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不等式 小结与复习


不等式

小结与复习

【知识归类】 (一)不等式与不等关系 1、应用不等式(组)表示不等关系; 不等式的主要性质:(1)对称性: a ? b ? b ? a .(2)传递性: a ? b, b ? c ? a ? c . (3)加法法则: a ? b ? a ? c ? b ? c ; a ? b, c ? d ? a ? c ? b ?

d . (4)乘法法则: a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc . a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd . (5)倒数法则: a ? b, ab ? 0 ?

1 1 ? .(6)乘方法则: a ? b ? 0 ? a n ? b n (n ? N * 且n ? 1) . a b

(7)开方法则: a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N * 且n ? 1) . 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小;作差法 3、应用不等式性质证明. (二)一元二次不等式及其解法 一元二次不等式的解法.一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0或ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的解集:
2 2 2 设相应的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的两根为 x1、x2 且 x1 ? x2 , ? ? b 2 ? 4ac ,

则不等式的解的各种情况如下表:

??0
二次函数

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的 图象

一元二次方程

?a ? 0?的根

ax2 ? bx ? c ? 0

有两相异实根

有两相等实根

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

ax 2 ? bx ? c ? 0

( a ? 0)的解集 x x ? x1或x ? x2

?

?

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

?

(三)线性规划 1、用二元一次不等式(组)表示平面区域 二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax ? By ? C ? 0 某一侧所有点组

成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线). 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线 Ax ? By ? C ? 0 同一侧的所有点( x, y ),把它的坐标( x, y )代入 Ax ? By ? C ,所得到实数的符 号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点 ? x0 , y0 ? ,从 Ax0 ? By0 ? C 的正负即可判断 Ax ? By ? C >0 表示 直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当 C≠0 时,常把原点作为此特殊点). 3、线性规划的有关概念 ①线性约束条件: 在上述问题中,不等式组是一组变量 x、y 的约束条件,这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式,故又称线性 约束条件. ②线性目标函数: 关于 x、y 的一次式 z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式,叫线性目标函数. ③线性规划问题: 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题. ④可行解、可行域和最优解: 满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解. 由所有可行解组成的集合叫做可行域. 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤: (1)寻找线性约束条件,线性目标函数; (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; (3)在可行域内求目标函数的最优解.

a?b 2 a?b ? ab (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 1、如果 a , b 是正数,那么 2 a?b 2、基本不等式 ab ? 几何意义是“半径不小于半弦”. 2 二元一次不等式组与简单的线性规划问题
(四)基本不等式 ab ? 例 1①画出不等式 2 x +y-6<0 表示的平面区域. 解:先画直线 2 x +y-6=0(画成虚线). 取原点(0,0),代入 2 x +y-6,∵2×0+0-6=-6<0, ∴原点在 2 x +y-6<0 表示的平面区域内,不等式 2 x +y-6<0 表示的区域如图: ②点(-2,t)在直线 2x-3y+6=0 的上方,则 t 的取值范围是__(t>2/3)______.

?x ? y ? 5 ? 0 ? ③画出不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域. ?x ? 3 ?

y x+y=0 5 5 B(- , ) 2 2 x-y+5=0 6 x=3 0 3 C(3,-3) x A(3,8)

解: 不等式 x -y+5≥0 表示直线 x -y+5=0 上及右下方的点的集合,x +y≥0 表示直线 x+y=0 上及右上方的点的集合, x≤3 表示直线 x=3 上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域:

? x ? 4 y ? ?3 ? 例 2.设 x, y 满足约束条件: ?3 x ? 5 y ? 25 , ?x ? 1 ?
分别求(1) z ? 6 x ? 10 y ;(2) z ? 2 x ? y ; (3) ? ?

x 2 ? y 2 ;(4) ? ?

y 的最大值与最小值。 x ?1

例 3.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨,B 原料 2 吨;生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨,B 原料 3 吨,销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品可获得利润 3 万元。该企业在一个生产周期内消 耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不超过 18 吨.求该企业可获得最大利润。

4..某厂生产 A 与 B 两种产品,每公斤的产值分别为 600 元与 400 元.又知每生产 1 公斤 A 产品需要电力 2 千瓦、煤 4 吨;而生产 1 公斤 B 产品需要电力 3 千瓦、煤 2 吨.但该厂的电力供应不得超过 100 千瓦,煤最多只有 120 吨.问如何安 排生产计划以取得最大产值?

