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第五章数列基础题

时间:2016-06-12


12-13 学年电子商贸学校 10 级高考基础知识复习(五)

第五章

数列

5.写出下面数列{ an }的前 5 项:
(1) a1 ? 1 , an ?1 ? an ? 3 ; (2) a1 ? 2 , an ?1 ? 2 an ; (3) a1 ? 3 , a2 ? 6 , an ?2 ? an?1

? an ; (4) a1 ? 1 , a n ?1 ? a n ?

按一定次序排列的一列数,叫做数列 在数列中的每一个数都叫做这个数列的项,数列的一般形式可以写成

a, a , a,?a ,?
1 2 3 n

1 an



其中

a

n

是数列的第 n 项,并且整个数列可记作{ an }。

用项数 n 来表示该数列相应项的公式,叫做数列的通项公式。 项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列。 1.根据通项公式,求出下面数列{ an }的前 5 项: (1) (3)

一般地, 如果一个数列从它地第 2 项起每一项与它的前一项的差都等于同一 常数,则这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字 母 d 来表示。 特别地,数列 2,2,2,2,…也是等差数列,它的公差为 0。公差为 0 的数 列叫做常数列。 如果一个数列 a1 ,

a
n

n

= n ; n ?1

(2) an = (?1)n ? n (4)
n ?1 a = 5?(?1)
n

a , a , ?, a , ?是等差数列,它的公差是 d,那么
2 3 n

a

= n3 ;

则等差数列{ an }的通项公式可表示为 an

? a1 ? (n ? 1)d

2.写出数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下面各列数: (1) 1,3,5,7; (2) (3) (4)
3,
2 2 2 2 5 ?1 2 ?1 3 ?1 4 ?1 , , , ; 3 5 2 4



1 1 1 1 , ,- , 。 1? 2 2?3 4?5 3? 4
7,
11 ,

6.求等差数列 8,5,2,…的通项公式和第 20 项。 (基础组掌握) 7.等差数列-5,-9,-13,…的第几项是-401? 一般地,如果在数 a 与 b 中间插入一个数 A,使 a ,A ,b 成等差数列,那 么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。 a?b 如果 A 是 a,b 的等差中项,则 A-a=b-A。 A ? 。 2 在等差数列 a1 ,

15 ;

(5) 0,-2,-4,-6 (7)
1 1 1 1 , , , 。 2 ?1 2? 2 2? 4 2?3

1 1 1 (6) 1, , , ; 4 9 16

a , a , ?, a , ?中, a
2 3 n

2

?

a ?a
1

3

2

a

3

?

a ?a
2

4

2

3.根据下列数列{ an }的通项公式,写出它的第 7 项与第 10 项: (1)
a n = 2 ; (2)

a

n

?

a

n ?1

? an ?1 2

, 这就是说,在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷

1

n

an ? n(n ? 2) ;(3)

an =

(?1) n

n ?1



(4) a n ? ? 2 n ? 3 。

4.观察下面数列的特点,用适当的数填空,并对每一数列各写出一个通项公式: (1) 2,4, ( ) ,8,10, ( ) ,14; (2) 2,4, ( ) ,16,32, ( ) ,128; (3) ( ) ,4,9,16,25, ( ) ,49。

等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。 8.已知一个等差数列的第 3 项是 5,第 8 项是 20,求它的第 25 项。 9..梯子的最高一级宽是 33cm,最低一级宽是 89cm,中间还有 7 级,各级的宽度 成等差数列,求中间各级的宽度。 10.已知:一个直角三角形的三条边的长度成等差数列。求证:它们的比是 3:4: 5。 分析:当已知三个数成等差数列时,可将这三个数表示为 a-d ,a ,a+d ,
1

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11.(1) 求等差数列 5,10,15,…的通项公式; (2) 求等差数列 3,7,11,…的第 4,7,10 项; (3) 求等差数列 10,8,6,…的第 20 项。 12.在等差数列{ an }中: (1) d ? ?

(1) (2) (3) (4)

a ? 5, a
1

n

? 95, n ? 10 ;

a ? 100,
1

d ? ?2, n ? 50;

1 , ?8 ,求 a1 ; 3 a7

a

1

?

