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1.2.2组合


情境创设 问题一:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的 活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不 同的选法? 2 3

A ?6

问题二:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天一项活动,有多少种不同的选法? 甲、乙;甲、丙;乙、丙 3

问题1
从已知的 3 个

不同 元素中每 次取出2 个元素 , 按照一定 的顺序排 成一列.

问题2
从已知的 3个不同 元素中每 次取出2 个元素 , 并成一组

有 顺 序

排列

组合

无 顺 序

概念讲解
组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个 元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合.
排列定义: 一般地,从n个不同元素中取出m (m≤n) 个 元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个排列.

组合和排列有什么共同和不同点?
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”

不同点:

排列与元素的顺序有关, 而组合则与元素的顺序无关.

判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的含有3个元素的子集有 多少个? 组合问题 (2)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上共需准备多少种 车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价? 组合是选择的结果,排列 组合问题

是选择后再排序的结果. (3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有 多少种分法?? 组合问题
(4)10人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手 多少次?? 组合问题 (5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法? 组合问题 (6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序, 有多少种不同的方法? 排列问题

概念讲解

组合数:

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出 m m个元素的组合数,用符号 C n 表示.
注意: m Cn 是一个数,应该把它与“组合”区别开来.

探究:组合数 和排列数A 有什么区别和 C
m n m n

联系。

我来从具体问题分析:

1.(1)写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的排列数。

(2)写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的组合数。

组合
abc abc acb abd adb acd adc

排列
bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb

abd acd

bcd

你发现了 bcd 什么?
bdc

m m 组合数Cn 和排列数An 的区别和联系。

一般地,求从 n 个不同元素中取出m 个元素的排 列数,可以分为以下2步: 第1步,先求出从这 n 个不同元素中取出m 个元素 m Cn . 的组合数
m 第2步,求每一个组合中m 个元素的全排列数An .

根据分步计数原理,得到:

A ?C ?A
m n m n

m m

m An n?n ? 1??n ? 2???n ? m ? 1? m 因此: Cn ? m ? Am m!
* m、n ? N,且 m ? n 这里 ,这个公式叫做组合

数公式.

概念讲解

从 n 个不同元中取出m个元素的排列数

A ?C ? A
m n m n

m m

组合数公式:

A n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) C ? ? A m!
m n m n m m

n! 0 C ? 我们规定:Cn ? 1. m !(n ? m)!
m n

例1:一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中 以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛 时一个足球队的上场队员是11人.问: (1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学 员上场方案? (2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中 的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?

例2:(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的 线段共有多少条? (2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的 有向线段共有多少条?

问题1 计算 猜想
m n

①C ;②C
7 10
n-m n

3 10

C =C

练:C

97 100

问题2、一个口袋内装有7个不同的白球和1个黑 球. (1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法? (2)从口袋内取出3个球,其中含有1个黑球,共 有多少种取法? (3)从口袋内取出3个球,没有黑球,共有多少 种不同的取法? 猜想

C +C

m n

m -1 n

=C

m n +1

组合数的两个性质 性质1 规定: 性质2

C =C

m n

n -m n

C= 1
C +C
m n m -1 n

0 n

=C

m n +1

注: 1? 公式特征:下标相同而上标差1的两个组合数之 和,等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标 较大的相同的一个组合数. 2? 此性质的作用:恒等变形,简化运算.

性质应用
1、计算

C +C
98 100 2x 25

97 100 x+4 25

2、解方程 3、计算
0 4

C =C
1 5

C +C +C +? ? ?+C
2 6

9 13

x 3 C28 ? C28x ?8 的解集为( ) 1.方程 ? ? ?4 9? A、 ? 4 B、9? C、? D、 ,

2.式子

m 17 C10?2 ? C10 ?m

(m ? N * )的值的个数为 ( )
C.3 D. 4

A .1 4.

