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第一届leo邀请赛数学试题(高一)

时间:2016-04-09


第一届 Leo 邀请赛数学试题(高一) 总分:150 时间:120 分钟 姓名: 考号:

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一.选择题(共 12 小题) 1.设数列{an}是首项为 1 公比为 3 的等比数列,把{an}中的每一项都减去 2 后,得到一个 * 新数列{bn},{bn}的前 n 项和为 Sn,对任意的 n∈N ,下列结论正确的是( ) A.bn+1=3bn,且 Sn= (3 ﹣1) B.bn+1=3bn﹣2,且 Sn= (3 ﹣1) C.bn+1=3bn+4,且 Sn= (3 ﹣1)﹣2n D.bn+1=3bn﹣4,且 Sn= (3 ﹣1)﹣2n
n n n n

2.已知 f (x)=x+1,g (x)=2x+1,数列{an}满足:a1=1,an+1= 则数列{an}的前 2007 项的和为( ) 2008 2007 2006 1003 A.5×2 ﹣2008 B.3×2 ﹣5020 C.6×2 ﹣5020 D.6×2 ﹣5020 3.在平面直角坐标系中,定义 (n∈N)为点 Pn(xn,yn)到点 Pn+1(xn+1,

yn+1)的一个变换为“γ 变换”,已知 P1(0,1) ,P2(x2,y2) ,…Pn(xn,yn) ,Pn+1(xn+1, yn+1) 是经过“γ 变换”得到的一列点. 设 an=|PnPn+1|, 数列{an}的前 n 项和是 Sn, 那么 的值为( ) A. B.2﹣ C.2+ D.1+ 4.已知函数 y=f(x)的定义域为 R,当 x<0 时,f(x)>1,且对任意的实数 x,y∈R,等 式 f(x)f(y)=f(x+y)成立.若数列{an}满足 a1=f(0) ,且 (n∈N ) ,则 a2009 的值为( ) A.4016 B.4017 C.4018 D.4019
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*

5.如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始,每一项与它前一项的平方差是相同的 常数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫做这个数列的公方差.设数列{an}是首项为 2, 公方差为 2 的等方差数列,若将 a1,a2,a3,…,a10 这种顺序的排列作为某种密码,则这种 密码的个数为( ) A.18 个B.256 个 C.512 个 D.1024 个 6.对于一个有限数列 P={P1,P2,…,Pn}P 的“蔡查罗和”定义为 ,其

中 Sk=P1+P2+…+Pk(1≤k≤n) .若一个 99 项的数列{P1,P2,…,P99}的“蔡查罗和”为 1000, 则 100 项的数列{1,P1,P2,…,P99}“蔡查罗和”为( ) A.990 B.991 C.992 D.993 7.设曲线 y= (n∈N )在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,则数列 ) D.
*

{xn}前 10 项和等于( A. B. C.

8.察下列三角形数表:其中从第 2 行起,每行的每一个数为其“肩膀”上两数之和,则该数 表的最后一行的数为( )

A.101×2 B.101×2 C.99×2 D.100×2 n 9.在数列{2 ﹣1}的前 2011 项中任意选取若干项相乘(当只取到一项时,乘积就为所选项 本身) ,记所有这样的乘积和为 S,则 log2(S+1)的值为( ) A.1005×2011 B.1006×2011 C.2010×2011 D.2011×2011 10.已知 f(x) 、g(x)都是定义在 R 上的函数,g(x)≠0,f′(x)g(x)<f(x)g′(x) , f(x)=a g(x) , 任意取前 k 项相加,则前 k 项和大于 A. B. C. D.
x

98

99

99

99

,在有穷数列 的概率是( )

( n=1,2,…,10)中,

11.已知数列 A:a1,a2,…,an(0≤a1<a2<…<an,n≥3)具有性质 P:对任意 i,j(1≤i≤j≤n) , aj+ai 与 aj﹣ai 两数中至少有一个是该数列中的一项、现给出以下四个命题: ①数列 0,1,3 具有性质 P; ②数列 0,2,4,6 具有性质 P; ③若数列 A 具有性质 P,则 a1=0; ④若数列 a1,a2,a3(0≤a1<a2<a3)具有性质 P,则 a1+a3=2a2, 其中真命题有( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个

