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高中数学2-2-1综合法和分析法


2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法

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【课标要求】 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法.

2.理解分析法和综合法的思考过程、特点,会用分析法和综合法
证明数学问题. 【核心扫描】 1.综合法、分析法解决数学问题的

思路及步骤.(重点) 2.综合运用综合法、分析法解决较复杂的数学问题.(难点)

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自学导引

1.直接证明
从题目的条件或结论出发,根据已知的定义、定理、公理等, 通过推理直接推导出所要证明的结论,这种证明方法称为直接 证明.常用的直接证明方法有综合法和分析法.

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2.综合法 定理 、 公理 等, 已知条件和某些数学定义、 (1)定义:一般地,利用 经过一系列的 推理论证 ,最后推导出所要证明的结论成立,这 种证明方法叫做综合法. (2)框图表示:用P表示已知条件,已有的定义、公理、定理等, Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:

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3.分析法

(1)定义:一般地,从要证明的 结论出发 ,逐步寻求使它成立
的 充分条件 ,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显 成立的条件( 已知条件 、 定理 、 定义 、 公理 等)为止,这种 证明方法叫做分析法. (2)框图表示:用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示

为:

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想一想:综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理? 提示 综合法的推理过程是演绎推理,因为综合法的每一步推

理都是严密的逻辑推理,从而得到的每一个结论都是正确的, 不同于合情推理中的“猜想”.

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名师点睛

1.综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知,
从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证 的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证 的命题.综合法是一种由因导果的证明方法. 综合法的证明步骤用符号表示是:

P0(已知)?P1?P2???Pn(结论)

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2.分析法是指从需证的问题出发,分析出使这个问题成立的充分 条件,使问题转化为判定那些条件是否具备,其特点可以描述

为“执果索因”,即从未知看需知,逐步靠拢已知.分析法的
书写形式一般为“因为??,为了证明??,只需证明??, 即??,因此,只需证明??,因为??成立,所以??,结 论成立”. 分 析 法 的 证 明 步 骤 用 符 号 表 示 是 : P0( 已 知 )???Pn - 2?Pn -
1?Pn(结论)

分析法属逻辑方法范畴,它的严谨体现在分析过程步步可逆.

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3.综合法与分析法的优点 综合法的优点:叙述简洁、直观,条理清楚;而且可使我们从

已知的知识中进一步获得新的知识.
分析法的优点:更符合人们的思维规律,利于思考,思路自然, 在探求问题的证明时,它可帮助我们构思.应该指出的是不能 把分析法和综合法绝对分开,正如恩格斯所说“没有分析就没 有综合”一样,分析与综合是相比较而存在的,它们既是对立

的,又是统一的.严格地讲,分析是为了综合,综合又需根据
分析,因而有时在一个命题的论证中,往往同时应用两种方法, 有时甚至交错使用.
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题型一

综合法的应用

【例 1】 设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且(3-m)Sn+2man=m+3(n ∈N*),其中 m 为常数,且 m≠-3. (1)求证:{an}是等比数列; 3 (2)若数列{an}的公比 q=f(m), 数列{bn}满足 b1=a1, n=2f(bn b
-1

)(n∈N

*

?1? ? ? ,n≥2),求证:?b ?为等差数列. ? n? ? ?

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[思路探索] 通过变形利用等差、等比数列的定义证明即可,在证 明过程中,恰当处理递推关系是本题证明的关键. 证明 (1)由(3-m)Sn+2man=m+3 得 (3-m)Sn+1+2man+1=m+3. 两式相减得(3+m)an+1=2man,(m≠-3), an+1 2m ∴ a = ,∴{an}是等比数列. m+3 n

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2m (2)b1=a1=1,q=f(m)= ,∴n∈N*,n≥2 时, m+3 3 3 2bn-1 1 1 1 bn=2f(bn-1)=2· ?b b - +3bn=3bn-1?b - = . bn-1+3 n n 1 bn-1 3 n
?1? ? ? ∴数列?b ?为首项为 ? ? ? n?

1 1,公差为 的等差数列. 3

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利用综合法证明问题的步骤:

(1)分析条件选择方向:仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件), 分析已知与结论之间的联系与区别,选择相关的公理、定理、公

式、结论,确定恰当的解题方法.
(2)转化条件组织过程:把题目的已知条件,转化成解题所需要的 语言,主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化,组织过程 时要有严密的逻辑,简洁的语言,清晰的思路. (3)适当调整回顾反思:解题后回顾解题过程,可对部分步骤进行

调整,并对一些语言进行适当的修饰,反思总结解题方法的选
取.
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1 1 【变式 1】 已知 a,b 是正数,且 a+b=1,求证:a+b≥4. 证明 法一 ∵a,b 是正数且 a+b=1, 1 1 1 a+b 1 ∴a+b≥2 ab,∴ ab≤ ,∴ + = = ≥4. 2 a b ab ab 法二 ∵a,b 是正数,∴a+b≥2 ab>0, 1 1 a+b≥2 1 ab>0,

?1 1? ∴(a+b)?a+b?≥4. ? ?

1 1 又 a+b=1,∴a+b≥4.
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法三

1 1 a+b a+b b a a+b= a + b =1+a+b+1≥2+2

ba a·=4.当且仅 b

当 a=b 时,取“=”号.

