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高中数学 1.1集合的含义及其表示 第2课时学案 北师大必修1

时间:2014-03-03


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1.1 集合的含义及其表示 第 2 课时
【学习目标】 1.理解并掌握集合三种表示方法;熟练地进行集合表示方法之间的转换; 2.初步理解集合相等的概念,并会初步运用; 3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力. 【课前导学】 一、复习回顾: 1、 集合的概念描述: 1)一般地,一定范围

内某些 确定的、不同的对象的全体 构成一个集合。 2)集合的元素具有__确定____性、_互异__性和__无序__性. 3)如果 a 是集合 A 的元素,记作___ a ? A _____. 4)集合的分类: 有限集,无限集和空集 . 2、 常用数集的符号: 自然数集__N____; 正整数集__N ____; 整数集__Z____; 有理数集__Q____; 实数集__R___. 二、思考题: 集合 A 中的元素由 x=a+b 2 (a∈Z,b∈Z)组成,判断下列元素与集合 A 的关系? (1)0 (2)
*

1 2 ?1

(3)

1 3? 2

分析:先把 x 写成 a+b 2 的形式,再观察 a,b 是否为整数. 【解】 (1)因为 0 ? 0 ? 0 ? 2 ,所以 0 ? A ; (2)因为

1 2 ?1 1

? 1 ? 1 ? 2 ,所以

1 2 ?1

? A; 1 3? 2

(3)因为

3? 2

? 3 ? 1 2 , 3 ? Z , 所以

?Z .

点评: 要判断某个元素是否是某个集合的元素, 就是看这个元素是否满足该集合的特性或具 体表达形式. 三、问题情境 观察下列对象能否构成集合 (1)满足 x-3>2 的全体实数; (2)本班的全体男生; (3)我国的四大发明; (4)2008 年北京奥运会中的球类项目; (5)不等式 2x+3 < 9 的自然数解; (6)所有的直角三角形; 如果能够,那么这些集合又如何来表示?

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【课堂活动】 一、建构数学: 1、列举法:将集合的元素一一列举出来,并置于花括号“{ 素要用逗号隔开,但与元素的次序无关. 思考:用列举法表示下列对象构成集合:

}”内.用这种方法表示集合,元

(1)满足 x-3>2 的全体实数; (2)本班的全体男生; (3)我国的四大发明; (4)2008 年北京奥运会中的球类项目; (5)不等式 2x+3 < 9 的自然数解; (6)所有的直角三角形. 【提醒】 (1)如果两个集合所含元素完全相同( 即 A 中的元素都是 B 中的元素,B 中的元素也都是 A 中的元素) ,则称这两个集合相等. (2)a 与{a}不同:a 表示一个元素,{a}表示一个集合,该集合只有一个元素. (3)集合{(1,2) , (3,4)}与集合{1,2,3,4}不同 . 2、描述法: 将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式. 如:{x|x 为中国直辖市},{x|x 为 young 中的字母} . 所有直角三角形的集合可以表示为: { x|x 是直角三角形}等. 3、Venn 图法: 用封闭的曲线内部表示集合(形象直观).如:集合{x|x 为 young 中的字母}. 【思考】何时用列举法?何时用描述法? (1)有些集合的公共属性不明显,难以概括,不便用描述法表示,只能用列举法. 如 :集合{ 3,7,8 }. (2)有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来,或者不便于、不需要一一列举出来,常用 描述法. 如:集合{(x,y)|y=x+1} ;集合{x|x 为 1000 以内的质数}. 4、 集合相等: 如果两个集合 A,B 所含的元素完全相同,则称这两个集合相等,记为:____A=B____ . 二、应用数学: 例 1 用列举法表示下列集合: ①{x∈N|x 是 15 的约数}; ②{x|x= (?1) ,n ∈N} ; ③{(x,y)|x+y=6,x ∈ N,y ∈ N};
n

解:① ?1,3,5,15? ; ② ?1, ?1? ;③ ?(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)? . 例 2 用描述法表示下列集合: ①{1,4,7,10,13}; ②奇数的集合. 解:① 3n ? 2 n ? 1, 2,3, 4,5? ; ② x x ? 2n ? 1, n ? N ? ? . 例 3 用适当的方法表示下列集合: 1) 方程 x2-2x-3=0 的解集;
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?

?

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2) 不等式 2x-3>5 的解集; 3) 方程组 ?

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2 解: (1) x | x -2x-3=0 ;

?

?x ? y ? 1 的解集. ?x ? y ? 3

?

(2) ?x | 2x-3>5? ; (3) ?(2, ?1)? . 【解后反思】常见题型,常考题型,可以有多种不同的表示方法! 例 4 已知 M ? ? x ? N

?

