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【组卷】2015年空间几何练习


2015 年 05 月 21 日 1520946871 的高中数学组卷
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一.解答题(共 19 小题)

1. (2015?盐城校级二模)如图,过四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 形木块上底面内的一 点 P 和下底面的对角线 BD 将木块锯开,得到截面 BDEF. (1)请在木块的上表面作出过 P

的锯线 EF,并说明理由; (2) 若该四棱柱的底面为菱形, 四边形 BB1D1D 是矩形, 试证明: 平面 BDEF⊥ 平面 A1C1CA.

2. (2015?徐汇区一模)如图所示,某传动装置由两个陀螺 T1,T2 组成,陀螺之间 没有滑动. 每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成, 每个圆柱的底面半径和高 都是相应圆锥底面半径的 ,且 T1,T2 的轴相互垂直,它们相接触的直线与 T2 的轴所成角 θ=arctan .若陀螺 T2 中圆锥的底面半径为 r(r>0) . (1)求陀螺 T2 的体积; (2)当陀螺 T2 转动一圈时,陀螺 T1 中圆锥底面圆周上一点 P 转动到点 P1,求 P 与 P1 之间 的距离.

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3. (2015?福建模拟)某机器零件是如图所示的几何体(实心) ,零件下面是边长为 10cm 的正方体,上面是底面直径为 4cm,高为 10cm 的圆柱. (Ⅰ )求该零件的表面积; (Ⅱ )若电镀这种零件需要用锌,已知每平方米用锌 0.11kg,问制造 1000 个这样 的零件,需要锌多少千克?(注:π 取 3.14)

4. (2015?上海模拟)如图:将圆柱的侧面沿母线 AA1 展开,得到一个长为 2π,宽 AA1 为 2 的矩形. (1)求此圆柱的体积; (2)由点 A 拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达 A1,求绳长的最小值(绳粗忽略不计) .

5. (2015?雅安模拟)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,∠ ADC=90°,CD∥ AB,AB=4, AD=CD=2.将△ ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥ 平面 ABC,得到几何体 D﹣ABC,如图 2 所示. (Ⅰ )求证:BC⊥ 平面 ACD; (Ⅱ )求几何体 D﹣ABC 的体积.

6. (2015?济宁一模)如图,已知四边形 ABCD 和 BCEG 均为直角梯形,AD∥ BC, CE∥ BG,且∠ BCD=∠ BCE= ,平面 ABCD⊥ 平面 BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2.求证:

(Ⅰ )EC⊥ CD; (Ⅱ )求证:AG∥ 平面 BDE;
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(Ⅲ )求:几何体 EG﹣ABCD 的体积.

7. (2015?张掖二模)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥ 底面 ABC,且△ ABC 为正三角形,AA1=AB=6,D 为 AC 的中点. (1)求证:直线 AB1∥ 平面 BC1D; (2)求证:平面 BC1D⊥ 平面 ACC1A; (3)求三棱锥 C﹣BC1D 的体积.

8. (2015?商丘一模)如图所示,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面是直角梯形 ABCD, 其中 AD⊥ AB, CD∥ AB, AB=4, CD=2, 侧面 PAD 是边长为 2 的等边三角形, 且与底面 ABCD 垂直,E 为 PA 的中点. (1)求证:DE∥ 平面 PBC; (2)求三棱锥 A﹣PBC 的体积.

9. (2015?赤峰模拟)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,B1B=B1A=AB=BC=2, ∠ B1BC=90°,D 为 AC 的中点,AB⊥ B1D. (Ⅰ )求证:平面 ABB1A1⊥ 平面 ABC; (Ⅱ )求三棱锥 C﹣BB1D 的体积.
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10. (2015?陕西模拟)已知几何体 A﹣BCED 的三视图如图所示,其中俯视图和侧 视图都是腰长为 4 的等腰直角三角形,正视图为直角梯形. (1)求此几何体的体积 V 的大小; (2)求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值; (3)试探究在 DE 上是否存在点 Q,使得 AQ⊥ BQ 并说明理由.

11. (2015?漳州一模) 在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, E, F 分别为 A1D1 和 CC1 的中点. (Ⅰ )求证:EF∥ 平面 ACD1; (Ⅱ )求异面直线 EF 与 AB 所成的角的余弦值; (Ⅲ )在棱 BB1 上是否存在一点 P,使得二面角 P﹣AC﹣B 的大小为 30°?若存在,求出 BP 的长;若不存在,请说明理由.

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12. (2015?长宁区一模)如图:三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥ 底面 ABC,若底面 ABC 是 边长为 2 的正三角形,且 PB 与底面 ABC 所成的角为 .若 M 是 BC 的中点,求:

(1)三棱锥 P﹣ABC 的体积; (2)异面直线 PM 与 AC 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) .

13. (2015?贵州模拟)如图,几何体 EF﹣ABCD 中,CDEF 为边长为 2 的正方形, ABCD 为直角梯形,AB∥ CD,AD⊥ DC,AD=2,AB=4,∠ ADF=90°. (1)求异面直线 DF 和 BE 所成角的大小; (2)求几何体 EF﹣ABCD 的体积.

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14. (2015?上海模拟)已知圆锥母线长为 6,底面圆半径长为 4,点 M 是母线 PA 的 中点,AB 是底面圆的直径,底面半径 OC 与母线 PB 所成的角的大小等于 θ. (1)当 θ=60°时,求异面直线 MC 与 PO 所成的角; (2)当三棱锥 M﹣ACO 的体积最大时,求 θ 的值.

