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高中文科数学 三角函数习题

时间:2014-08-19


三角函数习题
一、选择题 1 .

sin 47 ? sin17 cos 30 cos17
A. ?





3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.


3 2

2 . 把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,

再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

3 .将函数 f ( x) ? sin ? x(? ? 0) 的图像向右平移

3? ? , 0) ,则 ? 的最小值是 个单位长度,所得图像经过点 ( 4 4
( )

A.

1 3

B.1

C.

5 3

D.2 ( )

4 .如图,正方形 ABCD 的边长为 1 ,延长 BA 至 E ,使 AE ? 1 ,连接 EC 、 ED 则 sin ?CED ?

A.

3 10 10
2

B.

10 10
2 2

C.

5 10

D.

5 15

D

C

5 .在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状是


E A D.不能确定 .


B

A.钝角三角形.

B.直角三角形.

C.锐角三角形.

6 .设向量 a =(1. cos ? )与 b =(-1, 2 cos ? )垂直,则 cos 2? 等于

A

2 2

B

1 2

C.0

D.-1 ( D. ?1 ? 3 ( ) )

??x ? ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之和为 7 .函数 y ? 2sin ? 3? ? 6

A. 2 ? 3
8 .已知 sin ? ? cos ?

B.0

C.-1

? 2 , ? ?(0,π ),则 sin 2? =
B. ?

A. ? 1

2 2

C.

2 2

D.1

9 .已知 ? >0, 0 ? ? ? ? ,直线 x =

5? ? 和x= 是函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 图像的两条相邻的对称轴,则 ? = 4 4

( A. π 4 π B. 3 π C. 2 3π D. 4



10.若

sin ? ? cos ? 1 ? ,则 tan2α = sin ? ? cos ? 2 3 3 A.B. 4 4

( C.-



4 3

D.

4 3
( )

11.在△ABC 中,AC=

7 ,BC=2,B =60°,则 BC 边上的高等于
B.

A.

3 2

3 3 2

C.

3? 6 2

D.

3 ? 39 4

12 . 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C,所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 若 三 边 的 长 为 连 续 的 三 个 正 整 数 , 且

A ? B ? C , 3b ? 20a cos A ,则 sin A : sin B : sin C 为
A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4
13.(解三角形)在 ?ABC 中,若 ?A ? 60? , ?B ? 45? , BC ? 3 2 ,则 AC ?









A. 4 3
14.函数 f ( x ) ? sin( x ?

B. 2 3

C. 3

D.

?
4

3 2
( )

) 的图像的一条对称轴是

2 4 3 15.已知 ? 为第二象限角, sin ? ? ,则 sin 2? ? 5 24 12 12 A. ? B. ? C. 25 25 25 x ?? (? ? ? 0, 2? ?) 是偶函数,则 ? ? 16.若函数 f ( x) ? sin 3 2? 3? ? A. B. C. 3 2 2

A. x ?

?
4

B. x ?

?

C. x ? ?

?

D. x ? ?

?
2
( )

D.

24 25
( )

D.

5? 3
( )

17.要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图象

A.向左平移 1 个单位 C.向左平移
二、填空题

B.向右平移 1 个单位 D.向右平移

1 个单位 2

1 个单位 2
1 ,则 sin B ? ____ 4

cos C ? 18.设△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 a =1,b=2,
19.在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对应的长分别为 a,b,c,若 a=2 ,B= 20.在 ?ABC 中,已知 ?BAC ? 60?, ?ABC ? 45?, BC ? 21.当函数 y ? sin x ?

? ,c=2 3 ,则 b=______ 6

3 ,则 AC ? _______.

3 cos x(0 ? x ? 2? ) 取最大值时, x ? ____.

22.在△ABC 中,若 a ? 3 , b ? 三、解答题

3 , ?A ?

?
3

,则 ?C 的大小为___________.

23.设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 0, ?? ? ? ? ? )在 x ?

?
6

处取得最大值 2,其图象与轴的

相邻两个交点的距离为

6 cos 4 x ? sin 2 x ? 1 ? (I)求 f ( x ) 的解析式; (II)求函数 g ( x ) ? 的值域. ? 2 f (x ? ) 6

24.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsinA=

3 acosB.

(1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,求 a,c 的值.

25.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的分别是 a, b, c .已知 a ? 2, c ?

