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河北省石家庄市2013届高中毕业班第一次模拟考试文科数学试题(word版)


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河北省石家庄市 2013 届高中毕业班第一次模拟考试

文科数学试题
(时间 120 分钟,满分 150 分)

注意事项:
1. 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将

/>自己的 姓名、准考证号填写在答题卡上
2. 回答第 I 卷时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3. 回答第 II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第 I 卷(选择题,共 60 分)
—、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目 要求的.
1. 复数 z=1-i,则

1 ? z 对应的点所在的象限为 z
C.第三象跟 D.第四象限

A.第一象限

B.第二象限

2. 若集合 A ? {x ? Z | 2 ? 2 x?2 ? 8} , B ? {x ? R | x 2 ? 2 x ? 0},则 A ? (C R B) 所含 的元素个数为 A. O B. 1 C. 2 D. 3

3. 某学校高三年级一班共有 60 名学生, 现采用系统抽样的方法从中抽取 6 名学生做

“早餐 与健康”的调查,为此将学生编号为 1、2、?、60,选取的这 6 名学生的编号 可能是
A. 1,2,3,4,5,6 C. 1,2,4,8,16,32 B. 6,16,26,36,46,56 D. 3,9,13 ,27,36,54

且其渐近线的方程为 3x ? 4y=0, 4 已知双曲线的一个焦点与抛物线 x2=20y 的焦点重合, 则 该双曲线的标准方程为 A.

x2 y2 ? ?1 9 16

B.

x2 y2 ? ?1 16 9

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C.

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y2 x2 ? ?1 9 16

D.

y2 x2 ? ?1 16 9

5.设 l、m 是两条不同的直线,a,β 是两个不同的平面,有下列命题:
①l//m,m ? a,则 l//a ③a 丄β ,l ? a,则 l 丄β ② l//a,m//a 则 l//m ④l 丄 a,m 丄 a,则 l//m

其中正确的命题的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6. 执行右面的程序框图,输出的 S 值为 A. 1 B. 9 C. 17 D. 20

7. 已知等比数列{an},且 a4+a8=-2,则 a6(a2+2a6+a10)的值为 A. 4 B. 6 C. 8 D. -9

8. 现采用随机模拟的方法估计该运动员射击 4 次,至少击中

3 次的 概率:先由计算器给出 0 到 9 之间取整数值的随机数, 指 定 0、1 表 示没有击中目标,2、3、4、5、6、7、8、9 表示击 中目标,以 4 个随机数 为一组,代表射击 4,次的结果,经随机模拟产生了 20 组随机 数:
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动 员射击 4 次至少击中 3 次的概率为 A. 0.85 B. 0.8 C, 0.75 D. 0.7

9. 巳知点(x,y)在Δ ABC 所包围的阴影区域内(包含边界),若 B(3, 是 使得 z=ax-y 取得最大值的最优解,则实数 a 的取值范围为 A. a ? ?

5 ) 2

1 2

B. a ? 0

C. a ? ?

10. 已知函数 f ( x) ?| sin( 2 x ?

?
6

1 2

D. ?

1 ?a?0 2

) | ,下面说法正确的是
B.函数图象的一条对称轴方程为 x ? D 函数是偶函数

? 4 2? 5? , ] 上为减函数 C.函数在区间 [ 3 6
A.函数的周期为
锥的外接球的表面积为
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?
3

11. 已知正三棱锥 P-ABC 的主视图和俯视图如图所 示,则此三棱

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A 4π C. B, 12π D.

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16? 3

64? 3

12. [x]表示不超过 x 的最大整数,例如[2.9]=2,[-4.1]=-5,已知 f(x)=x-[x](x ∈R),g(x)=log4(x-1),则函数 h(x)=f(x)-g(x)的零点个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分, 13 题?第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 第 作 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 a 13.已知向量 a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且 u//v,则实数 x 的值是______

?1 ? x 2 ( x ? 1) ? f ( x) ? ? x 14.若 则 ?2 ( x ? 1) ?

? ? 1 f? ? =________ ? f (log2 (6) ?
x y

15. 已知点 P(x,y)在直线 x+2y=3 上移动,当 2 +4 取得最小值时’过点 P 引圆

1 1 1 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 的切线,则此切线段的长度为_______ 2 4 2 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 16 已知数列{an} , , , , , , , , , , ?,依它的 10 项的规律,则 a99+a100 的值 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4
为______

三、解答题:本大题共 6 小通,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 職‘
17. (本小题满分 12 分)

已知 a,b,c 分别为Δ ABC 三个内角 A,B,C 的对边长, ( 2c ? b) cos A ? a cos B

(I)求角 A 的大小;
(II)若 a= 2 ,Δ ABC 的面积为 1,求 b,c.

