nbhkdz.com冰点文库

2.4等比数列(必修5优秀课件)


2.4 等比数列

问题情境:
情境一:折纸 如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对折, 再对折,再对折‥‥‥依次对折50次,你 相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之 间建一座桥?

对折 纸的 次数

n

对 折 一 次

对 折 二 次

折 三 次

对 折 四 次

…... …...

对 折

n 次

纸的 层数

2

4

8

16 …...

情境二:《庄子· 天下篇》中写到: “一尺之棰,日取其半,万世不竭”。

设 木 棰 长 度 为 1

第 一 天 取 半

第 二 天 取 半

第 三 天 取 半

第 四 天 取 半



......

天 取 半

n

木棰 长度

1 2

1 4

1 8

1 16

...... ......

观察上述情境中得到的这几个数列,看有 何共同特点?

2, 4, 8, 16, …;

① ②

1 1 1 1, , , ?; 2 4 8
1, 20, 202, 203,

…;

③ ④

-2, 2, -2, 2, ….

共同特点:从第二项起,每一项与前一项 的比都等于同一个常数.

讲授新课
1. 等比数列的定义: 一般地,若一个数列从第二项起,每一 项与它的前一项的比等于同一个常数,这个 数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的 公比,用字母q (q≠0) 表示.

2.等比数列定义的符号语言:

an ?1 ? q (q为常数,且q≠0 ;n∈N*) an
an [或 ? q (q为常数,且q≠0 ;n≥2且n∈N*) ] an?1

练 习 判断下列各组数列中哪些是等比数列,哪 些不是?如果是,写出首项a1和公比q, 如 果不是,说明理由。 是 a1=1, q=3 (1) 1,3,9,27,…
(2) (3) (4) (5)
1 1 1 1 , , , ,? 2 4 8 16

1 1 是 a1 ? ,q ? 2 2

5, 5, 5, 5,… 1,-1,1,-1,… 1,0,1,0,…

是 a1=5, q=1 是 a1=1, q= -1 不是

(6) (7) (8) (9)

0,0,0,0,… 1, a, a2, a3 , … x0, x, x2, x3 , … 1,2,6,18,…

不是 不是 是 a1=x0, q=x 不是

小结:判断一个数列是不是等比数列, 主要是由定义进行判断: 看

an ?1 an

是不是同一个常数?

注意:
(1) 等比数列{an}中, an≠0; (2)公比q一定是由后项比前项所得,而不
能用前项比后项来求,且q≠0; (3)若q=1,则该数列为常数列. (4)常数列 a, a , a , a , …

a ? 0 时,既是等差数列,又是等比数列;
a ? 0 时,只是等差数列,而不是等比数列.

思考: 如果在a与b的中间插入一个数G,使a, G, b 成等比数列,那么G应该满足什么条件? 分析: 由a, G, b成等比数列得: G b 2 ? ? G ? ab ? G ? ? ab a G 2 反之,若 G ? ab, (ab>0) G b ? , 则 a G 即a,G,b成等比数列. ∴a, G, b成等比数列 ? G ? ? ab (ab>0)
2

3.等比中项:
如果在a与b中间插入一个数G,使a, G, b成等比数列,那么称这个数G为a与 b的等比中项. 即:

G是a、b的等比中项 ? G ? ab ( ab ? 0)
2

? G ? ? ab ( ab ? 0)
注意:若a,b异号则无等比中项,

若a,b同号则有两个等比中项.

练习:
()求45与80的等比中项 1

? 60
(2)已知b是a与c的等比中项,且abc ? 27, 求b

b?3

湖南省长沙市一中卫星远程学校

一、等比数列的通项公式:递推法 a
2

a1

? q ? a 2 ? a1q

a4 3 ? q ? a 4 ? a 3q ? a1q a3 ……

a3 ? q ? a 3 ? a 2q ? a1q 2 a2

a n ? a1q

n ?1

湖南省长沙市一中卫星远程学校

等比数列的通项公式:叠乘法

an an a2 a3 a4 a5 ? ? ? ...... ? ? q n ?1 a1 a2 a3 a4 an ?1 a1

an ? a1q n ?1
等比数列注: (1)等比数列的首项不为0;
a (2)等比数列的每一项都不为0,即n ? 0

(3) q=1时,{an}为常数列;
湖南省长沙市一中卫星远程学校

4.等比数列的通项公式: 以a1为首项,q为公比的等比数列{an}的通

项公式为: n ? a1 ? q n ?1 (a1 , q ? 0;n ? N * ) a
5.等比数列通项公式的推广:

