
1 ? n ? N? ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 2 an ?1

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跟踪训练 2:已知 an ?
1 n ? n ?1

,求数列 ?an ? 的前 n 项和.

例 2.数列 ?an ? 为等差数列, a n 为正整数,其前 n 项和为 Sn ,数列 ?bn ? 为等比数列,且 a1 ? 3, b1 ? 1 ,数 列 ban 是公比为 64 的等比数列, b2 S2 ? 64 . (1)求 an;bn ; (2)求证
1 1 1 3 ? ?…? ? . S1 S2 Sn 4

? ?

命题方向 4:分组求和法
例 1:已知 an ? n ? 2n ,求数列 ?an ? 的前 n 项和.

1 1 1 跟踪训练 1:求数列的前 n 项和: 1 ? 1, ? 4, 2 ? 7,…, n?1 ? 3n ? 2, … a a a

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跟踪训练 2: 1 ? 11 ? 111 ? … ? 111…1 ? ______.
n个1

命题方向 5:倒序相加法
x2 ?1? ?1? ?1? ,则 f ?1? ? f ? 2 ? ? f ? ? ? f ? 3? ? f ? ? ? f ? 4 ? ? f ? ? =______. 2 1? x ?2? ? 3? ?4? x 4 ? 1 ? ? 2 ? ? 2012 ? 跟踪训练 1:设 f ? x ? ? x ,则 f ? ?? f ? ? ? …f ? ? = ______. 4 ?2 ? 2013 ? ? 2013 ? ? 2013 ?
例 1.设 f ? x ? ? 跟踪训练 2:求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? … ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值.

随堂测试
1.(2006?北京)设 f ? n ? ? 2+24 +27 +210 +… ? 23n?10 ? n ? N ? ,则 f ? n ? 等于( A. )

2 n ?3 2 D. ?8n? 4 ? 1? 8 ? 1? ? 7 7 ? 1 ? 2.(2012?全国)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,a5 ? 5, S5 ? 15 ,则数列 ? ) ? 的前 100 项和为( ? an an ?1 ?
B. C. A.

2 n ?8 ? 1? 7

2 n?1 ?8 ? 1? 7

n? ,则 S2012 ? ______. 2 4.(2011?辽宁)已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? 0, a6 ? a8 ? ?10 .
3.(2012?福建)数列 ?an ? 的通项公式 an ? n cos (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
? a ? (2)求数列 ? nn 的前 n 项和. ?1 ? ?2 ?

100 101

B.

99 101

C.

99 100

D.

101 100

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5 . (2009? 山 东 ) 等 比 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 已 知 对 任 意 的 n ? N

?

y ? bx ? r ?b ? 0, 且b, r均为常数? 的图像上.

www.lingjun.net , 点 ? n, Sn ? , 均 在 函 数

(1)求 r 的值; (2)当 b ? 2 时,记 bn ?
n ?1 ? n ? N? ? 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 4an

课下巩固
1 1.在等比数列 ?an ? 中,若 a1 ? , a4 ? 4, 则 Sn ? ______. 2
2.若数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, an?1 ? 2an n ? N? ,则 Sn ? ______.
? 1 ? 3.数列 ? 2 ? 的前 n 项和为 Sn ,则 Sn ? ______. ? 4n ? 1 ?

?

?

4.已知 an ?

1 ,求数列 ?an ? 的前 n 项和. n ? n ? 2?

5.已知 an ?

? 2n ? 1?? 2n ? 1?

1

,求数列 ?an ? 的前 n 项和.

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6.已知 an ?

n ,求数列 ?an ? 的前 n 项和. 2n

7.已知 an ?

2n ? 1 ,数列 ?an ? 的前 n 项和. 3n

8.设 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 且 a1 , a3 , a6 成等比数列,则 {an } 的前 n 项和 Sn ? ______. 9.求数列 an ? 2n ? 2n ? 1 的前 n 项和 Sn .

10.已知数列 ?an ? 是等差数列,且 a1 ? 2, a1 ? a2 +a3 ? 12 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? an 3n 求数列 ?bn ? 前 n 项和的公式.

11.已知 ?an ? 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3 a6 ? 55, a2 ? a7 ? 16 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?an ? 和数列 ?bn ? 满足等式: an ? 和 Sn .

b b1 b2 b3 ( n 为正整数) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项 ? 2 ? 3 ? …? n 2 2 2 2n

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解三角形基本题型与方法

命题方向 1:利用正、余弦定理求解三角形中的元素
例 1.已知: △ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a , b, c 若 a ? c ? 6 ? 2 且 ?A ? 75? ,则 b ? ( A.2 B. 4 ? 2 3 C. 4 ? 2 3
2

)

D. 6 ? 2 )

跟踪训练: 若 △ABC 的内角 A, B, C 所对的边 a , b, c 满足 ? a ? b ? ? c2 ? 4 , 且 C ? 60? , 则 ab 的值为 ( A.

4 3

B. 8 ? 4 3

C .1

D.

2 3

例 2.在 △ABC 中,已知 AB ?

4 6 6 , cos B ? , AC 边上的中线 BD ? 5 ,求 sin A 的值. 3 6

跟踪训练:在 △ABC 中, ?A, ?B, ?C C 所对的边长分别为 a , b, c ,设 a , b, c 满足条件 b2 ? c 2 ? bc ? a 2 和 c 1 ? ? 3 ,求 ?A 和 tan B . b 2

例 3:在 △ABC 中,已知 cos A ?

1 a?b?c =______. , b ? 1, c ? 2 ,则 4 sin A ? sin B ? sin C

跟踪训练:在 △ABC 中,已知 sin A : sin B : sin C ? k : (k ? 1) : 2k ,则 k 的取值范围是______.

命题方向 2:利用正、余弦定理判断三角形的形状
A ,则 △ABC 为______三角形. 2 跟踪训练 1:在 △ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么△ABC 一定是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 跟踪训练 2:在 △ABC 中,若 B ? 60 , 2b ? a ? c ,试判断 △ABC 形状.
例1.在 △ABC 中,已知 sin B cos C ? cos 2
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D.正三角形

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跟踪训练 3:在 △ABC 中,已知

a b c ,则 △ABC 为______三角形. ? ? cos A cos B cos C

命题方向 3:利用正、余弦定理解决与面积有关问题
例 1.在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c, B ? (1)求 sin C 的值; (2)求 △ABC 的面积.

?
3

4 , cos A ? , b ? 3 . 5

跟踪训练 1:在 △ABC 中,已知 tan B ? 3 , cos C ? , AC ? 3 6 ,求 △ABC 的面积.

1 3

命题方向 4:正余弦定理在实际生活中的应用
例 1 .如图 1 所示,要测量对岸 A, B 两点之间的距离,选取相距 3 km 的 C , D 两点,并测得 ?ABC ? 75?,?BCD ? 45? , ?ADC ? 30?,?ADB ? 45? ,求 A, B 之间的距离.

(图 1)

跟踪训练:如图 2 所示,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方向航行, 乙船按固定方向匀速直线航行, 当甲船位于 A1 处时, 乙船位于甲船的北偏 西 105? 的方向 B1 处,此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120? 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2 海 里,问乙船每小时航行多少海里?

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命题方向 5:内容综合考察
例 1.在 △ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,且满足 cos (1)求 △ABC 的面积; (2)若 c ? 1 ,求 a 的值.
A 2 5 ? , AB ? AC ? 3 . 2 5

跟踪训练:设函数 f ? x ? ? 2sin x cos2 (1)求 ? 的值;

?
2

? cos x sin ? ? sin x ? 0 ? ? ? ? ? 在 x ? ? 处取最值.
3 ,求角 C . 2

(2)在 △ABC 中, a , b, c 分别是角 A, B, C 的对边,已知 a ? 1, b ? 2 , f ? A ? ?

随堂测试
1.已知 △ABC 的一个内角为 120? ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则 △ABC 的面积为______. 2.在 △ABC 中,若 b ? 5 , ?B ?

?
4

, tan A ? 2 ,则 sin A ? ______; a ? ______.

3.设 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a、b、c .已知 a ? 1 , b ? 2 , cosC ? 1 . 4 (1)求△ABC 的周长; (2)求 cos ? A ? C ? 的值.

4.在 △ABC 中,角 A, B, C 所对的边分 a,b,c .若 a cos A ? b sin B ,则 sin A cos A ? cos2 B ? (



1 A. ? 2 4 3

B. 1 2
2

C. ?1

D.1 )

5.若 △ABC 的内角 A, B, C 所对的边 a,b,c 满足 ? a ? b ? ? c2 ? 4 ,且 C ? 60? ,则 ab 的值为( A. B. 8 ? 4 3
18

C .1

D.

2 3

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课下巩固
1. △ABC 内角 A, B, C 所对的边为 a,b,c ,若 a,b,c 成等比数列,且 c ? 2a ,则 cos B ? ( A. )

1 4

B.

3 4

C.

2 4

D.

2 3

1 2.在 △ABC 中, sin ? C ? A? ? 1 , sin B ? . 3 (1)求 sin A 的值; (2)设 AC ? 6 ,求 △ABC 的面积.

3.在 △ABC ,若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则 △ABC 的形状是( A.锐角三角形 B.直角三角形

) D.不能确定

C.钝角三角形

1 4.在 △ABC 中,若 a ? 2, b ? c ? 7 , cos B ? ? ,则 b ? ______. 4
5.设 △ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a,b,c .则下列命题正确的是______. ①若 ab ? c 2 ;则 C ?

?
3

;②若 a ? b ? 2c ;则 C ?

?
3

;③若 a3 ? b3 ? c3 ;则 C ?

?
2



④若 ? a ? b ? c ? 2ab ;则 C ?

. 2 3 6.在 △ABC 中,若 lgsin A ? lg cos B ? lgsin C ? lg 2 ,则 △ABC 的形状是( A.直角三角形 B.等边三角形 C.不能确定

?

;⑤若 a2 ? b2 c2 ? 2a2b2 ;则 C ?

?

?

?

) D.等腰三角形

6? 2 则A ? ______. 2 8.△ABC 中, D 在边 BC 上,且 BD ? 2 , DC ? 1 , ?B ? 60 , ?ADC ? 150 ,求 AC AC 的长及 △ABC

7.在 △ABC 中,若 a ? 3, b ? 2, c ?

的面积.

