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11.第一章 常用逻辑用语复习小结


广州南洋英文学校 梁恩贵
2012年11月
1

常用逻辑用语知识是进行数学推理和思维必不可少 的基本知识 .通过本章的学习 ,使 我们体会到 逻辑用语的 严谨性、准确性及其中蕴含的一些思维规律,甚至有些同 学会认为我们好像是在 “咬文嚼字” , 而且有些思维是形 式化的在进行,其实这种训练可以有助于我们正确理解 数学概念、合理论证数学结

论、准确表达数学内容.

常用逻辑用语知识的学习,我们要充分品味逻辑用 语的严谨性、准确性和其中蕴含的思维规律,但又不要 刻意追求那些形式化又无实际意义的东西的推敲, 贵在 思维的熏陶。
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常用逻辑用语复习小结
本章知识结构:

重要考点
命题及 其关系

常用逻辑用语

知道命题的特征 . 能准确写出命题 的否定.
全称量词 存在量词

充分条件 必要条件 充要条件

简单的逻辑联结 词:且、或、非

四种命题:原命题、逆命题、 否命题、逆否命题. 1.原命题与逆否命题同真同假.

2. p ? q 说 p 与 q 互为充 要条件 . 充要条件的探求 2.证明一个命题,可以考虑证它 是学好数学的基本功. 3
的逆否命题来间接证明.

1. p ? q 说 p 是 q 的充分 条件, q 是 p 的必要条件.

回顾一 命题及其关系 1.命题,真命题,假命题; 2.标准的数学式命题:”若p,则q.” 3.四种命题:原命题,互逆命题,互否命题, 互为逆否命题.
原命题与逆否命题同真假。 原命题的逆命题与否命题同真假。
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四种命题形式及其关系
原命题 若p,则q 互 否 否命题 若? p,则? q 互逆 互为逆否 逆命题 若q,则p 互 否 逆否命题 若? q,则? p

同真同假
互逆

注:(1) “互为”的; (2)原命题与其逆否命题同真同假. (3)逆命题与否命题同真同假.
5

4.用反证法证明命题的一般步骤

(1) 假设命题的结论不成立,即假设结论的 反面成立; (2) 从这个假设出发,经过推理论证, 得出矛盾;
(3) 由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题 的结论正确。
6

正难则反
5.用反证法证明过程中推理论证是要得出矛盾 矛盾有三种可能: (1)与原命题的条件矛盾; (2)与定义、公理、定理等矛盾; (3) 与结论的反面成立矛盾(自相矛盾). 反证法的基本思想: 通过证明原命题的否定是假命题,说明原命题是 真命题. 7

回顾二、充分条件、必要条件 1) A B且 B B且 B B且B B且B A,则A是B的
充分不必要条件

2)若A 3)若A 4) A

A,则A是B的
必要不充分条件

A,则A是B的
既不充分也不必要条件

A,则A是B的
充分且必要条件
8

设:A ? {x | x满足条件p} B ? {x | x满足条件q}
1)若A ? B且B ? A,则称p是q的充分不必要条件 2)若A ? B且B ? A,则称p是q的必要不充分条件
1) B 2) A A B

3)若A ? B且B ? A, p是q的既不充分也不必要 件 4)若A ? B且B ? A,既A=B,则称p是q的充要条件
A B A =B
9

3 )

4 )

回顾三、逻辑联结词
?

“且” A ? B ? ?x ? A且x ? B? x x ? A或x ? B? ? “或” A ? B ? ? A ? ?x x ?U且x ? A? ? “非”
p、q 同时为真才为真.

注:⑴“p 且 q”─

⑵“p 或 q” ─ 只要 p、q 中有一个为真就 为真.(p、q 同时为假才为假.)
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⑶“? p”─ p 的全盘否定, p 与?p 一真一假.

思考1:短语“所有的”“任意一个” “任给”等表示“全体”的量词,在逻 辑中通常叫做全称量词,并用符号“ ? ” 表示,你还能列举一些常见的全称量词 吗? “一切”,“每一个”,“全体”等

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思考2:含有全称量词的命题叫做全称命 题,如“对所有的x∈R,x>3”,“对 任意一个x∈Z,2x+1是整数”等,你 能列举一个全称命题的实例吗? 思考4:将含有变量x的语句用p(x)、q(x) 、r(x)等表示,变量x的取值范围用M表 示,符号语言“x∈M,p(x)”所表达的数 学意义是什么? “对M中任意一个x,有p(x)成立”
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?