2,cos A ? ?

2 . 4

(I)求 sin C 和 b 的值;

(II)求 cos(2 A ?

?
3

) 的值.

26.已知函数 f ( x) ? cos

2

x x x 1 ? sin cos ? . 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 f (? ) ?

3 2 ,求 sin 2? 的值. 10

27.海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为 y 轴

正方向建立平面直角坐标系(以 1 海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向 12 海 里 A 处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线 y 12 2 P y ? 49 x ;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救 援船出发 t 小时后,失事船所在位置的横坐标为 7t . (1)当 t ? 0.5 时,写出失事船所在位置 P 的纵坐标. 若此时 两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向; (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船? O A x

28.函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?
6

) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为

? , 2

(1)求函数 f ( x ) 的解析式;

(2)设 ? ? (0,

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值. 2 2

?

29.在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,已知 sin B(tan A ? tan C) ? tan Atan C .

(Ⅰ)求证: a , b, c 成等比数列; (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S.

30.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列.

(Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值.

31.已知 a , b , c 分别为 ?ABC 三个内角 A , B , C 的对边, c ?

3a sin C ? c sin A .

(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a =2, ?ABC 的面积为 3 ,求 b , c .
32.△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3cos(B-C)-1=6cosBcosC.

(1)求 cosA; (2)若 a=3,△ABC 的面积为 2 2 ,求 b,c.

33.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

的部分图像如图 5 所示.

(Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) ? f ( x ?

?
12

) ? f (x ?

?
12

) 的单调递增区间.

34. 设函数

f ( x) ? sin2 ?x ? 2 3sin ?x cos ?x ? cos2 ?x ? ?( x ? R) 的图像关于直线 x ? ? 对称,其中 ? , ?
1 2

为常数,且 ? ? ( ,1) (1) 求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2) 若 y ? f ( x) 的图像经过点 (

?
4

, 0) ,求函数 f ( x) 的值域.

35.(三角函数)已知函数 f ? x ? ? A cos ?

?x ?? ?? ? ? ? , x ? R ,且 f ? ? ? 2 . ?4 6? ?3?

(Ⅰ)求 A 的值;

? ?? (Ⅱ)设 ? 、 ? ? ?0, ? , ? 2?

4 ? 30 ? f ? 4? ? ? ? ? ? , 3 17 ? ?

2 ? 8 ? f ? 4 ? ? ? ? ? ,求 cos ?? ? ? ? 的值. 3 ? 5 ?

37. ?ABC 中,内角 A.B.C 成等差数列,其对边 a, b, c 满足 2b ? 3ac ,求 A .
2

38.已知函数 f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x . sin x

(1)求 f ( x ) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x ) 的单调递减区间.

39.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ,且有 2sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C

(Ⅰ)求角 A 的大小;[来 (II) 若 b ? 2 , c ? 1 , D 为 BC 的中点 ,求 AD 的长.

三角函数参考答案 一、选择题 1.

【答案】:C 【解析】:

sin 47 ? sin17 cos30 sin(30 ? 17 ) ? sin17 cos30 ? cos17 cos17

?

sin 30 cos17 ? cos 30 sin17 ? sin17 cos 30 sin 30 cos17 1 ? ? sin 30 ? cos17 cos17 2

【考点定位】本题考查三角恒等变化,其关键是利用 47 ? 30 ? 17
2.

【答案】A 【命题意图】本题主要考查了三角函数中图像的性质,具体考查了在 x 轴上的伸缩变换,在 x 轴、y 轴上 的平移变化,利用特殊点法判断图像的而变换. 【解析】由题意 ,y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变 ), 即解析式为 y=cosx+1,向左平移一个单位为 y=cos(x-1)+1,向下平移一个单位为 y=cos(x-1),利用特殊点 ?

?? ? ,0?变 ?2 ?

为?
3.

?? ? ? 1, 0 ? ,选 A. ?2 ?

? ? ? ?? ) ,因为此时函数过 得到函数 g ( x) ? f ( x ? ) ? sin ? ( x ? ) ? sin(?x ? 4 4 4 4 3? 3? ? 3? ? ?? ,0) , 所以 sin ? ( ? ) ? 0 , 即 ? ( ? )? ? k? , 所以 ? ? 2k , k ? Z , 所以 ? 的最小值 点( 4 4 4 4 4 2
【解析】函数向右平移

为 2,选 D. 4. [答案]B

[解析]? AE ? 1,正方形的边长也为 1? ED ?
2 EC ? ( EA ? AB) ? CB ? 5 2

AE ? AD ? 2

2

2

CD ? 1 ? cos?CED ? ED ? EC - CD 2 ED ? EC
2 2 2

?