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不等式典型题精讲

命题方向 1:已知解集求系数
例 1.已知不等式 x 2 ? mx ? n ? 0 的解集为 (4,5) ,求关于 x 的不等式 nx 2 ? mx ? 1 ? 0 的解集.

跟踪训练 1:不等式 ax2 ? bx ? 12 ? 0 的解集为 ?x ?3 ? x ? 2? ,则 a ? ______, b ? ______. 例 2. 已知关于 x 的不等式 (m2 ? 4m ? 5) x2 ? 4(m ? 1) x ? 3 ? 0 对一切实数 x 恒成立, 求实数 m 的取值范围.

跟踪训练 1:若关于 x 的不等式 mx2 ? (2m ? 1) x ? m ? 1 ≥0 的解为空集,求实数 m 的取值范围______.

命题方向 2:求含参数的一元二次不等式
例 1.求不等式 x 2 ? ax ? 1 ? 0 的解集.

跟踪训练 1:求不等式 x2 ? (a ? 1) x ? a ? 0 的解.

1 跟踪训练 2:解关于 x 的不等式: x2 ? (a ? ) x ? 1 ? 0,(a ? 0) . a
20

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跟踪训练 3:解关于 x 的不等式: ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 的解集.

命题方向 3:高次不等式解法
例 1.解下列不等式 (1) ( x ? 1)(2 x ? 3)( x ? 2) ? 0 (2) ( x ? 2)(2 x ? 5)( x ? 2)2 ? 0

x2 ? 1 ? 0 的解集______. 2? x ( x ? 3)(10 ? x) 跟踪训练 2:求不等式 ≥0 的解集______. x 2 ( x ? 1)
跟踪训练 1:求不等式

命题方向 4:基本不等式定义考察
例 1.已知下列四个结论: 1 1 ≥2 ;② 当x ? 0时, x ? ≥2 ; ①当 x ? 0且x ? 1时, lg x ? lg x x 1 1 ③ 当x≥2时, x ? 的最小值为 2;④当 0 ? x≤2时, x ? 无最大值. x x 则其中正确的个数为______. 跟踪训练 1:已知 x ? 0,y ? 0 ,则: (1)如果积 xy 是定值 p ,那么当且仅当______时, x ? y 有最______值是 2 p . (2)如果和 x ? y 是定值 p ,那么当且仅当______时, xy 有最______值是

p2 . 4

跟踪训练 2:已知实数 a , b 都是正数,给出一下几个不等式: 1 1 1 1 (1) a 2 ? 1 ? a ; (2) (a ? b)( ? )≥4 ; (3) (a ? )(b ? )≥4 ; (4) a 2 ? 9 ? 6a ; a b a b 1 (5) a2 ? 1 ? 2 ? 2 ;其中恒成立的是______. a ?1

命题方向 5:和定,积最大
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例 1.已知 0 ? x ?

3 ,求 y ? x(3 ? 2 x) 的最大值. 2

跟踪训练 1: 已知两个正实数 a , b , 满足 a ? 2b ? 3 , 证明 ab 有最大值, 取得最大值的条件并且求最大值?

命题方向 6:积定,和最小
例 1.已知 x ?

3 2 ,求 y ? x ? 的最小值. 2x ? 3 2

跟踪训练 1:已知两个正数 a , b ,满足 ab ? 3 ,求 a ? 2b 的最小值以及满足最小值时对应的 a , b 的值?

命题方向 7:“1”的妙用
例 1.已知正数 x, y 满足 2 x ? y ? 1 ,求
1 2 ? 的最小值. x y

例 2:已知正数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 1 ,求

1 4 9 ? ? 的最小值. x y z
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1 1 1 2 跟踪训练 1:已知两个正实数 a , b 满足 a ? b ? 1 ,求 ? 的最小值______. 2 3 a b 1 2 跟踪训练 2:已知两个正实数 m, n 满足 ? ? 1 ,则 mn 的最小值为______. m n

命题方向 8:拆项
例 1.已知 x ? 2 ,求 y ?

x2 ? 3x ? 6 的最小值. x?2

跟踪训练 1:已知 x ? ?1 ,求 y ?

x ?1 的最大值. x ? 5x ? 8
2

跟踪训练 2:已知 x ? 0 ,求 y ?

x 的最值及对应 x 的取值. x?2

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随堂测试
1.已知关于 x 的不等式 x 2 ? ax ? 2a ? 0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是______. 1 ? 4 ? x 2 的定义域为( 2.函数 f ? x ? ? ) ln ? x ? 1? A. ? ?2,0 ?

? 0, 2?

B. ? ?1,0 ?

? 0, 2?

C. ? ?2,2?

D. ? ?1,2? )

3.设 a ? 0, b ? 0 ,若 3 是 3 a 与 3 b 的等比中项,则

1 1 ? 的最小值为( a b
C .1 )

A.8

B .4

D.

1 4

4.设 a , b, c 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立 的是( .... A. a ? b ≤ a ? c ? b ? c C. a ? b +

B. a 2 ?

1 1 ≥a ? 2 a a

1 ≥2 a ?b

D. a ? 3 ? a ? 1≤ a ? 2 ? a

?1 a? 5.已知不等式 ? x ? y ? ? ? ?≥9 对任意正实数 x, y 恒成立,则正实数 a 的最小值为( ?x y?

) D.8

A.2

B.4

C.6

课下巩固
1.不等式 x 2 ? ax ? 12a 2 ? 0 (其中 a ? 0 )的解集为( A. ? ?3a, 4a ? B. ? 4a, ?3a ? ) C. ? ?3, ?4 ? ) D.a ? ?1, c ? ?6 ) D. ?14 D. ? 2a,6a ?

? 1 1? 2.不等式 ax 2 ? 5 x ? c ? 0 的解集为 ? x ? x ? ? ,则 a, c 的值为( 2? ? 3

A.a ? 6, c ? 1

B.a ? ?6, c ? ?1

C.a ? 1, c ? 1

? 1 1? 3.解不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 得到解集 ? x ? ? x ? ? ,那么 a ? b 的值等于( 2 3? ?

A.10

B. ? 10

C.14

4.若不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 ?x 2 ? x ? 3? ,则不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集是______;不等式
cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集是______.

24

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5.函数 y ? a1? x (a ? 0,a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0(mn ? 0) 上,则 小值为______. 6.设集合 A ? x x2 ? 2x ? 8 ? 0 , B ? x x2 ? 2x ? 3 ? 0 , C ? x x2 ? 3ax ? 2a2 ? 0 若 C ? ? A B ? ,求 实数 a 的取值范围.

1 1 ? 的最 m n

?

?

?

?

?

?

7.若 x ? 1 ,则 x ? ______时, x ? 8.已知 x ?

4 有最小值,最小值为 x ?1



5 1 ,函数 y ? 4x ? 2 ? 的最大值为______. 4x ? 5 4 x2 ? y 2 9. 已知: x ? y ? 0 ,且 xy ? 1 ,则 的最小值是______. x? y
10.已知 lg x ? lg y ? 1 ,则
5 2 ? 的最小值是______. x y

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线性规划与解题技巧

命题方向 1:一元二次不等式和可行域
例 1.如图 3 所示,阴影部分表示的平面区域可用二元一次不等式组来表示的是( )

? x ? y ?1 ? 0 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? A. ? ? x ? y ? 1≥0 ? ? x ? 2 y ? 2≤0
? x ? y ?1 ? 0 ? 2 x ? 3 y ? 6≤0 ? C. ? ? x ? y ? 1≤0 ? ? x ? 2y ? 2 ? 0

(图 3)

? x ? y ?1 ? 0 ? 2 x ? 3 y ? 6≥0 ? B. ? ? x ? y ?1 ? 0 ? ? x ? 2y ? 2 ? 0
? x ? y ? 1≥0 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? D. ? ? x ? y ?1 ? 0 ? ? x ? 2 y ? 2≥0

例 2. 已知点 (1, b) 在平面区域 4 x ? by ? 1 ? 6b ? 0 内,求参数 b 的范围?

跟踪训练 1:已知点 (1,1) ,它在以下哪个一元二次不等式所表示的平面区域内( A. x ? y≤2 B. 2 x ? y ? 2 C. y≤0

) D. x ? 1≥3

命题方向 2:求可行域的面积问题
例 1.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2≥0 表示的平面区域的面积是(
? ? y≥0 ? ? x ? y ? 2≤0



A. 4 2 B .4 C. 2 2 跟踪训练 1:求不等式 x ? y ≤2 所围成的几何图形的面积为______.

D.2

命题方向 3:求目标函数最值问题
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? 2 x ? y≤2 ? 例 1.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y≥ ? 1 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为______. ? x ? y≥1 ?
? x ? 4 y≤ ? 3 跟踪训练 1:设目标函数为 z ? 2 x ? y ,满足约束条件 ? ?3 x ? 5 y≤25 的目标函数的取值范围为______. ? x≥1 ? ? x≥1, 2 2 例 2.已知 ? ? x ? y ? 1≤0, 则 x ? y 的最小值是______. ?2 x ? y ? 2≤0 ? ? x ? y ? 2≥0 跟踪训练 1:已知 x, y 满足约束条件 ? 求 ? x≤2 ? y≤2 ? (1) z ? 2 x ? y 的最大值和最小值;

(2) z ? x2 ? y 2 的最大值和最小值.

? x ? y ? 2≤0 y 例 3.设实数 x, y 满足 ? ? x ? 2 y ? 5≥0 ,则 z ? x 的取值范围是( ? y≤2 ?



?1 ? A. ? , 2 ? ?3 ?

?1 1 ? B. ? , ? ?3 2?

?1 ? C. ? , 2 ? ?2 ?

? 5? D. ? 2, ? ? 2?

? x ? y≤6 y?4 例 4.已知点 ( x, y ) 满足约束条件 ? ,则 的最大值为( ?y ? 0 x ? x ? 2 y≥0 ?



A. ?

1 2

B. ?

2 3

C. 0

D.不存在

? x≥0 2y ? 2 跟踪训练 1:已知变量 x, y 满足约束条件 ? ,则目标函数 z ? 的取值范围是( ? y≥x x ? 1 ?3x ? 4 y ? 12≤0 ?