an ? am ? q
an ?1 q? an

n?m

(am , q ? 0;m, n ? N )
*
n ?1

6.等比数列的公比公式:

,q

an ? a1

,q

n?m

an ? am

7.等比数列通项公式的应用:知三求一

例、一个等比数列的第3项与第4项分别是 12与18,求它的第1项与第2项.
解:设这个等比数列的第1项是

a ,公比是q ,那么
1

a q ? 12 a q ? 18
2 1 3 1

解得, 因此

3 q? 2
2 1

16 , a ? 3
1

16 答:这个数列的第1项与第2项分别是 与 8. 3
湖南省长沙市一中卫星远程学校

16 3 a ? aq ? ? ?8 3 2

课堂互动
1 4 ? ,求它的第1项; (1)一个等比数列的第5项是 ,公比是 9 3

解:设它的第一项是 a1,则由题意得

1 5?1 4 a1 ? (? ) ? 3 9
解得,

a1 ? 36

答:它的第一项是36 .
(2)一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项. 解:设它的第一项是 a1,公比是 q ,则由题意得 a1q ? 10 , a1q 2 ? 20 解得, a1 ? 5 , q ? 2 a4 ? a1q 3 ? 40 因此 答:它的第一项是5,第4项是40.
湖南省长沙市一中卫星远程学校

练习: 求下列各等比数列的通项公式: (1) a1=5, 且2an+1=-3an .

(2) a3 ? 1 , a5 ? 9

课堂小结 等比数列 名称 等差数列

从第2项起,每一项与它前 从第2项起,每一项与它前 一项的比等于同一个常数 概念 一项的差等于同一个常数

公比(q )
q可正、可负、不可零 常数 通项 * (q ? 0,n ? N ) 公式1 n?m 通项 an ? am q * (q ? 0,n, m ? N ) 公式2

公差(d )
d 可正、可负、可零

an ? a1q

n ?1

an ? a1 ? (n ? 1)d

(n ? N )
*

an ? am ? (n ? m)d
? 2A ? a ? b

(n, m ? N )
*

G是a、b的等比中项 ? G 2 ? ab (ab ? 0)

中项

A是a、b的等差中项

课后作业
精讲精练、创新

已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成 等比数列,求a2=?

练习.在等比数列{an}中,

a1 ? an ? 66,????a2 ? an?1 ? 128, 且q=2,求a1和n.

湖南省长沙市一中卫星远程学校

练习:

如果实数b是a,c 的等比中项,则 f ( x) ? ax ? bx ? c 的图象与x轴交点
2

的个数是( A. 0 B. 1

A

). C. 2 D. 0或2

湖南省长沙市一中卫星远程学校

若数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则用通项公式表示是:

