nbhkdz.com冰点文库

第1讲正弦定理、余弦定理


2014 高一升高二暑假数学辅导讲义 学习目标 1. 掌握正弦定理的内容; 2. 掌握正弦定理的证明方法; 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题.

第一讲 1.1 正弦定理

学习过程 一、课前准备 试验:固定 ? ABC 的边 CB 及 ? B,使边 AC 绕着顶点 C 转动. 思考: ? C 的大小与它的对边 AB 的长度之间

有怎样的数量关系?

显然,边 AB 的长度随着其对角 ? C 的大小的增大而 精确地表示出来?

.能否用一个等式把这种关系

二、新课导学 探究 1:在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角 形中,角与边的等式关系. 如图,在 Rt ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义, 有 ? sin A , ? sin B ,又 sin C ? 1 ? , 从而在直角三角形 ABC 中,
a b c . ? ? sin A sin B sin C

a c

b c

c c

探究 2:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函数的定义, 有 CD= a sin B ? b sin A ,则 同理可得
a b , ? sin A sin B

c b , ? sin C sin B c a b 从而 . ? ? sin A sin B sin C

类似可推出,当 ? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立.请你试试导.

1

新知:正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的
c a b . ? ? sin A sin B sin C

的比相等,即

试试: (1)在 ?ABC 中,一定成立的等式是( ) . A. a sin A ? b sin B B. a cos A ? b cos B C. a sin B ? b sin A D. a cos B ? b cos A (2)已知△ABC 中,a=4,b=8,∠A=30°,则∠B 等于



[理解定理] (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即 存在正数 k 使 a ? k sin A , , c ? k sin C ; (2)
c a b 等价于 ? ? sin A sin B sin C



a c c b , . ? ? sin A sin C sin C sin B

(3)正弦定理的基本作用为: ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a ?
a b b sin A ;b? sin B



②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值, 如 sin A ? sin B ; sin C ? .

(4)一般地,已知三角形的某些边和角,求其它的边和角的过程叫作解三角形. ※ 典型例题 例 1. 在 ?ABC 中,已知 A ? 45 , B ? 60 , a ? 42 cm,解三角形.

变式:在 ?ABC 中,已知 B ? 45 , C ? 60 , a ? 12 cm,解三角形.

2

例 2. 在 ?ABC中,c ? 6, A ? 45 , a ? 2, 求b和B, C .

变式:在 ?ABC中,b ? 3, B ? 60 , c ? 1, 求a和A, C .

三、学习小结 1. 正弦定理:
c a b ? ? sin A sin B sin C

2. 正弦定理的证明方法:①三角函数的定义, 还有 ②等积法,③外接圆法,④向量法. 3.应用正弦定理解三角形: ①已知两角和一边; ②已知两边和其中一边的对角. ※ 知识拓展
a b c ? ? ? 2R ,其中 2R 为外接圆直径. sin A sin B sin C

3

当堂检测(时间:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在 ?ABC 中,若 A.等腰三角形 C.直角三角形
cos A b ? ,则 ?ABC 是( cos B a

).

B.等腰三角形或直角三角形 D.等边三角形

2. 已知△ABC 中,A∶B∶C=1∶1∶4, 则 a∶b∶c 等于( ). A.1∶1∶4 B.1∶1∶2 C.1∶1∶ 3 3. 在△ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 A 与 B 的大小关系为( ). A. A ? B B. A ? B C. A ≥ B D. A 、 B 的大小关系不能确定 4. 已知 ? ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 1: 2 : 3 ,则 a : b : c = . 5. 已知 ? ABC 中, ? A ? 60? , a ? 3 ,则
a?b?c = sin A ? sin B ? sin C

D.2∶2∶ 3



课后作业 1、在 ?ABC 中,若 3a ? 2b sin A ,则 B 等于 A.
30?

( D.


60? 或 120? [来源:Zxxk.Com]

B.

60?

C.

30? 或 150?

2、在 ?ABC 中,已知 b ? 2 , c ? 1, B ? 45? ,则 a 等于 A.
6? 2 2





B.

6? 2 2

C.

2 ?1

D. 3 ? 2 ( )

3、不解三 角形,确定下列判断中正确的是 A. a ? 7, b ? 14, A ? 30? ,有两解 C. a ? 6, b ? 9, A ? 45? ,有两解 B. D.

a ? 30, b ? 25, A ? 150? ,有一解 b ? 9, c ? 10, A ? 60? ,无解


4、在 ?ABC 中,已知 3b ? 2 3a sin B , cos B ? cos C ,则 ?ABC 的形状是( A. 直角三角形 B. 等腰三 角形 C. 等边三角形 D.