3 10 10

sin ?CED ? 1 ? cos2 ?CED ?
2 2

10 10
2 2

[点评]注意恒等式 sin α +cos α =1 的使用,需要用 α 的的范围决定其正余弦值的正负情况.
5.

[解析] 由条件结合正弦定理,得 a ? b ? c ,再由余弦定理,得 cosC ?
2

a 2 ?b 2 ?c 2 2 ab

? 0,

所以 C 是钝角,选 A.
6. 7.

解析: a ? b ? 0 , ?1 ? 2cos ? ? 0 , cos 2? ? 2cos ? ? 1 ? 0 ,故选 C.
2 2

解析:由 0 ? x ? 9 可知 ?

?
3

?

?
6

x?

?
3

?

7? ,可知 6

? ? 3 ??x ? ? sin( x ? ) ? [? ,1] ,则 y ? 2sin ? ? ? ? [? 3, 2] , 3? ? 6 6 3 2
则最大值与最小值之和为 2 ? 3 ,答案应选 A.
8.

【答案】A 【解析】

sin ? ? cos? ? 2,?(sin ? ? cos? )2 ? 2,?sin 2? ? ?1, 故选 A

【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和 运算求解能力,属于容易题. 9. 【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质,是中档题.

? ? ? 5? ? ? ,∴ ? =1,∴ ? ? = k ? ? ( k ? Z ), = 4 2 ? 4 4 ? ? ∴ ? = k ? ? ( k ? Z ),∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? = ,故选 A. 4 4
【解析】由题设知,
10. 【答案】B

【解析】主要考查三角函数的运算,分子分母同 时除以 cos ? 可得 tan ? ? ?3 ,带入所求式可得结果.
11. 【答案】B
2 2 2 【解析】设 AB ? c ,在△ABC 中,由余弦定理知 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos B ,

即 7 ? c ? 4 ? 2 ? 2 ? c ? cos 60 , c2 ? 2c ? 3 ? 0,即(c -3)(c ? 1)=0.又 c ? 0,? c ? 3.
2

设 BC 边上的高等于 h ,由三角形面积公式 S

ABC

?

1 1 AB BC sin B ? BC h ,知 2 2

1 1 3 3 ? 3 ? 2 ? sin 60 ? ? 2 ? h ,解得 h ? . 2 2 2
【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容.
12. D【解析】因为 a, b, c 为连续的三个正整数,且 A ? B ? C ,可得 a ? b ? c ,所以 a ? c ? 2, b ? c ? 1 ①;又

因为已知 3b ? 20a cos A ,所以 cos A ?

3b b2 ? c2 ? a 2 ②.由余弦定理可得 cos A ? ③,则由②③可得 20a 2bc

15 3b b2 ? c 2 ? a 2 2 ? ④,联立①④,得 7c ? 13c ? 60 ? 0 ,解得 c ? 4 或 c ? ? (舍去),则 a ? 6 , b ? 5 . 7 20a 2bc
故由正弦定理可得, sin A : sin B : sin C ? a : b : c ? 6 : 5 : 4 .故应选 D. 【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的正弦的比值, 明显是要利用正弦定理转化为边长的比值 ,因此必须求出三边长.来年需注意正余弦定理与和差角公式 的结合应用.
13.解析:B.由正弦定理,可得

3 2 2 AC BC ? ?2 3. ,所以 AC ? ? 2 sin 45? sin60 ? 3 2

14. 【答案】C

【解析】把 x ? ?

?
4

代入后得到 f ( x) ? ?1 ,因而对称轴为 x ? ?

?
4

,答案 C 正确.

【考点定位】此题主要考查三角函数的图像和性质,代值逆推是主要解法. 15.答案 A 【命题意图】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用以及正弦二倍角公式的运用. 【 解 析 】 因 为 ? 为 第 二 象 限 角 , 故 cos ? ? 0 , 而 sin ? ?