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12.如图,“杨辉三角”中从上往下数共有 n(n>7,n∈N)行,设其第 k(k≤n,k∈N )行中 不是 1 的数字之和为 ak,由 a1,a2,a3,…组成的数列{an}的前 n 项和是 Sn 现有下面四个结 n+1 论: ①a8=254; ②an=an﹣1+2n; ③S3=22; ④Sn=2 ﹣2﹣2n. 其中正确结论的序号为 ( )

*

A.①④

B.②④

C.④ D.①②③④

二.填空题(共 5 小题) 13.正整数 m 的三次幂可拆分成几个连续奇数的和,如图所示,若 m 的“拆分数”中有一个 数是 2009,则 m 的值为 .
3

14.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若数列{an}的各项按如下规律排列: , , , , , , , , , ,…, , ,…, ① ② ③数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比数列 ④数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前 n 项和为 ⑤若存在正整数 k,使 Sk<10,Sk+1>10,则 . . ; ; ,…有如下运算和结论:

在后面横线上填写出所有你认为正确运算结果或结论的序号 15.将杨辉三角中的每一个数 Cn 都换成
r

,就得到一个如下图所示的分数三角

形,成为莱布尼茨三角形,从莱布尼茨三角形可看出



其中 x=r+1, 令

, 则

=



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16.已知数列{an}的各项均为正整数,对于 n=1,2,3,…,有

,当 a1=11 时, ;若存在 m∈N ,当 n>m 且 an 为奇数时,an 恒为常数 p,则 p 的值 .
*

a100= 为

17.定义运算符号“

”:表示若干个数相乘,例如: ; .

=1×2×3×…×n.记 Tn=

,其中

ai 为数列{an}中的第 i 项. (1)若 an=2n﹣1,则 T4= 2 * (2)若 Tn=n (n∈N ) ,则 an= 三.解答题(共 5 小题) 18.函数

的定义域为{x|x≠1},图象过原点,且 .

(1)试求函数 f(x)的单调减区间; (2)已知各项均为负数的数列{an}前 n 项和为 Sn,满足 ; ,求证:

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(3) 设

, 是否存在 m1, , n1, m2, n2∈N*, 使得 ln2011∈ (g (m1,

n1) ,g(m2,n2) )?若存在,求出 m1, ,n1,m2,n2,证明结论;若不存在,说明理由. 19.已知数列{an}满足 (1)求 a2,a3,a4; (2)是否存在实数 t,使得数列 否则,请说明理由; (3)记 数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证: . 是公差为﹣1 的等差数列,若存在求出 t 的值, ,

20.已知各项均不为零的数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1=c,2Sn=anan+1+r. (1)若 r=﹣6,数列{an}能否成为等差数列?若能,求 c 满足的条件;若不能,请说明理由. (2)设 Pn= ,

Qn= ﹣n<Pn﹣Qn<n +n 恒成立. 21.已知函数 f(x)=sinx,数列{an}满足 (1)求证:当 时,不等式
2

,若 r>c>4,求证:对于一切 n∈N*,不等式

恒成立; . ,

(2)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,求证: 22.已知 Sn 是数列{an }的前 n 项和,Sn 满足关系式

(n≥2,n 为正整数) . n (1)令 bn=2 an,求证数列{bn }是等差数列,并求数列{an}的通项公式; * (2)对于数列{un},若存在常数 M>0,对任意的 n∈N ,恒有|un+1﹣un|+|un﹣un﹣1|+…+|u2 ﹣u1|≤M 成立,称数列{un} 为“差绝对和有界数列”, 证明:数列{an}为“差绝对和有界数列”; (3)根据(2)“差绝对和有界数列”的定义,当数列{cn}为“差绝对和有界数列”时, 证明:数列{cn?an}也是“差绝对和有界数列”.

