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简单几何体的外接球与内切球问题

时间:2017-02-06


简单几何体的外接球与内切球问题
一、外接球的问题: 简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点, 此类问题实质是解决球的半径尺或确定球 心 0 的位置问题,其中球心的确定是关键. (一) 由球的定义确定球心 在空间,如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等,那么这个定点就是该简单多 面体的外接球的球心. 由上述性质,可以得到确定简单多面体外接球的球心的

如下结论. 结论 1:正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点. 结论 2:正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点. 结论 3:直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点. 结论 4:正棱锥的外接球的球心在其高上,具体位置可通过计算找到. 结论 5:若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形,则公共斜边的中点就是其外接球的球心. 例 1、一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上, 且该六棱柱的体积为

9 ,底面周长为3,则这个球的体积为 8

.

4? 3

例 2、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4,体积为 16,则这个球的表面积 是 . 24?

AB ? 4, AC ? 6, A ? 例 3、 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,
外接球的表面积 .

?

160? 3

3

, AA1 ? 4 ,则直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的

例 4、三 棱 锥 A-BCD 中 , BA ⊥ AD , BC ⊥ CD , 且 AB=1 , AD= 3 , 则 此 三 棱 锥 外 接 球 的 体 积 为 .

4? 3

例 5、沿 矩 形 ABCD 的 对 角 线 AC 折 起 , 形 成 空 间 四 边 形 ABCD , 使 得 二 面 角 B-AC-D 为 120° , 若 AB=2 , BC=1 , 则 此 时 四 面 体 ABCD 的 外 接 球 的 体 积 为 .

5 5? 6

(二)构造正方体或长方体确定球心 长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处.以下是常见的、基本的几何体补成正 方体或长方体的途径与方法. 途径 1:正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造 正方体. 途径 2:同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正 方体. 途径 3:若已知棱锥含有线面垂直关系,则可将棱锥补成长方体或正方体. 途径 4:若三棱锥的三个侧面两两垂直,则可将三棱锥补成长方体或正方体. 例 6、正四棱锥 S ? ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ,点 S、A、B、C、D 都在同一球面上, 则此球的体积为 .

4? 3

例 7、如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为 6 cm 2 、4 cm 2 和 3 cm 2 ,那么它的外接球的

29 29? 6 例 8、在三棱锥 A ? BCD 中, AB ? 平面BCD, CD ? BC , AB ? 3,BC ? 4,CD ? 5 ,则三棱锥 A ? BCD 外接球的表面积 . 50? 例 9、在三棱锥 A ? BCD 中, AB ? CD ? 2, AD ? BC ? 3, AC ? BD ? 4 ,则三棱锥 A ? BCD 外接
体积是 . 球的体积 . 例 10、已 知 一 个 三 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 ,其 中 三 个 视 图 都 是 直 角 三 角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为 . SA ? 平面 ABC , 例 11、 若三棱锥 S ? BCD 的所有顶点都在球 O 的球面上,

SA ? 2 3, AB ? 1, AC ? 2, ?BAC ? 60? ,则球 O 的表面积为 16?

.

(三) 由性质确定球心 利用球心 O 与截面圆圆心 O1 的连线垂直于截面圆及球心 O 与弦中点的连线垂直于弦的性质,确 定球心. 例 12、三棱锥 S_-ABC 中,SA ⊥ 面 ABC,SA=2。△ABC 是边长为 1 的正三角形,则其外接球的表 面积为 . 例 13、 点 A,B,C,D 在同一个球的球面上, AB=BC=2, AC=2 2 , 若四面体 ABCD 体积的最大值为

则该球的表面积为 . 9? 二、内切球问题 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切, 则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球 是这个多面体的内切球。 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不重合。 4、基本方法:构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。 (一)正方体的的内切球 设正方体的棱长为 a ,求(1)内切球半径;(2)与棱相切的球半径。(1)截面图为正方形 EFGH 的内切圆,得 R ?

4 , 3

a ;(2)与正方体各棱相切的球:球与正方体的各棱相切,切点为各棱的中点, 2 2 a。 作截面图,圆 O 为正方形 EFGH 的外接圆,易得 R ? 2
(二)棱锥的内切球(分割法) 将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线,将棱锥分割成以原棱锥的面为底面,内切球的半径为高 的小棱锥,根据分割前后的体积相等,列出关于半径 R 的方程。若棱锥的体积为 V,表面积为 S,则 内切球的半径为 R ?

3V . S
.

4?8 2 例 14、三棱锥 P ? ABC 中,底面 ?ABC 是边长为 2 的正三角形, PA ⊥底面 ABC ,且 PA ? 2 ,

例 13、正四棱锥 S ? ABCD ,底面边长为 2,侧棱长为 3,则内切球的半径是

4 7

则此三棱锥内切球的半径为

.(

2 3 3? 7 ?4



(三) 圆柱(轴截面为正方形) 、圆锥的内切球(截面法) 例 15、圆锥的高为 4,底面半径为 2,求该圆锥内切球与外接球的半径比 例 16、圆柱的底面直径和高都是 6,求该圆柱内切球的半径 .3 .

8 5 5


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