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《实系数一元二次方程》教案1(陶丰)评课后改进教案

时间:2017-10-28


高二年级数学学科《教案》

学科数学 班级:高二 课题

姓名:陶丰 时间: 课型 概念课 时间 1 小时

13.6(1)实系数一元二次方程

教学目标

1.会在复数集中解实系数一元二次方程 2.能对实系数一元二次方程的解进行分类 3.写出根与系数的关系 4.利用实系数一元二次

方程的解对二次三项式进行因式分解 教学重点 在复数集中解实系数一元二次方程 复数范围的解进行分类讨论

教材分析 教学难点

本节内容是在前面学习了复数的运算后,对初中已学过的一元二次方程的求根公式 和韦达定理的推广和完善. 为了实际应用和数学自身发展的需要,数的概念需要再一次扩充——由实数扩充到 学情分析 了复数,解决了负数开平方的问题。那么实系数一元二次方程 ax
2

? bx ? c ? 0 ,当

? ? b2 ? 4ac ? 0 时方程在复数集中解的情况同样需要进一步研究.因此,本节课主要是
探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情况和在复数范围内如何对二次三项式进行因式 分解等问题. 教学设计 教学内容 引入: 初中学过在实数范围内解一元二次方程, 高中要进一步学在复数范围内解实系数一元二次方程。 问: 3x ? 2 x ? 2 ? 0 会不会?
2

注:学生一定说会,然后进行发问:那么初中和高中区别是什么? 老师:多了一个 i 的使用。 教 注:先出简单的一些能够因式分解,整数解,数字凑好的题目,然后出一些特殊的,让学生感觉不难 处理这些问题,然后突出高中学了复数,一切就是多了一个 i 。 学 专题 1. x
2

? ?a (a ? 0) 的解
2



设问①:一元二次方程 x 一元二次方程 x 一元二次方程 x
2

? ?1 在复数范围内有没有解?

? ?2 在复数范围内有没有解?
?? 1 在复数范围内有没有解? 2
2



2

那么 一元二次方程 x 设问②: 如果 ( x ?

? ?a (a ? 0) 在复数范围内有没有解?

1 2 3 ) ?? ? 2 4

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高二年级数学学科《教案》

学科数学 班级:高二 那么 x ? ?

姓名:陶丰 时间:

1 3 ? i 2 2
2

专题 2.实系数一元二次方程 ax 在复数集中解方程: 3x 此方程进行小组探讨。
2

? bx ? c ? 0(a、b、c ? R且a ? 0)

? x ? 2 ? 0 ;学生可以发现 ? ? 1 ? 4 ? 3 ? 2 ? ?23 ? 0 ,之后如何去解

学生研究探讨可以得出这样的结论 1、实系数一元二次方程在复数集 C 中解的情况: 设一元二次方程 ax (1)当 ? ? b
2

2

? bx ? c ? 0(a、b、c ? R且a ? 0) .

? 4ac ? 0 时,原方程有两个不相等的实数根
x?? b b 2 ? 4ac ? 2a 2a


(2)当 ? ? b

2

? 4ac ? 0 时,原方程有两个相等的实数根
x?? b ; 2a

b2 ? 4ac (3)当 ? ? b ? 4ac ? 0 时, ? 0, 4a 2
2

b2 ? 4ac 4ac ? b2 由上一堂课的教学内容知, 的平方根为 ? i, 4a 2 2a
即x?

b 4ac ? b2 ?? i, 2a 2a

此时原方程有两个不相等的虚数根

b 4ac ? b 2 x?? ? i. 2a 2a
这块完全学生得出,老师从旁辅助 专题 3.当 ? ? 0 时,有一对共轭虚根,并且依然满足韦达定理 继续探讨这两个虚根是否共轭?虚根是否满足韦达定理? 容易得出依然满足韦达定理 x1 ? x2 设问③:若 4 ? 3i 是一个实系数一元二次方程 x
2

??

b c , x1 ? x2 ? a a

? bx ? c ? 0(b、c ? R) 的一个根,你能直接写出

该方程的另一个根吗?为什么?能否求出 b ? _____, c ? ______

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高二年级数学学科《教案》

学科数学 班级:高二 提问:那么如果一元二次方程 ax
2

姓名:陶丰 时间:

? bx ? c ? 0(a、b、c ? R且a ? 0) 的实根是否满足共轭?

学生进行讨论与反思,答案显然是不满足的,

? ? 0 时,共轭; ? ? 0 时,不共轭。高中重点还是在虚根上!
当堂检测 在复数集中解关于 x 的方程:

x2 ? ax ? 4 ? 0(a ? R) .

专 题 4. 既 然 实 系 数 一 元 二 次 方 程 在 复 数 范 围 内 必 有 两 个 解 , 那 么 二 次 三 项 式

ax2 ? bx ? c(a、b、c ? R且a ? 0) 在复数范围内总可以分解成两个一次因式的乘积.
学生继续探讨,如何在实数范围内将实系数二次三项是因式分解 通过探讨可以得出结论:若方程 ax
2

? bx ? c ? 0 的两个解分别为 x1 、x2 ,则

ax2 ? bx ? c ? a( x ? x1)(x ? x2 ) .
注:先不要提醒学生 a ,让学生错,让学生漏 学生操练 例 3 在复数集中分解因式: (1) x
2

? x ? 2;

(2) 2 x

2

? 4x ? 5 .

注:第一题学生没问题,第二次学生就是会漏 a ,再三强调不要忘记。 实系数一元二次方程的辨别 例如

x2 ? x ? 1 ? i ? 0 是实系数一元二次方程吗?实系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 中的

a、b、c 需要满足什么条件?
提问:例如 x
2

? x ? 1 ? i ? 0 是实系数一元二次方程吗?这样的方程如何解?

学生继续探讨如何解这样的方程 得出结论:如果不是实系数方程的话,还是需要设 x ? a ? bi,(a、b ? R) ,然后利用复数相等的定 义去处理这类题目 本节课主要讨论了实系数一元二次方程解的情况,知道了在复数集中解实系数一元 二次方程和在复数范围内对二次三项式进行因式分解,体现了分类讨论的数学思想.

本课 小结

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高二年级数学学科《教案》

学科数学 班级:高二 课后作业 课后 反思

姓名:陶丰 时间:

1.书面作业:练习册 P55 习题 13.6 A 组 T1.2.3.4.5.

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