15. (2015?湖南模拟)如图,已知四棱锥的侧棱 PA⊥ 底面 ABCD,且底面 ABCD 是 直角梯形,AD⊥ CD,AB∥ CD,AB=AD= CD=2,点 M 在侧棱上. (1)求证:BC⊥ 平面 BDP; (2)若侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值为 ,点 M 为侧棱 PC 的中点,求异面直线 BM 与 PA 所成角的余弦值.

16. (2015?徐汇区二模)如图,在 Rt△ AOB 中,∠ OAB=

,斜边 AB=4,D 是 AB

的中点.现将 Rt△ AOB 以直角边 AO 为轴旋转一周得到一个圆锥,点 C 为圆锥底面圆周上 的一点,且∠ BOC= .

(1)求该圆锥的全面积; (2)求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)

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17. (2015?闵行区一模) 如图, 在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, ∠ ACB=90°, AC=BC=2, 三棱锥 A1﹣ABC 的体积为 , 求直线 A1B 与 CC1 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) .

18. (2015?上海模拟)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥ 底 面 ABCD,E 是 PC 的中点,已知 PA=AB=2,AD=2 (1)△ PCD 的面积; (2)异面直线 BC 与 AE 所成角的大小. ,求

19. (2015?上海模拟)如图,从棱长为 6cm 的正方体铁皮箱 ABCD﹣A1B1C1D1 中分 离出来由三个正方形面板组成的几何图形. (1)记 CC1 的中点为 E,求异面直线 EB1 与 A1C1 所成角的大小; 3 (2)如果用图示中这样一个装置来盛水,那么最多能盛多少 cm 体积的水.

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2015 年 05 月 21 日 1520946871 的高中数学组卷
参考答案与试题解析

一.解答题(共 19 小题) 1. (2015?盐城校级二模)如图,过四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 形木块上底面内的一点 P 和 下底面的对角线 BD 将木块锯开,得到截面 BDEF. (1)请在木块的上表面作出过 P 的锯线 EF,并说明理由; (2) 若该四棱柱的底面为菱形, 四边形 BB1D1D 是矩形, 试证明: 平面 BDEF⊥ 平面 A1C1CA.

考点: 棱柱的结构特征;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;立体几何. 分析: (1)此题实际上是在平面 A1B1C1D1 形上找到过点 P 的线段 EF,EF∥ BD;
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(2)欲证明平面 BDEF⊥ 平面 A1C1CA,只需证得 BD⊥ 平面 A1C1CA. 解答: 解: (1)在上底面内过点 P 作 B1D1 的平行线分别交 A1D1、A1B1 于 F、E 两点,则 EF 即为所作的锯线. 在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,侧棱 BB1∥ DD1,且 BB1=DD1, 所以四边形 BB1D1D 是平行四边形,B1D1∥ BD. 又平面 ABCD∥ 平面 A1B1C1D1,平面 BDFE∩ 平面 ABCD=BD,平面 BDFE∩ 平面 A1B1C1D1=EF, 所以 EF∥ BD, 从而 EF∥ B1D1; (2)证明:由于四边形 BB1D1D 是矩形,所以 BD⊥ B1B. 又 A1A∥ B1B, ∴ BD⊥ A1A. 又四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形, ∴ BD⊥ AC. ∵ AC∩ A1A=A,AC?平面 A1C1CA,A1A?平面 A1C1CA, ∴ BD⊥ 平面 A1C1CA. ∵ BD?平面 BDFE, ∴ 平面 BDFE⊥ 平面 A1C1CA.

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点评: 本题考查了棱柱的结构特征和平面与平面垂直的判定.解题时利用了“如果一个平面 经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直”证得(2)的结论. 2. (2015?徐汇区一模) 如图所示, 某传动装置由两个陀螺 T1, T2 组成, 陀螺之间没有滑动. 每 个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成, 每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥 底面半径的 ,且 T1,T2 的轴相互垂直,它们相接触的直线与 T2 的轴所成角 θ=arctan .若 陀螺 T2 中圆锥的底面半径为 r(r>0) . (1)求陀螺 T2 的体积; (2)当陀螺 T2 转动一圈时,陀螺 T1 中圆锥底面圆周上一点 P 转动到点 P1,求 P 与 P1 之间 的距离.

考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) ;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)设陀螺 T2 圆锥的高为 h,可得 ,进而可得陀螺 T2 圆柱的底面半径和高为
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,进而求出陀螺 T2 的体积; (2)设陀螺 T1 圆锥底面圆心为 O,可得 角,进而可得 P 与 P1 之间的距离. 解答: 解: (1)设陀螺 T2 圆锥的高为 h, 则 , ,进而利用弧长公式,求出圆心

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得陀螺 T2 圆柱的底面半径和高为 ,

(2)设陀螺 T1 圆锥底面圆心为 O,







在△ POP1 中, 点评: 本题考查的知识点是旋转体的体积公式,弧长公式,是三角函数与空间几何的综合应 用,难度中档. 3. (2015?福建模拟)某机器零件是如图所示的几何体(实心) ,零件下面是边长为 10cm 的 正方体,上面是底面直径为 4cm,高为 10cm 的圆柱. (Ⅰ )求该零件的表面积; (Ⅱ )若电镀这种零件需要用锌,已知每平方米用锌 0.11kg,问制造 1000 个这样 的零件,需要锌多少千克?(注:π 取 3.14)

