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武汉六中2013届高三12月月考数学(理)试题

时间:2012-12-19


武汉六中 2013 届高三 12 月月考数学(理)试卷
命题人 代会平 审题人 徐静 2012。 12。15

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 请把答案涂在答题卡上) 1.若集合 M ? {x | log 2 ( x ?1) ? 1}, N ? {x | A. {x |1 ? x ? 2} B. {x |1 ? x ? 3}

1 1 x ? ( ) ? 1} ,则 M ? N =( 4 2
C. {x | 0 ? x ? 3} )



{ D. x | 0 ? x ? 2}

2. 已知条件 p:x≤1,条件, q : A.充分不必要条件

1 ? 1 ,则 ? p 是 q 的( x

B.必要不充分条件 )

C.充要条件 D.即非充分也非必要条件 3. 直线 l1:ax+y=3;l2:x+by-c=0,则 ab=1 是 l1||l2 的 ( A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4.过双曲线

a2 x2 y 2 2 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F (?c, 0)(c ? 0) , 作圆 x ? y ? 的切线, 4 a2 b

切点为 E,延长 FE 交曲线右支于点 P,若 OE ? ( A. 10 B. ) C.

??? ?

? ? 1 ??? ??? OF ? OP ,则双曲线的离心率为 2

?

?

10 5

10 2

D. 2

5. 已知直线 a 和平面 ? , ? , ? ? ? ? l , a ? ? , a ? ? ,且 a 在 ? , ? 内的射影分别为直线 b 和

c ,则 b 和 c 的位置关系是(

)

A.相交或平行 B.相交或异面 C.平行或异面 D.相交﹑平行或异面 π π 6. y =sin(2x + )的图象经过下列怎样的平移后所得的图象关于点(- ,0)中心对称 3 12 ( π )A.向左平移 个单位 12 π C.向右平移 个单位 12 π B.向左平移 个单位 6 π D.向右平移 个单位 6

7.已知双曲线 - =1,过其右焦点 F 的直线(斜率存在)交双曲线于 P、Q 两点,PQ 的垂 9 16

x2

y2

用心

爱心

专心

1

直平分线交 x 轴于点 M,则 A. 5 3 B. 5 6

|MF| 的值为( |PQ| 5 D. 8

)

5 C. 4

8. 定义在 R 上的函数 f(x)满足: 对任意的 ? , ? , 总有 f (? ? ? ) ? ? f (? ) ? f (? )? ? 2011 , 则下列说法正确的是 (A) f(x)-1 是奇函数 (C)f(x)-2011 是偶函数 ( ) (B)f(x)+1 是偶函数 (D)f(x)+2011 是奇函数

9.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,当-1<x≤1 时, f ( x) ? x3 , 若函数 g( x) ? f ( x) ? loga | x | 至少有 5 个零点,则 a 的取值范围是( .. )

A. (1,5)

B.( 0,

1 )∪[ 5,+∞) 5

C. (0,

1 ]∪ [5,+∞) 5
3

D.[
2

1 ,1)∪(1,5] 5

10.对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0) ,定义:设 f″(x)是函数 y=f′(x) 的导数,若方程 f″(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0) )为函数 y=f(x)的 “拐点”.有同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’;任何一个三次函数都有对 1 3 1 称中心;且‘拐点’就是对称中心.”请你将这一发现为条件,若函数 g(x)= x - 3 2

x2+3x- +
是 A.2010

5 12

1 1 x- 2

, g( 则

1 2 3 4 21 00 ) ?g( ) ?g ( ) ?g ( ) ? ?( ?g ) 21 01 21 01 21 01 21 01 21 01
( D.2013 )

的值

B.2011

C.2012

第Ⅱ卷 非选择题(共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.函数 f ( x) ? 4cos x sin( x ?

?
6

) ? 1 , x ?[?

?

, ] 时的最小值是 6 4

?

.

12.由曲线 y ? sin(

?
2

x) 与 y ? x3 在区间 [0,1] 上所围成的图形面积为



用心

爱心

专心

2

13. 椭圆 + =1 的左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆相交于点 A、B.当△FAB 的周长最大时, 4 3 △FAB 的面积是________.

x2 y2

14.已知函数 y ? f ( x ) 在 R 上是偶函数,对任意 x ? R 都有 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3), 当

x1, x2 ?[0,3] 且 x1 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,给出如下命题: x1 ? x2
①函数 y ? f ( x ) 在 [ ? 9, 6] 上为增函数 ②直线 x=-6 是 y ? f ( x ) 图象的一条对称轴

③ f (3) ? 0

④函数 y ? f ( x )

在 [ ? 9, 9] 上有四个零点。

其中所有正确命题的序号为

.