2 , 3

a

n

3 ? ? , n ? 14 ; 2

a ? 14.5,
1

d ? 0.7,

a

n

? 32 。

(2) a1?12,

a6 ?27 ,求 d。

22.求正整数列中前 500 个偶数的和。 23.在 7 和 35 之间插入 6 个数,使它们和已知的两数成等差数列。 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它前面一项的比都等于同一个数, 这个数列叫做等比数列, 这个常数叫做等比数列的公比。 公比通常用字母 q 表 示。等比数列通项公式 an ? a1 q
n ?1

13.(1) 等差数列-10,-7,-4,…的第几项是 299;
1 1 1 1 (2) 等差数列 , , , ? 的第几项是 。 2 4 8 1024

14.求下列各组数的等差中项: (1)732 与-136; (2)
49 与 42。 2

15.求等差数列 2,9,16,…的第 n 项。 16.已知等差数列{ an }中, a1?3,

a n ?21, d ?2 ,求 n。

17.已知等差数列{ an }中, a ? 10, a ? 6, 求 a8 与 d 。 4 5 18.三个数成等差数列,它们的差等于 18,平方和等于 99,求这三个数。 已知等差数列

24.求等比数列-2,6,-18,…的第 5 项。 25.一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别是 12 和 18,求它的第 1 项 和第 2 项。 一般地,如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,则 G 叫做 a 与 b 的等比中项。 G b 如果 G 是 a 与 b 的等比中项,那么 ? ,即 a G
2 G ? ab

a1 , a2 , a3 , a4 ,?
它的前 n 项和记作 S n ,即 等差数列前 n 项和公式 S n ?

S n = a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an
n(a1 ? an ) 2



G ?? ab 。

因为 a n ?a1??n?1?d 所以上面的公式又可写成 S n ? n a1?

n(n ?1) d 2

容易看出,一个等比数列从第 2 项起,每一项(有穷等比数列的末项除外) 是它的前一项与后一项的等比中项。 26.求下面等比数列第 4 项与第 8 项: (1) 5,-15,45,…; (2)1.2,2.4,4.8,…; (3)
2 1 3 , , , ?; 3 2 8

(4) 2 , 1,

19.等差数列 4,9,14,…,前 10 项的和。 20.在小于 100 的正整数的集合中,有多少个数是 7 的倍数?并求它们的和。 21.根据下列各题条件,求相应等差数列{ a n }的 S n :

2 , ?。 2

27. (1)一个等比数列的第 9 项是

4 1 ,公比是 ? ,求它的第 1 项; 9 3

(2)已知等比数列{ an }的 a1 ? 2,
2

a

5

? 54, 求 q 。

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28.求下列各对数的等比中项: (1) 2,8; (2) 16,4。 29 (1)一个等比数列的第 2 项是 3,第 3 项是 9,求它的第 1 项与第 4 项; (2)一个等比数列的第 3 项是 10,第 6 项是 80,求它的第 1 项与第 8 项。 30. 已 知 等 比 数 列 {

a

n

}的

a

1

=1 末项

a

n

= 256 , 公 比 q = 2 , 求 这 个

27 ,求 q 和 S 4 。 2 36.(1)求等比数列 1,2,4,…从第 5 项到第 10 项的和; 3 3 3 (2)求等比数列 , , , ? 从第 3 项到第 7 项的和。 2 4 8

35.已知等比数列{ an }, a1 =4, a 4 ?

等比数列的项数。 31.在 8 与 200 之间插入 3 个数,使 5 个数成等比数列,求这三个数。 32.三个数成等比数列,它们的和等于 14,积等于 64,求这三个数。 33.一个等比数列的第 2 项是 4,第 4 项是 16,求它的第 10 项。 根据等比数列{ an }的通项公式,等比数列{ an }的前 n 项和 S n 可以写成

37..已知等比数列{ an }, an =1296,q=6, S n =1554,求 n 和 a1 。 38.在 160 和 5 之间插入 4 个数,使这 6 个数成等比数列,求这 4 个数。 39.在等比数列{ an }里,如果 a7 ? a5 ? a6 ? a5 ? 48 ,求 a1 , q , S10 . 40.某林场计划造林 5hm2,以后每年比上一年多造林 3hm2,问 20 年后林场共造 林多少公顷?

