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8.1空间几何体的结构及其三视图和直观图


第八编 立体几何
§8.1 空间几何体的结构及其三

视图和直观图
基础知识
要点梳理
1.多面体的结构特征

自主学习

(1)棱柱的上下底面 平行 ,侧棱都平行且长度
相等 ,上底面和下底面是 全等 的多边形. (2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个 公 共点 的

三角形.

(3)棱台可由平行于棱锥底面 的平面截棱锥得

到,其上下底面的两个多边形相似.
2.旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由矩形绕其一边所在直线 旋转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕其一条直角边所在 直线 旋转得到. (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等 腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到,也可由 平行于圆锥底面 的平面截圆锥得到.

(4)球可以由半圆或圆绕其 直径 旋转得到.

3.空间几何体的三视图
空间几何体的三视图是用 正投影 得到,这种投 影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平 面图形的形状和大小是完全相同的,三视图包括 正视图 、 侧视图、 俯视图 .

4.空间几何体的直观图
画空间几何体的直观图常用 斜二测 画法,基 本步骤是: (1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴,两轴 相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x′ 轴、y′轴,两轴相交于点O′,且使∠x′O′y′ =45°(或135°) .

(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段,在直观 图中平行于 x′轴、y′轴 . (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中长 度保持不变,平行于y轴的线段,长度变为原来 的一半 . (4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面, 在直观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平 面,已知图形中平行于z轴的线段,在直观图中 仍平行于z′轴且长度 不变 .

5.中心投影与平行投影 (1)平行投影的投影线 互相平行 ,而中心投影的 投影线 相交于一点 . (2)从投影的角度看,三视图和用斜二测画法画 出的直观图都是在 平行 投影下画出来的图形.

基础自测
1.一个棱柱是正四棱柱的条件是( C ) A.底面是正方形,有两个侧面是矩形 B.底面是正方形,有两个侧面垂直于底面 C.底面是菱形,具有一个顶点处的三条棱两

两垂直
D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱 解析 根据正四棱柱的结构特征加以判断.

2.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是
圆,则这个几何体一定是( C ) A.圆柱 B.圆锥 C.球体

D.圆柱、圆锥、球体的组合体
解析 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时,截 面分别为矩形和三角形,只有球满足任意截面 都是圆面.

3.如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥

的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( C )
A.30° C.60° 解析 B.45° D.90° 设母线为l,底面半径为r,则π l=2π r.

r 1 ? ? , ∴母线与高的夹角为30°.∴圆锥的顶 l 2

角为60°.

4.三视图如下图的几何体是

(B )

A.三棱锥
C.四棱台 解析

B.四棱锥
D.三棱台

由三视图知该几何体为一四棱锥,其中

有一侧棱垂直于底面,底面为一直角梯形.故选B.

5.等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB= 2 ,下
底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画 法画出的直观图A′B′C′D′的面积为 解析
2 2

.

1 2 ? OE ? ( 2 ) ? 1 ? 1,? O?E ? ? , E ' F ? , 2 4 1 2 2 ? 直观图A?B?C ?D?的面积为S ? ? ? (1 ? 3) ? ? . 2 4 2
2

题型分类
题型一

深度剖析

几何体的结构、几何体的定义

【例1】 设有以下四个命题: ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体;

②底面是矩形的平行六面体是长方体; ③直四棱柱是直平行六面体;

④棱台的相对侧棱延长后必交于一点.
其中真命题的序号是 .
思维启迪 利用有关几何体的概念判断所给命题 的真假.

解析

命题①符合平行六面体的定义,故命题①是

正确的,底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底 面不垂直,故命题②是错误的,因直四棱柱的底面 不一定是平行四边形,故命题③是错误的,命题④ 由棱台的定义知是正确的.

答案

①④

探究提高 解决该类题目需准确理解几何体的定 义,要真正把握几何体的结构特征,并且学会通

过反例对概念进行辨析,即要说明一个命题是错
误的,设法举出一个反例即可.

知能迁移1

下列结论正确的是(



A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余 两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则
此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线 都是母线 解析 A错误.如图所示,由两个结构

相同的三棱锥叠放在一起构成的几何
体,各面都是三角形,但它不一定是棱锥.

B错误.如下图,若△ABC不是直角三角
形或是直角三角形,但旋转轴不是直角 边,所得的几何体都不是圆锥. C错误.若六棱锥的所有棱长都相等, 则底面多边形是正六边形.由几何图形知,若以正

六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长.
D正确.

答案 D

题型二

几何体的直观图

【例2】 一个平面四边形的斜二测画法的直观图 是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面
积等于( A.
2 2 a 4

) B. 2 2a 2 C. 2 a 2 D. 2 2 a 2 2 3 按照直观图的画法,建立适当的坐

思维启迪 标系将正方形A′B′C′D′还原,并利用平面

几何的知识求出相应的线段、角,求解时要注

意线段和角的变化规律.