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第一届 Leo 邀请赛数学试题(高一)
参考答案与试题解析

一.选择题(共 12 小题) 1.设数列{an}是首项为 1 公比为 3 的等比数列,把{an}中的每一项都减去 2 后,得到一个 * 新数列{bn},{bn}的前 n 项和为 Sn,对任意的 n∈N ,下列结论正确的是( ) A.bn+1=3bn,且 Sn= (3 ﹣1) B.bn+1=3bn﹣2,且 Sn= (3 ﹣1) C.bn+1=3bn+4,且 Sn= (3 ﹣1)﹣2n D.bn+1=3bn﹣4,且 Sn= (3 ﹣1)﹣2n 【解答】解:因为数列{an}是首项为 1 公比为 3 的等比数列,所以数列{an}的通项公式 n﹣1 n﹣1 n n﹣1 an=3 ,则依题意得,数列{bn}的通项公式为 bn=3 ﹣2,∴bn+1=3 ﹣2,3bn=3(3 ﹣2) n =3 ﹣6, ∴bn+1=3bn+4.{bn}的前 n 项和为: Sn= (1﹣2) + (3 ﹣2) + (3 ﹣2) + (3 ﹣2) ++ (3 ﹣2n = (3 ﹣1)﹣2n. 故选 C.
n 1 2 3 n﹣1 n n n n

﹣2) = (1+3 +3 +3 ++3

1

2

3

n﹣1

) ﹣2n=

2.已知 f (x)=x+1,g (x)=2x+1,数列{an}满足:a1=1,an+1= 则数列{an}的前 2007 项的和为( ) 2008 2007 2006 1003 A.5×2 ﹣2008 B.3×2 ﹣5020 C.6×2 ﹣5020 D.6×2 ﹣5020 【解答】解:∵a2n+2=a2n+1+1=(2a2n+1)+1=2a2n+2, ∴a2n+2+2═2(a2n+2) , ∴数列{a2n+2}是以 2 为公比、以 a2=a1+1=2 为首项的等比数列. n﹣1 ∴a2n+2=2×2 , n ∴a2n=2 ﹣2. 又 a2n+a2n+1=a2n+2a2n+1=3a2n+1, ∴数列{an}的前 2007 项的和为 a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a6+a7)+…+(a2006+a2007) =a1+(3a2+1)+(3a4+1)+(3a6+1)+…+(3a2006+1) 2 3 1003 =1+(3×2﹣5)+(3×2 ﹣5)+(3×2 ﹣5)+…+(3×2 ﹣5) 2 3 1003 =1+(3×2﹣5)+(3×2 ﹣5)+(3×2 ﹣5)+…+(3×2 ﹣5)
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=3×(2+2 +2 +…+2 +1﹣5×1003 1003 1003 =6×(2 ﹣1)+1﹣5×1003=6×2 ﹣5020, 故选 D

2

3

1003

3.在平面直角坐标系中,定义

(n∈N)为点 Pn(xn,yn)到点 Pn+1(xn+1,

yn+1)的一个变换为“γ 变换”,已知 P1(0,1) ,P2(x2,y2) ,…Pn(xn,yn) ,Pn+1(xn+1, yn+1) 是经过“γ 变换”得到的一列点. 设 an=|PnPn+1|, 数列{an}的前 n 项和是 Sn, 那么 的值为( ) A. B.2﹣ C.2+ D.1+ 【解答】解:由题设知 P1(0,1) ,P2(1,1) ,a1=|P1P2|=1, 2 2 2 2 且当 n≥2 时,an =|PnPn+1| =(xn+1﹣xn) ﹣(yn+1﹣yn) 2 2 2 2 =[(yn﹣xn)﹣xn] +[(yn+xn)﹣yn] =5xn ﹣4xnyn+yn 2 2 2 2 an﹣1 =|Pn﹣1Pn| =(xn﹣xn﹣1) ﹣(yn﹣yn﹣1) ① 由 (n∈N) ,得 ,





代入①计算化简得 an﹣1 =|Pn﹣1Pn| =( ∴ = (n≥2) ,

2

2

) +(

2

) = (5xn ﹣4xnyn+yn )= an .

2

2

2

2

∴数列{an}是以 为公比的等比数列,且首项 a1=1, n﹣1 ∴an=( ) , ∴Sn=a1+a2+a3+…+an= .