思考3:短语“存在一个”“至少有一 个”“有些”等表示“部分”的量词, 在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号 “ ? ”表示,你还能列举一些常见的存 在量词吗? “有一个”,“ 对某个”,“有的”等

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思考4:含有存在量词的命题叫做特称命 题,如“存在一个x0∈R,使2x0+1= 3”,“至少有一个x0∈Z,x0能被2和3 整除”等,你能列举一个特称命题的实 例吗?
?

思考4:符号语言“ ?x0∈M,p(x0)”所 表达的数学意义是什么?

存在M中的元素x0,使p(x0)成立.
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回顾四:全称量词与存在量词
通常,将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示,变量x的取值范围用M表示。 全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立.

简记为:?x ? M,p(x)
通常,将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示,变量x的取值范围用M表示。 特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立.

简记为:?x ? M,p(x)
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全称命题与特称命题的否定
全称命题的否定是特称命题
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的 结论
全称命题 p : ?x ? M,p(x) 它的否定

?p : ?x ? M,?p(x)

含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论 特称命题 p : ?x ? M,p(x) 它的否定

?p : ?x ? M,?p(x)
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特称命题的否定是全称命题

特别注意对一些词语的否定
词语
等于 大于 小于 是

否定
不等于 不大于 不小于 不是

词语
任意的 所有的 且 都是

否定
某个 某些 或 不都是

至多有一个 至少有两个 至多有n个 至少有(n+1)个 至少有一个 一个都没有 至少有n个 至多有(n-1)个

“非 p”─ p 的全盘否定.特别注意!
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练习一: 1. 有下列四个命题: ①“ 若 | x |? 3 ,则 x ? 3或x ? ?3 ”的逆命题; ②命题“a、b 都是偶数,则 a+b 是偶数”的逆否命题是 “a+b 不是偶数,则 a、b 都不是偶数”; ③若有命题 p:7≥7,q:ln2>0, 则 p 且 q 是真命题; ④若一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定是真. 其 中真命题为( D ) (A)①④ (B)②③ (C)②④ (D)③④ 2. 命题: “若 x2 ? x ? 2 ? 0 ,则 x≠–1 且 x≠2” 的否命题是_______. 3. 已知 x, y ? R ,且 x ? y ? 2 ,求证: x, y 中至少有一个大于 1.
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若 x ? x ? 2 ? 0 , 则 x ? ?1 或 x ? 2 .
2

3答案

3.已知 x, y ? R ,且 x ? y ? 2 , 大于 1.

求证: x, y 中至少有一个

法一:假设 x, y 均不大于 1,即 x ≤1且y ≤1, 则x ? y ≤ 2 ,这说明原命题的逆否命题成立 ∴原命题成立.

法二:假设 x, y 均不大于 1,即 x ≤1且y ≤1, 则x ? y ≤ 2 ,这与已知条件 x ? y ? 2 矛盾 ? x, y 中至少有一个大于 1

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练习二 1.设甲、 乙、 丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙

的充分条件但不是乙的必要条件,那么丙是甲的( A ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 2.若不等式 x ? 1 < a 成立的充分条件是 0 ? x ? 4 ,则 a 的取值范围


a≥3

.

3.已知 a ? 0 ,设命题 p : 函数 y ? a x 在 R 上单调递减, q : 不等式: x ? x ? 2a ? 1的解集为 R,若“ p 或 q ”为 真, “ p 且 q ”为假,求 a 的取值范围.

.

20

3答案

3.已知a > 0, 设命题p:函数y = a 在R上单调递减, q : 不等式 : x ? x ? 2a ? 1的解集为R, 若“ p或q ”为真, “ p且q ”为假,求a的取值范围.
由函数y ? a 在R上是减函数,可知0 ? a ? 1,
x

x

解:

即当p真时,a的取值范围是: 0 ? a ?1 ; ? 2 x ? 2a, ( x ? 2a ) , 令y ? x ? x ? 2a , 则y ? ? ( x ? 2a ) ? 2a, 不等式x ? x ? 2a > 1的解集为R,只要ymin ? 1, 1 而ymin =2a, 所以2a ? 1,即a ? , 2 1 21 即q真 ? a ? . 2

3.已知a > 0, 设命题p:函数y = a 在R上单调递减, q : 不等式 : x ? x ? 2a ? 1的解集为R, 若“ p或q ”为真, “ p且q ”为假,求a的取值范围.
若“p ? q”为真,“p ? q”为假, 则p、q一真一假:

x

1 若p真q假,则0<a ? ; 2 若p假q真,则a ? 1.