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考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) ;组合几何体的面积、体积问题. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (I)分别求出一个底座正方体的表面积以及上面圆柱的表面积,然后求出一个零件 的表面积, (II)利用每平方米用锌 0.11kg,求出所用锌的总数. 解答: 解: (Ⅰ )零件的表面积 S=6×10×10+4×3.14×10…(4 分)
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=725.6(cm ) 2 =0.07256m . 2 该零件的表面积 0.07256m . (Ⅱ )电镀 1000 个这种零件需要用的锌为 0.07256×0.11×1000…(8 分) =7.9816(kg) . 所以制造 1000 个这样的零件,需要锌 7.9816 千克.…(10 分) 点评: 题考查了组合体的表面积求法,实质是求棱柱和圆柱的表面积,注意计算要细心、准 确,属于基础题. 4. (2015?上海模拟)如图:将圆柱的侧面沿母线 AA1 展开,得到一个长为 2π,宽 AA1 为 2 的矩形. (1)求此圆柱的体积; (2)由点 A 拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达 A1,求绳长的最小值(绳粗忽略不计) .

2

考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: (1)利用将圆柱的侧面沿母线 AA1 展开,得到一个长为 2π,宽 AA1 为 2 的矩形, 求出圆柱的底面半径、高,再求出此圆柱的体积;
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(2)设 AA1 中点为 B,侧面展开图矩形为 ACC1A1,CC1 中点为 B1.则绳长的最小 值即为侧面展开图中的 AB1+BC1. 解答: 解: (1)设圆柱的底面半径为 r,高为 h,则 2πr=2π,h=2, ∴ r=1,h=2,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分) ∴ V=πr h=2π﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) (2)设 AA1 中点为 B,侧面展开图矩形为 ACC1A1,CC1 中点为 B1.则绳长的最小 值即为侧面展开图中的 AB1+BC1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分) AB1=BC1= ∴ 绳长的最小值为 2 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分) .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)
2

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点评: 本题考查棱柱的结构特征,空间想象能力,几何体的展开与折叠,体现了转化(空间 问题转化为平面问题,化曲为直)的思想方法. 5. (2015?雅安模拟) 如图 1, 在直角梯形 ABCD 中, ∠ ADC=90°, CD∥ AB, AB=4, AD=CD=2. 将 △ ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥ 平面 ABC,得到几何体 D﹣ABC,如图 2 所示. (Ⅰ )求证:BC⊥ 平面 ACD; (Ⅱ )求几何体 D﹣ABC 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ )解法一:由题中数量关系和勾股定理,得出 AC⊥ BC,再证 BC 垂直与平面 ACD 中的一条直线即可,△ ADC 是等腰 Rt△ ,底边上的中线 OD 垂直底边,由面面垂直的 性质得 OD⊥ 平面 ABC,所以 OD⊥ BC,从而证得 BC⊥ 平面 ACD; 解法二:证得 AC⊥ BC 后,由面面垂直,得线面垂直,即证. (Ⅱ ) ,由高和底面积,求得三棱锥 B﹣ACD 的体积即是几何体 D﹣ABC 的体积. 解答: 解: (Ⅰ ) 2 2 2 【解法一】 :在图 1 中,由题意知, ,∴ AC +BC =AB ,∴ AC⊥ BC 取 AC 中点 O,连接 DO,则 DO⊥ AC,又平面 ADC⊥ 平面 ABC, 且平面 ADC∩ 平面 ABC=AC,DO?平面 ACD,从而 OD⊥ 平面 ABC, ∴ OD⊥ BC
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又 AC⊥ BC,AC∩ OD=O, ∴ BC⊥ 平面 ACD 2 2 2 【解法二】 :在图 1 中,由题意,得 ,∴ AC +BC =AB ,∴ AC⊥ BC ∵ 平面 ADC⊥ 平面 ABC,平面 ADC∩ 平面 ABC=AC,BC?面 ABC,∴ BC⊥ 平面 ACD (Ⅱ )由(Ⅰ )知,BC 为三棱锥 B﹣ACD 的高,且 所以三棱锥 B﹣ACD 的体积为: 由等积性知几何体 D﹣ABC 的体积为: . ,S△ACD= ×2×2=2, ,

点评: 本题通过平面图形折叠后得立体图形,考查空间中的垂直关系,重点是“线线垂直, 线面垂直,面面垂直”的转化;等积法求体积,也是常用的数学方法.
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6. (2015?济宁一模)如图,已知四边形 ABCD 和 BCEG 均为直角梯形,AD∥ BC,CE∥ BG, 且∠ BCD=∠ BCE= ,平面 ABCD⊥ 平面 BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2.求证:

(Ⅰ )EC⊥ CD; (Ⅱ )求证:AG∥ 平面 BDE; (Ⅲ )求:几何体 EG﹣ABCD 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ ) 利用面面垂直的性质, 证明 EC⊥ 平面 ABCD, 利用线面垂直的性质证明 EC⊥ CD; (Ⅱ )在平面 BCEG 中,过 G 作 GN⊥ CE 交 BE 于 M,连 DM,证明四边形 ADMG 为 平行四边形,可得 AG∥ DM,即可证明 AG∥ 平面 BDE; (Ⅲ )利用分割法即可求出几何体 EG﹣ABCD 的体积. 解答: (Ⅰ )证明:由平面 ABCD⊥ 平面 BCEG, 平面 ABCD∩ 平面 BCEG=BC,CE⊥ BC,CE?平面 BCEG, ∴ EC⊥ 平面 ABCD,…(3 分) 又 CD?平面 BCDA,故 EC⊥ CD…(4 分) (Ⅱ )证明:在平面 BCEG 中,过 G 作 GN⊥ CE 交 BE 于 M,连 DM,
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则由已知知;MG=MN,MN∥ BC∥ DA,且