等腰直角三角形

5、在 ?ABC 中,已知 A ? 30? , C ? 45? a ? 20 ,解此 三角形。[来源:学&科&网 Z&X&X&K] m] 6、在 ?ABC 中,已知 b ? 3, c ? 3 3, B ? 30? ,解此三角形。

4

7. 已知△ABC 中,AB=6,∠A=30°,∠B= 120? ,解此三角形.

§1.2

余弦定理

学习目标 1. 掌握余弦定理的两种表示形式; 2. 证明余弦定理的向量方法; 3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 新课导学 ※ 探究新知 问题:在 ?ABC 中, AB 、 BC 、 CA 的长分别为 c 、 a 、 b . ∵ AC ? , ∴ AC ? AC ?
A

C b c a B

同理可得:

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A , c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .

新知:余弦定理:三角形中任何一边的 的夹角的 的积的两倍.

等于其他两边的

的和减去这两边与它们

思考:这个式子中有几个量? 从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角? 从余弦定理,又可得到以下推论:
cos A ? b2 ? c 2 ? a 2 , 2bc

, . [理解定理] (1)若 C= 90? ,则 cos C ? ,这时 c 2 ? a 2 ? b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例. (2)余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
5

试试: (1)△ABC 中, a ? 3 3 , c ? 2 , B ? 150 ,求 b .

(2)△ABC 中, a ? 2 , b ? 2 , c ? 3 ? 1 ,求 A .

※ 典型例题 例 1. 在△ABC 中,已知 a ? 3 , b ? 2 , B ? 45 ,求 A, C 和 c .

变式:在△ABC 中,若 AB= 5 ,AC=5,且 cosC=

9 ,则 BC=________. 10

例 2.在 ? ABC 中,已知 a ? 2 2 , c ? 2 ,B=600,解此三角形。

变式:在 ? ABC 中,若 a 2 ? b2 ? c 2 ? bc ,求角 A.

6

三、总结提升 1.余弦定理 三角形中任何一边的______等于其他两边的______的和减去这两边与它们的____的余 弦的积的______.即 a2=______________,b2=__________________,c2=_______. 2.余弦定理的推论 cos A=______________________;cos B=______________________;cos C=______. 3.在△ABC 中: (1)若 a2+b2-c2=0,则 C=________________; (2)若 c2=a2+b2-ab,则 C=_______________; (3)若 c2=a2+b2+ 2ab,则 C=______________. 4. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例; 5. 余弦定理的应用范围: ① 已知三边,求三角; ② 已知两边及它们的夹角,求第三边. ※ 知识拓展 在△ABC 中, 若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则角 C 是直角; 若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则角 C 是钝角; 若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则角 C 是锐角.

课后作业 一、选择题 1.在△ABC 中,已知 a=1,b=2,C=60°,则 c 等于( ) A. 3 B.3 C. 5 D.5 2.在△ABC 中,a=7,b=4 3,c= 13,则△ABC 的最小角为( π π A. B. 3 6 π π C. D. 4 12 3.在△ABC 中,已知 a=2,则 bcos C+ccos B 等于( ) A.1 B. 2 C.2 D.4

)

7

4.在△ABC 中,已知 b2=ac 且 c=2a,则 cos B 等于( ) 1 3 2 2 A. B. C. D. 4 4 4 3 A c-b 5.在△ABC 中,sin2 = (a,b,c 分别为角 A,B,C 的对应边),则△ABC 的形状 2 2c 为( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 1 6.在△ABC 中,已知面积 S= (a2+b2-c2),则角 C 的度数为( ) 4 A.135° B.45° C.60° D.120° 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7.在△ABC 中,若 a2-b2-c2=bc,则 A=________. 8.△ABC 中,已知 a=2,b=4,C=60°,则 A=________. 2 2 9.三角形三边长为 a,b, a +ab+b (a>0,b>0),则最大角为________. π 10.在△ABC 中,BC=1,B= ,当△ABC 的面积等于 3时,tan C=________. 3 三、解答题 11. (1)△ABC 中, a ? 3 3 , c ? 2 , B ? 150 ,求 b .

(2)△ABC 中, a ? 2 , b ? 2 , c ? 3 ? 1 ,求 A .

12.在△ABC 中,acos A+bcos B=ccos C,试判断三角形的形状.

