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五、幂函数

时间:2015-07-31


五、幂函数及其性质
相关知识点:
1.幂函数的定义 一般地,函数y=xα 叫做幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数. 2.幂函数的性质 (1). 恒过点(1,1),且不过第四象限. (2). 当 α>0 时,幂函数在(0,+∞)上都是增函数;当 α<0 时,幂函数在(0,+∞)上 都是减函数. ( 3). 在第一象限内,直线 x=1 的右侧,图象由上到下,相应的指数由大变小. (4).当α为偶数,y=xα 是偶函数;当α为奇数,y=xα 是奇函数。

A.y=x

-2

B.y=x

-1

C.y=x2

1

D.y=x3

1 - 8. 函数 y=x 2 在区间[ ,2]上的值域为________. 2 1 α 9. 设 α∈{-1,1, ,3},则使 y=x 的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 的值组成的集合 2 为________.

例题精析:
1 1 α 例 1.如图,图中曲线是幂函数 y=x 在第一象限的大致图象.已知 α 取-2,- , ,2 2 2 四个值,则相应于曲线 C1,C2,C3,C4 的 α 的值依次为______________ )
5 x

基础训练:
1. 下列函数是幂函数的是( A.y=5 B.y=x
α +

C.y=5x

D.y=(x+1)3

2.已知函数 y=(m2+2m-2)xm 2+2n-3 是幂函数,则 m=________,n=_________. 3.已知幂函数 f(x)=x 的图象经过点(9,3),则 f(100)=________. 4. 下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是( A.y=x B.y=x2 ) C.y=x2 D.y=x
-1

)
1

C.y=x3

D.y=x2

变式训练: 幂函数 y=x 1 及直线 y=x,y=1,x=1 将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”:


5. 下列函数中,定义域为 R 的是( A.y=x
-2

1

1

B.y=x2 )

①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧(如图所示 ),那么幂函数 y= x2 的图象经过的“卦限”是 ___________.

5

6. 函数 y=x3的图象大致是(

7. 下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是(

)

例 2.比较下列各组数的大小: 5 5 (1)3-2和 3.1- ; 2 π 2 2 2 (3)(- )- 和(- )- ; 3 3 6 3 7 1 (2)-8- 和-( ) ; 8 9 2 3 (4)4.1 ,3.8- 和(-1.9)- . 3 5
2 5 7 8

1 α 2.设 α∈{-1,1, ,3},则使幂函数 y=x 的定义域为 R 的所有 α 的值为_________. 2 1 3. 幂函数 y=f(x)的图象经过点(2, ),则满足 f(x)=-27 的 x 值等于________. 8 5 4. 函数 y=ax-2(a>0 且 a≠1,-1≤x≤1)的值域是[- ,1],则实数 a=__________ 3 5. 比较下列各组中两个值的大小:

变式训练: 用“>”或“<”填空:
3 21 31 2- 3- 3 (1)( )2________( )2;(2)(- ) 1________(- ) 1;(3)(-2.1)7________(-2.2)- . 3 4 3 5 7

3 3 2 2 (1)1.55与 1.65; (2)0.61.3 与 0.71.3; (3)3.5- 与 5.3- ; 3 3

(4)0.18

-0.3

与 0.15

-0.3

.

23 22 32 6. 设 a=( )5,b=( )5,c=( )5,则 a,b,c 的大小关系是_______________ 5 5 5 1 例 3 已知幂函数 f(x)=(t3-t+1)x (1-4t-t2)是偶函数,且在(0,+∞)上为增函数,求函 2 数解析式.
2

7. 已知函数 y=x3. (1)求定义域; (2)判断奇偶性; (3)已知该函数在第一象限的图象如图所示,试补全图象,并由 图象确定单调区间.

变式训练: 若函数 f(x)=(m2-m-1)x 值范围.
-m+1

是幂函数,且在 x∈(0,+∞)上是减函数,求实数 m 的取 8.已知幂函数 y=x3m 9(m∈N*)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上函数值随 x 的增大


m m 而减小,求满足(a+1)- <(3-2a)- 的 a 的取值范围. 3 3

课后作业:
1 1 1. 若幂函数 f(x)的图象经过点(2, ),则 f( )=________. 4 2

1 9. 点( 2,2)与点(-2,- )分别在幂函数 f(x),g(x)的图象上,问当 x 为何值时,有 2 (1)f(x)>g(x);(2)f(x)=g(x);(3)f(x)<g(x)?


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