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2-上海交通大学附属中学2010-2011学年高二下学期期末考试数学试题


上海交通大学附属中学 2010-2011 学年度第二学期 高二数学期末试卷
(满分 150 分, 120 分钟完成。答案一律写在答题纸上)
命题:陈海兵 审核:杨逸峰 一. 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 2. 3. 4. 5.

/>4 ? 2i (其中 i 为虚数单位),那么 Im z (即 z 的虚部)为__________。 1? i 1 8 在二项式 ( x ? (用数字作答). ) 的展开式中,含 x 5 的项的系数是 x 顶点在原点,以 x 轴为对称轴且经过点 M (?2,3) 的抛物线的标准方程为____________.
如果复数 z ? 双曲线 2x 2 ? y 2 ? m 的一个焦点是 (0, 3 ) ,则 m 的值是__________. 已知双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y ? 3x ,它的一个焦点与 a 2 b2


抛物线 y ? 16 x 的焦点相同。则双曲线的方程为 6.

某年级共有 210 名同学参加数学期中考试,随机抽取 10 名同学成绩如下: 成绩(分) 人数 50 2 61 2 73 1 85 2 90 1 94 2

则 总体标准差的点估计值为 (结果精确到 0.01). 7. 某展室有 9 个展台,现有 3 件不同的展品需要展出,要求每件展品独自占用 1 个展台, 并且 3 件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,则不同的展出方法有______种; 8. 把 4 个不同的球任意投入 4 个不同的盒子内(每盒装球数不限),则无空盒的概率为 _____ ___. 9. 若 z ? C 且 z ? 2 ? 2i ? 1 ,则 z ?1 ? 2i 的最大值是_______.

10. 如图是一种加热水和食物的太阳灶,上面装有可旋转的抛物面 形的反光镜,镜的轴截面是抛物线的一部分,盛水和食物的容 器放在抛物线的焦点处,容器由若干根等长的铁筋焊接在一起 的架子支撑。已知镜口圆的直径为 12 米,镜深 2 米,若把盛水 和食物的容器近似地看作 点,则每根铁筋的长度为________米. 11. △ ABC 的三个顶点 A、B、C 到平面 ? 的距离分别为 2 c m、3 cm、4 cm,且 A,B,C 在平 面 ? 的同侧,则△ ABC 的重心到平面 ? 的距离为___________。

12. 过点 P(4, 4) 且与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 只有一个公共点的直线有 16 9

条。

13. △ABC 的三边长分别是 3,4,5,P 为△ABC 所在平面外一点,它到三边的距离都是 2,则 P 到 ? 的距离为_________. 14. 如图,平面 ? ⊥平面 ? ,? ∩ ? = l ,DA

? ,BC ? ,且 DA⊥ l 于 A,BC⊥ l 于 B,

AD=4,BC=8,AB=6,在平面 ? 内不在 l 上的动点 P,记 PD 与平面 ? 所成角为 ? 1 , PC 与平面 ? 所成角为 ? 2 ,若 ? 1 ? ? 2 ,则△ PAB 的面积的最大值是 。

二. 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案,选对得 5 分,答 案代号必须填在答题纸上.注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应,不能错位. 15. 下列四个命题: ① 满足 z ?

1 的复数只有 ? 1, ? I; z

② 若 a,b 是两个相等的实数,则(a-b)+(a+b)i 是纯虚数; ③ |z+ z |=2|z|; ④ 复数 z ? R 的充要条件是 z= z ; 其中正确的有( ) (A)0 个 (B)1 个 16. 平面 ? ? ? ,直线 b ? , m A. b ? ? B. b 与 ? 斜交

(C)2 个 ? ,且 b ? m ,则 b 与 ? ( C. b // ?

(D)3 个 )

D.位置关系不确定

17. 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的侧面 ABB 1A 1 内有一动点 P 到直线 A1 B1 与直线 BC 的 距离相等,则动点 P 所在的曲线的形状为 ( A1 P A (A) B A (B) B1 A1 P B A (C) B1 A1 P B A (D) ) B1 A1 P B B1

18. 已知点 A(?1,0), B(1,0) 及抛物线 y ? 2 x ,若抛物线上点 P 满足 PA ? m PB ,则 m
2

的最大值为( (A) 3 (B) 2

) (C) 3 (D) 2

三、解答题 19. (本题满分 12 分)第一题满分 5 分,第二题满分 7 分.
2 已知复数 z1 ? 3 ? i , | z 2 | =2, z1 ? z 2 是虚部为正数的纯虚数。 2 (1)求 z1 ? z 2 的模;(2)求复数 z 2 。

20. (本题满分 14 分)第一题满分 7 分,第二题满分 7 分. 已知 f n ( x) ? (1 ? x) n , (1)若 f2011 ( x) ? a0 ? a1x ?

