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正、余弦定理.ppt

时间:2017-09-02


江西吉水二中 甘小毛
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复习回顾 a b c ? ? ? 2R 1、正弦定理: sin A sin B sin C
(其中:R为△ABC的外接圆半径) 2、三角形面积公式:

S ?ABC

3、正弦定理的变形:

1 1 1 ? bc sin A ? ca sin B ?

ab sin C 2 2 2

a?b?c ? 2R sin A ? sin B ? sin C

a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C
a b c sin A ? , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R
2

sin A : sin B : sin C ? a : b : c

余弦定理:

a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2 2 2 2

b ? a ? c ? 2ac cos B
2

变形

c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2

在 ?ABC 中,以下的三角关系式,在解答有关三角形问题时, 经常用到,要记熟并灵活地加以运用:

b ?c ?a cos A ? 2bc 2 2 2 c ?a ?b cos B ? 2ca 2 2 2 a ?b ?c cos C ? 2ab
2 2 2

A? B ?C ??; sin( A ? B ) ? sin C , cos( A ? B ) ? ? cos C
A? B C A? B C sin ? cos , cos ? sin 2 2 2 2

3

几个概念:
? 仰角:目标视线在水平线上方的叫仰角; ? 俯角:目标视线在水平线下方的叫俯角; ? 方位角:北方向线顺时针方向到目标方向 线的夹角。
N

方位角 60度
目标方向线

视 线

仰角
水平线

俯角
视 线
4

三角形中的计算问题
? ? ? ? 面积计算公式: S=1/2ah S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB 海伦-秦九韶公式:

S=abc/4R
5

定理应用
P18例1 如图, 为了测量河对岸两点A, B之间的距离, 在河岸这 边取点C , D, 测得?ADC ? 85?, ?BDC ? 60?, ?ACD ? 47?, ?BCD ? 72?, CD ? 100m , 设A, B, C , D在同一平面内, 试求A, B B之间的距离(精确到1m) A

DC sin ?ADC ?ADC ? AC ? ? 134.05( m ) sin ?DAC

DC sin ?BDC ?BDC ? BC ? sin ?DBC ? 116.54( m )

D

C

?ABC ? AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos ?ACB ? 3233.95 AB ? 57( m ) 答 .(略)

P20练习1

6

P18例2 某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号,我海军舰 艇在A处获悉,测出该渔船在方位角为45?,距离为10 n mile 的C处,并测得渔船正沿方位角105?的方向,以9 n mile / h的速 度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以21 n mile / h的速度前去营 救,求舰艇的航向和靠近渔船所用的时间(精确到0.1?,时间 精确到1min). P20练习3,4
解 : 设舰艇收到信号后x ( h)在B处靠垅渔船, 则AB ? 21 x , BC ? 9 x , ?ACB ? 45? ? (180? ? 105? ) ? 120? .

C

由余弦定理,得 方程的思想 2 2 2 AB ? AC ? BC ? 2 AC ? BC cos ?ACB 即(21 x )2 ? 102 ? (9 x )2 ? 2 ? 10 ? 9 x cos120?北 . 化简,得 36 x 2 ? 9 x ? 10 ? 0, 45? 2 解得x ? ( h) ? 40(min)(负值舍去). 3 A

105?

10

120?

9x
B

21x

BC sin ?ACB 9 x sin120? 3 3 由正弦定理, 得 sin ?BAC ? ? ? , AB? 21 x 14 ? ? ? ??BAC ? 21.8 , 方位角为45 ? 21.8 ? 66.8 .
?

7

答:舰艇应沿着方位角66.8 的方向航行, 经过40min 就可靠近渔轮.

小结:求解三角形应用题的一般步骤:

1、分析题意,弄清已知和所求;
2、根据题意,画出示意图;

3、将实际问题转化为数学问题,写出

已知所求;
4、正确运用正、余弦定理。
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实际问题

抽象概括 示意图

数学模型 推 理 演 算

实际问题的解

还原说明

数学模型的解

作业:P21 2,3,4,5
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P18例3 作用于同一点的三个力F1 , F2 , F3平衡已知F1 ? 30 N , . F2 ? 50 N , F1与F2之间的夹角是60? , 求F3的大小与方向(精确到0.1? ). 解:F3应和F1 , F2的合力F 平衡,

所以F3和F 在同一条直线上, 并且大小相等 , 方向相反.

如图在?OF1 F中,由余弦定理 , 得

F ? 302 ? 502 ? 2 ? 30 ? 50cos120? ? 70( N ).