an=2 n-1 ______
上式还可以写成

an 8 7 6 5 4

1 n an ? ? 2 2

·

通项公式法:an= b·n c
可见,表示这个等比数列 的各点都在函数

· · ·
1 2 3 4 n

3 2 1
0

的图象上,如右图所示。

1 y ? ? 2x 2

结论: 等比数列?an ? 的图象是其对应的 函数的图象上一些孤立的点

湖南省长沙市一中卫星远程学校

判断等比数列的方法:
1、(定义法)利用an / an-1是否是一个与n无关的常数

2、(通项公式法)判断an= b·n (bc≠ 0 为常数) c

湖南省长沙市一中卫星远程学校

例、有三个数成等比数列,若它们的积 等于64,和等于14,求此三个数?
注意:等比数列中若三个数成等比数列,可以设为

a a, aq, aq 或 , a, aq q
2

练习:已知三个数成等比数列,它们的积为27, 它们的立方和为81,求这三个数。

湖南省长沙市一中卫星远程学校

例、有四个数,若其中前三个数成等比数列,

它们的积等于216,后三个数成等差数列,它们
的和等于12,求此四个数? 注意:等比数列中若四个数成等比数列,不能设为

a a , , aq, aq 3 因为这种设法表示公比大于零! q3 q
可以设这四个数为a,b,c,d
练习:有四个数,其中前三个数成等差数列,后三 个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数。 15,9,3,1或0,4,8,16
湖南省长沙市一中卫星远程学校

某种放射性物质不断变化为其他物质,每经 过一年剩留的这种物质是原来的84%.这种物 质的半衰期为多长(精确到1年)?
放射性物质衰变 到原来的一半所 需时间称为这种 物质的半衰期

解:设这种物质最初的质量为1,经过n年, 剩留量是an .由条件可得,数列?an ? 是一个 等比数列,其中
a1 ? 0.84 ,q ? 0.84 ,an ? 0.5 , n ?1 n ?1 n 又 an ? a1q ? 0.84 ? 0.84 ? 0.84 n ? 0.84 ? 0.5 两边取对数,得

n lg 0.84 ? lg 0.5 得 n?4

答:这种物质的半衰期大约为4年.

1.等差数列:银行利息按单利计算(利息没有利息) 本利和=本金×(1+利率×存期) 例如:存入10000元,利率为0.72% 存期 第一年 第二年 第三年 第四年 年初本金 10000 10000 10000 10000 年末本利和(元) 10000×(1+0.725×1) 10000×(1+0.725×2) 10000×(1+0.725×3) 10000×(1+0.725×4) 结果 10072 10144 10216 10288

特点:每一项与前一项的差是同一个常数
湖南省长沙市一中卫星远程学校

2.等比数列:银行利息按复利计算(利滚利) 本金和=本金×(1+利率)存期 例如:存入10000元,利率为1.98% 存期 第一年 第二年 第三年 年初本金 10000 10000×1.0198 10000×1.01982 年末本利和(元) 10000×(1+1.98%)1 10000×(1+1.98%)2 10000×(1+1.98%)3

第四年

10000×1.01983

10000×(1+1.98%)4

特点:后一顶与前一项的比是同一个常数
湖南省长沙市一中卫星远程学校

2

n

3

n

6

n

是 是
湖南省长沙市一中卫星远程学校

1 n (? ) 2

1 n (? ) 3

1 n ( ) 6

结论:如果 ?a ? ?b ?是项数相同的等 比数列,那么 ?a n ? b n ?也是等比数列.
n n

?b 证明:设数列?a n ?的公比为p, n ? 的公比为 q,那么数列 ?a n ? b n ?的第n项与第n+1项分 n ?1 n ?1 a1p n ? b1q n ,即 a 1b1 (pq) n ?1 别为 a1p ? b1q 与 与 a1b1 (pq) n.
因为 它是一个与n无关的常数,所以是一个以pq 为公比的等比数列.
a n ?1 ? b n ?1 a 1b1 (pq) n ? ? pq, n ?1 a n ? bn a 1b1 (pq)

特别地,如果是?a ? 等比数列,c是不等 于0的常数,那么数列 ?c ? a ? 也是等比数列.
n

n

湖南省长沙市一中卫星远程学校

探究
对于例4中的等比数列 ?a n ?与 ?b n ? ,数 列 ? a n ? 也一定是等比数列吗?
? ? ? bn ?