? a2011x2011 ,求 a1 ? a3 ? ? ? a2009 ? a2011 的值;
6

(2)若 g ( x) ? f 6 ( x) ? 2 f 7 ( x) ? 3 f 8 ( x) ,求 g ( x) 中含 x 项的系数;

21. (本题满分 14 分)第一题满分 4 分,第二题满分 4 分,第三题满分 6 分. 甲乙二人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2,红桃 3,红桃 4,方片 4)玩游戏,他们将 4 张扑 克 牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张。 (1)设 (i, j ) 分别表示甲、乙抽到的牌的数字(方片 4 用 4’表示,红桃 2,红桃 3,红 桃 4 分别用 2,3,4 表示),写出甲乙二人抽 到的牌的所有情况; (2)若甲抽到红桃 3,则乙抽出的牌的牌面数字比 3 大的概率是多少? (3)甲乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比 乙大,则甲胜;若甲抽到的牌的牌面数字 不比乙大,则乙胜。你认为此游 戏是否公平,说明你的理由。

22. (本题满分 16 分)第一题满分 4 分,第二题满分 6 分,第三题满分 6 分. 已知动圆过定点 P(1,0),且与定直线 l : x ? ?1 相切。 (1)求动圆圆心的轨迹 M 的方程; (2)设过点 P,且倾斜角为 120 的直线与曲线 M 相交于 A,B 两点,A,B 在直线 l 上的 射影是 A1 , B1 。求梯形 AA 1B 1B 的面积; (3)若点 C 是(2)中线段 A1B1 上的动点,当△ ABC 为直角三角形时,求点 C 的坐标。
0

23. (本题满分 18 分 )第一题满分 5 分,第二题满分 5 分,第三题满分 8 分. 如图,有一公共边但不共面的两个三角形 ABC 和 A1BC 被一平面 DEE1D1 所截,若平面 DEE1D1 分别交 AB,AC,A1B,A1C 于点 D,E,D1,E1。 (1)讨论这三 条交线 ED,CB, E1 D1 的关系。 (2)当 BC//平面 DEE1D1 时,求

AD BD1 A1 E1 CE ? ? ? 的值; DB D1 A1 E1C EA

(3)当 BC 不平行平面 DEE1D1 时,

AD BD1 A1 E1 CE ? ? ? 的值变化吗?为什么? DB D1 A1 E1C EA

上海交通大学附属中学 2010-2011 学年度第二学期 高二数学期末试卷答案
(满分 150 分, 120 分钟完成。答案一律写在答题纸上)
命题:陈海兵 审核:杨逸峰 一. 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸上相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.-3 2.28 3. y ? ?
2

9 x 2

4.-2 5.

x2 y2 ? ?1 4 12

6. 17.60 7.60 3 8. 32 9. 4 10.6.5 m 米 11.3, 12.4 13 3 14. 如图,平面 ? ⊥平面 ? , ? ∩ ? = l ,DA

? ,BC ? ,且DA⊥ l 于A,BC⊥ l 于B,

AD=4,BC=8,AB=6,在平面 ? 内不在 l 上的动点P,记PD与平面 ? 所成角为 ? 1 ,PC与平 面 ? 所成角为 ?2 ,若 ?1 ? ? 2 ,则△PAB的面积的最大值是 。

由条件可得:PB=2PA,即 P 到 B 的距离为到 A 的距离的 2 倍 在平面 ? 内以 AB 为 x 轴,AB 的中垂线为 y 轴,建立平面直角坐标系

2 2 2 2 设 P( x , y )则 2 ( x ? 3) ? y = ( x ? 3) ? y

∴ 4 x 2 ? 6x ? 9 ? y 2 = x 2 ? 6x ? 9 ? y 2 ∴ x 2 ? 10x ? y 2 ? ?9

?