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题型二 分析法的应用 2 【例 2】 设 a,b 为实数,求证: a +b ≥ 2 (a+b).
2 2

[思路探索] 题目条件要求使用分析法证明不等式,只需要注 意分析法证明问题的格式即可.

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证明
2

当 a+b≤0 时,∵ a2+b2≥0,
2

2 ∴ a +b ≥ 2 (a+b)成立. 当 a+b>0 时,用分析法证明如下: 2 要证 a +b ≥ (a+b), 2
2 2

只需证( a +b )
2 2

2

2 2

? ≥? ? ?

? 2 ? ?a+b??2, 2 ?

1 2 即证 a +b ≥2(a +b2+2ab),即证 a2+b2≥2ab. ∵a2+b2≥2ab 对一切实数恒成立, 2 ∴ a +b ≥ 2 (a+b)成立.综上所述,不等式得证.
2 2
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用分析法证明不等式时应注意 (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不 等式和逻辑推理的基本理论;

(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发,逐步寻求使它
成立的充分条件,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式; (3)用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要证明”、 “只需证明”、“即证明”等词语.

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a b 【变式 2】 已知 a,b 是正实数,求证: + ≥ b a a b 证明 要证 + ≥ a+ b, b a 只要证 a a+b b≥ ab· a+ b). ( 即证(a+b- ab)( a+ b)≥ ab( a+ b), 因为 a,b 是正实数, 即证 a+b- ab≥ ab, 也就是要证 a+b≥2 ab, 即( a- b)2≥0. a b 该式显然成立,所以 + ≥ a+ b. b a
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a+ b.

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题型三

综合法和分析法的综合应用

【例 3】 已知 a、b、c 是不全相等的正数,且 0<x<1. a+b b+c a+c 求证:logx 2 +logx 2 +logx 2 <logxa+logxb+logxc

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[规范解答] 要证明: a+b b+c a+c logx 2 +logx 2 +logx 2 <logxa+logxb+logxc, 只需要证明
?a+b b+c a+c? ? logx? ? 2 · 2 · 2 ?<logx(abc).(2 ? ?

分)

a+b b+c a+c 由已知 0<x<1,只需证明 2 · 2 · 2 >abc.(4 分) a+b b+c a+c 由公式 ≥ ab>0, ≥ bc>0, ≥ ac>0.(8 分) 2 2 2 又∵a,b,c 是不全相等的正数,

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a+b b+c a+c ∴ 2 · 2 · 2 > a2b2c2=abc.(10 分) a+b b+c a+c 即 2 · 2 · 2 >abc 成立. a+b b+c a+c ∴logx 2 +logx 2 +logx 2 <logxa+logxb+logxc 成立.(12 分)

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【题后反思】 综合法推理清晰,易于书写,分析法从结论入手,

易于寻找解题思路,在实际证明命题时,常把分析法与综合法结
合起来使用,称为分析综合法,其结构特点是:根据条件的结构 特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条 件,得到中间结论P;若由P可推出Q,即可得证.

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π 【变式 3】 已知 α,β≠kπ+ (k∈Z),且 2 sin θ+cos θ=2sin α,①

sin θ· θ=sin2β,② cos 1-tan2α 1-tan2β 求证: = . 1+tan2α 2?1+tan2β?

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证明

因为(sin θ+cos θ )2-2sin θcos θ=1,所以将①②代入,可 ③

得 4sin2α-2sin2β=1 1-tan2α 1-tan2β 另一方面,要证 2 = 2 , 1+tan α 2?1+tan β? sin2α sin2β 1-cos2α 1-cos2β 即证 sin2α = ? sin2β ?, ?1+ ? 1+ 2 cos α 2? cos2β?

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1 即证 cos α-sin α=2(cos2β-sin2β),
2 2

1 即证 1-2sin α= (1-2sin2β), 2
2

即证 4sin2α-2sin2β=1. 由于上式与③相同,于是问题得证.

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误区警示

因逻辑混乱而出错

【示例】 设向量 a=(4cos α, α), sin b=(sin β, 4cos β), tan αtan 若 β=16,求证:a∥b. [错解] ∵a∥b,且 a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β); ∴(4cos α)· (4cos β)=sin αsin β, sin α sin β 即 sin αsin β=16cos αcos β,∴cos α· β=16, cos ∴tan αtan β=16,即结论正确.

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以上证明混淆了已知和结论, 把头脑中的分析过程当 成了证明过程,如果按分析法书写就正确了;当然,本题用综合 法书写证明过程更简洁. [正解] (分析法):要证明 a∥b,而 a=(4cos α,sin α),b=(sin β, 4cos β); ∴即要证明(4cos α)· (4cos β)=sin αsin β,即要证 sin αsin β=16cos αcos β, sin α sin β 即要证cos α· β=16,即要证 tan αtan β=16, cos 而 tan αtan β=16 已知,所以结论正确.
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sin α sin β (综合法):∵tan αtan β=16,∴ · =16, cos α cos β 即 sin αsin β=16cos αcos β,∴(4cos α)· (4cos β)=sin αsin β, 即 a=(4cos α,sin α)与 b=(sin β,4cos β)共线,∴a∥b. 分析法的优点是方向明确,思路自然,故利于思考, 但表述易错;综合法的优点是易于表达,条理清晰,形式简捷, 故我们一般用分析法寻求解题思路,用综合法书写解题过程.

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