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圆的方程复习讲义


教育学科教师辅导讲义
学员编号: 学员姓名:
课 题

年 级:高二 辅导科目:数学 圆的方程

课 时 数: 学科教师:

授课日期及时段

教学目的

1、掌握圆的方程基本推导过程; 2、利用定义或是已知条件进行求解点的轨迹方程; 3、综合直线和圆的关系及其

性质进行分析求解问题,强化解析几何思想。
教学内容

一、上次作业检查与讲解; 二、学习要求及方法的培养: 三、知识点分析、讲解与训练:

知识回顾
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 ,圆心
2 2

?a, b ? ,半径为 r;

点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的位置关系: 当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r ,点在圆外
2

当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r ,点在圆上
2

当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r ,点在圆内
2

(2)一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
D E ? ,半径为 r ? 1 D 2 ? E 2 ? 4 F 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? ? ,? ?
2 2

?

2

2?

2

? E 2 ? 4F ? 0 时,表示一个点; 2 2 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程不表示任何图形。
当D
2

(3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:

(1)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,圆心 C ?a, b ? 到 l 的距离为 d ? Aa ? Bb ? C ,
A2 ? B 2

则有 d ? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ; d ? r ? l与C相交 (2)过圆外一点的切线:①k 不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求 解 k,得到方程【一定两解】
第 1 页 共 1 页

(3) 过 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 : 圆 (x-a) +(y-b) =r , 圆 上 一 点 为 (x0 , y0) , 则 过 此 点 的 切 线 方 程 为

2

2

2

(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2
4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 2 2 2 2 设圆 C1 : ?x ? a1 ? ? ? y ? b1 ? ? r , C2 : ?x ? a2 ? ? ? y ? b2 ?2 ? R 2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当 d ? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当 d ? 0 时,为同心圆。 注意: (1)已知圆上两点,圆心必在中垂线上; (2)已知两圆相切,两圆心与切点共线; (3)圆的辅助线一般 为连圆心与切线或者连圆心与弦中点。

典例精讲
例一、 (1)若点 P(2,-1)为圆(x-1) +y =25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是 A.x-y-3=0 C.x+y-1=0 B.2x+y-3=0 D.2x-y-5=0 )
2 2

(

)

(2)已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x+4y+4=0 与圆 C 相切,则圆 C 的方程为( A.x +y -2x-3=0 C.x +y +2x-3=0
2 2 2 2 2 2 2

B.x +y +4x=0 D.x +y -4x=0 )
2 2

2

2

(3)若曲线 C:x +y +2ax-4ay+5a -4=0 上所有的点均在第二象限内,则 a 的取值范围为( A.(-∞,-2) C.(1,+∞) B.(-∞,-1) D.(2,+∞)

3 (4)圆心在曲线 y= (x >0)上,且与直线 3x+4y+3=0 相切的面积最小的圆的方程为(

x



18 2 2 2 A.(x-1) +(y-3) =( ) 5 3 2 2 C .(x-2) +(y- ) =9 2

16 2 2 2 B.(x-3) +(y-1) =( ) 5 D.(x- 3) +(y- 3) =9
2 2

例二、 (1)求圆心在原点,且圆周被直线 3x+4y+15=0 分成 1∶2 两部分的圆的方程。

. (2)圆 x +y -2x-2y+1=0 上的动点 Q 到直线 3x+4y+8=0 距离的最小值为

2

2



例三、 (1) (2013 年高考浙江卷(文) )直线 y=2x+3 被圆 x +y -6x-8y=0 所截得的弦长等于__________。 (2) (2013 年高考山东卷(文 13) )过点(3,1)作圆 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4 的弦,其中最短的弦长为__________。
2 2

2

2

第 2 页 共 2 页

2 2 例四、 (2013 年高考四川卷(文) )已知圆 C 的方程为 x ? ( y ? 4) ? 4 ,点 O 是坐标原点.直线 l : y ? kx 与圆 C 交