∴ MG∥ AD,MG=AD,故四边形 ADMG 为平行四边形,∴ AG∥ DM…(6 分) ∵ DM?平面 BDE,AG?平面 BDE,∴ AG∥ 平面 BDE…(8 分) (Ⅲ )解: = …(12 分) …(10 分)

点评: 本题考查面面垂直、线面平行,考查几何体体积的计算,考查学生分析解决问题的能 力,正确运用面面垂直、线面平行的判定定理是关键.
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7. (2015?张掖二模)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥ 底面 ABC,且△ ABC 为正三 角形,AA1=AB=6,D 为 AC 的中点. (1)求证:直线 AB1∥ 平面 BC1D; (2)求证:平面 BC1D⊥ 平面 ACC1A; (3)求三棱锥 C﹣BC1D 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)连接 B1C 交 BC1 于点 O,连接 OD,则点 O 为 B1C 的中点.可得 DO 为△ AB1C 中位线,A1B∥ OD,结合线面平行的判定定理,得 A1B∥ 平面 BC1D; (2)由 AA1⊥ 底面 ABC,得 AA1⊥ BD.正三角形 ABC 中,中线 BD⊥ AC,结合线面 垂直的判定定理, 得 BD⊥ 平面 ACC1A1, 最后由面面垂直的判定定理, 证出平面 BC1D⊥ 平面 ACC1A; (3)利用等体积转换,即可求三棱锥 C﹣BC1D 的体积. 解答: (1)证明:连接 B1C 交 BC1 于点 O,连接 OD,则点 O 为 B1C 的中点. ∵ D 为 AC 中点,得 DO 为△ AB1C 中位线, ∴ A1B∥ OD. ∵ OD?平面 AB1C,A1B?平面 AB1C, ∴ 直线 AB1∥ 平面 BC1D; (2)证明:∵ AA1⊥ 底面 ABC, ∴ AA1⊥ BD, ∵ 底面 ABC 正三角形,D 是 AC 的中点 ∴ BD⊥ AC
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∵ AA1∩ AC=A,∴ BD⊥ 平面 ACC1A1, ∵ BD?平面 BC1D,∴ 平面 BC1D⊥ 平面 ACC1A; (3)解:由(2)知,△ ABC 中,BD⊥ AC,BD=BCsin60°=3 ∴ S△BCD= = , ?6=9 .



∴ VC﹣BC1D=VC1﹣BCD= ?

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点评: 本题给出直三棱柱,求证线面平行、面面垂直并探索三棱锥的体积,着重考查了空间 线面平行、线面垂直的判定与性质,考查了锥体体积公式的应用,属于中档题. 8. (2015?商丘一模) 如图所示, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面是直角梯形 ABCD, 其中 AD⊥ AB, CD∥ AB,AB=4,CD=2,侧面 PAD 是边长为 2 的等边三角形,且与底面 ABCD 垂直,E 为 PA 的中点. (1)求证:DE∥ 平面 PBC; (2)求三棱锥 A﹣PBC 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1) (法一)取 PB 的中点 F,连接 EF,CF,由已知得 EF∥ AB,且
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,从而

四边形 CDEF 是平行四边形,由此能证明 DE∥ 平面 PBC. (1) (法二) :取 AB 的中点 F,连接 DF,EF,由已知得四边形 BCDF 为平行四边形, 从而 DF∥ BC,由此能证明 DE∥ 平面 PBC. (2)取 AD 的中点 O,连接 PO,由已知得 PO⊥ 平面 ABCD,由此能求出三棱锥 A﹣ PBC 的体积. 解答: (1)证明: (方法一) :取 PB 的中点 F,连接 EF,CF. ∵ 点 E,F 分别是 PA,PB 的中点 ∴ EF∥ AB,且 又 CD∥ AB,且 ∴ EF∥ CD,且 EF=CD ∴ 四边形 CDEF 是平行四边形,∴ DE∥ CF. 又 DE?平面 PBC,CF?平面 PBC ∴ DE∥ 平面 PBC. (1)证明: (方法二) :取 AB 的中点 F,连接 DF,EF.
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在直角梯形 ABCD 中,CD∥ AB,且 AB=4,CD=2, 所以 BF∥ CD,且 BF=CD. 所以四边形 BCDF 为平行四边形,所以 DF∥ BC. 在△ PAB 中,PE=EA,AF=FB,所以 EF∥ PB. 又 DF∩ EF=F,PB∩ BC=B, 所以平面 DEF∥ 平面 PBC. 因为 DE?平面 DEF,所以 DE∥ 平面 PBC. (2)解:取 AD 的中点 O,连接 PO. 在△ PAD 中,PA=PD=AD=2,所以 PO⊥ AD,PO= 又平面 PAD⊥ 平面 ABCD,平面 PAD∩ 平面 ABCD=AD, 所以 PO⊥ 平面 ABCD,所以 PO 就是三棱锥 P﹣ABC 的高. 在直角梯形 ABCD 中,CD∥ AB,且 AB=4,AD=2,AB⊥ AD, 所以 故 . .

点评: 本题考查直线与平面平行的证明,考查三棱锥的体积的求法,解题时要注意空间思维 能力的培养. 9. (2015?赤峰模拟)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,B1B=B1A=AB=BC=2,∠ B1BC=90°, D 为 AC 的中点,AB⊥ B1D. (Ⅰ )求证:平面 ABB1A1⊥ 平面 ABC; (Ⅱ )求三棱锥 C﹣BB1D 的体积.