5.某公司计划 2013 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费用不超过 9 万元,甲、乙电视 台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带 来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最 大收益是多少万元?

答案
例 2 解:(1)先作可行域,如下图所示中 ?ABC 的区域,且求得 A(5,2) 、 B(1,1) 、 C (1,

22 ) 5

作出直线 l0 : 6 x ? 10y ? 0 ,再将直线 l0 平移,当 l0 的平行线 l1 过点 B 时,可使 z ? 6 x ? 10 y 达到最小值;当 l0 的平 行线 l 2 过点 A 时,可使 z ? 6 x ? 10 y 达到最大值。 故 zmin ? 6 ?1 ? 10?1 ? 16 , zmax ? 6 ? 5 ? 10? 2 ? 50 (2)同上,作出直线 l0 : 2 x ? y ? 0 ,再将直线 l0 平移,当 l0 的平行线 l1 过点 C 时,可使 z ? 2 x ? y 达到最小值; 当 l0 的平行线 l 2 过点 A 时,可使 z ? 2 x ? y 达到最大值。 则 z min ? ?

12 , zmax ? 8 5

(3) ? 表示区域内的点 ( x, y ) 到原点的距离。则 ( x, y ) 落在点 B(1,1) 时, ? 最小, ( x, y ) 落在点 A(5,2) 时, ? 最大, 故 ?min ? 2 , ?max ? 25 ? 4 ? 29 (4) ? 表示区域内的点 ( x, y ) 与点 D(?1,0) 连线的斜率。则 ( x, y ) 落在点 A(5,2) 时, ? 最小, ( x, y ) 落在点 C (1, 时, ? 最大,故 ? min ?

22 ) 5

1 11 , ?max ? 3 5
A 原料 B 原料 2x 3y

例 3.解析 设生产甲产品 x 吨,生产乙产品 y 吨,则有关系: 甲产品 x 吨 乙产品 y 吨 3x

y

?x ? 0 ?y ? 0 ? 则有: ? ,目标函数 z ? 5x ? 3 y 3 x ? y ? 13 ? ? ?2 x ? 3 y ? 18
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标, 经验证知: 当 x =3, y =4 时可获得最大利润为 27 万元。

y
13

(0, 6) O

(3,4) (

13 9 , 0) 3

x

?2 x ? 3 y ? 100 ? 4.解:设生产 A 与 B 两种产品分别为 x 公斤,y 公斤,总产值为 Z 元。则 ?4 x ? 2 y ? 120 ? x ? 0, y ? 0 ?
且 z ? 600x ? 400y 作可行域: 作直线 l:600x+400y=0,即直线 l:3x+2y=0,把直线 l 向右上方 线经过可行域上的点 A,且与原点距离最大,此时 z=600x+400y 取

平移至 l1 的位置时,直 最大值.解方程组

?2 x ? 3 y ? 100 ,得 A 的坐标为 x=20,y=20 ? ?2 x ? y ? 60

新疆 学案

王新敞

答:生产 A 产品 20 公斤、B 产品 20 公斤才能才能使产值最大。 5.解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为

x 分钟和 y 分钟,总收益为 z 元,由题意得

500 x ? 200 y ? 90000

即 5 x ? 2 y ? 900 y
500 400 300 l 200 100 M

目标函数为 z ? 3000或 x ? 2000 y .

? x ? y ≤ 300, ? 线性约束条件为 ?5 x ? 2 y ≤ 900, ? x ≥ 0,y ≥ 0. ?
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域 如图:作直线 l : 3000 x ? 2000 y ? 0 ,即 3x ? 2 y ? 0 . 平移直线 l ,从图中可知,当直线 l 过 M 点时,目标函数取 得最大值.

0

100

200300

x

联立 ?

? x ? y ? 300, 解得 x ? 100,y ? 200 .? 点 M 的坐标为 (100, 200) . ?5 x ? 2 y ? 900.