A. [1, 4]

B. [2,8]

C. [2,10]

D. [3,9]

命题方向 4:含参数问题(较难)
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? x ? 3 y ? 3≥0 x ? y 的最大值为 9,则实数 m 的值( 例 1.实数 x, y 满足约束条件 ? ) ?2 x ? y ? 3≤0 ,且 ? x ? my ? 1≥0 ? A. ?2 B. ?1 C .1 D.2 ? y≥x z ? x ? my 的最大值小于 2,则 m 的取值范围是______. 例 2. m ? 1 ,在约束条件 ? ? y≤mx 下,目标函数 ? x ? y≤1 ? ? x ? y≥1 跟踪训练 1:若 x, y 满足约束条件 ? ? x ? y≥ ? 1 ,目标函数 z ? ax ? 2 y 仅在点 (1,0) 处取得最小值,则 a 的取 ? 2 x ? y≤2 ? 值范围是 .

随堂测试
? x≥0 ? 1.不等式组 ? x ? 3 y≥4 ,所表示的平面区域的面积等于( ?3 x ? y≤4 ?

)

2 4 C. 3 3 ? x ? y ? 3≥0 ? 2.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y≥0 ,则目标函数 2 x ? y 的最小值为______. ? ?2≤x≤3 ?
A. B.
? x ? y≥2 ? 3.已知实数 x,y 满足 ? x ? y≤2 ,则 z ? 2 x ? y 的取值范围是______. ? 0≤y≤3 ? ? x ? y ≥ ?1 4.设变量 x,y 满足约束条件 ? ? x ? y ≤ 4 ,则目标函数 z ? 2 x ? 4 y 的最大值为______. ?y≥ 2 ?

3 2

D.

3 4

课下巩固

1.在平面直角坐标系中,若点 ? ?2, t ? 在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 的上方,则 t 的取值范围是( A. ? ??,1?
m n

) D. ? 0,1?

B. ?1, ?? ? )

C. ? ?1, ???

2.若 2 ? 2 ? 4 ,则点 ? m, n ? 必在( A.直线 x ? y ? 2 ? 0 的左下方 C.直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的右上方

B.直线 x ? y ? 2 ? 0 的右上方 D.直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的左下方 )

? y≤x ? 3.设变量 x, y x,y 满足约束条件 ? x ? y≥2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为( ? y≥3x ? 6 ?

A. 2 B .3 C .5 D.7 4.已知 A ? 2, 4?,B ? ?1, 2?,C ?1,0? ,点 P ? x, y ? 在 △ABC 内部及边界运动,则 z ? x ? y 的最大值及最小值 分别是( )
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A.-1,-3 B.1,-3 C.3,-1 D.3,1 5.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨,B 原料 2 吨;生产每吨乙产品 要用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品可获得利润 3 万元.该 企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨, B 原料不超过 18 吨. 那么该企业可获得最大利润是( ) A.12 万元 B.20 万元 C.25 万元 D.27 万元
? x ? y ? 6≥0 ? 6.已知实数 x, y 满足 ? x ? y≥0 ,若 z ? ax ? y 的最大值为 3a ? 9 ,最小值为 3a ? 3 ,则实数 a 的取值 ? x≤3 ?

范围为( ) A. a≥1 C. -1≤a≤1

B. a≤ ? 1 D. a≥1 或 a≤ -1

? x ? 4 y ? 13≥0 ? 7. 已知变量 x, y 满足约束条件 ? 2 y ? x +1≥0 , 且有无穷多个点 ? x, y ? 使目标函数 z ? x ? my 取得最小值, ? x ? y ? 4≤0 ?

则m? ( ) A.-2

B.-1 C.1 D.4 8.当点 M ? x, y ? 在如图所示的 △ABC 区域内(含边界)运动时,目标函数 z ? kx ? y 取得最大值的一个最 优解为(1,2),则实数 k 的取值范围是( A. ? ??, ?1? ) B. ? ?1,1? [-1,1] D. ? ?1,1? )

?1, ?? ? C. ? ??, ?1? ?1, ?? ?

? y≥x ? 9.已知 x, y 满足不等式组 ? x ? y≤2 ,且 z ? 2 x ? y 的最大值是最小值的 3 倍,则 a ? ( ? x≥a ?

A.0

1 B. 3

2 C. 3

D.1

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必修五内容巩固与综合复习(期中)
数列重难点题型
1. (09?辽宁)设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 A.2 B.
S6 S ? 3 ,则 9 ? ( S3 S6

) D.3

7 8 C. 3 3 2 2. (09?海南)等差数列 ?an ? ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , S2 m ?1 ? 38 ,则 m ? ______.
3 . 已 知 等 比 数 列 A. n ? 2n ? 1? A. ?165

?an ?

,? 满 足 an ? 0 n

2n 1… , 2, , 且 a5 ? a n2? ? ≥3? , 则 当 n≥1 时 5 2 ?n

log2 a1 ? log2 a3 +… ? log2 a2n?1 ? (


2

B. ? n ? 1? B. ? 33

C. n 2

D. ? n ? 1? )

2

4.已知数列 ?an ? 对任意 p, q ? N? 的满足 a p ?q ? a p ? aq ,且 a2 ? ?6 ,那么 a10 等于(

C. ? 30 D. ?21 1 5. (07?陕西)已知各项不为零的数列的前 k 项和为 Sk ,且 Sk ? ak ak ?1 ? k ? N? ? ,其中 a1 ? 1 . 2 (1)求数列 ?ak ? 的通项公式. ( 2 ) 对 任 意 给 定 的 正 整 数 n(n ≥ 2) , 数 列 ?bk ? 满 足

bk ?1 k ? n 2, ,n ? 1 ) ? ( k ? 1, , b1 ? 1 , 求 a k ?1 bk

b1 ? b2 ?

? bn .

6. (09?江苏) ?an ?: d ? 0 ,等差数列, a22 ? a32 ? a42 ? a52,S7 ? 7 . (1)求数列 ?an ? 及 Sn ; (2)求所有的正整数 m ,使得
am am ?1 为数列 Sn 中的项. am ? 2

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7. (06?山东)已知 a 1 =2,点( a n , a n ?1 )在函数 f ? x ? ? x ? 2x 的图象上,其中 n ? N* .
2

(1)证明数列 ?lg ?1 ? an ?? 为等比数列;

(2)设 T n =(1+ a 1 ) (1+ a2 ) …(1+ a n ),求 T n 及数列 ?an ? 的通项; (3)记 b n =

1 1 2 ,求 ?bn ? 的前项和 Sn ,并证明 Sn ? ? ?1. 3Tn ? 1 an an ? 2

8. (07?山东文) {an } 为等比数列, q ? 1 , S3 ? 7 ,且 a1 ? 3, 3a2,a3 ? 4 构成等差数列. (1)求 {an } ; (2) bn ? ln a3n ?1,n ? 1, 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 2, ,

9.设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? na ? n(n ? 1)b , (n ? 1, 2, ) , a , b 是常数且 b ? 0 . (1)证明: ?an ? 是等差数列;
Sn ? (2)证明:以 ? ? an , n ? 1? 为坐标的点 Pn , (n ? 1, 2, ) 落在同一直线上,并求直线方程; ? ? C 外时,r (3)设 a ? 1, b ? 1 ,C 是以 (r , r ) 为圆心,r 为半径的圆 (r ? 0) ,求使得点 P 1,P 2,P 3 都落在圆 2 的取值范围.

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解三角形重难点题型
1. (2010 上海文)若 △ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则 △ABC ( A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 2.在 △ABC 中,周长为 7.5cm,且 sin A : sin B : sin C ? 4 : 5 : 6 ,下列结论:① a : b : c ? 4 : 5 : 6 ; ② a : b : c ? 2 : 5 : 6 ;③ a ? 2 cm, b ? 2.5 cm, c ? 3 cm ;④ A : B : C ? 4 : 5 : 6 . 其中成立的个数是( A.0 个 ) B .1 个 C .2 个 D.3 个 )

3.在 △ABC 中, ? b ? c ? : ? c ? a ? : ? a ? b ? ? 4 : 5 : 6 ,则 △ABC 的最大内角的度数是______. 4. △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,若 a , b, c 成等比数列,且 c ? 2a ,则 cos B ? ( A. )

1 4

B.

3 4

C.

2 4

D.

2 3

5.在 △ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,已知 (1)求

cos A ? 2cos C 2c ? a , ? cos B b

sin C 的值; sin A

1 (2)若 cos B ? , b ? 2 ,求 △ABC 的面积. 4

6.在 △ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? . (1)判断 △ABC 的形状; (2)在上述 △ABC 中,若角 C 的对边 c ? 1 ,求该三角形内切圆半径的取值范围.

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不等式重难点题型
?2 x ? y ? 2≥0 1. (2013?山东卷理 6)在平面直角坐标系 xOy 中, M 为不等式组 ? ? x ? 2 y ? 1≥0 所表示的平面区域上一 ?3x ? y ? 8≤0 ? 动点,则 OM 斜率的最小值为( ) 1 1 A.2 B.1 C. ? D. ? 2 3 ? x≥1 2. (2013?新课标 2 卷理 5)已知 a ? 0 , x, y 满足约束条件 ? ? x ? y≤3 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 1 ,则 ? y≥a( x ? 3) ?

a?(

) 1 A. 4

B.

1 2

C. 1
a 1 ? 取得最小值. 2a b

D. 2

3.设 a ? b ? 2 , b ? 0 时,在当 a ? ______时,

4.函数 y ? a1? x (a ? 0,a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0(mn ? 0) 上,则 1 ? 1 的最 m n 小值为______. 5.设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3a 与3b的等比中项,则 1 ? 1 的最小值为( ) a b A.8 B.4 C.1 D. 1 4 6.已知数列 ?an ? 是首项为 a1 ?

1 1 ,公比 q ? 的等比数列,设 bn ? 2 ? 3log 1 an ? n ? N? ? ,数列 ?cn ? 满足 4 4 4

cn ? anbn .