=

=



∴ 故选:C.

=

=

=2+



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4.已知函数 y=f(x)的定义域为 R,当 x<0 时,f(x)>1,且对任意的实数 x,y∈R,等 式 f(x)f(y)=f(x+y)成立.若数列{an}满足 a1=f(0) ,且 (n∈N ) ,则 a2009 的值为( ) A.4016 B.4017 C.4018 D.4019 【解答】解:根据题意,不妨设 f(x)= 则 a1=f(0)=1, ∵ (n∈N ) ,
* *

∴an+1=an+2 ∴数列{an}是以 1 为首项,以 2 为公差的等差数列 ∴an=2n﹣1 ∴a2009=4017 故选:B 5.如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始,每一项与它前一项的平方差是相同的 常数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫做这个数列的公方差.设数列{an}是首项为 2, 公方差为 2 的等方差数列,若将 a1,a2,a3,…,a10 这种顺序的排列作为某种密码,则这种 密码的个数为( ) A.18 个B.256 个 C.512 个 D.1024 个 【解答】解:∵数列{an}是首项为 2,公方差为 2 的等方差数列, 2 2 ∴a2 =a1 +2=4+2=6,∴a2=± 同理求得 a3=±2 ,a4=± ,…, a=± ,若将 a1,a2,a3,…,a10 这种顺序的排列作为某种密码,∵每个 an 有 2 个值,2 个值得顺序可以颠倒,共九个. 1 9 则这种密码的个数为(c2 ) =512 故选 C.

6.对于一个有限数列 P={P1,P2,…,Pn}P 的“蔡查罗和”定义为

,其

中 Sk=P1+P2+…+Pk(1≤k≤n) .若一个 99 项的数列{P1,P2,…,P99}的“蔡查罗和”为 1000, 则 100 项的数列{1,P1,P2,…,P99}“蔡查罗和”为( ) A.990 B.991 C.992 D.993 【解答】解:由“蔡查罗和”定义, {P1,P2, ,P99}的“蔡查罗和”为 ∴S1+S2++S99=99000, 则 100 项的数列{1,P1,P2, ,P99}“蔡查罗和”为 =991.
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故选 B.
*

7.设曲线 y=

(n∈N )在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn,则数列 ) D. (n∈N ) ,
﹣1

{xn}前 10 项和等于( A. B. C.

【解答】解:∵y= ∴ ∴当 x=1 时,y′=n +1, ∴曲线 y= 令 y=0,得 x=1﹣ ∴xn= ,
2

*



(n∈N )在点(1,1)处的切线为:y﹣1=(n +n) (x﹣1) , = ,

*

2

∴数列{xn}前 10 项和:S10=a1+a2+a3+…+a10 =( =10×1+ 故选 A. 8.察下列三角形数表:其中从第 2 行起,每行的每一个数为其“肩膀”上两数之和,则该数 表的最后一行的数为( ) )+( = . )+( )+…+( )

A.101×2 B.101×2 C.99×2 D.100×2 【解答】解:方法一:数表的每一行都是等差数列,且第一行公差为 1,第二行公差为 2, 第三行公差为 4,…,第 99 行公差为 2 ,最后一行的数=(1+100)?2 . 方法二:从第一行为 1,2,3 及 1,2,3,4,5 的两个“小三角形”的例子,可归纳出结果 为(3+1)×2 及(5+1)×2 ,从而猜测最后一行的数为(100+1)?2 故选 A.
n 1 3 100﹣2 97 98

98

99

99

99



9.在数列{2 ﹣1}的前 2011 项中任意选取若干项相乘(当只取到一项时,乘积就为所选项 本身) ,记所有这样的乘积和为 S,则 log2(S+1)的值为( ) A.1005×2011 B.1006×2011 C.2010×2011 D.2011×2011 n 【解答】解:假设数列{2 ﹣1}的前 m 项中任意选取若干项相乘,所有这样的乘积和为 Sm
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则 S(m+1)=Sm+(2 ﹣1)Sm+2 m+1 ∴Sm+1+1=2 (Sm+1) S1=1 S 1+1=2 Sm+1=2 2 …2 = S+1=S2011+1= log 2(S+1)= 故选 B.
1 2 m

m+1

m+1

﹣1

=1006×2011

10.已知 f(x) 、g(x)都是定义在 R 上的函数,g(x)≠0,f′(x)g(x)<f(x)g′(x) , f(x)=a g(x) , 任意取前 k 项相加,则前 k 项和大于 A. B. C. D. ,
x