18. (本小题满分 12 分)
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如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA 丄平面 ABCD, ?ABC = ?ADC =90°

?BAD =1200,AD=AB=1,AC 交 BD 于 O 点.
(I)求证:平面 PBD 丄平面 PAC;

(II)求三棱锥 D-ABP 和三棱锥 P-PCD 的体积之比.

19. (本小题满分 12 分)

为了调查某大学学生在周日上网的时间,随机对 1OO 名男生和 100 名女生进行了不 记 名的问卷调查.得到了如下的统计结果: 表 1:男生上网时间与频数分布表

表 2:女生上网时间与频数分布表

(I)若该大学共有女生 750 人,试估计其中上网时间不少于 60 分钟的人数;

(II)完成下面的 2x2 列联表,并回答能否有 90%的把握认为“学生周日上网时间与 性 别有关”?
表3 :

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20. (本小題满分 12 分) 椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1(-1,0),F2(1,0),过 F1 作与 x 轴 a2 b2

不重合的直线 l 交椭圆于 A,B 两点.

(I)若Δ ABF2 为正三角形,求椭圆的离心率; (II)若椭圆的离心率满足 0 ? e ?

5 ?1 ,0 为坐标原点,求证 ?AOB 为钝角. 2

21(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)=e +ax-1(e 为自然对数的底数).
x

(I)当 a=1 时,求过点(1,f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积;
2 (II)若 f(x) ? x 在(0,1 )上恒成立,求实数 a 的取值范围.

请考生在 22?24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-l:几何证明选讲 如图,过圆 O 外一点 P 作该圆的两条割线 PAB 和 PCD,分别交圆 O 于点 A,B,C,D 弦 AD 和 BC 交于 Q 点,割线 PEF 经过 Q 点交圆 O 于点 E、F,点 M 在 EF 上,且 ?BAD ? ?BMF : (I)求证:PA·PB=PM·PQ (II)求证: ?BMD ? ?BOD

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23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系.x0y 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知 曲线 C 的极坐标方程为:

? sin 2 ? ? cos?

(I)求曲线 l 的直角坐标方程;

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 (II)若直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数),直线 l 与曲线 C 相交于 A、B ?y ? 2 t ? 2 ?
两点求|AB|的值

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 巳知函数 f(x)=|x-2|+2|x-a|(a∈R). (I)当 a=1 时,解不等式 f(x)>3; (II)不等式 f ( x) ? 1 在区间(-∞,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围

2013 年高中毕业班第一次模拟考试 (数学文科答案) 一、选择题 A 卷答案 1-5 DCBCA 6-10 CACAB 11-12 DB

B 卷答案 1-5 DBCBA 6-10 BABAC 11-12 DC

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二、填空题

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1 13. 2

35 14. 36

15.

6 2

37 16 . 24

二 解答题 17.解:(Ⅰ)法一:由 ( 2c ? b) cos A ? a cos B 及正弦定理得:

( 2 sin C ? sin B) cos A ? sin A cos B ?????2 分
则 2 sin C cos A ? sin B cos A ? sin A cos B ? sin( B ? A)

? A ? B ? C ? ? ,?sin( A ? B) ? sin C

2 sin C cos A ? sin C
由于 sin C ? 0 ,所以, 又 0 ? A ? ? ,故

cos A ?

2 2

?????? 4 分

A?

?
4 . ???????? 6 分

或解:(Ⅰ)由 ( 2c ? b) cos A ? a cos B 及余弦定理得:

( 2c ? b)

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 ?a 2bc 2ac ????????? 2 分
2 2 2

整理得: b ? c ? a ?

2bc

b2 ? c2 ? a2 2 cos A ? ? 2bc 2
又 0 ? A ? ? ,故

???????? 4 分

A?

?
4.
????????? 6 分

1 bc sin A (Ⅱ) ?ABC 的面积 S = 2 =1 ,
故 bc = 2 2 ①
2

??????? 8 分
2 2

根据余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 和 a = 2 , 可得 c ? b = 6 ?? ② ??????? 10 分
2 2

P

解①②得 A
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O B C

D

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?b ? 2 ?b ? 2 ? ? ? ? ?c ? 2 或者 ?c ? 2 . ???????? 12 分 ? ?
? 18.解:证明:(Ⅰ)? ?ABC ? ?ADC ? 90 , AD ? AB, AC 为公共边,

? Rt ?ABC ? Rt ?ADC ,??????? 2 分
则 BO=DO, 又在 ?ABD 中, AB ? AD ,所以 ?ABD 为等腰三角形.

