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6.3等比数列


等比数列 1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列 叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母__q__表示(q≠0). 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an=a1· qn 1.


3.等比中项 若 G2=a· b_(ab≠

0),那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am· qn
-m

(n,m∈N*).

(2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n (k,l,m,n∈N*),则 ak· al=am· an.
?1? ?an? (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),?a ?,{a2 bn},?b ?仍是等比数 n},{an· ? n? ? n?

列. 5.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 Sn, a1?1-qn? a1-anq 当 q=1 时,Sn=na1;当 q≠1 时,Sn= = . 1-q 1-q 6.等比数列前 n 项和的性质 公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数列,其公 比为__qn__. 题型一 等比数列基本量的运算 1. 在等比数列{an}中, 若公比 q=4, 且前 3 项之和等于 21, 则该数列的通项公式 an=_______. 2.等比数列{an}中,Sn 表示前 n 项和,a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比 q 为________. 3.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,且 3S1,2S2,S3 成等差数列,则 an=________. 4.在等比数列{an}中,若 a4-a2=6,a5-a1=15,则 a3=________. 5. 在等比数列{an}中,a2-a1=2,且 2a2 为 3a1 和 a3 的等差中项,求数列{an}的首项、公比 及前 n 项和. 6.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比不为 1.若 a1=1,则对任意的 n∈N*,都有 an+2+an+1-2an=0,则 S5=________. 7.数列{an}满足 a1=2 且对任意的 m,n∈N*,都有 项和 Sn=________. 8.在等比数列{an}中,a4=2,a7=16,则 an=________. an+m =an,则 a3=________;{an}的前 n am

-1-

9.在 9 与 243 中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为________. a2-a1 10.已知数列-1,a1,a2,-4 成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4 成等比数列,则 的 b2 值是________. 11. 已知等比数列{an}为递增数列. a1>0, 且 2(an+an+2)=5an+1, 则数列{an}的公比 q=( A.2 1 B. 2 1 C .2 或 2 D.3 ).

12.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a4-a1=78,S3=39,设 bn=log3an,那么数列{bn} 的前 10 项和为 ( ) A.log371 69 B. 2 C.50 D.55

13. {an}是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列,则 q=_____. 14.设 f(x)是定义在 R 上恒不为零的函数,且对任意的实数 x,y∈R,都有 f(x)· f(y)= 1 f(x+y),若 a1= ,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}的前 n 项和 Sn 的取值范围是_____. 2

题型二

等比数列的判定与证明

2.判断数列为等比数列的方法 an+1 an (1)定义法: =q(q 是不等于 0 的常数,n∈N*)?数列{an}是等比数列;也可用 =q(q an an-1 是不等于 0 的常数,n∈N*,n≥2)?数列{an}是等比数列.二者的本质是相同的,其区别只 是 n 的初始值不同.
* (2)等比中项法:a2 n+1=anan+2(anan+1an+2≠0,n∈N )?数列{an}是等比数列.

(3)若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. (2)利用递 推关系时要注意对 n=1 时的情况进行验证. 1 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2.(1)设 bn=an+1-2an, 证明:数列{bn}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.

2 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=2Sn+(n+1).求数列{an}的通项公式.

3. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1+2a2+3a3+?+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*). (1)求 a2,a3 的值;(2)求证:数列{Sn+2}是等比数列.

