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2014年高中数学题型分析(圆锥曲线大题)

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三、解答题 1. (2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案))本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 9 分. 已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F , 0) 、 F2 (1 , 0) ,短轴的两个端点分别为 B1、 B2 1 (?1 (1)若 ?F 1B 1 B2 为等边三角形,求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆 C 的短轴长为 2 ,过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P、 Q 两点,且 F1P ? FQ 1 , 求直线 l 的方程. [解](1) (2) 【答案】[解](1)设椭圆 C 的方程为 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a 2 b2 4 2 1 ,b ? 3 3 根据题意知 ? ?a ? 2b 2 2 ?a ? b ? 1 , 解得 a ? 2 故椭圆 C 的方程 为 x2 y2 ? ? 1. 4 1 3 3 (2)容易求得椭圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 1. 2 当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 x ? 1 ,不符合题意; 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) . ? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (2k ? 1) x ? 4k x ? 2(k ?1) ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?2 设 P( x1, y1 ), Q( x2, y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 4k 2 2(k 2 ? 1) , x x ? , F1P ? ( x1 ? 1, y1 ), F1Q ? ( x2 ? 1, y2 ) 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 因为 F ? 0 ,即 1P ? FQ 1 ,所以 F 1P ? FQ 1 ( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 ? x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ?1? k 2 ( x1 ?1)( x2 ?1) ? (k 2 ?1) x1x2 ? (k 2 ?1)( x1 ? x2 ) ? k 2 ? 1 ? 7k 2 ? 1 ?0, 2k 2 ? 1 2 解得 k ? 1 7 ,即 k ? ? . 7 7 故直线 l 的方程为 x ? 7 y ?1 ? 0 或 x ? 7 y ?1 ? 0 . x2 y 2 2. ( 2013 年高考四川卷(理) ) 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 a b 4 1 F1 (?1,0), F2 (1,0) ,且椭圆 C 经过点 P ( , ) . 3 3 (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)设过点 A(0, 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点,点 Q 是线段 MN 上的点,且 2 1 1 ? ? ,求点 Q 的轨迹方程. 2 2 | AQ | | AM | | AN |2 [来源:学_科_网 Z_X_X_K] ? 4 ? ?1? ? 4 ? ?1? 【答案】解: 2a ? PF1 ? PF2 ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? 2 2 ? 3 ? ?3? ? 3 ? ? 3? 所以, a ? 2 2 2 2 2. 又由已知, c ? 1 , [来源:Zxxk.Com] 所以椭圆 C 的离心率 e ? c 1 2 ? ? a 2 2 x2 ? y 2 ? 1. 2 ? ?? ? 由 ? ? ? 知椭圆 C 的方程为 设点 Q 的坐标为(x,y).

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