,在有穷数列 的概率是( )

( n=1,2,…,10)中,

【解答】解:令

则 故 h(x)=a 单调递减,所以 0<a<1, 又 ,
x



解得

,则



其前 n 项和 由 故所求概率 故选 B.

, 得 n>6, .

11.已知数列 A:a1,a2,…,an(0≤a1<a2<…<an,n≥3)具有性质 P:对任意 i,j(1≤i≤j≤n) , aj+ai 与 aj﹣ai 两数中至少有一个是该数列中的一项、现给出以下四个命题: ①数列 0,1,3 具有性质 P; ②数列 0,2,4,6 具有性质 P; ③若数列 A 具有性质 P,则 a1=0; ④若数列 a1,a2,a3(0≤a1<a2<a3)具有性质 P,则 a1+a3=2a2,
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其中真命题有( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 【解答】解:∵对任意 i,j(1≤i≤j≤n) ,aj+ai 与 aj﹣ai 两数中至少有一个是该数列中的项, ①数列 0,1,3 中,a2+a3=1+3=4 和 a3﹣a2=3﹣1=2 都不是该数列中的数,故①不正确; ②数列 0,2,4,6,aj+ai 与 aj﹣ai(1≤i≤j≤3)两数中都是该数列中的项,并且 a4﹣a3=2 是 该数列中的项,故②正确; ③若数列 A 具有性质 P,则 an+an=2an 与 an﹣an=0 两数中至少有一个是该数列中的一项, ∵0≤a1<a2<…<an,n≥3, 而 2an 不是该数列中的项,∴0 是该数列中的项, ∴a1=0;故③正确; ④∵数列 a1,a2,a3 具有性质 P,0≤a1<a2<a3 ∴a1+a3 与 a3﹣a1 至少有一个是该数列中的一项,且 a1=0, 1°若 a1+a3 是该数列中的一项,则 a1+a3=a3, ∴a1=0,易知 a2+a3 不是该数列的项 ∴a3﹣a2=a2,∴a1+a3=2a2 2°若 a3﹣a1 是该数列中的一项,则 a3﹣a1=a1 或 a2 或 a3 ①若 a3﹣a1=a3 同 1°, ②若 a3﹣a1=a2,则 a3=a2,与 a2<a3 矛盾, ③a3﹣a1=a1,则 a3=2a1 综上 a1+a3=2a2, 故选 B. 12.如图,“杨辉三角”中从上往下数共有 n(n>7,n∈N)行,设其第 k(k≤n,k∈N )行中 不是 1 的数字之和为 ak,由 a1,a2,a3,…组成的数列{an}的前 n 项和是 Sn 现有下面四个结 n+1 论: ①a8=254; ②an=an﹣1+2n; ③S3=22; ④Sn=2 ﹣2﹣2n. 其中正确结论的序号为 ( )
*

A.①④ B.②④ C.④ D.①②③④ 0 1 2 8 1 7 8 【解答】解:①由题意可得,第 8 行中的数为 C8 ,C8 ,C8 ,…C8 ,则 a8=C8 +…+C8 =2 ﹣2=254,故①正确 ②由题意可得,an=Cn +Cn +…+Cn ﹣2=2 ﹣2,an﹣1=Cn﹣1 +Cn﹣1 +…+Cn﹣1 =2 n﹣1 n +2n≠2 ,故②错误 ﹣1+2n=2 ③由题意可得,S3=a1+a2+a3=0+2+6=8,故③错误 1 2 n 1 2 n ④Sn=a1+a2+…+an=(2 ﹣2)+(2 ﹣2)+…+(2 ﹣1)﹣1=(2 +2 +…+2 )﹣ 2n= 故选 A 二.填空题(共 5 小题) =2
n+1 0 1 n n 0 1 n﹣1 n﹣1

﹣2 则 an

﹣2n﹣2,故④正确

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13.正整数 m 的三次幂可拆分成几个连续奇数的和,如图所示,若 m 的“拆分数”中有一个 数是 2009,则 m 的值为 45 .

