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函数建模案例


函数建模案例 问题提出 现在许多家庭都以燃气(在城市一般用天然气,煤气,液化气,在农村一般 为液化气,沼气)为烧水做饭的燃料,节约用气是非常现实的问题,怎样烧开水 最省燃气?

变量选择 省燃气的含义就是烧开一壶水的燃气用量少。一般来说,烧水时是通过燃气 灶上的旋钮控制燃气流量的,流量随着旋钮的位置的变化而变化。由此可见,燃 气用量与旋钮的位置是函数关系。 于

是问题就是: 旋钮在什么位置时烧开一壶水 的燃气用量最少?即旋钮在什么角度用气量最小呢?

搜集数据 给定燃气灶和一只水壶. 选择燃气灶旋钮的五个位置(当然多选一些更好) , 因为关闭时,燃气旋钮的位置为竖直方向,我们把这个位置定为 0° ,燃气开到 最大时,旋钮转了 90° .取 18° ,36° ,54° ,72° ,90° ,见图 4-12;

图 4-12

在选好的五个位置上,分别记录烧开一壶水所需的时间和所用的燃气量; 表1 项目 位置 18° 36° 54° 72° 90° 燃气旋钮在不同位置时烧开一壶水所需燃气量 燃气表开始 时读数(m3) 9.080 8.958 8.819 8.670 8.498 燃气表水开 时读数(m3) 9.210 9.080 8.958 8.819 8.670 所用燃气量 (m3) 0.130 0.122 0.139 0.149 0.172

描点作图 用表内数据在直角坐标系上标出旋钮位置与烧开一壶水燃气用量的点

燃气用量 m3 0.172 0.130 0.149

·

0.122

0.139

·

·

·

·

0?

18?

36?

54?

72?

90?

旋钮角度

图 4-13 选择函数类:二次函数 确定拟合函数——最小二乘法 重温最小二乘法 原理:对于一组给定数据(xi,yi) i=0,1,2,…,m) ( ,如果选定某个函 数类中的一个函数 P(x)作为拟合函数,各点的数据偏差 ri=P(xi)-yi。 我们用 r12+r22+…+rm2 来刻画所有点偏差,则在取定的函数类中,求使得 r12+r22+…+rm2 的值最小的方法,就称为曲线拟合的最小二乘法。 线性最小二乘拟合: 对于给定的数据(xi,yi) i=0,1,2,…,m) ( ,求二次函数 2 P(x)=ax +bx+c, 使得关于a.b,c的三元函数 F(a,b,c)=(ax02+b x0+c-y0)2+(ax12+b x1+c-y1)2+…… +(axm2+bxm+c-ym)2 的值最小。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?F ?a ?F ?b ?F ?c ? 0 ? 0 ? 0

得方程组
?18 a ? 18 b ? c ? 0 . 130 ? 2 ? 36 a ? 36 b ? c ? 0 . 122 ? 90 2 a ? 90 b ? c ? 0 . 172 ?
2

解得 a=1.856× ?5,b=?1.446× ?3,c=0.150.098,则函数式为 10 10 y=1.856× ?5x2?1.446× ?3x+0.15. 10 10 求最小用气量

求 燃 气 用 量 最 少 时 的 旋 钮 位 置 实 际 上 是 求 函 数 y=1.856× ?5x2?1.446× ?3x+0.15 的最小值点 x0. 10 10 x0=?
b 2a

=?

? 1 . 446 ? 10

?3 ?5

2 ? 1 . 856 ? 10

≈39(? )

即燃气用量最少时的旋钮位置是旋转 39? 的位置,这时的用气量是 y0= 检验分析 取旋转 39? 的旋钮位置,烧一壶开水,所得实际用气量是不是 0.121 m3? 如果基本吻合,就可以依此作结论了. 如果相差大,特别是这个用量大于 0.122,最小值点就肯定不是 39? ,说明拟 合函数取得不好,可以换另外的函数重新计算,然后再检验,直至结果与实际比 较接近就可以了. 实际上, 我们从已知的五对数据可以看出, 如果取(18, 0.130), (36, 0.122), (54, 0.139), 函数的最小值点就小于 36? . 如果所得的结果总与实际相差过大,就要修改我们的数学模型,包括重新考 虑假设。直到得出一个满意的结果。
4 ac ? b 4a
2

=

4 ? 1 . 856 ? 10

?5

? 0 . 15 ? (1 . 446 ? 10
?5

?3

)

2

4 ? 1 . 856 ? 10

≈0.121(m3) .


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