于 M , N 两点。 (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)设 Q(m, n) 是线段 MN 上的点,且
【答案】解:(Ⅰ)将 y ? k x 代入 x
2

2 1 1 .请将 n 表示为 m 的函数。 ? ? 2 2 | OQ | | OM | | ON |2

? ( y ? 4)2 ? 4 得 则 (1 ? k 2 ) x 2 ? 8k x ? 12 ? 0 ,(*)

由 ? ? (?8k ) 2 ? 4(1 ? k 2 ) ? 12 ? 0 得 k 2 ? 3 . 所以 k 的取值范围是 (??, ? 3) ? ( 3, ??) (Ⅱ)因为 M、N 在直线 l 上,可设点 M、N 的坐标分别为 ( x1 , kx1 ) , ( x 2 , kx 2 ) ,则
2 2 OM ? (1 ? k 2 ) x1 , ON ? (1 ? k 2 ) x2 ,又 OQ ? m2 ? n 2 ? (1 ? k 2 ) m2 , 2 2 2



2 OQ
2

?

1 OM
2

?

1 ON
2

得,

2 1 1 ? ? , 2 2 2 2 2 (1 ? k ) m (1 ? k ) x1 (1 ? k 2 ) x 2

所以

( x1 ? x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 2 1 1 ? ? ? 2 2 m 2 x1 2 x 2 2 x1 x 2
8k 1? k
2

由(*)知 x1 ? x 2 ? 所以 m 2 ?

, x1 x 2 ?

12 , 1? k2

36 , 5k 2 ? 3 36 n ,代入 m 2 ? 2 可得 5n 2 ? 3m 2 ? 36 , 5k ? 3 m

因为点 Q 在直线 l 上,所以 k ? 由 m2 ?

36 及 k 2 ? 3 得 0 ? m 2 ? 3 ,即 m ? (? 3, 0) ? (0, 3) . 2 5k ? 3

依题意,点 Q 在圆 C 内,则 n ? 0 ,所以 n ?

36 ? 3m 2 15m 2 ? 180 , ? 5 5

于是, n 与 m 的函数关系为 n ?

15m 2 ? 180 ( m ? (? 3, 0) ? (0, 3) ) 5

巩固练习
一、选择题:
第 3 页 共 3 页

1、圆 x +y -2x=0 和圆 x +y +4y=0 的公切线有且仅有( A.4 条 B.3 条 C.2 条

2

2

2

2

)。

D.1 条

2 2 2、 (2013 年高考安徽(文 6) )直线 x ? 2 y ? 5 ? 5 ? 0 被圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 截得

的弦长为( A.1 B.2

) C.4 D. 4 6 )

3、(2012· 安徽高考)若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点,则实数 a 的取值范围是( A.[-3,-1] C.[-3,1] B.[-1,3] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)

4、 (2012· 兰州模拟)若圆 x2+y2=r2(r>0)上仅有 4 个点到直线 x-y-2=0 的距离为 1, 则实数 r 的取值范围为( A.( 2+1,+∞) C.(0, 2-1) B.( 2-1, D.(0, 2+1)

)

2+1)

5、(2010 年高考江西卷)直线 y=kx+3 与圆(x-2)2+(y-3)2=4 相交于 M,N 两点,若|MN|≥2 3,则 k 的取值范 围是( ) 3 A.[- ,0] 4 C.[- 3, 3 ] B.[- 3 3 , ] 3 3

2 D.[- ,0] 3 )

6、若曲线 C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0 上所有的点均在第二象限内,则 a 的取值范围为( A.(-∞,-2) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(2,+∞)