?

∴ 3x 2 ? 30x ? 3 y 2 +27=0

∴ ( x ? 5) 2 ? y 2 =16

∴平面 ? 内 P 点轨迹为以( ? 5 ,0)为圆心,4 为半径的圆(与 x 轴的交点除外) ∴高的最大值为 4, ∴面积的最大值为

6?4 =12 2

二. 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案,选对得 5 分,答 案代号必须填在答题纸上.注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应,不能错位. 15. B 16.D 17. B 18. C

三、解答题 19.(本题满分 12 分)第一题满分 5 分,第二题满分 7 分.
2 2 解:(1)| z1 ? z2 |=| z1 || z2 |=| z1 || z2 | =8;
2

2 (2) z1 ? z2 是虚部为正数的纯虚数 2 ∴ z1 ? z2 = 8i

2 = z2

8i 3 ? i 8i = = 2 ? 2 3i 4 3?i

?

?

设复数 z2 = a ? bi ( a, b ? R )

a 2 ? b2 ? 2abi ? 2 ? 2 3i
2 2 ? ?a ? b ? 2 ? ? ?2ab ? 2 3

解之得 ?

?a ? 3 ?a ? ? 3 或? ?b ? 1 ?b ? ? 1

∴ z2 ? ?( 3 ? i ) 20(本题满分 14 分)第一题满分 7 分,第二题满分 7 分. 已知 f n ( x) ? (1 ? x) n , (1)若 (2)若

f2011 ( x) ? a0 ? a1x ?

? a2011x2011,求 a1 ? a3 ? ? ? a2009 ? a2011的值;
,求 g ( x) 中含 x 项的系数;
6

g ( x) ? f 6 ( x) ? 2 f 7 ( x) ? 3 f 8 ( x)

解:(1)因为 所以

f n ( x) ? (1 ? x) n ,
,

f 2011 ( x) ? (1 ? x) 2011



f 2011 ( x) ? a0 ? a1 x ? f 2011 (1) ? a0 ? a1 ?

? a2011 x 2011 , ? a2011 ? 22011
(1) (2)

所以

f 2011 (?1) ? a0 ? a1 ?
(1)-(2)得: 所以:

? a2010 ? a2011 ? 0

2(a1 ? a3 ?

? a2009 ? a2011 ) ? 22011

a1 ? a3 ?

? a2009 ? a2011 ? f 2011 (1) ? 22010

(2)因为

g ( x) ? f 6 ( x) ? 2 f 7 ( x) ? 3 f 8 ( x) ,
6 7 8

所以 g ( x) ? (1 ? x) ? 2(1 ? x) ? 3(1 ? x)

6 6 g ( x) 中含 x 6 项的系数为 1 ? 2 ? C7 ? 3C8 ? 99

21.(本题满分 14 分)第一题 满分 4 分,第二题满分 4 分,第三题满分 6 分. 解:(1)甲乙二人抽到的牌的所有情况(方片 4 用 4’表示,红桃 2,红桃 3,红桃 4 分别 用 2,3,4 表示)为: (2,3)、(2,4)、(2,4’)、(3,2)、(3,4)、(3,4’)、 (4,2)、(4,3)、(4,4’)、(4’, 2)、(4’,3)(4’,4) 共 12 种不同情况 (没有写全面时:只写出 1 个不给分,2—4 个给 1 分,5—8 个给 2 分,9—11 个给 3 分) (2)甲抽到 3,乙抽到的牌只能是 2,4,4’ 因此乙抽到的牌的数字大于 3 的概率为

2 3

(3)由甲抽到的牌比乙大的有 (3,2)、(4,2)、(4,3)、(4’,2)、(4’,3)5 种, 甲胜的概率 p1 ?