8

§1.1 正弦定理和余弦定理(练习)
学习目标 1.正弦定理及其变形 (1) = = =______. sin A sin B sin C (2)a=________,b=________,c=________. (3)sin A=______,sin B=______,sin C=____________________________________. (4)sin A∶sin B∶sin C=________. 2.余弦定理及其推论 (1)a2=________________. (2)cos A=________________. (3)在△ABC 中,c2=a2+b2?C 为________;c2>a2+b2?C 为________;c2<a2+b2?C 为 ________. 3.在△ABC 中,边 a、b、c 所对的角分别为 A、B、C,则有: A+B (1)A+B+C=____, =__________. 2 (2)sin(A+B)=________,cos(A+B)=________,tan(A+B)=________. A+B A+B (3)sin =________,cos =__________. 2 2 4. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形.

a

b

c

二、新课导学 探究:在△ABC 中,已知下列条件,解三角形.
? 6 ? 50 6 ② A= ,a= ,b=50 2 ; 6 3 ? ③ A= ,a=50,b=50 2 . 6

① A= ,a=25,b=50 2 ;

9

思考:解的个数情况为何会发生变化? 新知:用如下图示分析解的情况(A 为锐角时) .
已知边a,b和?A
C a A H a<CH=bsinA 无解 B a=CH=bsinA 仅有一个解 b a A b a B1 H a A B2 a?b H B C b C a

C b A

CH=bsinA<a<b 有两个解

仅有一个解

※ 典型例题 例 1. 在 ? ABC 中,已知 a ? 80 , b ? 100 , ?A ? 45? ,试判断此三角形的解的情况.

变式:在 ? ABC 中,若 a ? 1 , c ? , ?C ? 40? ,则符合题意的 b 的值有_____个.
1 1 1 ab sin C ? ac sin B ? ac sin A 。 2 2 2

1 2

例 2:在△ABC 中,证明三角形面积定理,即 S?ABC ?

练习 2:在△ABC 中,已知 a ? 7, b ? 8, cos C ?

13 , 求 △ABC 的面积 14

例 3.

在△ABC 中,已知 a= 3,b= 2,B=45°,求 A、C、c;

? 变式训练 △ABC 中,AB=1,AC= 3,∠C=30°,求△ABC 的面积;

10

例 4 在△ABC 中,已知:acosA=bcosB, 试判断△ABC 的形状。 分析:本题可从边或角两个角度出发给出解答。你能找到这两种方法吗?

练习:在△ABC 中,已知:acosA+bcosB=ccosC, 试判断△ABC 的形状。

课后作业 一、选择题 1.以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是( ) A.在 ?ABC 中, a : b : c ? sin A : sin B : sin C B.在 ?ABC 中, a ? c ? sin 2 A ? sin 2 B a b?c ? C.在 ?ABC 中, D.在 ?ABC 中,正弦值较大的角所对的边也较大 sin A sin B ? sin C 2.在 ?ABC 中, b ? 8, c ? 8 3, S ?ABC ? 16 3 ,则 ? A 等于( A. 30? B. 60? C. 30? 或 150? ) D. 60? 或 120?

3..在 ? ABC 中,若 a ? 2b cos C ,则这个三角形一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 4.在△ABC 中,已知 sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,则这个三角形的最小外角为( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 2 5.△ABC 的三边分别为 a,b,c 且满足 b =ac,2b=a+c,则此三角形是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 6.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,则新三角形的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度确定 二、填空题 7. 在△ABC 中, 边 a, b 的长是方程 x2-5x+2=0 的两个根, C=60°, 则边 c=________.

8.如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点 A、B,望对岸标记物 C, 测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则河的宽度为_______________。
11

9.在△ABC 中,A=60°,b=1,S△ABC= 3,则△ABC 外接圆的面积是________. 10.在△ABC 中,若 A>B,则下列关系中不一定正确的是_____________. ①sin A>sin B ②cos A<cos B ③sin 2A>sin 2B ④cos 2A<cos 2B 三、解答题 11.已知 a ? 3 3 ,c=2,B=150°,求边 b 的长及三角形面积 S ? .

3 12.已知△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=2,cos B= . 5 (1)若 b=4,求 sin A 的值; (2)若△ABC 的面积 S△ABC=4,求 b,c 的值.

1.解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的 6 个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解,常见类型及其解法见下表: 已 知 条 应用定理 一般解法 件 一边和两角 正弦定理 (如 a,B,C) 由 A+B+C=180°,求角 A;由正弦定理求出 b 与 c.在有解时只有一解. 由余弦定理求第三边 c;由正弦定理求出小边所对 的角; 再由 A+B+C=180°求出另一角. 在有解时 只有一解. 由余弦定理求出角 A、B;再利用 A+B+C=180°, 求出角 C.在有解时只有一解.

两边和夹角 余弦定理 (如 a,b,C) 正弦定理 三边 (a,b,c)

余弦定理

由正弦定理求出角 B;由 A+B+C=180°,求出角 两 边 和 其 中 正弦定理 C;再利用正弦定理或余弦定理求 c.可有两解、一 一 边 的 对 角 余弦定理 解或无解. 如(a,b,A) 2.根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径 (1)化边为角; (2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.

12