1 综上,所求a的取值范围是0<a ? 或a ? 1. 2
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练习三: 1. 已知命题 p: 方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的根是 x=2; 命题 q: 方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的根是 x=1,则命题 p或q 为____________.
方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的根是 x=2 或是 x=1

2. 写 出 命 题 “? a 、 b 、 c ? R , 若 x ? a 2 ? 2b ? 1 , y ? b 2 ? 2c ? 1 , z ? c 2 ? 2a ? 1 ,则 x 、 y 、 z 中至少有一个不 小于 0”的否定为____________________.
2 2 ? R ? a、b 、c ,若 x ? a ? 2b ? 1, y ? b ? 2c ? 1,

z ? c 2 ? 2a ? 1 ,则 x 、 y 、 z 三个都小于 0”
1 a) 的定义域为 R;命 3.设命题 p:函数 f ( x) ? lg( ax ? x ? 16
2

题 q:不等式 2 x ? 1 ? 1 ? ax 对一切正实数均成立.如果命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题,求实数 a 的取值范围.
23

3答案

3.解:命题 p 为真命题 ? 函数f ( x) ? lg(ax 2 ? x ?

1 a )的定义域为R 16

?a ? 0 1 ? ? a ? 2. ? ax 2 ? x ? a ? 0对任意实数x均成立 ? ? 1 2 16 1? a ? 0 ? ? 4

?命题p为真命题 ? a ? 2.

又 命题q为真命题 ? 2x ?1 ?1 ? ax对一切正实数均成立
?a? 2x ? 1 ?1 2x 2 ? ? 对一切正实数x均成立 x x( 2 x ? 1 ? 1) 2x ?1 ?1
2 ? 1.(8分) 2x ?1 ?1

由于x ? 0,? 2 x ? 1 ? 1,? 2 x ? 1 ? 1 ? 2,?

?命题q的真命题 ? a ≥1.(10分) ∵根据题意知,命题 p 与 q 为有且只有一个是真命题,当命题 p 为真命题且 命题 q 为假命题时 a 不存在;当命题 p 为假命题且命题 q 为真命题时 a 的取 值范围是[1,2].综上,命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题时实数 a 的 取值范围是[1,2](12 分)

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1 x ?1 ? 0, 4.已知 p : 1 ? ?2 , q: 2 x ? 4x ? 3 3 求非 p 与非 q 对应的 x 的集合.

注 :关于含绝对值的不等式的可以根据绝对值的

? x ( x ≥ 0) 定义: x ? ? ,通过分类讨论转化为一 ?? x( x ? 0) ?p : x ? 10 ? x ? 10
般的不等式来分析. 或者找等价式来转化:

? ?q : ? x 1 ? x ? 3?

?

⑴ x ? a(a ? 0) ? ?a ? x ? a ; ⑵ x ? a(a ? 0) ? x ? ?a或x ? a
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5. 已 知 p : x2 ? 8x ? 20 ? 0 , q : x2 ? 2 x ?1 ? a2 ? 0 , 若非 q 是非 p 的充分不必要条件 ,则正实数 a 的 0?a? 2 取值范围是_________.

分析: ? q 是? p 的充分不必要条件

即? q ?? p 但? q ? ? p
也就是说 “若? q ,则? p ”是真命题

但 “若? p ,则? q ”是假命题.
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已知函数f ( x) ? 4 x ? 2( p ? 2) x ? 2 p ? p ? 1在区间? ?1,1? 上
2 2

至少存在一个实数c,使得f (c) ? 0,求实数p的取值范围。
解析:上述命题的否定为:

在区间??1,1?上所有实数c,使得f (c) ? 0恒成立
4

正难则反

2

-5

-1 1
-2 -4

5

27


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