? AC ? BD

,???????? 4 分

而 PA ? 面 ABCD , PA ? BD , 又 PA ? AC ? A,? BD ? 面 PAC , 又 BD ? 面 PBD ,? 平面 PAC ? 平面 PBD .???????? 6 分
? (Ⅱ) 在 Rt ?ABC 中, AB ? 1 , ?BAC ? 60 ,则 BC ? 3 ,

S?ABD ?

1 AB ? AD sin1200 2

1 3 3 ? ? 1? 1? = 2 2 4 ,????????8 分
S?BCD ? 1 BC ? CD sin 600 2

1 3 3 3 ? ? 3? 3? = 2 2 4 ,???????10 分

1 S ? PA VD ? ABP VP ? ABD 3 ?ABD S 1 = ? ? ?ABD ? VB ? PCD VP ? BCD 1 S S?BCD 3 ?BCD ? PA 3

. ???????12 分

19.解: (Ⅰ)设估计上网时间不少于 60 分钟的人数 x ,

x 30 ? 依据题意有 750 100 ,???????4 分
解得: x ? 225 , 所以估计其中上网时间不少于 60 分钟的人数是 225 人.??????? 6 分

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(Ⅱ)根据题目所给数据得到如下列联表:

上网时间少于 60 分钟 男生 女生 合计 60 70 130 ????? 8 分

上网时间不少于 60 分钟 40 30 70

合计 100 100 200

200(60 ? 30 ? 40 ? 70) 2 200 K ? ? ? 2.198 ? 2.706 100 ?100 ?130 ? 70 91 其中 ??????10 分
2

因此,没有 90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”.???????12 分 20. 解:(Ⅰ)由椭圆的定义知 AF1 ? AF2 ? BF1 ? BF2 ? 2a ,? ?ABC 周长为 4a , 因为 ?ABF2 为正三角形,所以

AF2 ? BF2 , AF1 ? BF1 ,

F1 F2 为边 AB 上的高线,??????????2 分

?

2c ? cos300 4a 3 ,
e? c 3 ? a 3 .??????? 4 分

∴椭圆的离心率

B( x2 , y2 ) (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , 因为

0?e?

1? 5 5 ?1 a? . 2 , c ? 1 ,所以 2 ????6 分

??? ??? ? ? b4 1 y2 b4 ? 2 ? 1 y2 ? 2 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 1 ? 2 2 a , b a , ①当直线 AB与x 轴垂直时, a ,

?a4 ? 3a2 ? 1 a2 =

3 5 ?( a 2 ? ) 2 ? 3? 5 2 4 ??? ??? ? ? a2 ? 2 a 2 ,所以 OA ? OB ? 0 , , 因为

??AOB 为钝角.?????????8 分

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b ②当直线 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程为: y ? k ( x ? 1) ,代入 a ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 整理得: (b ? a k ) x ? 2k a x ? a k ? a b ? 0 ,

x1 ? x2 ?

?2a2 k 2 a 2 k 2 ? a 2 b2 x1 x2 ? 2 2 2 2 b ?a k , b ? a2 k 2

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??? ??? ? ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2
x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
? x1 x2 (1 ? k 2 ) ? k 2 ( x1 ? x2 ) ? k 2

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? ?
?

(a2 k 2 ? a2 b2 )(1 ? k 2 ) ? 2a2 k 4 ? k 2 (b2 ? a2 k 2 ) b2 ? a 2 k 2 k 2 ( a 2 ? b 2 ? a 2 b2 ) ? a 2 b 2 b2 ? a 2 k 2
k 2 (?a4 ? 3a2 ? 1) ? a2 b2 b2 ? a 2 k 2 ??????10 分

4 2 令 m(a) ? ?a ? 3a ? 1 , 由 ①可知 m(a) ? 0 ,

??AOB 恒为钝角.??????12 分
x x ? ? 21.解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? e ? x ? 1 , f (1) ? e , f ( x) ? e ? 1 , f (1) ? e ? 1 ,

函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? e ? (e ? 1)( x ? 1) 即 y ? (e ? 1) x ? 1 ?????? 2 分

设切线与 x、y 轴的交点分别为 A,B. 令 x ? 0 得 y ? ?1 ,令 y ? 0 得
S△OAB ? 1 1 1 ? ?1 ? 2 e ?1 2(e ? 1)

x?