-2-

题型三
思维引导

等比数列的性质及应用
(1)在等比数列的基本运算问题中,一般利用通项公式与前 n 项和公式,建立方程

组求解,但如果能灵活运用等比数列的性质“若 m+n=p+q,则有 aman=apaq”,以及 a1an = a2an - 1 = ? = aman - m + 1. 成立 可以减少运算量. (2) 已知等比数列 {an} 则数列 {c· an}(c≠0) , 1 {|an|},{a2 n},{ }也是等比数列. an a5 1. 在正项等比数列{an}中,an+1<an,a2· a8=6,a4+a6=5,则 等于( a7 5 A. 6 6 B. 5 2 C. 3 3 D. 2 ) )

2.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10 等于( A.7 B.5 C.-5 D.-7

3.已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前 n 项和等于___. 4.记等比数列{an}的前 n 项积为Ⅱn,若 a4·a5=2,则Ⅱ8=( A.256 B.81 C.16 D.1 )

5.若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e5, 则 ln a1+ln a2+?+ln a20=________. 6.等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lgan}的前 8 项和等于( A.6 B.5 C.4 D.3 )

7. 等比数列{an}满足 an>0, n∈N*, 且 a3· a2n-3=22n(n≥2), 则当 n≥1 时, log2a1+log2a2+? +log2a2n-1 等于( ) A.n(2n-1) B.(n+1)2 C.n2 D.(n-1)2

8. 已知数列{an}的首项为 1, 数列{bn}为等比数列且 bn= 9. 2+1 与 2-1 两数的等比中项是( ) A.1

an+1 , 若 b10· b11=2, 则 a21=________. an B.-1 C.±1 1 D. 2

2 10. 已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3a9=2a5 ,a2=2,则 a1 等于(

)

1 A. 2

B.

2 2

C. 2

D.2

11.在等比数列{an}中,各项均为正值,且 a6a10+a3a5=41,a4a8=5,则 a4+a8=________.

-3-

12.在正项等比数列{an}中,Sn 是其前 n 项和.若 a1=1,a2a6=8,则 S8= (

). )

13.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7,则 S5 等于( 15 A. 2 31 B. 4 33 C. 4 17 D. 2

14.设数列{an}是各项均为正数的等比数列,若 a1·a2n-1=4n,则数列{an}的通项公式是__. 15.公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,则 log2a10=( A.4 B.5 C.6 D.7 16.已知 x,y,z∈R,若-1,x,y,z,-3 成等比数列,则 xyz 的值为( A.-3 B.±3 C.-3 3 D.±3 3 ) ) )

17. 已知各项均为正数的等比数列 {an} 中, a1a2a3 = 5 , a7a8a9 = 10 ,则 a4a5a6 等于 ( A.5 2 B.7 C.6 D.4 2

18.在由正数组成的等比数列{an}中,若 a3a4a5=3π,则 sin(log3a1+log3a2+?+log3a7)的值 为( 1 ).A. 2 B. 3 2 C.1 D.- 3 2 )

19.已知等比数列{an}中,a2+a3=1,a4+a5=2,则 a6+a7 等于( A.2 B.2 2 C.4 D.4 2

20.在等比数列{an}中,a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,则 n=________. 21.已知等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3+a5=21,则 a3+a5+a7 等于( A.21 B.42 C.63 D.84 )

22.若正项数列{an}满足 lgan+1=1+lgan,且 a2001+a2002+?+a2010=2016,则 a2011+a2012 +?+a2020 的值为( ) A.2015· 1010 B.2015· 1011 C.2016· 1010 D.2016· 1011 )

23.在正项等比数列{an}中,已知 a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则 n 等于( A.12 B.13 C.14 D.15

题型四

等比数列的前 n 项和的性质

等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质,例如等比数列 Sk,S2k-Sk, S3k-S2k,?成等比数列,公比为 qk(q≠-1). 1.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=15,则 S6 等于( A.31 B.32 C.63 D.64 )

S10 31 2.等比数列{an}的首项 a1=-1,前 n 项和为 Sn,若 = ,则公比 q=________. S5 32 3.已知各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4=3S2,a3=2,则 a7=______. 4. 已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和, 若存在 m∈N*, 满足 的公比为( )A.-2 B.2 C.-3 D.3 S2m a2m 5m+1 =9, = , 则数列{an} Sm am m-1

-4-

5.设{an}是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X,Y,

Z,则下列等式中恒成立的是(
A.X+Z=2Y

). C.Y2=XY D.Y(Y-X)=X(Z-X)

B.Y(Y-X)=Z(Z-X)

6.等比数列{an}共有奇数项, 所有奇数项和 S 奇=255, 所有偶数项和 S 偶=-126, 末项是 192, 则首项 a1 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4

1 7.已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=t·5n-2- ,则实数 t 的值为( 5 A.4 B.5 C. 4 5 D. 1 5

).