再由正弦定理, 得

P20练习2 50sin120? 5 3 sin ?F1OF ? ? , 70 14 ? ? ? sin ?F1OF ? 38.2 , ?F1OF3 ? 141.8 .
答F3为70 N , F3和F1间夹角为141.8? .
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P19例4 半圆O的直径为2, A为直径延长线上的一点. OA ? 2, B为半圆上的一点,以AB为一边作等边三 角形ABC .问.点B在什么位置时,四边形 OACB面积最大 ? 解:设 ?AOB ? ? 在三角形 ?OAB . 中,由余弦定理,得 AB 2 ? OB2 ? OA2 ? 2OB ? OA cos ? ? 12 ? 22 ? 2 ? 1 ? 2cos ? =5 ? 4cos ? .
于是,四边形OACB面积为 S ? S ?AOB ? S ?ABC 1 3 ? OA ? OB sin ? ? AB 2 2 4

C

B

1 3 ? ? ? 2 ? 1 ? sin ? ? (5 ? 4cos ? ) A 2 4 O 5 ? 5 ? sin ? ? 3 cos ? ? 3 ? 2sin(? ? ) ? 3. 4 3 4 ? ? 5 5 11 ? 0 ? ? ? ? ,? 当? ? ? , ? ? ? , ?AOB ? ? 时,四边形OACB面积最大. 3 2 6 6

例5、锐角三角形中,边a、b是方程x 2 ? 2 3 x ? 2 ? 0

的度数,边c的长度及?ABC的面积。 3
? ( ? ? ( 解: 2 sin A ? B) 3 ? 0, sin A ? B)?
? ?ABC为锐角三角形

的两根,角A、B满足2 sin A ? B) 3 ? 0,求角C ( ?
2

? A ? B ? 120o ? C ? 60o ? 边a、b是方程x 2 ? 2 3 x ? 2 ? 0的两根 ? a ? b ? 2 3,ab ? 2
2 2 2

? c ? a ? b ? 2ab cos C 2 ? a ? b) ? 3ab ? 12 ? 6 ? 6 ?c ? 6 (
1 1 3 3 ? ab sin C ? ? 2 ? ? 2 2 2 2
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? S ?ABC

俯角分别为30?,60?, 则塔高为 ______ 3

Ex .1.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与与塔底 400

2.有一长为1千米的斜坡, 它的坡度为30?,现要将它的
500( 坡度改为15?, 则该坡比原来伸长____ 6+ 2)

3.在一幢20米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60?,
4.某人向东方向走x千米后,向右转150?, 然后朝新方向 走了3km , 结果他离出发点恰好 3km , 那么x的值是 A. 3 B.2 3 C .2 3或 3 D.3
3 20(1+ ) 塔基的俯角为45?,则这座塔吊的高为__________. 3

C
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5.某观察站C 在城A的南偏西20?的方向,由城A出发的一 条公路, 走向是南偏东40?, 在C处测得公路上B处有一 人距C为31千米, 正沿公路向A城走去,走了20千米后 到达D处,此时CD间的距离为21千米,问这个人要走多 北 少千米可到达A城 ? A 东 202 ? 212 ? 312 ?BCD ? cos ? ?
2 ? 20 ? 21 1 4 3 ? ? ? sin ? ? 7 7 ?ACD ? sin ? ? sin( ? ? 60? )

C

?

21

?

D
20
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1 3 5 3 21 AD 31 ? sin ? ? cos ? ? ? ? 2 2 14 sin 60? sin ?

B

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 6 . ?ABC中, BC ? CA ? 7.5, CA ? AB ? 32.5, ??? ??? ? ? AB ? BC ? ?16.5. 求?ABC 最大的内角.
??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? 略解 : BC ? CA ? AB ? BC ? BC ? (CA ? AB ) ??? ??? ? ? ??? 2 ? ? ? BC ? BC ? ? BC ??? 2 ? ??? ? ? 7.5 ? 16.5 ? ?9 ? ? BC ? BC ? 3 ??? ? ??? ? 同理可求 AB ? 3, CA ? 5.
a 2 ? c 2 ? b 2 32 ? 32 ? 52 cos B ? ? 2ac 2? 3? 3
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课后作业:第二教材相应内容选做。
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sin B ? sin C Ex 2.已知 sin A ? , 试判断?ABC的形状. cos B ? cos C

Ex 3.在?ABC中,sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 : 4 那么cos C ? _________ .

Ex 4.?ABC中, a 4 ? b 4 ? c 4 ? 2c 2 (a 2 ? b 2 ) 则?C ? ________
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5. A, B两人同时拉动有绳子的物体, 当A和B所拉着的 绳子沿垂线成 30?, 45?的角时, A和B手上承受的力的比 A. 2 : 1 B. 3 : 1 C. 3 : 2 D. 2 : 3

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例1海上有A、B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成 60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,那么B岛和C 岛间的距离是 。 C 60°

解:应用正弦定理,C=45?
BC/sin60? =10/sin45 ? BC=10sin60? /sin45 ? 答:

A
75°

5 6 海里
B
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例2 已知△ABC的三内角A、B、C成等差,而A、B、C三 内角的对边a、b、c成等比,试证明:△ABC为正三角形。
证明: ∵A、B、C成等差,∴2B=A+C, 又A+B+C=180o,∴B=60o,A+C=120o ∵a、b、c成等比,∴b2=ac 又由余弦定理得:

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos 60?

? a 2 ? c 2 ? ac
? ac ? a 2 ? c 2 ? ac , 即( a ? c ) 2 ? 0 ,∴a=c
又∵B=60o,∴△ABC是正三角形。
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