3

【解答】解:设 n 的“拆分数”中第一个数构成的数列为{an}, 由题可知,a2﹣a1=2,a3﹣a2=4,a4﹣a3=6…an﹣an﹣1=2(n﹣1) . 所以 an=1+ 当 n ﹣3n+3=2009?n=46.31. 所以 n=46 不成立,故所求 n=45. 故答案为:45. 14.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若数列{an}的各项按如下规律排列: , , , , , , , , , ,…, , ,…, ① ② ③数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比数列 ④数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前 n 项和为 ⑤若存在正整数 k,使 Sk<10,Sk+1>10,则 . ; ; ,…有如下运算和结论:
2

3

=n +3﹣3n.

2

在后面横线上填写出所有你认为正确运算结果或结论的序号 ②④⑤ . 【解答】解:①前 23 项构成的数列是: , , , , , , , , , , … ∴ ,故不正确;

②由数列可知:前 11 项构成的数列是: , , , , , , , , , , ∴s11= + + + + + + + + + + = ,故正确;

③数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是 ,1, ,2, 由等差数列定义 (常数) ,所以是等差数列,故不正确.
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④∵数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是 ,1, ,2,… 由③知是等差数列,所以由等差数列前 n 项和公式可知:

. ,故正确;

⑤由④知数列 a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,a11+a12+a13+a14+a15, a16+a17+a18+a19+a20+a21,是 ,1, ,2, , + +…+ ∴T5=7.5<10,T6=10.5>10,∴ 故答案为:②④⑤ ,正确.

15.将杨辉三角中的每一个数 Cn 都换成

r

,就得到一个如下图所示的分数三角

形,成为莱布尼茨三角形,从莱布尼茨三角形可看出



其中 x=r+1,令

,则

=



【解答】解:第一个空通过观察可得.

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=

= (1+ ﹣1) + ( ﹣ ) =(1+ + +…+ =〔 (1+ + +…+ ﹣( + +…+ ) 〕 =1﹣ + = + 所以 答案: . ﹣ = . ﹣

) + ( + ﹣ ) + ( + ﹣ ) +…+ (

+ ﹣

) + (

+

)+( + + + +…+

)﹣2( + +…+ ) )

)﹣( + +…+ ) 〕+〔 ( + + + +…+

16.已知数列{an}的各项均为正整数,对于 n=1,2,3,…,有

,当 a1=11 时,a100= 62 ;若存在 m∈N ,当 n>m 且 an 为奇数时,an 恒为常数 p,则 p 的值为 1 或 5 . 【解答】解:由题设知,a1=11, a2=3×11+5=38, , a4=3×19+5=62, , a6=3×31+5=98, , a8=3×49+5=152, , ∴{an}从第 3 项开始是周期为 6 的周期数列,
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*

∴a100=a3+(6×16+1)=a4=62. * 若存在 m∈N ,当 n>m 且 an 为奇数时,an 恒为常数 p, 则 an=p,an+1=3p+5, ∴(3﹣2 )p=﹣5, ∵数列{an}的各项均为正整数, ∴当 k=2 时,p=5, 当 k=3 时,p=1. 故答案为:62,1 或 5.
k



17.定义运算符号“

”:表示若干个数相乘,例如:

=1×2×3×…×n.记 Tn=

,其中

ai 为数列{an}中的第 i 项. (1)若 an=2n﹣1,则 T4= 105 ; (2)若 Tn=n (n∈N ) ,则 an=
2 *



【解答】解: (1)T4=a1×a2×a3×a4 =(2×1﹣1)×(2×2﹣1)×(2×3﹣1)×(2×4﹣1) =105. (2)∵Tn=n (n∈N ) , 2 ∴a1=T1=1 =1, .
2 *