1 1 A( , 0) e ? 1 ,∴ e ? 1 , B (0, ?1)


1 2(e ? 1)

在点

(1, f (1))

处的切线与坐标轴围成的图形的面积为

???????4 分

(Ⅱ)由 f ( x) ≥ x 得

2

a≥

1 ? x2 ? e x x ,



h( x) ?

1 ? x2 ? e x 1 ex ? ?x? x x x ,
1 e x ( x ? 1) ( x ? 1)( x ? 1 ? e x ) ? ? x2 x2 x2
x

h ?( x) ? 1 ?

令 k ( x) ? x ? 1 ? e ,???????? 6 分
k ?( x) ? 1 ? e x ,
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x ? ∵ x ? (0,1) ,∴ k ( x) ? 1 ? e ? 0 , k ( x) 在 x ? (0,1) 为减函数

∴ k ( x) ? k (0) ? 0

,????????8 分

2 又∵ x ? 1 ? 0 , x ? 0



h ?( x) ?

( x ? 1)( x ? 1 ? e x ) ?0 x2

∴ h( x) 在 x ? (0,1) 为增函数,??????????10 分
h( x) ? h(1) ? 2 ? e ,

因此只需 a ≥ 2 ? e . ?????????????12 分 22.证明:(Ⅰ)∵∠BAD=∠BMF, 所以 A,Q,M,B 四点共圆,?????3 分 所以 PA ? PB ? PM ? PQ .??????5 分 (Ⅱ)∵ PA ? PB ? PC ? PD , ∴ PC ? PD ? PM ? PQ 又 ?CPQ ? ?MPD , , 所以 ?CPQ ~ ?MPD ,?????7 分

∴ ?PCQ ? ?PMD ,则 ?DCB ? ?FMD ,??????8 分 ∵ ?BAD ? ?BCD , ∴ ?BMD ? ?BMF ? ?DMF ? 2?BAD ,

?BOD ? 2?BAD ,
所以 ?BMD ? ?BOD .???????10 分 23.解:(Ⅰ)依题意 ? sin
2 2

? ? ? cos? ??????3 分

得: y ? x
2 2 ? 曲线 C1 直角坐标方程为: y ? x .???????5 分

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? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 ? ?y ? 2 t 2 ? 2 (Ⅱ)把 ? 代入 y ? x 整理得:

t 2 ? 2t ? 4 ? 0 ??????7 分
? ? 0 总成立,

t1 ? t 2 ? ? 2 , t1t 2 ? ?4
AB ? t1 ? t 2 ? (? 2 ) 2 ? 4 ? (?4) ? 3 2
另解: (Ⅱ)直线 l 的直角坐标方程为 y ? 2 ? x ,把 y ? 2 ? x 代入 y ? x 得:
2

??????10 分

x 2 ? 5x ? 4 ? 0 ??????7 分

? ? 0 总成立, x1 ? x2 ? 5 , x1 x2 ? 4

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 2 (5 2 ? 4 ? 4) ? 3 2

???????10 分

?x ? 2 7 ? x? x ? 2 ? 2 x ? 2 ? 3 解得 3 24. 解:(Ⅰ) ? ?1 ? x ? 2 ? ?2 ? x ? 2 x ? 2 ? 3 解得 x ? ? ?x ? 1 1 ? x? 2 ? x ? 2 ? 2 x ? 3 解得 3 ???????3 分 ?
1 7 ( ??, ) ? ( , ??) 3 3 不等式的解集为 ??????5 分

?? 3 x ? 2 ? 2 a , x ? 2 ? f ( x) ? ?? x ? 2a ? 2,2 ? x ? a ?3x ? 2 ? 2a, x ? a ? (Ⅱ) a ? 2时, ;

??3x ? 6, x ? 2 f ( x) ? ? a ? 2时, ?3x ? 6, x ? 2 ;

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?? 3 x ? 2 ? 2 a , x ? a ? f ( x) ? ? x ? 2a ? 2, a ? x ? 2 ?3x ? 2 ? 2a, x ? 2 ? a ? 2时, ;

? f (x) 的最小值为 f (2)或f (a) ;??????8 分
? f (a) ? 1 ? f (2) ? 1 ,解得 a ? 1 或 a ? 3 .??????10 分 则?

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