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高中数学必修5人教A教案3.1不等关系和不等式


3.1 不等关系和不等式 (一)教学目标 1. 知识与技能:使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系, 在学生了解 了一些不等式(组)产生的实际背景的前提下,学习不等式的有关内容。 2.过程与方法:以问题方式代替例题,学习如何利用不等式研究及表示不等式,利用不等式 的有关基本性质研究不等关系; 3.情态与价值:通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度,注

重问题情 境、实际背景的的设置,通过学生对问题的探究思考,广泛参与,改变学生学习方式,提高 学习质量。 (二)教学重、难点 重点:用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的 问题,理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值。 难点:用不等式(组)正确表示出不等关系。 (三)教学设想 [创设问题情境] 问题 1:设点 A 与平面 ? 的距离为 d,B 为平面 ? 上的任意一点,则 d≤ AB 。 问题 2:某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售,可以售出 8 万本。根据市场调查,若单 价每提高 0.1 元,销售量就可能相应减少 2000 本。若把提价后杂志的定价设为 x 元,怎样 用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元? 分析:若杂志的定价为 x 元,则销售的总收入为 ? 8 ?

? ?

x ? 2.5 ? ? 0.2 ? x 万元。那么不等 0.1 ? x ? 2.5 ? ? 0.2 ? x ≥20 0.1 ?

关系“销售的总收入不低于 20 万元”可以表示为不等式 ? 8 ?

? ?

问题 3:某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种,按照生产的要 求,600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等 式呢? 分析:假设截得 500mm 的钢管 x 根,截得 600mm 的钢管 y 根.. 根据题意,应有如下的不等关系: (1)解得两种钢管的总长度不能超过 4000mm; (2)截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍; (3)解得两钟钢管的数量都不能为负。 由以上不等关系,可得不等式组:

?500 x ? 600 y ? 4000 ?3 x ? y ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?
[练习]:第 82 页,第 1、2 题。 [知识拓展] 设问:等式性质中:等式两边加(减)同一个数(或式子) ,结果仍相等。不等式是否 也有类似的性质呢?

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从实数的基本性质出发,可以证明下列常用的不等式的基本性质: (1) a ? b, b ? c ? a ? c (2) a ? b ? a ? c ? b ? c (3) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (4) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc 证明:

(1) a ? b, b ? c ? a ? b ? 0, b ? c ? 0 ? ( a ? b) ? (b ? c) ? 0 ? a?c ? 0 ? a ? c

(2)(a ? b) ? (b ? c) ? a ? b ? 0 ? a ? b ? b ? c
(3)a ? b, c ? 0 ? a ? b ? 0, c ? 0 ? (a ? b)c ? ac ? bc ? 0 ? ac ? bc
例 1 讲解 [练习]:第 3 题。 [思考]:利用以上基本性质,证明不等式的下列性质:

(1) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (2) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (3) a ? b ? 0, n ? N , n ? 1 ? a n ? b n ; n a ? n b
[小结]:1.现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系; 2.利用不等式的有关基本性质研究不等关系; [作业]:习题 3.1: 组)4、5; 组)2. (A (B

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