(1)求证: ?bn ? 是等差数列; (2)求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn ;

1 2 1 (3)若 Sn ? m2 ? m ? 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围. 3 3 3

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圆锥曲线-椭圆

命题方向 1:椭圆定义及其应用
例 1.椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另 一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点 A、B 是它的焦点,长轴长为 2 a ,焦距为 2c ,静放 在点 A 的小球(小球的半径不计) ,从点 A 沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时,小球经过 的路程是( ) A. 4 a B. 2 ? a ? c ? C. 2 ? a ? c ? D.以上答案均有可能 跟踪训练 1:短轴长为 5 ,离心率 e ?
△ABF2 的周长为(

2 的椭圆两焦点为 F1,F2,过 F1 作直线交椭圆于 A、B 两点,则 3



B .6 C.12 D.24 x2 y 2 2 2 跟踪训练 2: 已知 P 为椭圆 ? ? 1 上的一点,M ,N 分别为圆 ? x ? 3? ? y 2 ? 1 和圆 ? x ? 3? ? y2 ? 4 上 25 16 的点,则 PM ? PN 的最小值为( ) A.5 B .7 C.13 D.15

A.3

命题方向 2:椭圆标准方程
例 1.设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长 轴上较近的端点距离为 4 2 ? 4 ,此椭圆方程为______. 跟踪训练 1:如果方程 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴的椭圆,那么实数 k 的取值范围是______. 跟踪训练 2:椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的 点的最短距离是 3 ,求这个椭圆方程.

命题方向 3:椭圆离心率(范围)
例 1.在 △ABC 中, ?A ? 30?, AB ? 2,S△ABC ? 3 .若以 A, B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的离 心率 e ? ______. 跟踪训练 1:如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为( ) 5 3 2 1 C. D. A. B. 4 2 2 2 2 2 x y 跟踪训练 2: 已知 m 则椭圆 ? m ,n,mn 成等比数列, ,n,m ? n 成等差数列, ? 1 的离心率为______. m n
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跟踪训练 3:我国于 07 年 10 月 24 日成功发射嫦娥一号卫星,并经四次变轨飞向月球.嫦娥 的距离为 m ,远地点到地心的距离为 n ,第二次变轨后两距离分别为 2 m 、 2 n (近地点是指卫星距离地 面最近的点,远地点是距离地面最远的点) ,则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的 离心率( ) A.不变 B. 变小 C. 变大 D.无法确定

命题方向 4:椭圆的其他性质(范围、对称性)
例 1.已知实数 x, y 满足

x2 y 2 ? ? 1 ,求 x2 ? y 2 ? x 的最大值与最小值. 4 2

x2 y 2 ? ? 1? m ? 0, n ? 0? 上两点,且 AO ? ? BO ,则 ? ? ______. m2 n2 x2 y 2 例 3:如图,把椭圆 ? ? 1 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 25 16 P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7 七个点, F 是椭圆的一个焦点.则
例 2:已知点 A, B 是椭圆
PF ? P2 F ? P 1 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6F ? P 7 F ? ______.

命题方向 5:动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值
x2 y 2 ? ? 1 上的点到直线 l: x ? y ? 9 ? 0 的距离的最小值为______. 16 9 x2 y 2 跟踪训练 1:椭圆 ? ? 1 的内接矩形的面积的最大值为______. 16 9 x2 y 2 跟踪训练 2: P 是椭圆 2 ? 2 ? 1 上一点, F1,F2 是椭圆的两个焦点,求 PF1 ? PF2 的最大值与最小值. a b
例 1.椭圆

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命题方向 6:直线与椭圆的位置关系
例 1.当 m 为何值时,直线 l:y ? x ? m 和椭圆 9x2 ? 16 y 2 ? 144 .(1)相交;(2)相切;(3)相离.

跟踪训练:若直线 y ? kx ? 2 与椭圆 2 x2 ? 3 y 2 ? 6 有两个公共点,则实数 k 的取值范围为______.

命题方向 7:椭圆的综合应用
例 1.已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O ,一个长轴端点为 ? 0,1? ,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方 形,直线 l 与 y 轴交于点 P ? 0, m ? 与椭圆 C 交于相异两点 A, B ,且 AP ? 3PB .求椭圆方程.

跟踪训练 1:设过点 P ? x, y ? 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A, B 两点,点 Q 与点 P 关 于 y 轴对称, O 为坐标原点,若 BP ? 2 PA ,且 OQ ? AB ? 1 ,则 P 点的轨迹方程是( ) 3 3 A. x2 +3 y 2 ? 1? x ? 0, y ? 0 ? B. x2 ? 3 y 2 ? 1? x ? 0, y ? 0? 2 2 3 3 C. 3x2 ? y 2 ? 1? x ? 0, y ? 0? D. 3x2 ? y 2 ? 1? x ? 0, y ? 0? 2 2 2 2 x y 跟踪训练 2: 已知 F1,F2 是椭圆 C:2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的两个焦点,P 为椭圆 C 上一点, 且 PF1⊥PF2 . 若 a b △PF1 F2 的面积为 9,则 b ? ______.
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随堂测试
5 x2 y 2 ? ? 1 的 离 心 率 为 , 则 m 等 于 ______. 4 16 m x2 y 2 2.从椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1 , A 是椭圆与 x 轴正半轴的 a b 交点, B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB ∥ OP ( O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是( )
1.双曲线 A.
2 4

B.

1 2

C.

2 2

D.

3 2

x2 y 2 3. 已知椭圆 C:2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的左焦点 F ,C 与过原点的直线相交于 A ,B 两点, 连结 AF,BF , a b 4 若 AB ? 10, ) AF ? 6, cos ?ABF ? ,则 C 的离心率为( 5 3 5 4 6 A. B. C. D. 7 5 7 5 x2 y 2 4. 已知 F1、F2 是椭圆 C:2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的两个焦点,P 为椭圆 C 上一点, 且 PF1⊥PF2 . 若 △PF1 F2 a b 的面积为 9,则 b =______. x2 y 2 2 5.椭圆 ? ) ? 1 与圆 ? x ? a ? ? y2 ? 9 有公共点,则实数 a 的取值范围是( 9 4 A. a ? 6 B. 0 ? a≤5 C. a ? 5 D. a≤6

课下巩固
1.如图 4 所示,椭圆中心在原点, F 是左焦点,直线 AB1 与 BF 交于 D ,且 ?BDB1 ? 90 ,则椭圆的离 心率为( )

(图 4) A.
3 ?1 2

B.

5 ?1 2

C.

5 ?1 2

D.

3 2

2.设 F1 、 F2 为椭圆

A.0 x2 y 2 3.椭圆 ? ? 1 的一条弦被 A ? 4, 2 ? 平分,那么这条弦所在的直线方程是( 36 9 A. x ? 2 y ? 0 B. 2 x ? y ? 10 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 D. x ? 2 y ? 8 ? 0
37

x2 ? y 2 ? 1 的两焦点, P 在椭圆上,当 △F1 PF2 面积为 1 时, PF1 ? PF2 的值为( 4 B.1 C.2 D.3




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3 .若以 A, B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的离心率 e ? ______. 4 5. 已知 F1,F2 为椭圆的两个焦点, P 为椭圆上一点,若 ?PF1 F2 : ?PF2 F1 : ?F1 PF2 :1: 2 : 3 , 则此椭圆的离心率为______. x2 y 2 6.(2008 江苏)在平面直角坐标系中,椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的焦距为 2,以 O 为圆心, a 为半径的 a b 2 ?a ? 圆,过点 ? , 0 ? 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e ? ______. ? c ?
4.在 △ABC 中,?A ? 90 , tan B ? 7.已知以 F1 ? ?2,0?,F2 ? 2,0 ? 为焦点的椭圆与直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为 ( ) A. 3 2 B. 2 6 C. 2 7 D. 4 2 x2 y 2 8.椭圆 ? ? 1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2, N 是 MF1 的中点, O 是椭圆中心,则 ON 的值是 25 9 ( ) 3 A.2 B .4 C .8 D. 2 2 2 x y 9.若 F 是椭圆 ? ? 1 的右焦点, M 是该椭圆上的点, A ?2, 3 是该椭圆内一点,则 MA ? 2 MF 16 12 的最小值是( )

?

?

A. 8 ? 7 B. 4 ? 7 C.10 D.8 10.以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,椭圆长轴的最小值为( 2 A. B. 2 C .2 D. 2 2 2



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圆锥曲线-抛物线

命题方向 1:抛物线定义的考察
例 1.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨 迹是( ) A.直线 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线 跟踪训练 1:若点 P 到直线 x ? ?1 的距离比它到点 ? 2,0 ? 的距离小 1,则点 P 的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 2 例 2.已知点 P 在抛物线 y ? 4 x 上,那么点 P 到点 Q ? 2, ?1? 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和的最小 值为______. 跟踪训练 1:已知点 A ? 3, 4 ?,F 是抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点, M 是抛物线上的动点,当 MA ? MF 最小时,

M 点坐标是(
A. ? 0,0 ?

)

B. 3, 2 6 )

?

?

C. ? 2, 4 ?

D. 3, ?2 6

?

?

跟踪训练 2:抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 上有 A? x1 , y1 ?,B ? x2 , y2 ?,C ? x3 , y3 ? 三点, F 是它的焦点,若
AF , BF , CF ,成等差数列,则(

A. x1 , x2 , x3 成等差数列 C. y1 , y2 , y3 成等差数列

B. x1 , x3 , x2 成等差数列 D. y1 , y3 , y2 成等差数列 ) B. x2 ? ?8 y )

命题方向 2:抛物线标准方程的考察
例 1.经过点 P ? 4, ?2? 的抛物线的标准方程为( A. y ? ?8x
2

C. y 2 ? x 或 x2 ? ?8 y D. y 2 ? x 或 y 2 ? 8 x 跟踪训练 1:已知抛物线的焦点在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上,则此抛物线的标准方程是( A. y ? 16 x
2

B. x ? ?8 y
2 2

C. y ? 16 x 或 x ? ?8 y
2

D. y 2 ? 16 x 或 x 2 ? 8 y

x2 ) ? y2 cos? ? 1 不能表示的曲线是( 2 A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 2 2 跟踪训练:设 ? ? ?0, ? ? ,则方程 x sin ? ? y cos ? ? 1 不能表示的曲线为(
例 2.设 ? ? ?0, ? ? ,则方程 A.椭圆 B.双曲线
2

D.圆 )

C.抛物线 D.圆 2 x y 例 3.抛物线的顶点在坐标原点,抛物线的焦点和椭圆 ? ? 1 的右焦点重合,则抛物线的标准方程 25 9 为( ) A. y 2 ? 16 x B. y 2 ? 8 x C. y 2 ? 12 x D. y 2 ? 6 x 跟踪训练:抛物线的顶点在原点,焦点与椭圆 A. x2 ? ?8 y

y 2 x2 ) ? ? 1 的一个焦点重合,则抛物线方程是( 8 4 B. y 2 ? ?8x C. x2 ? ?4 y D . y 2 ? ?4 x
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命题方向 3:抛物线性质的考察
例 1.抛物线 y ? x 2 的准线方程是( ) A. 4 y ? 1 ? 0 B. 4 x ? 1 ? 0
2

C. 2 y ? 1 ? 0

D. 2 x ? 1 ? 0

跟踪训练 1: 已知抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? , 过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线与 A, B 两点, 若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( ) A. x ? 1 B. x ? ?1 C. x ? 2 D . x ? ?2 2 2 2 跟踪训练 2:已知抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 的准线与圆 x ? y ? 6 x ? 7 ? 0 相切,则 p 的值为( )

1 B .1 C .2 D.4 2 例 2.设坐标原点为 O ,抛物线 y 2 ? 2 x 与过焦点的直线交于 A, B 两点,则 OA ? OB ? ( ) 3 3 A. B. ? C. 3 D. ?3 4 4 跟踪训练 1:抛物线 y ? ?4 x2 的焦点坐标是( )
A. A. ? 0, ?1? 跟踪训练 2:已知双曲线 ( ) A.6 B. B. ? ?1, ?0 ?
1? ? C. ? 0, ? ? 16 ? ? ? 1 ? D. ? ? , 0 ? ? 16 ?

