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第六章 第6讲 三角函数的求值、化简与证明

时间:2014-02-25


第6讲

三角函数的求值、化简与证明
考纲研读 1.三角函数的化简是指综合利用 诱导公式、同角基本关系式、两 角和与差的三角函数公式导出二 倍角公式,将较复杂的三角函数 进行化简. 2.化简的方法主要有异角化同 角、复(半)角化单角、异次化同次、 切函数化弦函数等,化简的结果必 须是最简形式.

考纲要求 1.能利用两角差的余弦公

式导 出两角和的正弦、余弦、正切 公式,导出二倍角的正弦、余 弦、正切公式,了解它们的内 在联系. 2.能运用上述公式进行简单的 恒等变换(包括导出积化和差、 和差化积、半角公式,但对这 三组公式不要求记忆).

1.转化思想是本节三角变换的基本思想,包括角的变换、 函数名的变换、和积变换、次数变换等.三角公式中次数和角

的关系:次降角升;次升角降.常用的升次公式有: 1 + sin2α
=(sinα+cosα)2;1-sin2α=(sinα-cosα)2;1+cos2α=2cos2α; 1-cos2α=2sin2α.

2.三角公式的三大作用
(1)三角函数式的化简. (2)三角函数式的求值. (3)三角函数式的证明. 3.求三角函数最值的常用方法

(1)配方法. (2)化为一个角的三角函数.
(3)数形结合法. (4)换元法.

(5)基本不等式法等.

1.函数 y=cos2x+2sinxcosx 的最小正周期 T=( B ) A.2π B.π π C.2 π D.3

2.已知 tan(α+β)=3,tan(α-β)=2,则 tan2β=( C ) 1 A.6 1 B.-6 1 C.7 1 D.-7

3.计算 1-2sin222.5° 的结果等于( B ) 1 A.2 2 B. 2 3 C. 3 3 D. 2

4.tan71° -tan11° - 3tan71° tan11° 的值是( A ) A. 3 3 B. 3 C.0 D.1

1 - 2 5.sin17°cos47°-sin73°cos43°=_______.

考点1

三角函数式的化简

? π? 例1:(2011年北京)已知函数f(x)=4cosxsin?x+6?-1. ? ?

(1)求f(x)的最小正周期;
? π π? (2)求f(x)在区间?-6,4?上的最大值和最小值. ? ? ? π? 解析:(1)因为f(x)=4cosxsin?x+6?-1 ? ?
? =4cosx? ? ? 3 1 ?-1 sin x + cos x 2 2 ?
2

= 3sin2x+2cos x-1=

? π? 3sin2x+cos2x=2sin?2x+6?. ? ?

所以f(x)的最小正周期为π.

π π π π 2π (2)因为-6≤x≤4,所以-6≤2x+6≤ 3 . π π π 于是,当2x+6=2,即x=6时,f(x)取得最大值2; π π π 当2x+6=-6,即x=-6时,f(x)取得最小值—1.
本题是三角恒等变换在数学中应用的举例,它使

三角函数中对函数y=Asin(ωx+φ)的性质研究得到延伸,体现了
三角变换在化简三角函数式中的作用.

【互动探究】
? π? 2cos?2x-4?+1 ? ? . ? π? sin?x+2? ? ?

1.已知函数 f(x)= (1)求 f(x)的定义域;

3 (2)若角 α 在第一象限且 cosα=5,求 f(α).

π 解:(1)由 x≠kπ-2(k∈Z), ? ? π 故 f(x)的定义域为?x|x∈R且x≠kπ-2,k∈Z?. ? ? (2)由已知条件得 sinα= 1-cos α=
? π? 1+ 2cos?2α-4? 1+ ? ? f(α)= = ? π? sin?α+2? ? ?
2

? π? ? sin x+2?≠0,即 ? ?

?3?2 4 1-?5? =5, ? ?

从而

? π π? 2?cos2αcos4+sin2αsin4? ? ?

cosα

1+cos2α+sin2α 2cos2α+2sinαcosα 14 = = = 2(cos α + sin α ) = cosα cosα 5.

考点2

三角函数式的求值

例 2:锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b, 3ac c,且 tanB= 2 2 2. a +c -b (1)求证:B=60° ; (2)求 sin(B+10° )[1- 3tan(B-10° )]的值.

a2+c2-b2 解析:(1)∵cosB= ,∴ 2ac

3ac 3 = . a2+c2-b2 2cosB

3 sinB 3 3 由 tanB=2cosB得cosB=2cosB,∴sinB= 2 . ∵角 B 是锐角,∴B=60° .

(2)由(1)得,原式=sin70° (1- 3tan50° )
? ?1- =sin70° ? ?cos50° ? ? - 3sin50° 3sin50° ? ? ?=sin70° ? ? cos50° ? cos50° ? ? ? 3 ?sin70° 2 sin50° ? cos50°



?1 2? cos50° - ?2

2?sin30° cos50° -cos30° sin50° ?sin70° = cos50° -2sin20° sin70° -2sin20° cos20° = = cos50° cos50° -sin40° -cos50° = cos50° = cos50° =-1.