湖南省长沙市一中卫星远程学校

等比数列的性质
a.若{an}{bn}是项数相同的等比数列, an 则{anbn}和 { } 都是等比数列 bn b.若{an}是等比数列,c是不等于0的常数, 那么{can}也是等比数列

湖南省长沙市一中卫星远程学校

等比数列的性质 性质 : 在等比数列?a n ?中,
m , n, p, q ? N * 且 若

q 为公比,
m?n ? p?q

那么:an am ? a p aq
推论: 在等比数列 ?a n ?中,

d 为公比,
2

m, n, p ? N * 且 m ? n ? 2 p 若

a 那么: n am ? as

2

特殊地:

(an ) ? an?1 ? an?1 (n ? 2)
湖南省长沙市一中卫星远程学校

小组展示任务分配表

典型例题:
例1、数列{a n }为等比数列,a5 ? a1 ? 15, a4 ? a2 ? 6, 求a 3
解:an ? a1 ? q n ?1 a1 ? q 4 - 1 ? ? 15 ( )? a1 ? ( q 3 ? q ) ? 6
? 除?
? ?

1 当q ? 时,a 1 ? -16,a 3 ? -4 2 当q ? 2时,a 1 ? 1 a 3 ? 4 ,

q2 ?1 5 1 得: ? 解得q ? 或q ? 2 q 2 2

湖南省长沙市一中卫星远程学校

小组展示任务分配表

典型例题:

变式、在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成 等比数列

湖南省长沙市一中卫星远程学校

小组展示任务分配表

典型例题:

变式、在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成 等比数列

解:设a 1 ? 160 , a6 ? 5 a6 1 1 5 ? q ? 则q ? a1 32 2 a 2 ? 80,a 3 ? 40,a 4 ? 20,a 5 ? 10
湖南省长沙市一中卫星远程学校

小组展示任务分配表

典型例题: a n ? 3n ,试问这个数 an 例2、已知数列{ }的通项公式为 列是 等比数列吗?为什么?

湖南省长沙市一中卫星远程学校

小组展示任务分配表

典型例题: a n } 的通项公式为 a n ? 3n ,试问这个数 例2、已知数列{ 列是等比数列吗?为什么?
解:由a n ? 3n 则an ?1 ? 3n ?1 an ?1 3n ?1 ? n ?3 an 3 所以数列{a n }是以3为首项, 3为公比的等比数列

湖南省长沙市一中卫星远程学校


《2.4 等比数列》 教学案 6-公开课-优质课(人教A版必修五精品)

2.4 等比数列》 教学案 6-公开课-优质课(人教A版必修五精品)_高二数学_...2.等比数列与指数函数的关系.? 教具准备 多媒体课件、投影胶片、投影仪等 教学...

2.4 等比数列(公开课)教案

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...公开课---必修5第二章数... 暂无评价 2页 2下载券 2.4等比数列 教案 6...

高中数学必修五教学设计:2.4等比数列(2)

高中数学必修五教学设计:2.4等比数列(2)_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修...互联网会议PPT资料大...专题 百度认证-大数据营销01 优秀产品经理指南 DTCC2014...

最新人教A版必修5高中数学 2.4等比数列教学设计(精品)

最新人教A版必修5高中数学 2.4等比数列教学设计(精品)_高三数学_数学_高中教育_...教师出示多媒体课件一:某种细胞分裂的模型.? 师 细胞分裂的个数也是与我 们...

高中数学必修五教学设计:2.4《等比数列》教案(2课时)(新人教A版必修5)

高中数学必修五教学设计:2.4等比数列》教案(2课时)(新人教A版必修5)_数学_...互联网会议PPT资料大...专题 百度认证-大数据营销01 优秀产品经理指南 DTCC2014...

高中数学必修5高中数学必修5《2.4等比数列(一)》教案

搜 试试 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...高中数学必修5高中数学必修52.4等比数列(一)》教案 广东省一级学校-陆丰市林...

数学:2.4《等比数列》作业(新人教A版必修5)

搜 试试 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...数学:2.4等比数列》作业(新人教A版必修5) 隐藏>> 2.4等比数列的性质》作业...

最新人教A版必修5高中数学 2.4 等比数列教案1(精品)

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...最新人教A版必修5高中数学 2.4 等比数列教案1(精品)_高三数学_数学_高中教育_...

最新人教A版必修5高中数学 2.4 等比数列素材1(精品)

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...最新人教A版必修5高中数学 2.4 等比数列素材1(精品)_高三数学_数学_高中教育_...