3 4 2 , 故 cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? , 所 以 5 5

sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ?
16.答案 C

24 ,故选答案 A. 25

【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质,.

x ?? (? ? ? 0, 2? ?) 为偶函数可知, y 轴是函数 f ( x) 图像的对称轴,而三角函数的 3 ? ? ? 3? ? 3k? (k ? Z ) , 而 对称轴是在该函数取得最值时取得 , 故 f (0) ? sin ? ?1 ? ? ? k? ? ? ? 3 3 2 2 3? ,故选答案 C. ? ??0, 2? ? ,故 k ? 0 时, ? ? 2 1 y ? cos 2 x ? y ? cos(2 x ? 1) 左+1,平移 17. 【解析】选 C 2
【解析】由 f ( x) ? sin
二、填空题 18. 【答案】:

15 4
1 1 2 2 2 ,由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 2 ? 1? 2 ? ? 4 ,则 c ? 2 ,即 4 4

【解析】 a ? 1, b ? 2, cos C ?

1 15 B ? C ,故 sin B ? 1 ? ( )2 ? . 4 4
【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系式求出 sin B 的值是本题的突破点,然后利用正弦定理建立 已知和未知之间的关系,同时要求学生牢记特殊角的三角函数值.
19.解析:由余弦定理得, b = a + c - 2ac cos B = 4 ,所以 b = 2 . 20. 【答案】
2 2 2

2
AC 3 ? ? AC ? 2 sin 45? sin 60?

【解析】由正弦定理得

【 考点定位】本题考查三角形中的三角函数,正弦定理,考醒求解计算能力.
21.答案:

5? 6

【命 题意图】本试题主要考查了三角函数性质的运用,求解值域的问题.首先化为单一三角函数,然后利 用定义域求解角的范围,从而结合三角 函数图像得到最值点. 【解析】由 y ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? 由 0 ? x ? 2? ? ?

?
3

)

?
3

3 11? 5? ? 3? ? ? 当且仅当 x ? ? 即x? 时取得最小值, x ? ? 时即 x ? 取得最大值. 6 6 3 2 3 2

? x?

?

?

5? ? 可知 ?2 ? 2sin( x ? ) ? 2 3 3

22. 【答案】

? 2
c a ? b2 ? c 2 ? a 2 ? ? c ? 2 3 ,而 ,故 sin C ? 1 ? C ? . sin C sin A 2 2bc

【解析】 cos A ?

【考点定位】本小题主要考查的是解三角形,所用方法并不唯一,对于正弦定理和余弦定理此二者会其一 都可以得到最后的答案.
三、解答题 23. 【答案】:(Ⅰ) ? ?

?
6

(Ⅱ) [1, )

7 4

7 5 ( , ] 4 2

1 1 (cos 2 x ? ) 因 cos2 x ?[0,1] ,且 cos 2 x ? 2 2 7 7 5 故 g ( x) 的值域为 [1, ) ( , ] 4 4 2 ?
24. 【命题意图】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理,考查考生对基础知识、基本技能

3 cos 2 x ? 1 2

的掌握情况. 【 解 析 】 (1) bsinA=

3 acosB, 由 正 弦 定 理 可 得 sin B sin A ? 3 sin A cos B , 即 得

taB n?
(2)

,? 3 B?

?
3

. 由 正 弦 定 理 得

sinC=2sinA,

c ? 2a

,











b2 ?

2 9 ? 4a 2 B ? 2a ? 2a cos a2 ? 2 c2 ? c ,a o? a c s

?
3

,解得 a ? 3 , ?c ? 2a ? 2 3 .

25. 解 :(1) 在 ?ABC 中 , 由 cos A ? ?

a c 2 14 ? , 可得 sin A ? , 又由 及 a ? 2 , c ? 2 ,可得 sin A sin C 4 4

sinC ?
2

7 4
2 2 2

由 a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? b ? 2 ? 0 ,因为 b ? 0 ,故解得 b ? 1 . 所以 sin C ?

7 ,b ?1 4

(2)由 cos A ? ?

3 2 14 7 2 , sin A ? ,得 cos 2 A ? 2 cos A ? 1 ? ? , sin A ? 2sin A cos A ? ? 4 4 4 4

所以 cos(2 A ?

?
3

) ? cos 2 A cos

?
3

? sin 2 A sin

?
3

?