15. 定义一个对应法则 f : P ? m, n? ? P?

?

现有点 A ? 2,6 ? 与 点B ? 6, 2 ? , m, n , ≥0, n ≥0? . ?m

?

点 M 是线段 AB 上一动点,按定义的对应法则 f : M ? M ? .当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到点 B 结束时,点 M 的对应点 M ? 所经过的路线长度 为 . 三、解答题(本大题共计 6 小题, 满分 75 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) ?? ? ?? ? 16. (12 分)已知 m ? (a sin x, x),n ? (sin x,b sin x) ,其中 a,b,x ? R .若 f ( x) ? m ? n 满 cos ? ? 足 f ( ) ? 2 ,且 f ( x) 的导函数 f ?( x) 的图象关于直线 x ? 对称. 12 6 (Ⅰ)求 a, b 的值;

? (Ⅱ)若关于 x 的方程 f (x) ? log 2 k ?0 在区间[0, ] 上有实数解,求实数 k 的取值范围. 2

用心

爱心

专心

3

17.(12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=CD,E 是 PC 的中点。 (1)证明 PA//平面 BDE; (2)求二面角 B-DE-C 的平面角的余弦值; (3)在棱 PB 上是否存在点 F,使 PB⊥平面 DEF? 证明你的结论。

18. 随着机构改革工作的深入进行,各单位要减员增效,有一家公司现有职员 2a 人 (140< 2a <420,且 a 为偶数) ,每人每年可创利 b 万元.据评估,在经营条件不变的前提下, 每裁员 1 人, 则留岗职员每人每年多创利 0.01 万元, 但公司需付下岗职员每人每年 0.4b 万 b ... .... 元的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的 益,该公司应裁员多少人?

3 ,为获得最大的经济效 4

19.(12 分)在数列 ?a n ?中,已知 an ? 1, a1 ? 1且an ?1 ? an ? (I)求数列 ?a n ? 的通项公式; (II)令 c n ? (2an ? 1) 2 , S n ? 值范围。 ? 20.(13 分) 如图,F1,F2 是离心率为

2 (n ? N * ) an ?1 ? an ? 1

1 1 1 ,若 S n ? k 恒成立,求 k 的取 ? ? ?? c1c 2 c 2c 3 c n c n ?1

2 的椭圆 2 x2 y 2 1 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,直线 l :x=- a b 2 : 3.设 A,B 是 C 将线段 F1F2 分成两段,其长度之比为 1 上的两个动点,线段 AB 的中垂线与 C 交于 P,Q 两点,线 段 AB 的中点 M 在直线 l 上. (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; ???? ???? ? ? (Ⅱ) 求 F2 P ? F2Q 的取值范围.

y P M A F1 O F2 x B

Q 1 x=- 2 (第 20 题图)

用心

爱心

专心

4

lnx+k 21. [2012·山东卷] 已知函数 f(x)= (k 为常数, e=2.71828?是自然对数的底数), x e 曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 x 轴平行. (1)求 k 的值; (2)求 f(x)的单调区间; 2 (3)设 g(x)=(x +x)f′(x),其中 f′(x)为 f(x)的导函数,证明:对任意 x>0,g(x)<1 -2 +e .

用心

爱心

专心

5

题号 答案 11. -1

1 A

2 A 12.

武汉六中 12 月月考答案 3 4 5 C C D

6 C

7 B

2

?? ? a b 16.解:(Ⅰ) f ( x) ? m ? n ? a sin2 x ? b sin x cos x = (1 ? cos 2 x) ? sin 2 x 2 2

?

?

1 4

13.3

14.②③④

8 D 2? 15. 3

9 B

10 A

由 f ( ) ? 2 得, a ? 3b ? 8 ① 6 ∵ f ?(x) ? a sin2x ? b cos2x ,又∵ f ?( x) 的图象关于直线 x ?
3 1 ? a ? b ,即 b ? 3a ∴ f ?(0) ? f ?( ) , ∴ b ? 2 2 6 由①、②得, a ? 2,b ? 2 3

?