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点与抛物线 y 2 ? ?12x 的焦点相同,则此双曲线的离心率为 m 5
3 2
C.
3 2 2

D.

3 4

命题方向 4:抛物线的应用
例 1.设 F 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若 FA ? FB ? FC ? 0 , 则

F A ? F B ? F C?______.
跟踪训练 1:过抛物线 y ? ax2 ? a ? 0? 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P , Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长 分别是 p, q ,则 A. 2 a
1 1 ? ?( p q

) B.

1 2a

C. 4 a

D.

4 a

随堂测试
1.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2 ? ax ? a ? 0? 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△ OAF(O 为坐标原点) 的面积为 4,则抛物线方程为( ). 2 A. y ? ?4 x B. y 2 ? ?8x C. y 2 ? 4 x D. y 2 ? 8 x

2.抛物线 y ? ? x 2 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是( ) 4 7 8 A. B. C. D. 3 3 5 5 3.已知抛物线 C: y 2 ? 4 x 的焦点为 F,直线 y ? 2 x ? 4 与 C 交于 A,B 两点.则 cos ?AFB ? ( 4 3 3 4 A. B. C. ? D. ? 5 5 5 5
40



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4.将两个顶点在抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为 n ,则
2



) A. n ? 0 B. n ? 1 C. n ? 2 D. n≥3 2 AF ? BF ? 3 5.已知 F 是抛物线 y ? x 的焦点,A, B 是该抛物线上的两点, ,则线段 AB 的中点到 y 轴 的距离为( ) 3 5 7 A. B.1 C. D. 4 4 4

课下巩固
1.如果抛物线 y 2 ? ax 的准线是直线 x ? ?1 ,那么它的焦点坐标为( A. ?1,0 ?
2

) D. ? ?1,0? )

B. ? 2,0 ?

C. ? 3,0 ?

2.圆心在抛物线 y ? 2 x 上,且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( 1 A. x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? ? 0 B. x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 4 1 C. x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? ? 0 4 2 3.抛物线 y ? x 上一点到直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的距离最短的点的坐标是( )
?1 1? ?3 9? B. ? , ? C. ? , ? ?2 4? ?2 4? 4.平面内过点 A ? ?2,0? ,且与直线 x ? 2 相切的动圆圆心的轨迹方程是(

A. ?1,1?

D. ? 2, 4 ? ) D. y 2 ? ?16x )

A. y ? ?2 x
2

B. y ? ?4 x
2

C. y ? ?8x
2

5. 抛物线的顶点在原点, 对称轴是 x 轴, 抛物线上点 ? ?5, m ? 到焦点距离是 6, 则抛物线的方程是 ( A. y ? ?2 x
2

B. y ? ?4 x
2

C. y ? 2 x
2

D. y 2 ? ?4 x 或 y 2 ? ?36x

6.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作直线,交抛物线于 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点,如果 x1 ? x2 ? 6 ,那么 AB ? ( ) A.8 B.10 C.6 D.4 7.把与抛物线 y 2 ? 4 x 关于原点对称的曲线按向量 a = ? 2, ?3? 平移,所得的曲线的方程是( A. ? y ? 3? ? ?4 ? x ? 2?
2



B. ? y ? 3? ? ?4 ? x ? 2?
2

C. ? y ? 3? ? ?4 ? x ? 2?
2

D. ? y ? 3? ? ?4 ? x ? 2?
2

8.过点 M(2,4)作与抛物线 y 2 ? 8 x 只有一个公共点的直线 l 有( A.0 条 B.1 条 C.2 条
2

) D.3 条

9.抛物线 y ? 4 x 的弦 AB 垂直于 x 轴,若 AB 的长为 4 3 ,则焦点到 AB 的距离为______. 10.抛物线 y 2 ? 2 x2 的一组斜率为 k 的平行弦的中点的轨迹方程是______. 1 11.动直线 y ? a ,与抛物线 y 2 ? x 相交于 A 点,动点 B 的坐标是 ? 0,3a ? ,求线段 AB 中点 M 的轨迹 2 的方程.

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圆锥曲线-双曲线

命题方向 1:双曲线定义考察
例 1.若方程
x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则实数 k 的取值范围是( k ?2 5?k



? 2,5? C. ? ??, ?2? ?5, ??? 跟踪训练 1:若方程 ?5 ? k ? x2 ? ? k

A. ? ??, ?2?

B. ? ?2,5?

? 2? y ? ?5 ? k ? ? k ? 2? 表示双曲线,则实数 k 的取值范围是(
2

D. ? ?2,2?

?5, ???



A . k ? ?2 或 2 ? k ? 5 B. ? 2 ? k ? 5 C . k ? ?2 或 k ? 5 D. ? 2 ? k ? 2 或 k ? 5 2 2 x y 跟踪训练 2:如果方程 ) ? ? 1 表示双曲线,则 m 的取值范围是( m ? 2 m ?1 A. (2,+∞) B. ( ? 2, ? 1) C. ( ? ∞, ? 1) 例 2.已知 M( ? 2,0),N(2,0), PM ? PN ? 4 ,则动点 P 的轨迹是( )

D. (1,2)

A.双曲线 B.双曲线左边一支 C.一条射线 D.双曲线右边一支 跟踪训练 1:设定点 F1(0, ? 1),F2(0,1),动点 P 满足条件 PF1 ? PF2 ? 1 ,则点 P 的轨迹是( A.双曲线或两条射线 C.双曲线 B.双曲线的一支 D.双曲线的一支或一条射线



命题方向 2:双曲线方程考察
例 1.已知点 M( ? 2,0),N(2,0),动点 P 满足条件 PM ? PN ? 2 2 ,则动点 P 的轨迹方程为( A. x 2 ? y 2 ? 2 C. x 2 ? y 2 ? 2 x≤ 2 B. x 2 ? y 2 ? 2 x≥ 2 )

?

?

?

?

D. y 2 ? x 2 ? 2

跟踪训练 1:已知双曲线的两个焦点 F1 ? 10, 0 ,F2 则双曲线的方程为______.

?

?

?

10, 0 ,M 是此双曲线上的一点, MF1 ? MF2 ? 6

?

跟踪训练 2:已知双曲线的两个焦点为 F1 (? 5,0) , F2 ( 5,0) ,P 是此双曲线上的一点,且 PF1 ? PF2 , | PF1 | ? | PF2 |? 2 ,则该双曲线的方程是( )

x2 y 2 x2 y 2 x2 y2 B. ? C. ? y 2 ? 1 D. x 2 ? ? ?1 ?1 ?1 2 3 3 2 4 4 x2 y 2 例2.与椭圆 ? ? 1 焦点相同的等轴双曲线的标准方程为______. 25 9 跟踪训练:经过点 A? ?1,3? ,并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为______.
A.

命题方向 3:双曲线离心率考察
例 1:若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点到一条准线的距离之比为 3:2,则双曲线的离心率是( a 2 b2
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D. 5 1 跟踪训练 1:在给定双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 ,则该双 2 曲线的离心率为( ) 2 A. B.2 C. 2 D. 2 2 2 x2 y 2 跟踪训练 2.已知 F1 , F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0? 的左,右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双 a b 曲线的左支交于 A, B 两点,若 △ABF2 是正三角形,那么双曲线的离心率为( ) B. 3 C.2 D.3 3a x2 y 2 例 2.若双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0? 上横坐标为 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则 2 a b 双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D.(5,+∞) x2 y 2 跟踪训练 1:已知双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0? 的左右焦点分别为 F1、F2,点 P 在双曲线的右支上,且 a b ) PF1 ? 4 PF2 ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为( A. A. 2 A.3 B.5 C. 3

4 3

B.

5 3

C.2

D.