?3 ? 21 8

26. [解析](1)由已知,f(x)= cos

2

x x x 1 ? sin cos ? 2 2 2 2

1 1 1 ? ( 1 ? cosx ) ? sinx ? 2 2 2

?

2 ? cos(x ? ) 2 4
? ? 2 ,2 ? , ? 2 2 ? ?

所以 f(x)的最小正周期为 2 ? ,值域为 ? ?

(2)由(1)知,f( ? )= 所以 cos( ? ?

2 ? 3 2 cos(? ? ) ? , 2 4 10

?
4

?

3 ). 5

所以 sin 2? ? ?cos (
2 ? 1 ? 2cos( ??

?

?
4

2

? 2?) ? ?cos ( 2 ?? 18 7 ? , 25 25

?
4



) ? 1?

[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能 力,考查化归与转化等数学思想.
27. [解](1) t ? 0.5 时,P 的横坐标 xP= 7t

,代入抛物线方程 y ? 12 ?7 x2 2 49

中,得 P 的纵坐标 yP=3 由|AP|=
949 2

,得救援船速度的大小为 949 海里/时
7

由 tan∠OAP= 3 ?212 ?

7 30

7 ,得∠OAP=arctan 30 ,故救援船速度的方向

7 为北偏东 arctan 30 弧度

(2)设救援船的时速为 v 海里,经过 t 小时追上失事船,此时位置为 (7t , 12t ) . 由 vt ? 因为 t 2 ?
2

2

(7t ) 2 ? (12t 2 ? 12) 2 ,整理得 v 2 ? 144(t 2 ? 12 ) ? 337 t
1 t2

? 2 ,当且仅当 t =1 时等号成立,
2

所以 v ? 144? 2 ? 337 ? 25 ,即 v ? 25 . 因此,救援船的时速至少是 25 海里才能追上失事船

28. 29.解:(I)由已知得: sin B(sin A cos C ? cos A sin C ) ? sin A sin C ,

sin B sin( A ? C ) ? sin A sin C ,则 sin 2 B ? sin A sin C ,

再由正弦定理可得: b 2 ? ac ,所以 a , b, c 成等比数列. ( II)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b2 ? ac ? 2 ,∴ cos B ?
sin C ? 1 ? cos 2 C ? 7 , 4 1 1 7 7 ac sin B ? ? 1 ? 2 ? ? . 2 2 4 4

a 2 ? c 2 ? b2 3 ? , 2ac 4

∴△ ABC 的面积 S ?
30. 【答案与解析】

(1)由已知 2 B =A+C ,A+B +C =? , ? B =

?
3

, cos B =

1 2
2

2 (2)解法一: b =ac ,由正弦定理得 sin A sin C = sin B =

3 4

1 a 2 +c 2 -b2 a 2 +c 2 -ac = 解法二: b =ac , = cos B = ,由此得 a 2 +c 2 -ac=ac, 得 a=c 2 2ac 2ac
2

所以 A=B =C =

?
3

, sin A sin C =

3 4

【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义 ,考 查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以 利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也 可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果. 31. 【命题意图】本题主要考查正余弦定理应用,是简单题. 【解析】(Ⅰ)由 c ? 3a sin C ? c sin A 及正弦定理得

3 sin A sin C ? sin A sin C ? sin C
由于 sin C ? 0 ,所以 sin( A ? 又 0 ? A ? ? ,故 A ?

?
6

)?

?
3

1 , 2

.

(Ⅱ) ?ABC 的面积 S =
2 2 2

1 bc sin A = 3 ,故 bc =4, 2
2 2

而 a ? b ? c ? 2bc cos A 故 c ? b =8,解得 b ? c =2.

法二:解: 已知: c ? 3a ? sin C ? c ? cos A ,由正弦定理得:

sin C ? 3 sin A ? sin C ? sin C ? cos A
因 sin C ? 0 ,所以: 1 ? 由 公 式 :

3 sin A ? cos A ,
b ?? ? ? a ? 0 , tan? ? , ? ? ? a 2? ?
得 :

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin ?x ? ? ?

? ? ? ?? 1 ? ,所以: A ? sin? A ? ? ? ,? A 是 ? 的内角,所以 A ? ? 3 6 6 6? 2 ?
(2) S ?