? zmax ? 3000x ? 2000 y ? 700000 (元)
答:该公司在甲电视台做 100 分钟广告,在乙电视台做 200 分钟广告, 公司的收益最大,最大收益是 70 万元.

基础过关
1.不等式-6x2-x+2≤0 的解集是 2 1? ? A.?x|-3≤x≤2?
? ?

(
?

)
?

2 1? ? B.?x|x≤-3或x≥2?
?

1? ? C.?x|x≥2?
? ?

3? ? D.?x|x≤-2?
?

x2-2x-2 2.不等式 2 <2 的解集为 x +x+1 A.{x|x≠-2} B.R C.?

(

)

D.{x|x<-2 或 x>2} )

3.一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根为 2,-1,则当 a<0 时,不等式 ax2+bx+c≥0 的解集为 ( A.{x|x<-1 或 x>2} B.{x|x≤-1 或 x≥2} C.{x|-1<x<2} ( B.(-∞,-6]∪(2,+∞) D.(-∞,-6)∪[2,+∞)

D.{x|-1≤x≤2} )

4.函数 y=lg(x2-4)+ x2+6x的定义域是 A.(-∞,-2)∪[0,+∞) C.(-∞,-2]∪[0,+∞)

5.若不等式 x2+mx+1>0 的解集为 R,则 m 的取值范围是__________. 6.不等式-1<x2+2x-1≤2 的解集是________. 7.解下列不等式: (1)x4+3x2-10<0; (2)x2-3|x|+2≤0.

8.已知关于 x 的不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|α<x<β},其中 0<α<β,a<0,求 cx2+bx+a>0 的解集.

二、能力提升 9.在 R 上定义运算“⊙”:a⊙b=ab+2a+b,则满足 x⊙(x-2)<0 的实数 x 的取值范围为( A.(0,2) B.(-2,1) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2) ( ) )

2 ? ?x -4x+6,x≥0, 10.设函数 f(x)=? 则不等式 f(x)>f(1)的解集是 ?x+6, x<0, ?

A.(-3,1)∪(3,+∞)
2 2

B.(-3,1)∪(2,+∞)

C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3)

11.已知 x=1 是不等式 k x -6kx+8≥0 的解,则 k 的取值范围是______________. 12.解关于 x 的一元二次不等式:ax2+(a-1)x-1>0.

答案
1.B 2.A 3.D 4.B 5.-2<m<2 6.{x|-3≤x<-2 或 0<x≤1} 7.解 (1)原不等式的解集为{x|- 2<x< 2}.(2)原不等式的解集为{x|-2≤x≤-1 或 1≤x≤2}. b c 8.解 ∵α、β 为方程 ax2+bx+c=0 的两根,∴α+β=- ,αβ= .∵a<0, a a c b ∴cx2+bx+a>0 同解变形为 x2+ x+1<0. a a 1?? 1? 由根与系数的关系将 α、β 代入,得 αβx2-(α+β)x+1<0.即 αβ? ?x-α??x-β?<0, 1? 1 1 ? 1 由 0<α<β,可知 > .所以不等式 cx2+bx+a>0 的解集为?x|β<x<α?. α β ? ? 9.B 10.A 11.k≤2 或 k≥4 12.解 ax2+(a-1)x-1>0?(ax-1)(x+1)>0. 1 1 当 a>0 时,不等式的解集为{x|x<-1 或 x> };当-1<a<0 时,不等式的解集为{x| <x<-1}; a a 1? ? 当 a=-1 时,不等式的解集为?;当 a<-1 时,不等式的解集为?x|-1<x<a?
? ?

不等式
一、选择题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分.

?x ? 3y ? 6 ? 0 1. 不等式组 ? 表示的平面区域是( ?x ? y ? 2 ? 0



2. 目标函数 z ? 3x ? 2 y ,将其看成直线方程时, z 的意义是( A.该直线的横截距 C.该直线纵截距的一半的相反数 A. ? ??, ?2? B.该直线的纵截距



D.该直线纵截距的两倍的相反数 ) D. ?6, ?? ? ) D. ?

3. 若 a, b ? R ? ,满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 a ? b 的取值范围是( B. ? ??, ?2? ? ?6, ?? ? C. ? 6, ?? ?