7 3

x2 y 2 的直线与双曲 ? ? 1? a ? 0, b ? 0? 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60° a2 b2 线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2) B.(1,2) C.[2,+∞) D.(2,+∞)
跟踪训练 2:已知双曲线

命题方向 4:双曲线性质考察
x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1,F2,P 为 C 的右支上一点,且 PF2 ? F1F2 ,则 9 16 △PF1 F2 的面积等于( ) A.24 B.36 C.48 D.96 2 y 跟踪训练: 设 P 为双曲线 x2 ? F1, F2 是该双曲线的两个焦点, 若|PF1|:|PF2|=3:2, 则 △PF1 F2 ? 1 上的一点, 12 的面积为( ) A. 6 3 B.12 C. 12 3 D.24 ? x2 y2 y2 x2 例 2.已知 0 ? ? ? ,则双曲线 C1 : 2 ? ) ? 1 与 C2 : ? ? 1 的( 4 cos2 ? sin 2 ? sin ? cos2 ? A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 2 2 2 2 ? x y y x 例 3.已知 0 ? ? ? ,则双曲线 C1 : ) ? 2 ? 1 与 C2 : 2 ? 2 ? 1 的( 2 4 sin ? sin ? tan 2 ? cos ? sin ? A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 2 2 2 2 x y y x 跟踪训练 1: 已知双曲线 ? (0,2) ,椭圆 ? 1 的一个焦点是 ? ? 1 的焦距等于 4,则 n ? ______. n m m 3m 2 6 x2 y 2 x2 y 2 跟踪训练 2:已知双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0? 的离心率为 ,顶点与椭圆 ? ? 1 的焦点相同, 3 a b 8 5 那么该双曲线的焦点坐标为______渐近线方程为______.
例 1.已知双曲线 C:
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命题方向 5:双曲线的应用
x2 ? y 2 ? 1? a ? 0? 的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的 a2 任意一点,则 OP ? FP 的 取 值 范 围 为 ( ) ? 7 ? ?7 ? A. ? B. ? C . ? ? , ?? ? D . ? , ?? ? ?3 ? 2 3, ?? ?3 ? 2 3, ?? ? 4 ? ?4 ? 2 x 跟踪训练 1: 设 F1, F2 是双曲线 ? y 2 ? 1 的两个焦点, P 在双曲线上, 当△ F1PF2 的面积为 2 时, PF1 ? PF2 3 的值为( ) A.2 B .3 C .4 D.6 x2 y 2 例 2 .已 知 双 曲 线 C : 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 3,直线 y ? 2 与 a b C 的两个交点间的距离为 6 . (1)求 a , b ; (2) 设 过 F2 的 直 线 l 与 C 的 左 右 两 支 分 别 相 交 于 A ,B 两 点 ,且 AF1 ? BF1 ,证 明 : AF2 , AB ,
例 1.若点 O 和点 F( ? 2,0)分别是双曲线

?

?

BF2 成 等 比 数 列 .

随堂测试
x2 y 2 2 ) ? ? 1 的渐近线与圆 ? x ? 3? ? y2 ? r 2 ? r ? 0? 相切,则 r ? ( 6 3 A. 3 B .2 C .3 D.6 2 2 x y 2.已知抛物线 y 2 ? 8 x 的准线过双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0? 的一个焦点,且双曲线的离心率为 2,则 a b 该双曲线的方程为______. 3 3.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0),离心率等于 , 则 C 的方程是( ) 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ?1 ?1 A. ? B. ? C. ? D. ? ?1 ?1 4 2 4 5 2 5 5 5 x2 y 2 4.双曲线 2 ? 2 ? 1 的实轴长,虚轴长,焦距成等差数列则双曲线的离心率是( ) a b 4 5 A.2 B .3 C. D. 3 3 2 2 x y 5.若方程 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则 m 的取值为______. m ?1 m ? 2
1.双曲线

课下巩固
1.下列曲线中离心率为
6 的是( 2


44

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A.

x y ? ?1 2 4

2

2

B.

x y ? ?1 4 2

2

2

C.

x y ? ?1 4 6

2

2

D.

x2 y 2 ? ?1 4 10

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0? 的两个焦点,若 F1 , F2 , P ? 0,2b ? 是正三角形的三个顶 a 2 b2 点,则双曲线的离心率为( ) 3 5 A. B. 2 C. D.3 2 2 x2 y 2 3.设双曲线 2 ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0? 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方程为( ) a b 2 1 x A. y ? ? 2 x B . y ? ?2 x C. y ? ? D. y ? ? x 2 2 2 2 x y 4.双曲线 ? ) ? 1 的焦点到渐近线的距离为( 4 12 A. 2 3 B.2 C. 3 D.1 2 2 x y 5.若双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0? 的离心率为 2,则 a 等于( ) a 3 3 A.2 B. 3 C. D.1 2 1 6.设 ? 是三角形的一个内角,且 sin ? +cos? ? ,则方程 x2 sin ? ? y 2 cos? ? 1 表示( ) 5 A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 y 轴上的椭圆 C.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线
2.设 F1 和 F2 为双曲线 7.已知双曲线是以椭圆 ( ) A.

x2 y 2 ? ? 1 的两个顶点为焦点,以椭圆的焦点为顶点,那么双曲线的方程为 16 9

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 B. ? C. ? D. ? ? ?1 ?1 ?1 ?1 16 9 7 9 9 16 9 7 8.设双曲线的半焦距为 c ,两条准线间的距离为 d ,且 d ? c ,则此双曲线的离心率为( ) A.2 B. 3 C. 2 D.3 x2 y 2 9.双曲线 ? ) ? 1 的一条准线恰好为圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 的一条切线,则 k 的值为( 16 k A.16 B.32 C.48 D.64 2 2 x y 10.若 P ? x1 , y1 ? 是双曲线 ? 2 ? 2 ? 1 上一点,且 y1 ? 0 , F 是坐标轴正向上的双曲线的焦点,e 为离率, b a 则 PF1 ? ( )
A. ey1 ? a
2 2

B. ey1 ? a

C. a ? ey1 )

D. a ? ey1

11.双曲线 A.2

x y ? ? 1 的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为( b2 a 2
B. 3 C. 2

D.

3 2

12.与双曲线 是( ) A.8

x2 y 2 ? ? 1 有共同的渐近线,且经过点 ?3, 2 3 的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离 9 16
B.4
45

?

?

C.2

D.1

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导数概念与导数运算

命题方向 1:导数概念
例 1.已知物体做自由落体运动的方程为 s ? s(t ) ?

1 2 s(1 ? ?t ) ? s(1) 无限趋 gt ,若 ?t 无限趋近于 0 时, 2 ?t

近于 9.8m / s ,那么正确的说法是( ) A. 9.8m / s 是在 0 1s 这一段时间内的平均速度 B. 9.8m / s 是在 1 (1+ ?t )s 这段时间内的速度 C. 9.8m / s 是物体从 1s 到(1+ ?t )s 这段时间内的平均速度 D. 9.8m / s 是物体在 t ? 1s 这一时刻的瞬时速度 f (1 ? ?x) ? f (1) f (1 ? ?x) ? f (1) 跟踪训练 1:若 f '(1) ? 2012 ,则 lim =______. ? ______. lim ?x ?0 ? x ? 0 ?x ??x f (1) ? f (1 ? ?x) f (1 ? 2?x) ? f (1) =______. lim =______. lim ?x ?0 ? x ? 0 4?x ?x 跟踪训练 2:已知 f ( x) 在 x ? a 处可导,且 f ?(a) ? b ,求下列极限:
f ? a ? h2 ? ? f ? a ? f (a ? 3h) ? f (a ? h) (1) lim ; (2) lim . h ?0 h?0 h 2h

例 2.已知 f ( x) ? x(1 ? x) ,用导数定义求 f ?(0) .

跟踪训练 1:曲线 y ? x3 ? x ? 2 在点 A(2,8) 处的切线方程是______. 跟踪训练 2:若 B(1, m) 是 y ? x3 ? x ? 2 上的点,则曲线在点 B 处的切线方程是______.
46

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命题方向 2:导数运算
例 1. f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的非负可导函数,且满足 xf ?( x) ? f ( x) ≤ 0 ,对任意正数 a , b ,若 a ? b , 则必有( ) A. af (a) ≤ bf (b) B. bf (b) ≤ af (a) C. af (b) ≤ bf (a) D. bf (a) ≤ af (b) 跟踪训练:设 f ? x ? , g ? x ? 是 R 上的可导函数, f ? ? x ? , g ? ? x ? 分别是 f ? x ? , g ? x ? 的导函数, 且 f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? ? 0 ,则当 a ? x ? b 时,有( A. f ? x ? g ? x ? ? f ? b ? g ? b ? C. f ? x ? g ? b ? ? f ? b ? g ? x ? 例 2.求下列函数的导数 (1) y ? 3x2 ? x ? 5 (2) y ? 2 x ? ) B. f ? x ? g ? a ? ? f ? a ? g ? x ? D. f ? x ? g ? x ? ? f ? a ? g ? a ?

1 ?4 3 x

跟踪训练:抛物线 y ? x 2 上求一点 P,使过该点的切线垂直于直线 2 x ? 6 y ? 5 ? 0 .

随堂测试
1 1. f ?( x) 是 f ( x) ? x3 ? 2 x ? 1 的导函数,则 f ?(?1) 的值是______. 3 27 x 2.已知 m ? 0 , f ? x ? ? mx3 ? ,且 f ' ?1?≥ ? 18 ,则实数 m 等于( m A.-9 B.-3 C.3
47

) D.9

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3.如图 5 所示,已知直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 与抛物线 y ? 4 x 相交于 A、B 两点,O 是坐标原点,P 是抛物线 的弧 AOB 上求一点 P,当△ PAB 面积最大时,P 点坐标为______.
2

(图 5) 1 2 ,直线 l 与函数 f ? x ? , g ? x ? 的图象都相切,且与 l 函 x ? a ( a 为常数) 2 数 f ? x ? 图象的切点的横坐标为 1,求直线 l 的方程及 a 的值. 4.已知函数 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ?

课下巩固
1.已知函数 f ? ? x ? ? 3x2 ,则 f ? x ? 的值一定是( A. x ? x C. x 3 ? c ( c 为常数) 2.下列求导数运算错误 的是( ..
3

) B. x 3 D. 3 x ? c ( c 为常数)



? ? 2013x2012 ( c 为常数) ? ? 2 xlnx ? x (x 2013 ? c) (x 2 lnx) A. B. cosx xsinx ? cosx ? ? 3x ln3 ?? (3x) C. D. ( ) x x2 3.若函数 f ? x ? ? x2 ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f ? ? x ? 的图象是(



A

B

C

D

48

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x 1 ) ? 3ln x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 2 4 1 A.2 B.3 C. 2 2 t ? 1 s 5.某质点的运动方程是 S ? t ? (2t ? 1) ,则在 时的瞬时速度为( ) A.-1 B.-3 C.7 2 6.函数 y ? ? 2x ? 3? 的导数为______函数 y ? e? x 的导数为______.
4.已知曲线 y ?
2

D.1

D.13

1 7.若函数 f ( x) 满足, f ( x) ? x3 ? f ?(1) ? x2 ? x, 则 f ?(1) 的值______. 3 1 8.曲线 y ? 和 y ? x 2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积是______. x 2 9.已知曲线 C1:y ? x2 与 C2:y ? ? ? x ? 2? ,直线 l 与 C1、C2 都相切,求直线 l 的方程.

10.已知曲线 y ?

1 2 x ? 1 与 y ? 1 ? x3 在 x ? x0 处的切线互相垂直,求 x0 的值. 6

11.求下列函数的导数: 1 4 (1) y ? x5 ? x3 ? 3x2 ? 2 ; 5 3

(2) y ? 3x3 ? 4x ? 2x ? 1? ;

?