2 分

?
12

对称, 4分 6分



(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f (x) ? 1 ? cos2x ? 3sin 2x ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 ? ? 5? ? ?? ∵ x ? ? 0, ? , ? ? 2 x ? ? , 6 6 6 ? 2?
3? ∴ ?1 ? 2sin(2 x ? ) ? 2 , f ( x) ? ?0, . 8 分 6 又∵ f ( x) ? log 2 k ? 0 有解,即 f ( x) ? ? log 2 k 有解, ∴ ?3 ? log 2 k ? 0 , 10 分 1 1 解得 ? k ? 1 ,即 k ? [ , . 12 分 1] 8 8 17.解:(1) 以 D 为坐标原点,分别以 DA、DC、DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间 直角坐标系, PD=CD=2, A(2,0,0),(0,0,2),(0,1,1),(2,2,0), 设 则 P E B =(2,0,-2), =(0,1,1), =(2,2,0)。 设=(x,y,z)是平面 BDE 的一个法向量,

?

?

则由,得 ? ∵

?y

+z=0

?2x+2y=0

;取=-1,=(1,-1,1),

3 ·=2-2=0,∴⊥,又 PA?平面 BDE,∴PA∥平面 BDE。?..4 分 3 (2) 由(1)知=(1,-1,1)是平面 BDE 的一个法向量,又==(2,0,0)是平面 DEC 的一个法向量。 设二面角 B-DE-C 的平面角为 θ ,由图可知 θ =<,>, ∴ cosθ =cos<,>== 2 3 ×2 = 3 , 3

3 。??8 分 3 (3)∵=(2,2,-2),=(0,1,1),∴·=0+2-2=0,∴PB⊥DE。 假设棱 PB 上存在点 F,使 PB ? 平面 DEF,设=λ (0<λ <1), 则 =(2λ , 2λ ,-2λ ),=+=(2λ , 2λ ,2-2λ ), 故二面角 B-DE-C 余弦值为

用心

爱心

专心

6

由·=0 得 4λ ∴ λ =

2

+4λ -2λ (2-2λ )=0,

2

1 1 ∈(0,1),此时 PF= PB, 3 3 1 PB,使得 PB⊥平面 DEF。??12 分 3

即在棱 PB 上存在点 F,PF= 18、解

设裁员 x 人,可获得的经济效益为 y 万元,则

y ? (2a ? x)(b ? 0.01bx ) ? 0.4bx = ?
依题意

b [ x 2 ? 2(a ? 70) x] ? 2ab 100

3 a 2a ? x ≥ ? 2a ∴0< x ≤ . 4 2 又 140< 2a <420, 70< a <210. a (1)当 0< a ? 70 ≤ ,即 70< a ≤140 时, x ? a ? 70 , y 取到最大值; 2 a a (2)当 a ? 70 > ,即 140< a <210 时, x ? , y 取到最大值; 2 2
综上所述,当 70< a ≤140 时,应裁员 a ? 70 人;当 140< a <210 时,应裁员 19、 (1)解:因为 an ?1 ? an ?
2 2

a 人 2

2 2 2 ,所以 an ?1 ? an ? an ?1 ? an ? 2 , an ?1 ? an ? 1

1? ? 1? ? 即 ? a n ?1 ? ? ? ? a n ? ? ? 2 ,??????????????????2 分 2? ? 2? ? 1? 1 ? b 令 b n ? ? a n ? ? ,?b n ?1 ? b n ? 2 ,故 ? n ? 是以 为首项,2 为公差的等差数列。 2? 4 ?
所以 b n ?
2

1 8n ? 7 ,??????????????????4 分 ? 2?n ? 1? ? 4 4
1 ? 8n ? 7 。????????????????6 分 2
2

因为 a n ? 1 ,故 a n ?

(2)因为 c n ? ?2a n ? 1? ? 8n ? 7 , 所以

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ,????????8 分 c n c n ?1 ?8n ? 7??8n ? 1? 8 ? 8n ? 7 8n ? 1 ? 1 1 1 1? 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? c1c 2 c 2c 3 c n c n ?1 8 ? 9 9 17 8n ? 7 8n ? 1 ?

所以 S n ?