1 bc sin A ? 3 ? bc ? 4 2

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b ? c ? 4
解得: b ? c ? 2

3(cos B cos C ? sin B sin C ) ? 1 ? 6 cos B cos C 3cos B cos C ? 3sin B sin C ? ?1
32. 【解析】(1) 3cos( B ? C ) ? ?1

则 cos A ?

cos(? ? A) ? ?

1 3

1 . 3

(2) 由(1)得 sin A ?

2 2 ,由面积可得 bc=6①,则根据余弦定理 3

cos A ?

? b2 ? c 2 ? a 2 b2 ? c 2 ? 9 1 ?b ? 3 ? ?a ? 3 ? ? 则 b2 ? c 2 ? 13 ②,①② 两式联立可得 ? 或? . 2bc 12 3 a ? 2 b ? 2 ? ? ? ?

33. 【解析】(Ⅰ)由题设图像知,周期 T ? 2(

11? 5? 2? ? ) ? ? ,?? ? ?2. 12 12 T 5? 5? 5? , 0) 在函数图像上,所以 A sin(2 ? ? ? ) ? 0, 即sin( ? ? ) ? 0 . 因为点 ( 12 12 6 ? ? 5? 5? 4? 5? ? ?? ? , 从而 ? ? =?, 又 0 ? ? ? ,? 即? = . 6 2 6 6 3 6

(0,1) 又点 在函数图像上,所以 A sin

?

? 1, A ? 2 ,故函数 f(x)的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? ). 6 6

?

? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? g ( x) ? 2sin ?2 ? x ? ? ? ? ? 2sin ?2 ? x ? ? ? ? (Ⅱ) ? ? 12 ? 6 ? ? ? 12 ? 6 ?
? 2sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) 3

?

1 3 ? 2sin 2 x ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) 2 2

? sin 2 x ? 3 cos 2 x
? 2sin(2 x ? ), 3
由 2 k? ?

?

?

2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

, 得 k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? , k ? z. 12

? 5? ? ? ? g ( x) 的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? ? , k ? z. 12 12 ? ?
【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质 .第一问结合图形求得周期 T ? 2( 得? ?

2? ? 2 .再利用特殊点在图像上求出 ? , A ,从而求出 f(x)的解析式;第二问运用第一问结论和三 T

11? 5? ? ) ? ? , 从而求 12 12

角恒等变换及 y ? A sin(? x ? ? ) 的单调性求得.
34. 【解析】(1)因为

f ( x) ? sin 2 ? x ? cos 2 ? x ? 2 3 sin ? x cos ? ? ? ? ? cos 2? x ? 3 sin 2? x ? ? ? 2sin(2? x ? ) ? ? 6
由直线 x ? ? 是 y ? f ( x) 图像的一条对称轴,可得 sin(2? x ? 所以 2? x ?

?

?

k 1 ? (k ? Z ) 6 2 2 3 6? 1 5 又 ? ? ( ,1), k ? Z ,所以 k ? 1 时, ? ? ,故 f ( x ) 的最小正周期是 . 5 2 6 ? k? ? (k ? Z ) ,即 ? ?
(2)由 y ? f ( x) 的图象过点 ( 即 ? ? ?2sin( ?

?

?

6

) ? ?1

?

5 ? ? ? ? ) ? ?2sin ? ? 2 ,即 ? ? ? 2 6 2 6 4 5 ? 故 f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 2 ,函数 f ( x ) 的值域为 [2 ? 2, 2 ? 2] . 3 6
【点评】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的能力.二倍角公式, 辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛 ,它在三角恒等变形中占有重要的地位 ,可谓是百考不厌 . 求三 角函数的最小正周期,一般运用公式 T ?

, 0) ,得 f ( ) ? 0 4 4

?

2?

?

来求解;求三角函数的值域 ,一般先根据自变量 x 的范围确

定函数 ? x ? ? 的范围.来年需注意三角函数的单调性,图象变换,解三角形等考查.
35.解析:(Ⅰ) f ?

? 2 ?? ? ?1 ? ? ? A ? 2 ,所以 A ? 2 . ? ? A cos ? ? ? ? ? A cos ? 4 2 ?3? ?4 3 6?
, 所 以

(Ⅱ)

?1 ? 4 ? 4 ? ?? ?? 30 ? ? f ? 4? ? ? ? ? 2cos ? ? 4? ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ?2sin ? ? ? 3 ? 3 ? 6? 2? 17 ? ? ?4?

sin ? ?