解析

根据斜二测画法画平面图形的直观图的规

则可知,在x轴上(或与x轴平行)的线段,其长度保持 不变;在y轴上(或与y轴平行)的线段,其长度变为原 来的一半,且∠x′O′y′=45°(或135°),所以, 若设原平面图形的面积为S,则其直观图的面积为
1 2 2 S? ? ? ?S ? S . 可以得出一个平面图形的面积S 2 2 4

与它的直观图的面积S′之间的关系是S′=

本题中直观图的面积为a2,

2 S, 4

a2 ? 2 2a 2 . 所以原平面四边形的面积 S ? 2 答案 B 4

探究提高 对于直观图,除了解斜二测画法的规

则外,还要了解原图形面积S与其直观图面积S′

之间的关系S′=
知能迁移2

2 S , 能进行相关问题的计算. 4 如图所示,直观图四边形

A′B′C′D′是一个底角为45°,
腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面

积是

.

解析

把直观图还原为平面图形得:

直角梯形ABCD中,AB=2,BC=1+ 2 ,AD=1,
1 ? 面积为 (2 ? 2 ) ? 2 ? 2 ? 2. 2

答案 2 ? 2

题型三

几何体的三视图

【例3】 (2009·山东,4)一空间几何体的三视图 如图所示,则该几何体的体积为( )

A. 2 π? 2 3 C. 2 π ? 2 3
3

B. 4 π? 2 3 D. 4 π ? 2 3
3

思维启迪 由几何体的三视图,画出几何体的直 观图,然后利用体积公式求解.

解析

该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成,

圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2π ,四棱锥 的底面边长为 2 ,高为 3 ,所以体积为 1 ? ( 2 ) 2 ? 3
2 3 2 3 所以该几何体的体积为 2 π? . 3? , 3 3 答案 C

探究提高 通过三视图间接给出几何体的形状,打

破以往直接给出几何体并给出相关数据进行相关 运算的传统模式,使三视图与传统意义上的几何体 有机结合,这也体现了新课标的思想.

知能迁移3

一个几何体的三视图如图所示,其中正 (B )

视图与侧视图都是边长为2的正三角形,则这个几
何体的侧面积为

A. 3 π

解析

3

B. 2 π

C.3 π

D. 4 π

由三视图知,该几何体为一圆锥,其中

底面直径为2,母线长为2,S侧=π rl =π ×1×2=2π .

题型四

多面体与球

【例4】 (12分)棱长为2的正四面体的四个顶点 都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面
如图所示,求图中三角形(正四面体的截面) 的面积.

思维启迪 截面过正四面体的两顶点及球心,

则必过对边的中点.



如图所示,△ABE为题中的三角形,

3 由已知得AB ? 2, BE ? 2 ? ? 3, 2 2 2 3 BF ? BE ? , 3 3 4 8 2 2 AF ? AB ? BF ? 4 ? ? , 3 3

[4分] [8分]

? ?ABE的面积为 1 1 8 S ? ? BE ? AF ? ? 3 ? ? 2. 2 2 3 ? 所求的三角形的面积为 2.

[12分]

探究提高 解决这类问题的关键是准确分析出组

合体的结构特征,发挥自己的空间想象能力,把立
体图和截面图对照分析,有机结合,找出几何体中

的数量关系,为了增加图形的直观性,常常画一个
截面圆作为衬托.

知能迁移4

在一个倒置的正三棱锥容器内,放入

一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都接触,经 过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形 是( B )

解析

正三棱锥的内切球心在高线上,与侧面有

公共点,与棱无公共点.

思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.棱柱主要是理解、掌握基本概念和性质,并能 灵活应用. 2.正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底

面正多边形、内切圆半径、外接圆半径、底面
边长的一半构成的直角三角形中解决. 3.圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这 一特点,弄清旋转轴、旋转面、轴截面.

失误与防范
1.台体可以看成是由锥体截得的,但一定强调截

面与底面平行.
2.掌握三视图的概念及画法 在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面 的交线是它们的分界线.在三视图中,分界线和可 见轮廓线都用实线画出,被挡住的轮廓线画成虚

线.并做到“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样
宽”.

3.掌握直观图的概念及斜二测画法 在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段.

“平行于x轴的线段平行性不变,长度不变;
平行于y轴的线段平行性不变,长度减半.” 4.能够由空间几何体的三视图得到它的直观图; 也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图. 提升空间想象能力.

定时检测
一、选择题

1.如图是由哪个平面图形旋转得到的

( A)

解析

几何体的上部为圆锥,下部为圆台,只

有A可以旋转得到,B得到两个圆锥,C得到一圆 柱和一圆锥,D得到两个圆锥和一个圆柱.

2.下列命题中,成立的是 B.四面体一定是三棱锥





A.各个面都是三角形的多面体一定是棱锥
C.棱锥的侧面是全等的等腰三角形,该棱锥一 定是正棱锥 D.底面多边形既有外接圆又有内切圆,且侧棱 相等的棱锥一定是正棱锥 解析 A是错误的,只要将底面全等的两个棱锥 的底面重合在一起,所得多面体的每个面都是

三角形,但这个多面体不是棱锥;

B是正确的,三个面共顶点,另有三边围成三角形
是四面体也必定是个三棱锥; C是错误的,如图所示,棱锥的侧面 是全等的等腰三角形,但该棱锥 不是正三棱锥;

D也是错误的,底面多边形既有内切
圆又有外接圆,如果不同心,则不是正多边形, 因此不是正棱锥. 答案 B

3.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图

相同的是
A.①② C.①④ B.①③ D.②④

( D)

解析

在各自的三视图中①正方体的三个视图

都相同;②圆锥的两个视图相同;③三棱台的
三个视图都不同;④正四棱锥的两个视图相同, 故选D.