B .2

9 9 8 3.化简 Cm ? Cm?1 ? Cm ? ________

若C ? C
10 n

8 n

, 则C
3n 13+n 7 8

n 20

的值为 __________

5、 C

17-n 2n

+C
6 8

=______________

6、

C +2C +C
5 8

=_____________

练习
7、 C
2 3

+C +C +? ? ?+C
2 4 2 5
m n m n

2 100

= ________

8、若A ? 60, C ? 10, 则m=___ ,n=__
9、若C
7 n?1

? C ? C , 则n=___
7 n 8 n

10、求证:C ? C
n n

n n?1

?C

n n?2

? .....? C

n n?m

?C

n?1 n?m?1

作业
(1)
( 2)
(3)

.计算:

C

198 200


2 99
3

C ?C ; 2C ? C ? C
3 99
3 8 9

2 8

.
2 6 9 13

()计算C ? C ? C ??? C ; 1 2 2 2 2 (2)计算C2 ? C3 ? C4 ??? C10 ;
0 4 1 5

2、

(3)求证:C ? C ? C
n n n n?1

n n? 2

??? C

n n+m

?C

n ?1 n?m?1

.

5 6 3:已知 x ? 2 ? C x ?1 ? C x ?1 , Cx

求C

x ?5 2x

?C

x?4 2x

一、等分组与不等分组问题
例3、6本不同的书,按下列条件,各有多少种不同的分法;
(1)分给甲、乙、丙三人,每人两本; (2)分成三份,每份两本; (3)分成三份,一份1本,一份2本,一份3本; (4)分给甲、乙、丙3人,一人1本,一人2本,一人3本;

(5)分给甲、乙、丙3人,每人至少一本;
(6)分给5个人,每人至少一本; (7)6本相同的书,分给甲乙丙三人,每人至少一本。

练习: (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1 件,另一份4件, 有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每 人二件有多少种分法?

解: (1) C ? C ? C ? C ? 3150 2 2 C ? C6 ? C4 ? C ? 18900 (2)
6 10 6 10 1 2 4 6 1 2 1 1 2 2

二、不相邻问题插空法
例4、某城新建的一条道路上有12只路灯,为了节 省用电而不影响正常的照明,可以熄灭其中三盏 灯,但两端的灯不能熄灭,也不能熄灭相邻的两 盏灯,可以熄灭的方法共有( ) 3 3 3 3 A C8 种(B) 8 种 (C) 9 种 (D) 11 种 C (A) C

三、混合问题,先“组”后“排”
例5 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品, 一一进行测试,至区分出所有次品为止,若所有次 品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法 有种可能? 解:由题意知前5次测试恰有4次测到次品,且第5 次测试是次品。故有: 3C1 A4 ? 576 种可能。 C
4 6 4

练习:1、某学习小组有5个男生3个女生,从中选3名 男生和1名女生参加三项竞赛活动,每项活动至少有1 人参加,则有不同参赛方法______种.
解:采用先组后排方法:

C ? C ? C ? A ? 1080
3 5 1 3 2 4 3 3

2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生

体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方
法共有多少种?
解法一:先组队后分校(先分堆后分配)

C C ?A
2 2 6 4

3 3

? 540

解法二:依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.

(C C ) ? (C C ) ?1 ? 540
1 3 2 6 1 2 2 4

四、分类组合,隔板处理
例6、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每 校至少有1人,这样有几种选法?
分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒 子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理. 解:采用“隔板法” 得: 5 ? 4095 C
29

练习: 1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级, 每班至少分到1个名额,共有多少种不同的分配方法?

2、从一楼到二楼的楼梯有17级,上楼时可以一步走 一级,也可以一步走两级,若要求11步走完,则有 多少种不同的走法?

课堂练习:
1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习,每个车间2人, 若甲必须分到一车间,乙和丙不能分到二车间,则不同的分 9 法有 种。 2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会,要求张、王两人中 9 至多有一个人参加,则有不同的选法种数为 。 3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队,如果 其中至少有2名男医生和至少有2名女医生,则不同的选法种数 为( C ) 3 2 3 3 2 3 A.(C8 ? C7 )(C7 ? C82 ) B.(C8 ? C7 ) ? (C7 ? C82 )
3 2 3 C.C8 C7 ? C7 C82

3 2 1 D.C8 C7 C11

4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委 D 员,则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有( )

A.C A

2 5

3 3

B.2C A

3 5

3 3

C. A

3 5

D.2C A ? A
2 5 3 3

3 5

课堂练习: 5、在如图7x4的方格纸上(每小方格均为正方形) (1)其中有多少个矩形? (2)其中有多少个正方形?


1.2.2组合

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