S ?a ?a q?a q
n 1 1 1

2

? ? ? a1 q

n ?1



(1) A组

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(一)选择题 1.数列 0,-2,-4,-6,…的一个通项公式是(

n a 1(1? q ) S n? 1?q
因为 a1q



n

?(a1q

n ?1

)q?anq ,

(A)

a n ??2n

(B) a n ? ?2n ? 2 (D) a n ? ?2(n ? 2) ) (B)
n

所以上面的公式还可写成

(C) a n ? ?2n ? 2 (A) a ?(?1)n ? 1 n (C)

a1? a n q ? Sn 1? q
很显然,当 q=1 时, S n?na1 。 34.据下列各组条件,求相应的等比数列{ an }的 S n : (1) (2) (3)

2.数列-1,1,-1,1,-1,…的一个通项公式是(

a n ?1? (?1) ) an ? (?1
n

n

a n ?1? (?1)

(D)

a =3,q=2,n=6;
1

3.已知等差数列 1,4,7,10,…,则 4891 是它的( (A) 第 1984 项 (B)第 1631 项 (C) 第 1863 项 (D)第 1630 项 1 1 1 4.已知等差数列 1, , , ,…的通项公式是( 4 9 16 (A)





a =2.4,q=-1.5,n=5; 1 a =8, q ? ,n=5。 2
1 1

a a

n

?

1 2n ? 2 1 2n

(B)

a

n

?

1

2

n

(C)

n

?

(D)

a

n

?

1

n

2

3

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5.数列 1,3,5,…,(2n-1)的前 n 项和是( (A) n
2



4.在等比数列{ a n }中, a4 ? 27 ,q=-3,求 a7 。 5.在 9 与 243 之间插入 2 个数,使这 4 个数成等比数列。 6.三个数成等差数列,它们的和等于 18,平方和等于 116,求这三个数。 7.在等比数列{ a n }中: (1) a1 =-1.5, a 4 =96,求 q 与 S 4 ; (2) q ?
1 31 , S 5 ? ,求 a1 与 a5 ; 2 8

(B) n (n+1) (D) (n ? 1)2

(C) (n ? 1)2

6.某产品计划平均每年降价 m%,若第三年后的价格是 a 元,原价 是( )元。 (A) a+(1+m%) (C) (B) a (1 ? m%) (D)
3

a (1 ? m%)
3

a (m%)
3

(3) a1 =2, S 3 =26,求 q 与 a3 。 8.已知等差数列{ a n }, a6 =5, a3 ? a8 =5,求 a9 。 C组 1.正整数集合中有多少个 3 位数?求它们的和。 2.求下面数列的前 n 项和: (1) a ? 1 , a2 -2, a3 -3,…, an -n,…; (2) x ?

7.在-3,x,y,27 中,前三数成等差数列,后三数成等比数列,则 ( ) 3 9 (A) x=3,y=9 (B) x ? , y ? 4 2 3 9 (C) x=3,y=9 或 x ? , y ? (D) 以上都不是 4 2 8.已知等比数列中 a1 ? 2, S 3 ? 26, 则公比 q 的值为( (A) 3 (C) 3 或-4 (二)填空题 (B) -4 (D) -3 或 4
2n n
2



1 1 1 1 , x2 ? 2 , x3 ? 3 ,…, xn ? n ,…。 y y y y

3.已知: a1 , ,那么这个数列的第 11 项是_______
3

a2 , a3 , a4 ,? 是等差数列,C

是正常数,求证 C a1 , C a 2 ,

1.已知数列的通项公式 a n ?

C a ,…是等比数列。
4.成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 1、3、9 就成 等比数列,求这三个数。 5.已知等比数列{ a n }, a6 =192, a8 =768,求 S 10 。 6.解方程: lg x ? lg x2 ? ? ? lg xn ? n2 ? n 。

2.647 与 895 的等差中项是__________ 3 3.已知等比数列 a n ? ? 3n ,则公比 q= 8 4.如果-20 与 x 的等比中项是 30,则 x= B组 1.已知无穷数列 1×2,2×3,3×4,4×5,…,n(n+1),… (1) 求这个数列的第 10 项,第 31 项,第 48 项; (2) 420 是这个数列的第几项。 2.已知等差数列{ a n }的第 1 项是 5.6,第 6 项是 20.6,求它的第 4 项; 3.求等差数列 10,7,4,…,-47 各项的和。
4


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