5 7 5 7 , ? ,乙获胜的概率为 p2 ? 12 12 12 12

? 此游戏不公平。
22.(本题满分 16 分)第一题满分 4 分,第二题满分 6 分,第三题满分 6 分. 解: (1)曲线 M 是以点 P 为焦点,直线 l 为准线的抛物线,其方程为 y 2 ? 4 x .
? y ? ? 3( x ? 1) (2)由题意得,直线 AB 的方程为 y ? ? 3( x ? 1),由 ? 消y得 ? 2 ? ? y ? 4x 1 3x 2 ? 10 x ? 3 ? 0, 解出 x1 ? , x 2 ? 3. 3 1 2 3 于是, A 点和 B 点的坐标分别为 A ( , ) ,B(3, ? 2 3 ), 3 3 A 1 2 3 8 3 16 所以 | A1 B1 |? , | AA1 | ? | BB1 |? x1 ? x2 ? 2 ? . ?2 3 ? 3 3 3 1 64 S ? (| AA1 | ? | BB1 |) | A1 B1 |? 3 2 9 (3)设 C(-1,y)使△ABC 成直角三角形, B
1

1 2 3 2 28 4 3 y | AC | 2 ? (?1 ? ) 2 ? ( y ? ) ? ? ? y2 , 3 3 9 3

| BC |2 ? (3 ? 1) 2 ? ( y ? 2 3) 2 ? 28 ? 4 3 y ? y 2 ,
16 256 . | AB | 2 ? ( ) 2 ? 3 9

(i) 当 ?A ? 90 时,
0

方法一:当 | BC |2 ?| AC |2 ? | AB |2 时, 28 ? 4 3 y ? y 2 ? 28 ? 4 3 y ? y 2 ? 256 , 9 3 9 2 即y?? 3时, ?CAB 为直角. C 点的坐标是 (?1, ? 2 3 ) 9 9
0 方法二:当 ?A ? 90 时,得直线 AC 的方程为 y ? 2 3 ? 3 ( x ? 1 ) ,

3

3

3

求得 C 点的坐标是 (?1, ? 2 3 ) 。
9

(ii) 因为 ?ABB1 ? 600 ,所以, ?ABC 不可能为直角. (iii) 当 ?C ? 90 时,
0

方法一:当 | AB |2 ?| AC |2 ? | BC |2 时, 即 y2 ?

256 28 4 3 y ? ? ? y 2 ? 28 ? 4 3 y ? y 2 , 9 9 3

4 4 3 y ? ? 0 ,解得 y ? ? 2 3 ,此时 ?ACB 为直角。 3 3 3
3

0 方法二: 当 ?C ? 90 时, 由几何性质得 C 点是 A1B1 的中点, 即 C 点的坐标是 (?1, ? 2 3 ) 。

故当△ABC 为直角三角形时,点 C 的坐标是 (?1, ? 2 3 ) 或 (?1, ? 2 3 )
3 9

23.(本题满分 18 分)第一题满分 5 分,第二题满分 5 分,第三题满分 8 分. (1)互相平行或三线共点。 当 BC//平面 DEE1D1 时, 平面 ABC ? 平面 DEE1D1=ED BC// ED,同理 CB// E1 D1 ∴ED//CB// E1 D1 当 BC 不平行平面 DEE1D1 时, 延长 ED、CB 交于点 H, ∴H∈EF ∵EF 平面 DEE1D1 ∴H∈平面 DEE1D1 同理 H∈平面 A1BC ∴H∈平面 DEE1D1∩平面 A1BC 即 H∈E1D1 ∴E1、D1、H 三点共线 ∴三线共点 (2)解:∵BC//平面 DEE1D1 且 BC 平面 ABC,平面 ABC∩平面 DEE1D1=ED ∴BC∥ED,同理 BC∥E1D1 在△ABC 中,BC∥ED ∴

BD1 CE1 AD AE = 同理可得 = DB EC D1 A1 E1 A1



AD BD1 A1 E1 CE AE CE1 A1 E1 CE ? ? ? = =1 DB D1 A1 E1C EA EC E1 A1 E1C EA

(3)解:

由(1)可得,延长ED、CB、E1D1交于点H, 过点B作BF∥AC,BG∥A1C ∵BF∥AC 同理可得 ∴

AD AE = DB BF

BD1 BG = D1 A1 A1 E1


在△HCE中,BG∥CE1

BG HB = CE1 HC

同理可得

FB HB = EC HC



AD BD1 A1 E1 CE AE BG A1 E1 CE BG ? CE BG EC HB HC = = = = =1 ? ? ? DB D1 A1 E1C EA BF A1 E1 E1C EA BF ? E1C CE1 FB HC HB

AD BD1 A1 E1 CE 的值不变化,仍为1 ? ? ? DB D1 A1 E1C EA


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