二、填空题: 7、(2013· 临沂模拟)已知点 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB 是圆 C:x2+y2-2y=0 的两条切 线,A,B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k=______。 8、(2013· 东北三校联考)若 a,b,c 是直角三角形 ABC 三边的长(c 为斜边),则圆 C:x2+y2=4 被直线 l:ax+by +c=0 所截得的弦长为________。 9、(2012· 江西高考)过直线 x+y-2 2=0 上点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线,若两条切线的夹角是 60° ,则点 P 的坐标是________。 10、(2010 年天津一中质检)两圆(x+1)2+(y-1)2=r2 和(x-2)2+(y+2)2=R2 相交于 P,Q 两点,若点 P 的坐标为 (1,2),则点 Q 的坐标为________。 三、解答题: 11、如图,直角三角形 ABC 的顶点 A 的坐标(-2,0),直角顶点 B 的坐标为(0,-2 2),顶点 C 在 x 轴上。 (1)求 BC 边所在直线的方程; (2)圆 M 是△ABC 的外接圆,求圆 M 的方程。

第 4 页 共 4 页

12、已知曲线 x2+y2-4x-2y-k=0 表示的图象为圆。 (1)若 k=15,求过该曲线与直线 x-2y+5=0 的交点、且面积最小的圆的方程; (2)若该圆关于直线 x+y-4=0 的对称圆与直线 6x+8y-59=0 相切,求实数 k 的值。

13、(2012· 福州调研)已知⊙M:x2+(y-2)2=1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B 两点. (1)若|AB|= 4 2 ,求|MQ|及直线 MQ 的方程; 3

(2)求证:直线 AB 恒过定点。

2 t, ?(t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A,与 y 轴交于点 O、B,其中 O 为原点. 14、已知以点 C? ? t? (1)求证:△AOB 的面积为定值; (2)设直线 2x+y-4=0 与圆 C 交于点 M、N,若|OM|=|ON|,求圆 C 的方程.

第 5 页 共 5 页

15、(2012· 揭阳调研)已知点 M(3,1),直线 ax-y+4=0 及圆(x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相切,求 a 的值; (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相交于 A,B 两点,且弦 AB 的长为 2 3,求 a 的值.

16、(本小题满分 14 分)(文)已知圆 C 经过点 A(1,3)、B(2,2),并且直线 m:3x-2y=0 平分圆 C. (1)求圆 C 的方程; (2)若过点 D(0,1),且斜率为 k 的直线 l 与圆 C 有两个不同的交点 M、N. (ⅰ)求实数 k 的取值范围; → → (ⅱ)若OM· ON=12,求 k 的值.

1.(2012· 安徽模拟)已知圆 x2+y2+2x-4y+1=0 关于直线 2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则 ab 的取值范围 是( ) 1? A.? ?-∞,4? 1 ? C.? ?-4,0? 1 ? B.? ?4,+∞? 1? D.? ?0,4?

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2.(2012· 上海模拟)已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0,a1,a2,…,a11 是该圆过点(3,5)的 11 条弦的长,若 数列 a1,a2,…,a11 成等差数列,则该等差数列公差的最大值是________. 3.(2013· 江西六校联考)已知抛物线:C:y2=2px(p>0)的准线为 l,焦点为 F,圆 M 的圆心在 x 轴的正半轴 π 上,圆 M 与 y 轴相切,过原点 O 作倾斜角为 的直线 n,交直线 l 于点 A,交圆 M 于不同的两点 O、B,且|AO| 3 =|BO|=2. (1)求圆 M 和抛物线 C 的方程;

PF ,的最小值; (2)若 P 为抛物线 C 上的动点,求 PM ,·
(3)过直线 l 上的动点 Q 向圆 M 作切线,切点分别为 S、T,求证:直线 ST 恒过一个定点,并求该定点的坐 标.

4.已知圆 C: x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ,是否存在斜率为 1 的直线 L,使以 L 被圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆过 原点,若存在求出直线 L 的方程,若不存在说明理由。
2 2

5.已知点 P(x,y)是圆(x+2) +y =1 上任意一点. (1)求 x-2y 的最大值和最小值; (2)求

2

2

y-2 的最大值和最小值. x-1

第 7 页 共 7 页

6.已知 A(0,1),B(2,1),C(3,4 ),D(-1,2),问这四点能否在同一个圆上?若能在同一圆上,求出圆的方程,若不 能在同一圆上,说明理由。

第 8 页 共 8 页


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