? 解: M ? ?0,1,2,5? .
【变式】已知 M ? ? 解:M= ?6,3,2,1 ? . 例 5 若 ? a,

6 ? ? Z ? ,求集合 M . 1? x ?

? 6 ? ? Z x ? N ? ,求集合 M. ?1 ? x ?

【解后反思】审题时注意两者代表元素的区别.

【思路分析】第一个集合中有元素 0,分析知,b=0, 从而集合可以化简为 ?0,1,a? . 解:第一个集合中有元素 0,故必有 b=0, 从而集合可以化简为 ?0,1,a? , 因此 a =1 ? a ? ?1 有集合中元素的互异性知,a= -1, 故 a= -1 . 【解后反思】特殊元素优先原则.
2

? b ? ,1? ? ?a 2 , a ? b, 0? , 求a 2010 ? b2010的值. ? a ?

a=1 不合,舍去.

例 6 已知 A={x|a x +2x+1=0}, (1) 若 A 中有且只有一个元素,求 a 的取值集合; (2) 若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值范围. 解: (1)由题意知,A 中有且只有一个元素, 当 a=0 时,对应方程为一次方程,此时 A= ?? ? ,符合题意; 当 a ? 0 时,对应方程 a x +2x+1=0 有两个相等实根,即 a=1 时也符合题意.
2

2

? 1? ? 2?

综上所述,a 的取值集合为 ?0,1? ;
2

(2) 由(1)知,a = 0 或 1 时, A 中有且只有一个元素,符合题意; 当对应方程 a x +2X+1=0 无实根时,即 a>1 时,A= ? ,符合题意; 综上所述,a = 0 或 a ? 1 . 【解后反思】 1、注意 分类讨论; 2、一元二次方程有两个相等实数根,对应的方程的解集只有一个元素. 三、理解数学: 1、用列举法表示下列集合: (1)中国国旗的颜色的集合; (2)单词 mathematics 中的字母的集合; (3)自然数中不大于 10 的质数的集合;

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(4)同时满足 ?

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?2 x ? 4 ? 0 的整数解的集合. ?1 ? x ? 2 x ? 1

解: (1){红,黄}; (2){m,a,t,h,e,i,c,s }; (3){2,3,5,7 }; (4){-1,0,1,2}. 2、用描述法表示下列集合: (1)所有被 3 整除的整数的集合; (2)使 y ?

2? x 有意义的 x 的集合; x

(3)方程 x2+x+1=0 所有实数解的集合; (4)抛物线 y=-x2+3x-6 上所有点的集合;
y

1

-1 o -1 2 x

(5)图中阴影部分内点的集合. 【解】 (1){x|x=3k,k∈Z}; (2){x|x≤2 且 x≠0 }; (3) ? ; (4){(x,y)| y=-x2+3x-6}; (5){(x,y)|

?0 ? x ? 2 ?0 ? x ? 2 或 ? . ? ?0 ? y ? 1 ?0 ? y ? 1

3、已知 A= ? x |

? ?

6 ? ? N , x ? Z ? ,试用列举法表示集合 A. 3? x ?

【答案】A={-3,0,1,2}. 【课后提升】 1.下列集合表示法错误的是 (1) (2) (4) (6) . (1) {1,2,2,3} ; (2) {全体实数} ; (3) {有理数} ; (4)不等式x -5>0的解集为{x -5>0} ;(5) {Ф }; (6) 方程组 ?
2 2

? x ? 3 y ? 14 的解的集合为{2,4}. ? 2x ? y ? 0

2.用列举法表示下列集合: ①{x|x 为不大于 10 的正偶数}=__{2,4,6,8,10}_____; ② (1,1) , (1,2) , (2,1) , (2,2) }___; ?? x, y ? | x ? ?1,2?, y ? ?1,2?? =__{ {0,1,2,3} ;

③集合{x∈N|-1<x<4}用列举法表示为

{ 数字和为 5 的两位数} ④ =_{14,23,32,41,50}__;
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⑤ (x, y)|3x ? 2 y ? 16, x ? N, y ? N =__{ (0,8) , (2,5) , (4,2) }__; 3.已知集合 P={-1,a,b},Q={-1,a2,b2},且 Q=P,求 1+a2+b2 的值. 解:分两种情况讨论: ①
2 ? ?a ? 1 ?a ? 0 ?a ? a ?? 或? ?1+a2+b2=2; ? 2 b ? 0 b ? 1 b ? b ? ? ? ?

?

?

2 ? ?a ? 0 ?a ? 1 ?a ? b ②? 这与集合的性质矛盾, ?? 或? 2 ?b ? a ?b ? 0 ?b ? 1 ?



1+a2+b2=2 .

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