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2[1].2.1对数与对数运算(3)


2.2.1对数与对数运算(3)

换底公式

一、从对数的运算性质说起
?

则有: ? 1, M ? 0,N ? 0, 如果a ? 0, a ?

(1) loga (M ) ? loga (N ) ? loga (MN ); (加法)
(2) loga (M ) ? loga

(N ) ? loga (MN ); (减法)
?1

(3) nloga M ? loga M , (n ? R );
n

(数乘)

?注意:利用对数的运算性质只能解决同底数的对数

运算 .

二、换底公式
1、利用计算器计算 lg15 和 结果:1、 lg15 ? 1.7, 2、 ln15 ? 2.7,

lg 2 ; 2、利用计算器计算 ln15 和ln 2 .
lg 2 ? 0.3;

ln 2 ? 0.7.

说明:第1题中是两个常用对数,它们的底数都是10; 第2题中是两个自然对数,它们的底数都是e.利用科学 计算器可以直接计算常用对数和自然对数.

问题1 可否利用计算器求出 log2 15 的值呢? 我们设 log2 15 ? x 从而有

2 x ? 15
对上式两边同取以10为底的对数可得

log10 2 ? log10 15,即
x

lg 2 ? lg15 ? x lg 2 ? lg15 ? lg15 lg15 x? , 即 log 2 15 ? lg 2 lg 2
x

? 3.91.

lg15 抽象推广到一般情况可得重要 由 log 2 15 ? lg 2

的对数转换公式:

换底公式

loga N logb N ? (其中a,b ? 0,a,b ? ? 1,N ? 0) loga b
说明:对数换底公式的证明方法并不唯一,前面 对 的求值过程实际上就是一种证明方法,可类 log 2 15 似证明对数换底公式,现在请同学们写出证明过程,

对数换底公式

loga N ?a, b ? 0, a, b ? 1, N ? 0?. logb N ? loga b

证明: 设x=logbN,根据对数定义,有 N=bx. 换底公式好神奇 两边取以a为底的对数,得 换成新底可任意 logaN=logabx. 原底加底变分母 所以 真数加底变分子 logaN=xlogab. loga N x ? . 由于b≠1,则logab≠0,解出x得
loga b

所以

loga N logb N ? . loga b

对数换底公式的选用 (1)在运算过程中,出现不能直接用计算器获得对数值时,可化

为常用对数进行运算.
(2)在使用换底公式时,底数取值不唯一,只要是不等于1的正 数均可以,应根据实际情况选择.

课本58页:
18 x ? log1.01 13

例如,求我国人口达到18亿的年份,就是计算
的值,利用换底公式与对数的运算性质,

可得

18 lg 18 lg18 - lg13 13 x ? log1.01 ? ? 13 lg1.01 lg1.01 1.2553- 1.1139 ? ? 32.8837? 33(年) 0.0043

由此可得,如果人口年增长率控制在1%,那么从 2000年初开始,大约经过33年,即到2032年底我国的人

口总数将达到18亿.

三、推论
令N ?

推论1

1 logb a ? log a b
n

log a N 则 logb N ? a, log a b

就变形为

n 推论2 log am b ? m log a b
n ? log a b n log a b ? ? log a b log am b ? m m m log a a
n n

推论3 loga b ? logb c ? logc d ? loga d
lg b lg c lg d lg d ? ? ? 证明 左边? lg a lg b lg c lg a

? loga d ? 右边

四、应用
例1 计算:

(1) log9 27 ; (2) log8 9 ? log27 32

3 log3 27 ? 解 ?1?log9 27 ? 2 log3 9

3 3 法二: log9 27? log32 3 ? log 3 3 ? 2 2
3

lg 9 lg 32 2 lg 3 ? 5 lg 2 ? 10 ?2?log8 9 ? log27 32 ? ? ? 9 lg 8 lg 27 3 lg 2 3 lg 3

例2: 课后阅读《三维设计》55页[例2] 已知lg2=a,lg3=b,请用a,b表示下列各式的值.
lg 6 lg 2 ? lg 3 a ? b 1.log36= lg 3 ? lg 3 ? b
1 1 2.log210= lg 2 ? a 10 lg lg 5 1 ? lg 2 1 ? a 2 3.log35= lg 3 ? lg 3 ? lg 3 ? b

2 lg 3 ? 2 lg 2 2a ? 2b 4.log1236= lg 3 ? 2 lg 2 ? 2a ? b

五、小结
log a N logb N ? (其中a,b ? 0,a,b ? ? 1,N ? 0) 1.换底公式: log a b

2.推论: () 1 logb a ?
n

1 loga b

n () 2 logam b ? loga b m

() 3 loga b ? logb c ? logc d ? loga d

巩固练习
教材P68 练习4 教材P74 习题2.2 A组 6

练习:
一、利用对数的换底公式化简下列各式

(1) loga c ? logc a ( 2) log2 3 ? log3 4 ? log4 5 ? log5 2 ( 3)(log 4 3 ? log 8 3)(log 3 2 ? log 9 2)

二 、 计 算 : l og4 8 ? l og1 3 ? l og
9 2

4

例4:一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一 年剩留的质量约是原来的84%,估计约经过多少年,该物 质的剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字).

解 设最初的质量是1,经过x年,剩留量是y.则 经过1年,剩留量是y=0.84; 经过2年,剩留量是y=0.842; ...... 经过x年,剩留量是y=0.84x 依题意得0.84x=0.5,用科学计算器计算得 ln 0.5 x ? log 0.84 0.5 ? ? 3.98, ln 0.84 即约经过4年,该物质的剩留量是原来的一半.

?作业:

1、下午自习课首先观看视频: 【换底公式及其应用】(21分钟) 2、然后完成[课时跟踪检测](十七)

例6. 生物机体内原有的碳14的“半衰期”为5730年, 湖南长沙墓的年代马王堆汉墓女尸出土时碳14的剩余量约 占原始含量的76.7%,试推算马王堆古墓年代。
解:设马王堆古墓距今t年,则
?1? 76.7% ? ? ? ?2?
1 5730 2
t 5730

? t ? log

0.767

由计算器可得    t?2193
所以,马王堆古墓是近2200年前的遗址.


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