?1 ? 2 ? 2 ? ?? 8 15 4 ? ?? ? . f ? 4? ? ? ? ? 2cos ? ? 4? ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? ,所以 cos ? ? .因为 ? 、 ? ? ?0, ? , 3 ? 3 ? 6? 5 17 5 ? 2? ? ?4?


c ? ?o ?

2

s? ?

8 17

1,

s sin ? ? i 1 ? cos n2 ? ?

3 5

,





cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ?
特殊与一般思想、化归与转化的思想.

8 4 15 3 13 ? ? ? ?? . 17 5 17 5 85

36. 【 考点定位】本题主要考查同角函数关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式 ,考查运算能力、

解:(1)选择(2)式计算如下 sin 15? ? cos15? ? sin15? cos15? ? 1 ?
2

1 3 sin 30? ? 2 4

(2)证明: sin 2 ? ? cos2 (30? ? ? ) ? sin ? cos(30? ? ? )

? sin 2 ? ? (cos30? cos ? ? sin 30? sin ? )2 ? sin ? (cos30? cos ? ? sin 30? sin ? )
3 3 1 3 1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sin ? cos ? ? sin 2 ? ? sin ? cos ? ? sin 2 ? 4 2 4 2 2
3 3 3 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 4 4 4
37. 【命题意图】: 本试题主要考查了解三角形的运用.该试题从整体看保持了往年的解题风格,依然是通过

边角的转换,结合了三角形的内角和定理的知识,以及正弦定理求解三角形中的角的问题.试题整体上比 较稳定,思路比较容易想,先利用等差数列得到角 B ,然后利用正弦定理与三角求解运算得到答案. 【解析】由 A.B.C 成等差数列可得 2 B ? A ? C ,而 A ? B ? C ? ? ,故 3B ? ? ? B ?
2 而由 2b ? 3ac 与正弦定理可得 2sin B ? 3sin A sin C ? 2 ? sin
2 2

?
3

且C ?

?
3

? 3sin(

所以可得 2 ?

3 2? 2? ? 3(sin cos A ? cos sin A) sin A ? 3 cos A sin A ? sin 2 A ? 1 ? 4 3 3
, 由

2? ? A) sin A 3

2? ?A 3

3 1 ? cos 2 A ? 1 sin 2 A ? ? 1 ? sin(2 A ? ) ? 2 2 6 2
2A ?

0? A?

2? ? ? 7? ? ? ? 2A ? ? 3 6 6 6

,



?
6

?

?
6

或 2A ?

?
6

?

? ? 5? ,于是可得 到 A ? 或 A ? . 6 2 6

38. 【考点定位】 本题考查三角函数,三角函数难度较低,此类型题平时的练习中练习得较多,考生应该觉得非

常容易入手. 解:(1)由 sin x ? 0 得 x ? k? ,(k ? Z ) ,故 f ( x ) 的定义域为 {x ? R | x ? k? , k ? Z} .

(sin x ? cos x) sin 2 x ? = 2cos x(sin x ? cos x) = sin 2 x ? cos 2 x ? 1= 2 sin(2 x ? ) ? 1 , sin x 4 2? ?? . 所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? 2 ? 3? ](k ? Z ) . (2)函数 y ? sin x 的单调递减区间为 [2k? ? , 2k? ? 2 2 ? ? 3? 3? 7? , x ? k? ( k ? Z ) 得 k ? ? ? x ? k? ? , (k ? Z ) 由 2 k ? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? 2 4 2 8 8 3? 7? ? x ? k? ? ], (k ? Z ) . 所以 f ( x ) 的单调递减区间为 [k? ? 8 8
因为 f ( x) ?
39. 【解析】(Ⅰ) A ? C ? ? ? B, A, B ? (0, ? ) ? sin( A ? C ) ? sin B ? 0

2sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin( A ? C) ? sin B

? cos A ?
2

1 ? ? A? 2 3
2 2 2 2 2

(II) a ? b ? c ? 2bc cos A ? a ? 3 ? b ? a ? c ? B ?

?
2

在 Rt ?ABD 中, AD ?

AB2 ? BD2 ? 12 ? (

3 2 7 ) ? 2 2


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