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考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ ) 取 AB 中点为 O, 连接 OD, OB1, 证明 AB⊥ 平面 B1OD, 可得 AB⊥ OD, 又 OD⊥ BB1, 因为 AB∩ BB1=B,即可证明平面 ABB1A1⊥ 平面 ABC; (Ⅱ )证明 B1O 即点 B1 到平面 BCD 的距离,即可求三棱锥 C﹣BB1D 的体积. 解答: (Ⅰ )证明:取 AB 中点为 O,连接 OD,OB1. 因为 B1B=B1A,所以 OB1⊥ AB. 又 AB⊥ B1D,OB1∩ B1D=B1, 所以 AB⊥ 平面 B1OD, 因为 OD?平面 B1OD,所以 AB⊥ OD.…(3 分) 由已知,BC⊥ BB1,又 OD∥ BC, 所以 OD⊥ BB1,因为 AB∩ BB1=B, 所以 OD⊥ 平面 ABB1A1. 又 OD?平面 ABC,所以平面 ABC⊥ 平面 ABB1A1. …(6 分) (Ⅱ )解:三棱锥 C﹣BB1D 的体积=三棱锥 B1﹣BCD 的体积 由(Ⅰ )知,平面 ABC⊥ 平面 ABB1A1,平面 ABC∩ 平面 ABB1A1=AB,OB1⊥ AB,OB1? 平面 ABB1A1
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所以 OB1⊥ 平面 ABC, 即 OB1⊥ 平面 BCD, B1O 即点 B1 到平面 BCD 的距离, (9 分) …(11 分) 所以 …(12 分)



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点评: 本题考查平面与平面垂直的证明,考查三棱锥的体积,解题时要认真审题,注意空间 思维能力的合理运用. 10. (2015?陕西模拟)已知几何体 A﹣BCED 的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是 腰长为 4 的等腰直角三角形,正视图为直角梯形. (1)求此几何体的体积 V 的大小; (2)求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值; (3)试探究在 DE 上是否存在点 Q,使得 AQ⊥ BQ 并说明理由.

考点: 异面直线及其所成的角;由三视图求面积、体积. 专题: 证明题;综合题;转化思想. 分析: (1)由该几何体的三视图知 AC⊥ 面 BCED,且 EC=BC=AC=4,BD=1,则体积可以 求得. (2)求异面直线所成的角,一般有两种方法,一种是几何法,其基本解题思路是“异 面化共面,认定再计算”,即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角 形中,结合余弦定理来求.还有一种方法是向量法,即建立空间直角坐标系,利用向 量的代数法和几何法求解. (3)假设存在这样的点 Q,使得 AQ⊥ BQ. 解法一:通过假设的推断、计算可知以 O 为圆心、以 BC 为直径的圆与 DE 相切. 解法二:在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中,也可以建立空间 直角坐标系,设定参量求解.这种解法的好处就是:1、解题过程中较少用到空间几 何中判定线线、 面面、 线面相对位置的有关定理, 因为这些可以用向量方法来解决. 2、
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即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出, 因为只需画个草图以建立坐标系和观察 有关点的位置即可. 以 C 为原点,以 CA,CB,CE 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.设满足 题设的点 Q 存在, 其坐标为 (0, m, n) , 点 Q 在 ED 上, ∴ 存在 λ∈R (λ>0) , 使得 解得 λ=4,∴ 满足题设的点 Q 存在,其坐标为(0, , ) . =λ ,

解答: 解: (1)由该几何体的三视图知 AC⊥ 面 BCED,且 EC=BC=AC=4,BD=1, ∴ S 梯形 BCED= ×(4+1)×4=10 ∴ V= ?S 梯形 BCED?AC= ×10×4= 即该几何体的体积 V 为 .

. (3 分)

(2)解法 1:过点 B 作 BF∥ ED 交 EC 于 F,连接 AF, 则∠ FBA 或其补角即为异面直线 DE 与 AB 所成的角. (5 分) 在△ BAF 中, ∵ AB=4 , BF=AF= =5. ∴ cos∠ ABF= = .

即异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值为

. (7 分)

解法 2:以 C 为原点,以 CA,CB,CE 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 则 A(4,0,0) ,B(0,4,0) ,D(0,4,1) ,E(0,0,4) ∴ =(0,﹣4,3) , ∴ cos< , >=﹣ . =(﹣4,4,0) ,

∴ 异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值为

(3)解法 1:在 DE 上存在点 Q,使得 AQ⊥ BQ. (8 分) 取 BC 中点 O,过点 O 作 OQ⊥ DE 于点 Q,则点 Q 满足题设. (10 分) 连接 EO、OD,在 Rt△ ECO 和 Rt△ OBD 中 ∵ ∴ Rt△ ECO∽ Rt△ OBD ∴ ∠ EOC=∠ OBD ∵ ∠ EOC+∠ CEO=90° ∴ ∠ EOC+∠ DOB=90° ∴ ∠ EOB=90°. (11 分)
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∵ OE= ∴ OQ= 切点为 Q ∴ BQ⊥ CQ =

=2

,OD=

=

=2∴ 以 O 为圆心、以 BC 为直径的圆与 DE 相切.