?

(3) y ?

x . 1 ? x ? x2

49

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十一

导数四则运算及复合函数求导

命题方向 1:导数的四则运算
例 1.求下列函数的导数: (1) y ? x2ex ; (2) y ? x sin x ; (3) y ? x ln x .

跟踪训练 1:求下列函数的导数: sin x x2 (1) y ? ; (2) y ? . x ln x

跟踪训练 2.下列求导运算正确的是( 1? 1 ? A. ? x ? ? ' ? 1 ? 2 x? x ? C. 3x ' ? 3x ? log3 e 跟踪训练 3:求函数的导数 ln x (1) y ? (2) y ? e x ( x2 ? 1) x
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) B. ? log2 x ? ' ?

? ?

D. x2 cos x ' ? ?2x sin x
特级教师 王新敞
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?

?

1 x ln 2

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(3) y ? 2 x3 ? 3x ? 5

(4) y ?

x 2 ? 3x x ?1

(5) y ? x( x2 ?

1 1 ? ) x x2

50

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跟踪训练 4.设 y ? ?2e sin x ,则 y 等于(
x



A. ?2e cos x C. 2e x sin x
x

B. ?2e x sin x D. ?2ex ?sin x ? cos x ? ) D.-2

例 2.设曲线 y ? A.2

x ?1 在点(3,2)处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a 等于( x ?1 1 1 B. C. ? 2 2

命题方向 2:复合函数求导
例 1.求下列函数导数: (1) y ? ln( x ? 1 ? x2 ) (2) y ? 2sin(3x ? ) 4

?

(3) y ?

4

1 3x ? 1

(4) y ? sin(3x ? ) 6

?

(5) y ? cos(1 ? x2 )

(6) y ? f ( x2 ? 1)

跟踪训练:求下列函数的导数: (1) y ? (2 x ? 3)2 ;

(2) y ? e?0.05 x ?1 ;

(3) y ? sin(? x ? ? ) (其中 ? ,? 均为常数) .

51

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例 2.求描述气体膨胀状态的函数 r ? v ? ?
3

3v 的导数. 4?

跟踪训练:求 y ?

x?a x 2 ? 2ax

的导数.

例 3.曲线 y ? x ? x ? 1?? 2 ? x ? 有两条平行于直线 y ? x 的切线,求此二切线之间的距离.

随堂测试
x 在点(-1,-1)处的切线方程为( ) x?2 A. y ? 2 x ? 1 B. y ? 2 x ? 1 C. y ? ?2 x ? 3 D. y ? ?2 x ? 2 1? a 2. 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? ax ? , 若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 l : y ? ?2 x ? 1 平行, x ?1 则 a 的值______.
1.曲线 y ? 3. y ? x cos x 在 x ? 4.曲线 y ? A. ?

?

3

处的导数值是______. )
2 2

sin x 1 ?? ? ? 在点 M ? , 0 ? 处的切线的斜率为( sin x ? cos x 2 ?4 ?
B.

1 2

1 2
52

C. ?

D.

2 2

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5.已知函数 f ( x) ?
a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 .求 a , b 的值. x ?1 x

课下巩固
1. y ? esin x cos(sin x) ,则 y ?(0) 等于( A.0 B.1 ) C.-1 D.2

2. f ( x) ? x ln x, f '( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? ______. 3.设 f ( x) ? x( x ? 1)( x ? 2) ??? ( x ? n) ,则 f ?(0) ? ______. 4.求下列函数导数:

x (1) y ? cos ; 3

(2) y ? 2 x ? 1

5. y ? sin 4 x ? cos4 x 的导数.

6.设 y ? sin ? x ln x ? ,求 y ? .

53

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7.已知函数 y ? 1 ? 32 x cos4x ,求 y ? .

π 8.已知 y ? 52cos x ,求 y ?( ) . 2

9.点 P 是曲线 x2 ? y ? 2ln x ? 0 上任意一点,求点 P 到直线 y ? x ? 2 的最短距离.

54

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十二

导数应用

命题方向 1:导数与切线方程(导数的几何意义的应用)
例 1.求曲线 y ? ? x3 ? 3x2 ? 1 过点 (1,1) 和 (2,5) 的切线方程.

跟踪训练 1:若 y ? x3 ? x ? 2 在 P 处的切线平行于直线 y ? 7 x ? 1 ,则点 P 的坐标是______.

x2 ? 3ln x 的一条切线垂直于直线 2 x ? y ? m ? 0 ,则切点坐标为______. 4 例 2.函数 y ? ax 2 ? 1 的图象与直线 y ? x 相切,则 a ? ______.
跟踪训练 2:若 y ? 跟踪训练 1:已知直线 y ? x ? m 与曲线 y ? x3 ? x2 ? 1 相切,求切点 P 的坐标及参数 m 的值.

命题方向 2:导数与单调区间
例 1.函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 1 的减区间为______. 跟踪训练 1.函数 y ? xn e? x (n ? 0, x≥0) 的单调递增区间为______. 跟踪训练 2.判断函数 y ? x cos x ? sin x 在下面哪个区间内是增函数( ? 3 ? ? A. (? , ? ) B. ( ? , ) C. (? , 2? ) 2 2 2 2 ) D. (0, ? )

命题方向 3:导数与极值、最值
例 1.函数 y ? x3 ? 12x ? 5 在 x ? ______时取得极大值______,在 x ? ______时取得极小值______. 跟踪训练 1:函数 f ( x) ? x3 ? 2x2 ? 3 在 ? ?1,1? 上的最大值是______,与最小值是______. 跟踪训练 2:函数 y ? x ? x(x≥0) 的最大值为______.

命题方向 4:导数与零点,恒成立问题
零点定理: 若函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上满足 f (a) ? f (b) ? 0 , 则 f ( x) 在区间 [a, b] 上是至少有一个零点. (即 f ( x) ? 0 在区间 [a, b] 上是至少有一个解) 例 1.判断函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 2) ? x 在 [1,3] 上是否存在零点?

55

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跟踪训练:已知 x ? [?1,3] ,且 a≤x ? 4 x ? 4 x ? 1 恒成立,则 a 的最大值为______. 例 2.证明 ln x ? x( x ? 0) 恒成立.
4 3 2

1 跟踪训练:已知函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 2x ? c ,若对于 x ? [?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c 2 恒成立,求 c 的取值范 2 围.

命题方向 5:综合应用
例 1.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ,过曲线 y ? f ( x) 上的点 P(1, f (1)) 的切线方程为 y ? 3x ? 1 . (1)若函数 f ( x) 在 x ? ?2 处有极值,求 f ( x) 的表达式; (2)在(1)的条件下,求函数 y ? f ( x) 在[-3,1]上的最大值; (3)若函数 y ? f ( x) 在区间 ? ?2,1? 上单调递增,求实数 b 的取值范围.

跟踪训练 1:已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx3 ? 3(m ? 1) x2 ? nx ? 1 (m ? 0) 的一个极值点. (1)求 m 与 n 的关系式; (2)求 f ( x) 的单调区间; (3)当 x ? [?1,1] 时, 函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m ,求 m 的取值范围.

1? x ? ln x . ax (1)若函数 f ( x) 在 [1, ??) 上为增函数,求正实数 a 的取值范围; 1 (2)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值和最小值; 2 1 1 1 1 (3)当 a ? 1 时,求证对大于 1 的任意正整数 n , ln n ? ? ? ? ??? ? . 2 3 4 n
跟踪训练 2:已知函数 f ( x) ?

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随堂测试
1.曲线 y ? e2 x ? 1在点(0,2)处的切线与直线 y ? 0 和 y ? x 围成的三角形的面积为( A. ) D.1

1 3

B.

1 2

C.

2 3
)
2 2

2.曲线 y ? A. ?

sin x 1 ? ? 在点 M ( ,0) 处的切线的斜率为( sin x ? cos x 2 4
B.

1 2

1 2

C. ?

D.

2 2

3.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1, a ? R . (1)讨论函数 f ( x) 的单调区间;

2 1 (2)设函数 f ( x) 在区间 [? , ? ] 内是减函数,求 a 的取值范围 3 3

课下巩固
1.函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x ? 9 在 x ? ?3 时取得极值,则 a ? ______. 2.若曲线 y ? h( x) 在点 (a, h(a)) 处切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 ,那么( A. h?(a) ? 0 C. h?(a) ? 0 B. h?(a) ? 0 D. h?(a ) 的符号不定 )

3.曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 6x ? 4 的所有切线中,斜率最小的切线的方程是______. 4.已知函数 y ? 3x3 ? 2x2 ? 1 在区间 ( m, 0) 上为减函数,则 m 的取值范围是______. 5.已知函数 f ( x) ?
2x ? b ,求导函数 f ?( x) ,并确定 f ( x) 的单调区间. ( x ? 1) 2

57

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6.已知 f ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? a ( a 为常数)在 [?2, 2] 上有最大值是 3,那么 [?2, 2] 在上的最小值是______. 7.已知函数 y ? ? x2 ? 2x ? 3 在区间 [a, 2] 上的最大值为

15 ,则 a ? ______. 4

8.若 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3(a ? 2) x ? 1 既有极大值又有极小值,求 a 的取值范围.

9.若函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 有 3 个不同的零点,求实数 a 的取值范围.

10.是否存在实数 m ,使得函数 f ( x) ? ? x2 ? 8x 与 g ( x) ? 6ln x ? m 的图像有且只有三个不同的交点?若 存在求出 m 的范围,若不存在说明理由.

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1 3 11.已知平面向量 a ? ( 3, ?1), b ? ( , ) . 2 2

(1) 若存在不同时为零的实数 k 和 t , 使 x ?a ? t( 2? 3 ) b,y ?? ka ? tb (2)据(1)的结论,讨论关于 t 的方程 f (t ) ? k ? 0 的解的情况.

,x ? y , 试求函数关系式 k ? f (t ) ;

12.设 a ? 0 函数 f ( x) ? x3 ? ax 在 [1, ??) 上是单调函数. (1)求实数 a 的取值范围; (2)设 x0≥1, f ( x)≥ 1 ,且 f ( f ( x0 )) ? x0 ,求证: f ( x0 ) ? x0 .