故答案为:105,

三.解答题(共 5 小题) 18.函数 的定义域为{x|x≠1},图象过原点,且 . (1)试求函数 f(x)的单调减区间;

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(2)已知各项均为负数的数列{an}前 n 项和为 Sn,满足 ; (3) 设

,求证:

, 是否存在 m1, , n1, m2, n2∈N*, 使得 ln2011∈ (g (m1,

n1) ,g(m2,n2) )?若存在,求出 m1, ,n1,m2,n2,证明结论;若不存在,说明理由. 【解答】解: (1)由己知 a=0,b=c.∵ 且 b=2n,n∈N ∴b=2
*



于是 由 f'(x)<0 得 0<x<1 或 1<x<2 故函数 f(x)的单调减区间为(0,1)和(1,2) (2)由已知可得 2Sn=an﹣an , 2 当 n≥2 时,2Sn﹣1=an﹣1﹣an﹣1 两式相减得(an+an﹣1) (an﹣an﹣1+1)=0 ∴an﹣an﹣1=﹣1(各项均为负数) 2 当 n=1 时,2a1=a1﹣a1 ?a1=﹣1,∴an=﹣n 于是,待证不等式即为 为此,我们考虑证明不等式 令 ,则 t>1, 由 t∈(1,+∞)知 g'(t)>0 .
2

再令 g(t)=t﹣1﹣lnt,

∴当 t∈(1,+∞)时,g(t)单调递增∴g(t)>g(1)=0 于是 t﹣1>lnt 即 ① 由 t∈(1,+∞)知 h'(t)>0





∴当 t∈(1,+∞)时,h(t)单调递增∴h(t)>h(1)=0 于是 即 由①、②可知 所以, ,即
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(3)m1=2,n1=2011,m2=1,n2=2010. 在 中令 n=1,2,3,…,20072010,并将各式相加得

即 ln2011∈(g(2,2011) ,g(1,2010) ) .

19.已知数列{an}满足 (1)求 a2,a3,a4;



(2)是否存在实数 t,使得数列 否则,请说明理由; (3)记

是公差为﹣1 的等差数列,若存在求出 t 的值,

数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:



【解答】解: (1)∵





∴ (2)

. (3 分)

=



∴数列

是公差为

的等差数列.

由题意,知

,得 t=﹣2. (7 分)

(3)由(2)知



所以

, (9 分)

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此时

, ∴

=

. 故 . (14 分)

20.已知各项均不为零的数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1=c,2Sn=anan+1+r. (1)若 r=﹣6,数列{an}能否成为等差数列?若能,求 c 满足的条件;若不能,请说明理由. (2)设 Pn= ,

Qn= ﹣n<Pn﹣Qn<n +n 恒成立. 【解答】 (1)解:n=1 时,2a1=a1a2+r, ∵a1=c≠0, ∴2c=ca2+r, . (1 分)
2

,若 r>c>4,求证:对于一切 n∈N*,不等式

n≥2 时,2Sn=anan+1+r,① 2Sn﹣1=an﹣1an+r,② ①﹣②,得 2an=an(an+1﹣an﹣1) . ∵an≠0,∴an+1﹣an﹣1=2. ( 3 分) 则 a1,a3,a5,…,a2n﹣1,…成公差为 2 的等差数列, a2n﹣1=a1+2(n﹣1) . a2,a4,a6,…,a2n,…成公差为 2 的等差数列, a2n=a2+2(n﹣1) . 要使{an}为等差数列,当且仅当 a2﹣a1=1. 即
2

.r=c﹣c . ( 4 分)

2

∵r=﹣6,∴c ﹣c﹣6=0,c=﹣2 或 3.
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∵当 c=﹣2,a3=0,不合题意,舍去. ∴当且仅当 c=3 时,数列{an}为等差数列. (5 分) (2)证明:a2n﹣1﹣a2n=[a1+2(n﹣1)]﹣[a2+2(n﹣1)]=a1﹣a2=c+ ﹣2. a2n﹣a2n+1=[a2+2(n﹣1)]﹣(a1+2n)=a2﹣a1﹣2=﹣(c+ ) . (8 分) ∴

=

. (9 分)

=﹣

. (10 分)



?n?(n+c﹣1)+

=

+

. (11 分)

∵r>c>4, ∴ ∴ ∴0< >4, >2. < <1. (13 分)



=

>﹣1. (14 分)

又∵r>c>4, ∴ 则 0< , . .