切化弦和边角统一都是基本方法.关于三角形中的
三角函数问题,边角的统一是问题的切入点,等式右边的分子分 母均为 a,b,c 的二次齐次式,所以考虑使用余弦定理. 【互动探究】

3-sin70° =( C ) 2. 2 2-cos 10°

1 A.2

2 B. 2

C.2

3 D. 2

考点3

三角函数中的最值问题
2

例3:已知函数f(x)=4sin π π p:“4≤x≤2”.

?π ? ? +x? ?4 ?

-2

3 cos2x-1且给定条件

(1)求f(x)的最大值及最小值; (2)若又给条件q:“|f(x)-m|<2”且p是q的充分条件,求实数 m的取值范围.

? ?π ?? 解析:(1)∵f(x)=2?1-cos?2+2x??-2 ? ? ??

3cos2x-1

=2sin2x-2

? π? 3cos2x+1=4sin?2x-3?+1, ? ?

π π π π 2π 又∵4≤x≤2,∴6≤2x-3≤ 3 .
? π? 即3≤4sin?2x-3?+1≤5.∴ymax=5,ymin=3. ? ?

(2)∵|f(x)-m|<2,∴m-2<f(x)<m+2.
? ?m-2≤3, 又∵p为q的充分条件,∴? ? ?m+2≥5.

解得3≤m≤5.

不等式恒成立问题,要想办法转化为求最大值、 最小值问题. 而求三角函数在某区间的最值(范围)时,不要只 代两端点,要注意结合图象;p是q的充分条件,有p?q.

【互动探究】

3.设向量 m=(cosx,sinx),x∈(0,π),n=(1, 3).若 f(x)
(3,6] . =(m+n)· n,则函数 f(x)的值域为______

解析:∵m+n=(cosx+1,sinx+ 3), ∴f(x)=(m+n)· n=(cosx+1,sinx+ 3)· (1, 3) =cosx+1+
? 3sinx+3=2? ? ? ? π? 3 1 ?+4=2sin?x+ ?+4. sin x + cos x 6? 2 2 ? ?

π π 7π ∵0<x<π,∴6<x+6< 6 . ? ? π? π? 1 ∴-2<sin?x+6?≤1?-1<2sin?x+6?≤2 ? ? ? ? ? π? ∴3<2sin?x+6?+4≤6.即函数f(x)的值域为(3,6]. ? ?

易错、易混、易漏

11.三角函数中的二次函数问题,忽视了自变量范围的研究
? 2sinxcosx+5 π? 例题:已知函数 f(x)= ,x∈?0,2?. ? ? sinx+cosx

(1)求 sinx+cosx 的取值范围;

(2)求函数 f(x)的最小值.

正解:(1)sinx+cosx= =

? 2? ?

? 2 2 ? sin x + cos x 2 2 ? ? π? 2sin?x+4?. ? ?

? ? π π 2?cos4sinx+sin4cosx?= ? ?

? π? π ?π 3π? ∵x∈?0,2?,∴x+4∈?4, 4 ?. ? ? ? ?



? π? ? 2sin x+4?∈[1, ? ?

2].

∴sinx+cosx 的取值范围是[1, 2]. (2)设 t=sinx+cosx,则 t2=(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx,2sinxcosx=t2-1. 2sinxcosx+5 t2+4 4 则 f(x)= = t =t+ t . sinx+cosx

4 设 φ(t)=t+ t ,由(1)知 t∈[1, 2], 4 ∴φ′(t)=1-t2<0, 即函数 φ(t)在区间[1, 2]上是减函数, 4 其最小值为 φ( 2)= 2+ =3 2 π 即 x=4时,函数 f(x)的最小值为 3 2. 2.

【失误与防范】认清二次函数问题是解决问题的关键,例如: 若 sinα+cosα 是“一次”, 则 sinαcosα 是“二次”; 若 1+k是“一 次”,则 2k+1 是“二次”等.

1.α,β,α+β三个角中任何一个角都可以用其他两个角 来表示,到底谁是两角和或差要看题目而定. 2.形如cosαcos2αcos22α?cos2nα的求值问题,只需要将分子分 母都乘以2n+1sinα,应用正弦二倍角公式即可. 3.化简要求:(1)能求值的要求出值;(2)使三角函数种数尽量 少;(3)使项数尽量少;(4)尽量使分母不含三角函数;(5)尽量使被

开方数不含三角函数.

4.将二元问题转化为一元问题的常用方法有两种:一是代入 法,二是代换法.最常用的代换就是三角代换.形如条件 x2+y2

=1,通常设 x=cosθ,y=sinθ.在解析几何中常用三角代换,将
二元转化为一元问题.向量、解析几何、实际应用中的旋转问题也 常引入角变量,转化为三角函数问题.利用三角函数的有界性, 可以求函数的定义域、值域等.

在进行三角函数的变换与求值时,要注意整体代换的灵活运 用,不要一味追求将和差公式展开,如已知
?π ? tan?4-α?=3 ? ?

求 tanα

π tan4-tanα ?π ? 时,方法一是 tan?4-α?= =3 再求解;方法二是 tanα π ? ? 1-tan4· tanα
?π ? ? ? ?π ?π ?? 1-tan?4-α? =tan?4-?4-α??= ?π ?再求解. ? ?? ? 1+tan?4-α? ? ?


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