∵ AC⊥ 面 BCED,BQ?面 CEDB ∴ BQ⊥ AC ∴ BQ⊥ 面 ACQ(13 分) ∵ AQ?面 ACQ ∴ BQ⊥ AQ. (14 分) 解法 2:以 C 为原点,以 CA,CB,CE 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 设满足题设的点 Q 存在,其坐标为(0,m,n) , 则 =(﹣4,m,n) , =(0,m,n﹣4) ,
2

=(0,m﹣4,n) =(0,4﹣m,1﹣n)

∵ AQ⊥ BQ∴ m(m﹣4)+n =0① ∵ 点 Q 在 ED 上,∴ 存在 λ∈R(λ>0) 使得 =λ ,n= ②

∴ (0,m,n﹣4)=λ(0,4,m,1﹣n)?m= ② 代入① 得 ( ﹣4) (
2 2

) =0?λ ﹣8λ+16=0,解得 λ=4 , ) .

∴ 满足题设的点 Q 存在,其坐标为(0,

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点评: 本小题主要考查空间线面关系、面面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识,考 查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算 求解能力. 11. (2015?漳州一模) 在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, E, F 分别为 A1D1 和 CC1 的中点. (Ⅰ )求证:EF∥ 平面 ACD1; (Ⅱ )求异面直线 EF 与 AB 所成的角的余弦值; (Ⅲ )在棱 BB1 上是否存在一点 P,使得二面角 P﹣AC﹣B 的大小为 30°?若存在,求出 BP 的长;若不存在,请说明理由.

考点: 异面直线及其所成的角;直线与平面平行的判定;与二面角有关的立体几何综合题.
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专题: 综合题;转化思想;综合法. 分析: 如图分别以 DA、DC、DD1 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 D﹣ xyz,先写出各点坐标:
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(I)取 AD1 中点 G,则 G(1,0,1) , 证明 与 共线即可;

=(1,﹣2,1) ,又

=(﹣1,2,﹣1) ,

(II)求出两异面直线的方向向量,用数量积公式求夹角余弦即可,易求; (III)假设存在,设出点 P 的空间坐标,根据题设中所给的条件二面角 P﹣AC﹣B 的 大小为 30°利用数量积公式建立关于引入的参数的方程即可, 若求得的参数符合题意, 则说明存在,否则说明不存在. 解答: 解:如图分别以 DA、DC、DD1 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 D﹣xyz,由已知得 D(0,0,0) 、A(2,0,0) 、B(2,2,0) 、 C(0,2,0) 、B1(2,2,2) 、D1(0,0,2) 、E(1,0,2) 、F(0,2,1) . (I)取 AD1 中点 G,则 G(1,0,1) , 由 ∴ 与 , 共线. =(1,﹣2,1) ,又 =(﹣1,2,﹣1) ,

从而 EF∥ CG, ∵ CG?平面 ACD1,EF?平面 ACD1, ∴ EF∥ 平面 ACD1. (6 分) (II)∵ =(0,2,0)∴ =

(III)假设满足条件的点 P 存在,可设点 P(2,2,t) , (0<t≤2) , =(﹣2,2,0) 平面 ACP 的一个法向量为 则 ∴

=(0,2,t) ,

取 = (1, 1,

) ,易知平面 ABC 的一个法向量

=(0,0,2)依题意知

∴ |cos

|=

=

解得 t=



(0,2)∴ 在棱 BB1 上存在一点 P,当 BP 的长为 30°

时,二面角 P﹣AC﹣B 的大小为

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点评: 本题考查用向量法证明线面平行,求异面直线所成的角以及二面角,用向量方法解决 立体几何中的位置关系、夹角及距离问题是空间向量的一个重要运用,学习时注意总 结向量法解立体几何题的规律,此方法也是近几年高考比较热的一个考点. 12. (2015?长宁区一模)如图:三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥ 底面 ABC,若底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,且 PB 与底面 ABC 所成的角为 .若 M 是 BC 的中点,求:

(1)三棱锥 P﹣ABC 的体积; (2)异面直线 PM 与 AC 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) .

考点: 异面直线及其所成的角;棱柱、棱锥、棱台的体积. 分析: (1)欲求三棱锥 P﹣ABC 的体积,只需求出底面积和高即可,因为底面 ABC 是边长
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为 2 的正三角形,所以底面积可用

来计算,其中 a 是正三角形的边长,

又因为 PA⊥ 底面 ABC,所以三棱锥的高就是 PA 长,再代入三棱锥的体积公式即可. (2)欲求异面直线所成角,只需平移两条异面直线中的一条,是它们成为相交直线 即可,由 M 为 BC 中点,可借助三角形的中位线平行于第三边的性质,做出△ ABC 的 中位线,就可平移 BC,把异面直线所成角转化为平面角,再放入△ PMN 中,求出角 即可. 解答: 解: (1)因为 PA⊥ 底面 ABC,PB 与底面 ABC 所成的角为 所以
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因为 AB=2,所以

(2)连接 PM,取 AB 的中点,记为 N,连接 MN,则 MN∥ AC 所以∠ PMN 为异面直线 PM 与 AC 所成的角 计算可得: ,MN=1,

异面直线 PM 与 AC 所成的角为

点评: 本题主要考查了在几何体中求异面直线角的能力.解题关键再与找平行线,本题主要 通过三角形的中位线找平行线,如果试题的已知中涉及到多个中点,则找中点是出现 平行线的关键技巧. 13. (2015?贵州模拟)如图,几何体 EF﹣ABCD 中,CDEF 为边长为 2 的正方形,ABCD 为直角梯形,AB∥ CD,AD⊥ DC,AD=2,AB=4,∠ ADF=90°. (1)求异面直线 DF 和 BE 所成角的大小; (2)求几何体 EF﹣ABCD 的体积.