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<1.







<1. (15 分)
2

∴对于一切 n∈N*,不等式﹣n<Pn﹣Qn<n +n 恒成立. (16 分) 21.已知函数 f(x)=sinx,数列{an}满足 (1)求证:当 时,不等式 恒成立; .

(2)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,求证: 【解答】证明: (1)①令 g(x)=f(x)﹣x=sinx﹣x, 当 时,g'(x)=cosx﹣1<0∴g(x)在

上是减函数,

所以 g(x)<g(0)=0,∴f(x)﹣x=sinx﹣x, 恒成立; (2 分) ②令 设 ∵y=cosx 在 所以 x∈(0,x0)时, h(x)为增函数; ∵ 即 综上:当 . 时,不等式 , ,即 , 恒成立; (6 分) 时, ,∴h(x)>0 恒成立, = 的根为 x0,即 上是减函数, , ,h(x)为减函数; . , .

(2)由条件知 0<an<1, 由(Ⅰ)得 由 an<an+1 可知数列{an}为递增数列,

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所以 Sn=a1+a2++an 由 得

. (8 分)

=



∴Sn=a1+a2++an

=

=

. 综上: 当 n=1 时,等号成立. (12 分) 22.已知 Sn 是数列{an }的前 n 项和,Sn 满足关系式 , (n∈N+)成立,

(n≥2,n 为正整数) . n (1)令 bn=2 an,求证数列{bn }是等差数列,并求数列{an}的通项公式; * (2)对于数列{un},若存在常数 M>0,对任意的 n∈N ,恒有|un+1﹣un|+|un﹣un﹣1|+…+|u2 ﹣u1|≤M 成立,称数列{un} 为“差绝对和有界数列”, 证明:数列{an}为“差绝对和有界数列”; (3)根据(2)“差绝对和有界数列”的定义,当数列{cn}为“差绝对和有界数列”时, 证明:数列{cn?an}也是“差绝对和有界数列”. 【解答】解: (1)当 n≥2 时, ,

所以 即
n+1 n

, ,

所以 2 an+1=2 ?an+1 2 即 bn+1﹣bn=1, (n≥2) ,又 b2﹣b1=2 ?2×a1=1 + 所以,bn+1﹣bn=1,n∈N 即{bn}为等差数列 ∴

(2)由于|an+1﹣an|+|an﹣an﹣1|+…+|a2﹣a1|=

+

+…+

sn﹣ sn<

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所以

恒成立,

即[an]为“差绝对和有界数列”. (3)若数列{an}{cn}是差绝对和有界数列,则存在正数 M1.M2, ? 对任意的 n∈N ,有|an+1﹣an|+|an﹣an﹣1|+…+|a2﹣a1|≤M1,|cn+1﹣cn|+|cn﹣cn﹣1|+…+|c2﹣c1|≤M2 注意到|an|=|an﹣an﹣1+an﹣1+an﹣2+…+a2﹣a1+a1|≤|an﹣an﹣1|+|an﹣1﹣an﹣2|+…+|a2﹣ a1|+|a1|≤M1+|a1| 同理:|cn|≤M2+|c1| 记 K2=M2+|c2|,则有 K2=M2+|c2||an+1cn+1﹣ancn|=|an+1cn+1﹣ancn+1+ancn+1﹣ancn|≤|cn+1||an+1﹣ an|+|an||cn+1﹣cn|≤K1|an+1﹣an|+k1|cn+1﹣cn| 因此 K1(|cn+1﹣cn|+|cn﹣cn﹣1|+|a2﹣a1|)≤k2M1+k1M2 +K1(|cn+1﹣cn|+|cn﹣cn﹣1|+|a2﹣a1|)≤k2M1+k1M2 故数列{ancn}是差绝对和有界数列.

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