用心

爱心

专心

7

1? 1 ? 1 ? ?1 ? ? ? ,????????????10 分 8 ? 8n ? 1 ? 8
因为 S n ? k 恒成立,故 k ? 20.(Ⅰ) 设 F2(c,0),则 1 c? 2 = 1 , 所以 c=1. 1 3 c? 2 因为离心率 e=
2 2

1 。????12 分 8
A F1

y B M O F2 x

, 所以 a= 2 .

x=- 1 2 (第 21 题图)

所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2

???? 5 分

(Ⅱ) 当直线 AB 垂直于 x 轴时,直线 AB 方程为 x=- 此时 P( ? 2 ,0)、Q( 2 ,0)

???? ???? ? ? F2 P ? F2Q ? ?1 .

1 , 2

当直线 AB 不垂直于 x 轴时,设直线 AB 的斜率为 k,M(-

1 ,m) (m≠0), 2

A(x1,y1),B(x2,y2).
? x12 2 ? ? y1 ? 1, y ? y2 ? 2 由 ? 得(x1+x2)+2(y1+y2) ? 1 =0, 2 x1 ? x2 ? x2 ? y 2 ? 1, 2 ? 2 ?
则 -1+4mk=0, 故 k=

1 . 4m
1 y ? m ? ?4m( x ? ) . 2

此时,直线 PQ 斜率为 k1 ? ?4m ,PQ 的直线方程为 即

y ? ?4mx ? m .

? y ? ?4mx ? m ? 联立 ? x 2 消去 y,整理得 (32m2 ?1) x2 ?16m2 x ? 2m2 ? 2 ? 0 . ? y2 ? 1 ? ?2

所以

x1 ? x2 ? ?

16m 2 2m 2 ? 2 , x1 x2 ? . 32m2 ? 1 32m 2 ? 1

于是 F2 P ? F2Q ? (x1-1)(x2-1)+y1y2

用心

爱心

专心

8

? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? (4mx1 ? m)( 4mx 2 ? m)

? (1 ? 16m2 )x1x2 ? (4m2 ?1)(x1 ? x2 ) ? 1 ? m2

?

19m 2 ? 1 (1 ? 16m2 )(2m2 ? 2) (4m2 ? 1)( ?16m2 ) ? ? 1 ? m2 ? . 32m 2 ? 1 32m2 ? 1 32m2 ? 1
2

令 t=1+32m ,1<t<29,则 又 1<t<29,所以

F2 P ? F2Q ?

19 51 . ? 32 32t

???? ???? 125 ? ? . ?1 ? F2 P ? F2Q ? 232 125 综上, F2 P ? F2Q 的取值范围为[ ?1 , ) . ???? 13 分 232
lnx+k 22.解:(1)由 f(x)= , x e 1-kx-xlnx 得 f′(x)= ,x∈(0,+∞), xex 由于曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线与 x 轴平行, 所以 f′(1)=0,因此 k=1. 1 (2)由(1)得 f′(x)= x(1-x-xlnx),x∈(0,+∞), xe 令 h(x)=1-x-xlnx,x∈(0,+∞), 当 x∈(0,1)时,h(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,h(x)<0. x 又 e >0, 所以 x∈(0,1)时,f′(x)>0; x∈(1,+∞)时,f′(x)<0. 因此 f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). 2 (3)证明:因为 g(x)=(x +x)f′(x), x+1 所以 g(x)= x (1-x-xlnx),x∈(0,+∞), e x e -2 -2 因此对任意 x>0,g(x)<1+e 等价于 1-x-xlnx< (1+e ). x+1 由(2),h(x)=1-x-xlnx,x∈(0,+∞), -2 所以 h′(x)=-lnx-2=-(lnx-lne ),x∈(0,+∞), -2 因此当 x∈(0,e )时,h′(x)>0,h(x)单调递增; -2 当 x∈(e ,+∞)时,h′(x)<0,h(x)单调递减. -2 -2 所以 h(x)的最大值为 h(e )=1+e , -2 故 1-x-xlnx≤1+e . x 设 φ (x)=e -(x+1). x x 0 因为 φ ′(x)=e -1=e -e , 所以 x∈(0,+∞)时,φ ′(x)>0,φ (x)单调递增, φ (x)>φ (0)=0, x 故 x∈(0,+∞)时,φ (x)=e -(x+1)>0, x e 即 >1. x+1

用心

爱心

专心

9

e -2 所以 1-x-xlnx≤1+e < (1+e ). x+1 -2 因此对任意 x>0,g(x)<1+e . ?14 分
-2

x

用心

爱心

专心

10


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