3 13.已知 a 为实数,函数 f ( x) ? ( x2 ? )( x ? a) . 2 (1)若函数 f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,求 a 的取值范围;
(2)若 f ?(?1) ? 0 ,求函数 f ( x) 的单调区间.

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选修内容巩固与综合复习(期末)
圆锥曲线重难点题型
1. 如图所示,F2 为圆 F1 内一定点, Q 为圆 F1 上的动点, 连接 QF1 , QF2 , 作 QF2 的垂直平分线 MP 1 点 P 为与 QF1 的交点,则点 P 轨迹为( A.圆 C.双曲线的一支 2.如图所示,椭圆 B.椭圆 D.抛物线 )

x2 y 2 ? ? 1 的焦点 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若线段 PF1 中 12 3 点在 y 轴上,则 PF1 : ) PF2 的比值为(
A.5:1 C.9:2 B.7:1 D.8:3

3.若方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 m 的取值范围是( | m | ?1 m ? 2



A. m ? 2 C. ?1 ? m ? 2

B. m ? 1 或 m ? 2 D. ? 1 ? m ? 1 或 m ? 2

4.如图所示,设 O 是坐标原点, F 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦 点,A 是抛物线上的一点,FA 与 x 轴正向的夹角为 60 , 则 OA 为 ( ) A. 21 p 4 C.
13 p 6

B.

21 p 2

D. 13 p 36

A ? F B ? F C 5. 设 F 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, A、 B、 C 为该抛物线上三点, 若 FA ? FB ? FC ? 0 , 则F

?



B .6 C .4 D.3 x2 y 2 6.双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y ? x2 ? 1 只有一个公共点,则双曲线的离心率是______. a b x2 y 2 7.(2012?四川)椭圆 ? F,直线 ? 1 的左焦点为(图 8) x ? m 与椭圆相交于点 A,B,当△ FAB 的周长最 4 3 大时,△ FAB 的面积是______.

) A.9

60

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8.(2010?重庆)已知以 F 为焦点的抛物线 y 2 ? 4 x 上的两点 A,B 满足 AF ? 3FB , 则 弦 AB 的 中 点 到 准 线 的 距 离 为 ______. 9. (2012?江苏) 在平面直角坐标系 xOy 中, 若双曲线 10.(2008?安徽)已知双曲线

x2 y2 则 m 的值为______. ? 2 ? 1 的离心率为 5 , m m ?4

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则 n ? ______. n 12 ? n x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,线段 F1F2 被抛物线 a 2 b2

11.(2013?淄博二模)若双曲线

y 2 ? 2bx 的焦点分成 5:3 两段,则此双曲线的离心率为______.
? 3? 12.(2009?辽宁)已知,椭圆 C 过点 A ? 1, ? ,两个焦点为 ? ?1,0?, ?1,0? . ? 2?

(1)求椭圆 C 的方程; (2)E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的斜率 为定值,并求出这个定值.

13. (2008?天津) 已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 F1 ? ?3,0 ? , 一条渐近线的方程是 5x ? 2 y ? 0 . ( 1 )求双曲线 C 的方程; ( 2 )若以 k ? k ? 0? 为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M,N,且线段 MN 的垂直平分线与 两坐标轴围成的三角形的面积为

81 ,求 k 的取值范围. 2

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?1 ? 14. (2013?怀化二模) 在直角坐标平面内,y 轴右侧的一动点 P 到点 ? , 0 ? 的距离比它到 y 轴的距离大. ?2 ?

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设 Q 为曲线 C 上的一个动点,点 B,C 在 y 轴上,若△ QBC 为圆 ? x ? 1? ? y 2 ? 1 的外切三角形,求
2

△ QBC 面积的最小值.

导数重难点题型
1.(2011?德阳二模)函数 f ? x ? 在 R 上可导, x ? ? 0, ?? ? 时 f ? ? x ? ? 0 ,且函数 y ? f ? x ? 为偶函数,则 不等式 f ? 2 x ? 1? ? f ? 3? 的解集为______. 2 . ( 2011? 安 徽 模 拟 ) 已 知 函 数 f ? x ? ? sin x ?

x 的 导 数 为 f ?? x? , 且 f ?? x? 的 最 大 值 为 b , 若 2

g ? x? ? 2 l n x? 2b2x ? k在 x ?1, ?? ? 上单调递减,则实数 k 的取值范围是______.
3.已知定义在区间(0,+∞)的非负函数 f ? x ? 的导数为 f ? ? x ? ,其满足 xf ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 ,则在 0 ? a ? b 时,下列结论一定正确的是______. ①af ? ? a ? ? bf ? ? b ? ;②af ? a ? ? bf ?b ? ;③bf ? a ? ? af ?b ? ;④bf ? ? a ? ? af ? ? b ? .
1 ? x2 的导数为______. 1 ? x2
? , f n ? x ? ? f n??1 ? x ? n ? N , n≥2 .则

4.函数 y ? ln

5.已知 f1 ? x ? ? sin x ? cos x ,记 f 2 ? x ? ? f1?? x ? , f3 ? x ? ? f 2? ? x ? ,
?? ? ?? ? f1 ? ? ? f 2 ? ? ? ?4? ?4? ?? ? ? f 2010 ? ? =______. ?4?

?

?

6. a 为实数,函数 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? ? a ? 2? x 的导函数是 f ? ? x ? , f ? ? x ? 是偶函数, a =______.

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7.(2012?湖北)函数 f ? x ? ? x cos x2 在区间[0,4]上的零点个数为( A.4 B.5 C.6 ) D.7 )

8.(2013?营口二模)若函数 f ? x ? ? x3 ? 3x ? m 有三个不同的零点,则实数 m 的取值范围是( A. (1,+∞) B. ( ? ∞ , ? 1) C.[ ? 2,2]

D. ( ? 2,2) )

9.已知实数 a, b, c, d 成等比数列,且曲线 y ? 3x ? x3 的极大值点的坐标为 ? b, c ? ,则 ad 等于( A.2 B.1 C. ? 1 2 10.(2012?南宁)设函数 f ? x ? ? x ? a ln ?1 ? x ? 有两个极值点 x1,x2 ,且 x1 ? x2 . (1)求 a 的取值范围,并讨论 f ? x ? 的单调性; (2)证明: f ? x2 ? ? D. ? 2

1 ? 2ln 2 . 4

11. (2013?浙江)已知 a ? R ,函数 f ? x ? ? x3 ? 3x2 ? 3ax ? 3a ? 3 . (1)求曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线方程; (2)当 x ? ?0,2? 时,求 f ? x ? 的最大值.

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高二上学期期末测试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.在等差数列 a n 中,已知 a1 ? a3 ? a11 ? 6 那么 S9 ? ( B .8 2a ? a2 2.已知等比数 a n 列其公比为 2,则 1 的值为( 2a3 ? a4 A. A.2 ) C.18 ) C. ) C. a ? b ? c ) C. a ? b D.与 x 有关 D. c ? b ? a D.36

1 4

B.

1 2

1 8

D.2

3.已知 a, b, c ? R ? ,若 A. c ? a ? b A. a ? b

c a b ,则( ? ? a?b b?c c?a
B. b ? c ? a B. a ? b

4.设 a ? x2 ? 4 x ? 5 , b ? 2 x ? 4 ,则 a 与 b 的大小关系为(

? x ? y≥0 ? 5.若动点 P( x, y ) 适合区域 ? x ? y≥1 ,则 y ? 3x 的最大值为( ?2 x ? y ? 2≤0 ?



A. ? 1

B. ? 3

C. ? 4

D.2

6.我国于 07 年 10 月 24 日成功发射嫦娥一号卫星,并经四次变轨飞向月球.嫦娥一号绕地球运行的轨 迹是以地球的地心为焦点的椭圆.若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为 m ,远地点到地心的距 离为 n ,第二次变轨后两距离分别为 2 m , 2 n (近地点是指卫星距离地面最近的点,远地点是距离地面 最远的点) ,则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率( A.不变 7.如果方程 B.变小 C.变大 ) D. (1,2) ) D.无法确定

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 m 的取值范围是( m ? 2 m ?1
B. ( ? 2, ? 1)

A. (2,+∞)

C. ( ? ∞, ? 1) )

8.已知抛物线的准线方程为 x ? 7 ,则抛物线的标准方程为( A. y 2 ? 28x 9.曲线 y ? B. x2 ? 28 y )

C. y 2 ? ?28x

D. x2 ? ?28 y

x 在点 ? ?1, ?1? 处的切线方程为( x?2 A. y ? 2 x ? 1 B. y ? 2 x ? 1

C. y ? ?2 x ? 3

D. y ? ?2 x ? 2

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10.等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a8 ? 4 ,函数 f ? x ? ? x ? x ? a1 ?? x ? a2 ? A. 2 6 B. 2 9 C. 212

? x ? a8 ? ,则 f ' ? 0 ? ? (
D. 215

)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.等差数列前 m 项和为 30,前 2 m 项和为 100,则它的前 3m 项和为______. 12.若关于 x 的不等式 a ≥ x ? 1 ? x ? 2 存在实数解,则实数 a 的取值范围是______. 13.已知△ABC 中, a ? 2 , b ? 3 , ?B ? 60? ,那么 ?A 等于______. 14.已知点 O 为原点, A, B 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1? m ? 0, n ? 0? 上两点,且 AO ? ? BO ,则 ? ? ______. m2 n2

15.在△ABC 中,如果 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4 ,那么 cos C 等于______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (本小题满分 12 分)在数列 {an } 中,已知 a1 ? 1 有 nan?1 ? ? n ? 1? an ? n≥2? ,求数列 {an } 的通项公式.

17. (本小题满分 12 分)数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ?

2an ,求 {an } 的通项公式. an ? 2

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18. (本小题满分 12 分)设 a ? 0, b ? 0 ,求证:

b a ? ≥a ? b . a b

2

2

19. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,已知边 c ? 10 ,又知

cos A b 4 ? ? ,求边 a , b 的长. cos B a 3

20. (本小题满分 13 分)过椭圆 直线的方程.

x2 y 2 ? ? 1 内一点 M (2,1) 引一条弦,使弦被 M 点平分,求这条弦所在 16 4

1 21. (本小题满分 14 分)设函数 f ? x ? ? x3 ? ?1 ? a ? x2 ? 4ax ? 24a ,其中常数 a ? 1 . 3
(1)讨论 f ? x ? 的单调性; (2)若当 x≥0 时, f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

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