4.(2008·广东理,5)将正三棱柱截去三个角
(如图1所示),A,B,C分别是△GHI三边的 中点得到几何体如图2,则该几何体按图2所示 方向的侧视图(或称左视图)为( )

解析

当三棱锥没有截去三个角时的侧视图如图

(1)所示,由此可知截去三个角后的侧视图如 图(2)所示.

答案

A

5.已知△ABC的直观图是边长为a的等边△A1B1C1
(如图),那么原三角形的面积为 ( )

A.

3 2 a 2

B. 3 a 2 4 D. 6a 2

C. 6 a 2 2

解析

在原图与直观图中有OB=O1B1,BC=B1C1.

在直观图中,过A1作A1D1⊥B1C1,
因为△A1B1C1是等边三角形,
3 a, 2 在Rt△A1O1D1中,∵∠A1O1D1=45°,

所以A1D1=

∴ O1 A 1 =

6 a, 2 6 根据直观图画法规则知: OA ? 2O1 A1 ? 2 ? a ? 6a, 2 ∴△ABC的面积为 1 ? a ? 6a ? 6 a 2 . 2 2 答案 C

6.棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的8个顶点都在
球O的表面上,E、F分别是棱AA1、DD1的中点,则 直线EF被球O截得的线段长为 (D ) A. 2 B.1 C.1 ? 2 D. 2 2 2 解析 由题知球O半径为 3 ,球心O到直线EF 2 1 的距离为 ,由垂径定理可知直线EF被球O截 2 得的线段长

3 1 d ? 2 ? ? 2. 4 4

二、填空题
7.用任一个平面去截正方体,下列平面图形可能是 截面的是 ①②③⑤⑥ . ①正方形;②长方形;③等边三角形;④直角 三角形;⑤菱形;⑥六边形.

解析

如图所示正方体ABCD—

A1B1C1D1中,平行于ABCD的截面 为正方形,截面AA1C1C为长方形, 截面AB1D1为等边三角形,取BB1、DD1的中点E、 F,则截面AEC1F为菱形,取B1C1、D1C1、AB、 AD的中点M、N、P、Q,过这四点的截面为六 边形,截面不可能为直角三角形.

8.下列命题中:
①用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底 面和截面之间的部分叫棱台; ②棱台的各侧棱延长后一定相交于一点; ③圆台可以看做直角梯形以其垂直于底边的腰 所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面 围成的几何体; ④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球. 其中所有正确命题的序号是 ①②③ 解析 . ①符合棱台的定义;②棱台是由棱锥被

平行于底面的平面所截而得,各侧棱延长后一 定相交于一点;③是圆台的另一种定义形式; ④中形成的是球面而不是球.

9.(2009·天津文,12)如图是一个几何体的三
视图.若它的体积是3 3 ,则a=

3.

解析

由三视图可知,此几何体为直三棱柱,

其底面为一边长为2,高为a的等腰三角形.由棱 柱的体积公式得
1 ? 2 ? a ? 3 ? 3 3, 所以a ? 3. 2

三、解答题
10.一个正方体内接于高为40 cm,底面半径为30 cm 的圆锥中,求正方体的棱长. 解 如图所示,过正方体的体对角 线作圆锥的轴截面,设正方体的棱 2 x 2 40 ? x 长为x,则 OC ? x,? 2 ? , 2 30 40
解得x ? 120(3 ? 2 2 ), ? 正方体的棱长为120(3 ? 2 2 ) cm .

11.正四棱锥的高为 3,侧棱长为 7 ,求侧面上斜高 (棱锥侧面三角形的高)为多少? 如图所示,正四棱锥S-ABCD中高OS= 3 , 侧棱SA=SB=SC=SD= 7, 解 在Rt△SOA中, OA= SA2 ? OS 2 ? 2,∴AC=4. ∴AB=BC=CD=DA=2 2 . 作OE⊥AB于E,则E为AB中点. 连接SE,则SE即为斜高,则SO⊥OE. 在Rt△SOE中, ∴SE= 5 ,即侧面上的斜高为 5 .
1 ? OE ? BC ? 2, SO ? 3, 2

12.已知正三棱锥V—ABC的正视图、侧视图和俯视
图如图所示.

(1)画出该三棱锥的直观图; (2)求出侧视图的面积.



(1)如图所示.

(2)根据三视图间的关系可得BC= 2 3,
2 3 ? 侧视图中 VA ? 42 ? ( ? ? 2 3) 2 ? 12 ? 2 3, 3 2 1 ? S ?VBC ? ? 2 3 ? 2 3 ? 6. 2 返回


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