考点: 异面直线及其所成的角;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)根据几何体的特征,建立空间直角坐标系,求出向量
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的坐标,利用向量

坐标运算求异面直线所成角的余弦值,可得角的大小; (2)利用几何体的体积 V=VE﹣ABCD+VB﹣CEF,分别求得两个棱锥的底面面积与高, 代入棱锥的体积公式计算. 解答: 解: (1)∵ AD⊥ DF,AD⊥ DC,DC∩ DF=D,∴ AD⊥ 平面 CDF,∴ AD⊥ DE,又四边形 CDEF
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为正方形, ∴ AD,DC,DE 所在直线相互垂直,故以 D 为原点,DA,DC,DE 所在直线 分别为 x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,

可得 D(0,0,0) ,F(0,2,2) ,B(2,4,0) ,E(0,0,2) , ∴ 得 设向量 夹角为 θ,则 . ,

=



∵ 异面直线的夹角范围为 ∴ 异面直线 DF 和 BE 所成的角为

, ;

(2)如图,连结 EC,过 B 作 CD 的垂线,垂足为 N,则 BN⊥ 平面 CDEF,且 BN=2.

∵ VEF﹣ABCD=VE﹣ABCD+VB﹣
ECF=

= .

=



∴ 几何体 EF﹣ABCD 的体积为

点评: 本题考查了异面直线所成角的求法,组合几何体体积的计算,考查了学生的空间想象 能力与运算能力,本题采用了向量法求异面直线所成的角,另外本题也可利用作平行 线,证角,解三角形求角来求.
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14. (2015?上海模拟)已知圆锥母线长为 6,底面圆半径长为 4,点 M 是母线 PA 的中点, AB 是底面圆的直径,底面半径 OC 与母线 PB 所成的角的大小等于 θ. (1)当 θ=60°时,求异面直线 MC 与 PO 所成的角; (2)当三棱锥 M﹣ACO 的体积最大时,求 θ 的值.

考点: 异面直线及其所成的角;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间角. 分析: (1) 过点 M 作 MD⊥ AO, 从而 MD∥ PO, ∠ DMC 即异面直线 MC 与 PO 所成的角; (2) 当三棱锥 M﹣ACO 的体积最大时,其高为 ,只需棱锥底面△ ACO 面积最大,即可, 从而求得 θ 值. 解答: (12 分) 解: (1)连 MO,过 M 作 MD⊥ AO 交 AO 于点 D,连 DC.
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又 PO=

,∴ MD=

.又 OC=4,OM=3.

又 MD∥ PO,∴ ∠ DMC 等于异面直线 MC 与 PO 所成的角或其补角. ∵ MO∥ PB,∴ ∠ MOC=60°或 120°.…(5 分) 当∠ MOC=60°时,∴ MC= . ∴ cos∠ DMC= = ,∴ ∠ DMC=arccos .∴ cos∠ DMC= = ,∴ ∠ DMC=arccos 或 arccos .…(8 分)

当∠ MOC=120°时,∴ MC=

综上异面直线 MC 与 PO 所成的角等于 arccos

(2)∵ 三棱锥 M﹣ACO 的高为 MD 且长为 ,要使得三棱锥 M﹣ACO 的体积最大 只要底面积△ OCA 的面积最大.而当 OC⊥ OA 时,△ OCA 的面积最大.…(10 分) 又 OC⊥ OP,此时 OC⊥ 平面 PAB,∴ OC⊥ PB,θ=90°.…(12 分)

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点评: 本题考查异面直线所成的角,及三棱锥体积最值问题,数中档题. 15. (2015?湖南模拟)如图,已知四棱锥的侧棱 PA⊥ 底面 ABCD,且底面 ABCD 是直角梯 形,AD⊥ CD,AB∥ CD,AB=AD= CD=2,点 M 在侧棱上. (1)求证:BC⊥ 平面 BDP; (2)若侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值为 ,点 M 为侧棱 PC 的中点,求异面直线 BM 与 PA 所成角的余弦值.

考点: 异面直线及其所成的角;直线与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)证明 BD⊥ BC,PD⊥ BC,即可证明 BC⊥ 平面 BDP; (2)取 PD 中点为 N,并连结 AN,MN,则∠ PAN 即异面直线 BM 与 PA 所成角,在 △ PAN 中,利用余弦定理,即可求出异面直线 BM 与 PA 所成角的余弦值. 2 2 2 解答: (1)证明:由已知可算得 ,∴ BD +BC =16=DC , 故 BD⊥ BC, 又 PD⊥ 平面 ABCD,BC?平面 ABCD,故 PD⊥ BC, 又 BD∩ PD=D,所以 BC⊥ 平面 BDP;…6 分 (2)解:如图,取 PD 中点为 N,并连结 AN,MN,BM∥ AN, 则∠ PAN 即异面直线 BM 与 PA 所成角; 又 PA⊥ 底面 ABCD,∴ ∠ PCD 即为 PC 与底面 ABCD 所成角,
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,∴

,即



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,则在△ PAN 中, .…12 分.



即异面直线 BM 与 PA 所成角的余弦值为

点评: 本题考查线面垂直, 考查异面直线 BM 与 PA 所成角的余弦值, 考查学生的计算能力, 考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 16. (2015?徐汇区二模) 如图, 在 Rt△ AOB 中, ∠ OAB=

, 斜边 AB=4, D 是 AB 的中点. 现

将 Rt△ AOB 以直角边 AO 为轴旋转一周得到一个圆锥,点 C 为圆锥底面圆周上的一点,且 ∠ BOC= .