4. 方程 x2 ? x ? m ? 0 在 x ? ? ?1,1? 上有实根,则 m 的取值范围是( A. m ? ?

3 2

9 16

B. ?

9 5 ?m? 16 2

C. m ?

5 2

9 5 ?m? 16 2

5. 某产品的总成本 y (万元)与产量 x (台)之间的函数关系式是 y ? 3000 ? 20 x ? 0.1x2

? 0 ? x ? 240, x ? N ? ,若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总体)的最低产量是(
?



A.100 台

B.120 台

C.150 台

D.180 台

二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分. 6. 不等式 ? x ? 1??1 ? 2x ? ? 0 的解集是 . .

7. 若 f ? x ? ? x 2 ? 1 , g ? x ? ? x ,则 f ? x ? 、 g ? x ? 的大小关系是

8. 已知点 ? 3,1? 和点 ? ?4,6? 在直线 3x ? 2 y ? m ? 0 的两侧,则 m 的取值范围是

.

三、解答题:本大题共 3 小题,满分 40 分,第 9 小题 12 分,第 10.11 小题各 14 分. 解答须写出文字说明.证明过程或 演算步骤. 9.求下列函数的最值. (1)已知 x ? 0 ,求 y ? 2 ? x ?

4 的最大值; x

(2)已知 x ? 2 ,求 y ? x ?

1 的最小值; x?2

(3)已知 0 ? x ?

1 1 ,求 y ? x ?1 ? 2 x ? 的最大值. 2 2

10. 已知 ?1 ? x ? y ? 1 , ?2 ? x ? 2 y ? 2 ,求 x ? 3 y 的范围.

11. 又一年冬天即将来临, 学校小卖部准备制订新一年的热饮销售计划. 根据去年的统计, 当热饮单价为 1.5 元/杯时, 每日可卖出热饮 800 杯,且热饮单价每提高 1 毛时,日销售量就降低 20 杯. 若该热饮成本为 0.9 元/杯,为使今年的 热饮日销售利润不低于 720 元,应如何控制热饮的单价?

参考答案: 1~5 BCDDC 6. {x

1 ? x ? 1} 2

7. f ? x ? > g ? x ?

8. ?7 ? m ? 24

9. 解:(1)

x ? 0 ,? x ?

4? 4 ? ? 4 ,? y ? 2 ? ? x ? ? ? 2 ? 4 ? ?2 , x? x ?

4 ?当且仅当 x ? ( x ? 0) ,即 x ? 2 时, ymax ? ?2 . x
(2)
x ? 2 , x ? 2 ? 0 ,而 y ? x ?

1 1 ? x?2? ?2?2 x?2 x?2

? x ? 2?

1 ?2? 4, x?2

当且仅当 x ? 2 ?

1 ( x ? 2) , x ? 3 时, ymin ? 4 . x?2
2

1 1 ? 2x ? 1 ? 2x ? 1 1 1 1 (3) 0 ? x ? ,?1 ? 2 x ? 0 ,则 y ? ? 2 x ?1 ? 2 x ? ? ? ? ? ? ? , 4 4? 2 2 ? 4 4 16
当且仅当 2 x ? 1 ? 2 x ,即 x ?

1 1 时, ymax ? . 4 16

10. 解:作出不等式组所表示的平面区域如右图所示,由图可知,当直线系 z ? x ? 3 y 过点 A 、 B 时, z 分别取得最大 值和最小值.

? x ? y ? ?1 ?x ? y ? 1 由? 解得 A? ?4,3? ;由 ? 解得 B ? 4, ?3? . ?x ? 2 y ? 2 ? x ? 2 y ? ?2
则 zmax ? ?4 ? 3 ? 3 ? 5 , zmin ? 4 ? 3 ? ? ?3? ? ?5 , 所以 x ? 3 y 范围为 ? ?5,5? . 11. 解:设该热饮的销售单价提高 x 元,由题意知得

?1.5 ? x ? 0.9??800 ? 200x ? ? 720 ,化简有 200 x2 ? 680 x ? 240 ? 0 ,解得 0.4 ? x ? 3 .
故热饮的单价控制在 [1.9, 4.5] 之间时,今年的热饮日销售利润不低于 720 元.


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