2 2 8. 数列{an}中, 已知对任意 n∈N*, a1+a2+a3+?+an=3n-1, 则 a2 1+a2+a3+?

+a2 n等于( 题型 五
思维引导

)A.(3n-1)2

1 B.2(9n-1)

C.9n-1

1 D.4(3n-1)

综合解答题

(1)分类讨论思想在等比数列中应用较多,常见的分类讨论有 ①已知 Sn 与 an 的关系,要分 n=1,n≥2 两种情况. ②等比数列中遇到求和问题要分公比 q=1,q≠1 讨论. ③项数的奇、偶数讨论. ④等比数列的单调性的判断注意与 a1,q 的取值的讨论. (2)数列与函数有密切的联系, 证明与数列有关的不等式, 一般是求数列中的最大项或最小项, 可以利用图象或者数列的增减性求解,同时注意数列的增减性与函数单调性的区别. (3)失误与防范 1.特别注意 q=1 时,Sn=na1 这一特殊情况. 2.由 an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证 a1≠0. 3.在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q=1 与 q≠1 分类讨论, 防止因忽略 q=1 这一特殊情形而导致解题失误. 4.等比数列性质中:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 也成等比数列,不能忽略条件 q≠-1.

1.已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=1,b1-a1=1,b2-a2=2, b3-a3=3,求数列{an}的通项公式;

-5-

1 1 2.已知等比数列{an}中,a1= ,公比 q= .(1)Sn 为{an}的前 n 项和,证明:Sn= 3 3 1-an ;(2)设 bn=log3a1+log3a2+?+log3an,求数列{bn}的通项公式. 2

3.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,在数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2), 且 an+Sn=n.(1)设 cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.

4.已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20, {bn-an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和.

5. 成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2,5,13 后成为 等比数列{bn}中的 b3,b4,b5.(1)求数列{bn}的通项公式;
? 5? (2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列. ? ?

-6-

6. 已知等差数列{an}的公差为 2,其前 n 项和 Sn=pn2+2n,n∈N*.(1)求 p 的值及 an;(2)在等比数列{bn}中,b3=a1,b4=a2+4,若等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn.
? 1? 求证:数列?Tn+6?为等比数列. ? ?

3 7.已知首项为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4 成等差数列. 2 1 13 (1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:Sn+ ≤ (n∈N*). Sn 6

8.数列{bn}满足:bn+1=2bn+2,bn=an+1-an,且 a1=2,a2=4. (1)求数列{bn}的通项公式;(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

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2 9. 已知数列{an}和{bn}满足 a1=λ, an+1= an+n-4, bn=(-1)n(an-3n+21), 其中 λ 为实数, 3 n 为正整数.(1)证明:对任意实数 λ,数列{an}不是等比数列; (2)证明:当 λ≠-18 时,数列{bn}是等比数列.

1?n 10. 已知数列{an}中, a1=1, an· an+1=? 记 T2n 为{an}的前 2n 项的和, bn=a2n+a2n-1, n∈N*. ?2? , (1)判断数列{bn}是否为等比数列,并求出 bn;(2)求 T2n.

11.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上,n∈N*. (1)当实数 t 为何值时,数列{an}是等比数列. (2)在(1)的结论下,设 bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn 是数列{cn}的前 n 项和,求 Tn. 12. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2), 且 an+Sn=n.(1)设 cn=an-1, 求证: {cn}是等比数列(2)求数列{bn}的通项公式.

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