(1)求该圆锥的全面积; (2)求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)

考点: 异面直线及其所成的角;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)求出圆锥底面半径,圆锥的侧面积 S 侧,然后求解圆锥的全面积. (2)过 D 作 DM∥ AO 交 BO 于 M,连 CM,说明∠ CDM 为异面直线 AO 与 CD 所成 角,在 Rt△ CDM 中,求解异面直线 AO 与 CD 所成角的大小. 解答: 解: (1)Rt△ AOB 中,OB=2 即圆锥底面半径为 2
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圆锥的侧面积 S 侧=πrl=8π….4’ 故圆锥的全面积 S 全=S 侧+S 底=8π+4π=12π….6’ (2)过 D 作 DM∥ AO 交 BO 于 M,连 CM 则∠ CDM 为异面直线 AO 与 CD 所成角….8’ ∵ AO⊥ 平面 OBC∴ DM⊥ 平面 OBC∴ DM⊥ MC
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在 Rt△ AOB 中, ∴ , ∵ D 是 AB 的中点∴ M 是 OB 的中点, ∴ OM=1∴ . 在 Rt△ CDM 中, ∴ , ….12’ ,….10’

即异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为

点评: 本题考查异面直线所成角的求法,几何体的全面积的求法,考查空间想象能力以及计 算能力. 17. (2015?闵行区一模)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠ ACB=90°,AC=BC=2,三 棱锥 A1﹣ABC 的体积为 ,求直线 A1B 与 CC1 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) .

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 立体几何. 分析: 先通过图形便可知道∠ A1AB 便是直线 A1B 与 CC1 所成角,通过三棱锥的体积公式及 直三棱柱的特点可求出 AA1,而 AB 又可通过已知条件求出,所以在 RtABA1 中可求 tan∠ AA1B,从而可用反正切表示出∠ AA1B. 解答: 解:根据已知条件 ;
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∴ AA1=4; 又 AB= ; AA1⊥ AB; ∴ 在 Rt△ ABA1 中 tan ; ∵ AA1∥ CC1; ∴ ∠ AA1B 是直线 A1B 和 CC1 所成角,并且该角为 . ;

点评: 考查直三棱柱的侧棱和底面垂直,线面垂直的性质,棱锥的体积公式,异面直线所成 角的定义及求解方法与过程.
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18. (2015?上海模拟)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥ 底面 ABCD, E 是 PC 的中点,已知 PA=AB=2,AD=2 ,求 (1)△ PCD 的面积; (2)异面直线 BC 与 AE 所成角的大小.

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)运用线面垂直的判定和性质定理,可得 CD⊥ PD,运用勾股定理求出 PD,再由 三角形的面积公式计算即可得到; (2)连接 AC,DE.由 AD∥ BC,则有∠ DAE 即为异面直线 BC 和 AE 所成的角.分 别求得 AE,DE,判断△ ADE 为等腰直角三角形,即可得到∠ DAE. 解答: 解: (1)在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥ 底面 ABCD, 则 PA⊥ CD, 由于底面 ABCD 是矩形, 即有 AD⊥ CD, 则 CD⊥ 平面 PAD, 即有 CD⊥ PD, 由 PA=2,AD=2 ,PA⊥ AD,
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由勾股定理可得 PD= 则有 ;

=



(2)连接 AC,DE. 由 AD∥ BC,则∠ DAE 即为异面直线 BC 和 AE 所成的角. 在直角三角形 PCD 中,DE= PC, 在直角三角形 PAC 中,AE= PC, 由于 AC= 则 PC= = = =2 =4, ,AE=DE=2,
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在三角形 ADE 中,AD=2 2 2 2 即有 AD =AE +DE .

则有∠ DAE=45°. 即有异面直线 BC 与 AE 所成角为 45°.

点评: 本题考查空间直线与平面垂直的判定和性质定理的运用, 考查空间异面直线所成角的 求法,考查推理和运算能力,属于基础题. 19. (2015?上海模拟)如图,从棱长为 6cm 的正方体铁皮箱 ABCD﹣A1B1C1D1 中分离出来 由三个正方形面板组成的几何图形. (1)记 CC1 的中点为 E,求异面直线 EB1 与 A1C1 所成角的大小; 3 (2)如果用图示中这样一个装置来盛水,那么最多能盛多少 cm 体积的水.

考点: 异面直线及其所成的角;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)取 DD1 的中点 F,连 A1F,则∠ FA1C1 为所求的角,然后利用余弦定理求之; (2)最多能盛多少水,实际上是求三棱锥 C1﹣CD1B1 的体积. 解答: 解: (1)取 DD1 的中点 F,连 A1F,则∠ FA1C1 为所求的角 …(2 分) 在△ FA1C1 中,易知:A1C1 为=6 ,FA1=FC1 为=3 ,
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cos∠ FA1C1= 所以∠ FA1C1=arccos ;

=



…(5 分) ; …(6 分) …(9 分)

从而异面直线 EB1 与 A1C1 所成角的大小为 arccos

(2)最多能盛多少水,实际上是求三棱锥 C1﹣CD1B1 的体积 =36cm .
3

用图示中这样一个装置来盛水,则最多能盛 36cm 体积的水.…(12 分) 点评: 本题考查了正方体中异面直线所成的角以及三棱锥的体积求法; 关键是将空间角转化 为平面角解答.
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3

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