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扬州中学2009届高三下学期第一次月考试卷(数学)


扬州中学 2008—2009 学年度第二学期 2 月份考试 高 三 数 学 试 卷
参考公式:线性回归方程的系数公式为 2009-2-26

b?

? xi yi ? nx y
i ?1 n

n

?x
i ?1

?

? (

x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

2

i

? nx

2

? ( x ? x)
i ?1 i

n

, a ? y ? bx .

2

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.已知 ? 的终边经过点 (3a ? 9, a ? 2) ,且 sin? ? 0, cos ? 0 ,则 a 的取值范围是 ? ▲ 2.如果复数 (m ? i )(1 ? mi ) 是实数,则实数 m ? _____ ▲
2


?

3.如图所示,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为 2 的大正方形, 若直角三角形中较小的锐角 ? ?

?

6 随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在小正方形内概率是___

,现在向该正方形区域内 ▲ .

4.某单位为了了解用电量 y 度与气温 x 0 C 之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当天气温,并制作了对照表: 气温( C) 用电量(度)
0

18 24

13 34

10 38
0

-1 64

? 由表中数据得线性回归方程 y ? bx ? a 中 b ? ?2 ,预测当气温为 ?4 C
时,用电量的度数约为____▲____. 5.给出一个算法: Read x If

x?0
f ?x ? ? 4 x

Then

Else
f ?x ? ? 2 x

End
Pr int

If
f ?x ?

根据以上算法,可求得 f ? ?1? ? f ? 2 ? ? ▲ 6.如图,点 P 是单位圆上的一个顶点,它从初始位置 P0 开始沿单 P2
1

y
P1 P0 O

x

位圆按逆时针方向运动角 ?( 0 ? ? ?

?

2 4 到达点 P2 ,若点 P2 的横坐标为 ? ,则 cos? 的值等于 ▲ 5

) 到达点 P , 1 然后继续沿单位圆逆时针方向运动

? 3

7.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示,则该三棱锥的外接球的表面积为 ▲ . 3 4 主视图 2 左视图

8.已知平面上不共线的四点 O,A,B,C。若



俯视图







9.已知函数 f ( x) ? x ? 3ax(a ? R) ,若直线 x ? y ? m ? 0 对任意的 m ? R 都不是曲线
3

y ? f (x) 的切线,则 a 的取值范围为 ▲
10.已知圆 ( x ? 3) ? y ? 4 和过原点的直线 y ? kx 的交点为 P、Q,则|OP|·|OQ|的值为
2 2

▲ 11. 已知实数 a 使得只有一个实数 x 满足关于 x 的不等式 x ? 2ax ? 3a ? 2 , 则满足条件
2

的所有的实数 a 的个数是





12、 已知直线 (1 ? 4k ) x ? (2 ? 3k ) y ? (3 ? 12k ) ? 0(k ? R) 所经过的定点 F 恰好是椭圆 C 的一 个焦点,且椭圆 C 上的点到点 F 的最大距离为 8.则椭圆 C 的标准方程为 ▲ ;

? b1 ? ? ? 13.设 A= (a1 , a2 , a3 ) ,B= ? b 2 ? ,记 A☉B=max ?a1b1 , a 2 b2 , a3 b3 ? ,若 A= ( x ? 1, x ? 1,1) , ?b ? ? 3?
2

?1 ? ? ? B= ? x ? 2 ? ,且 A☉B= x ? 1 ,则 x 的取值范围为 ? ? x ?1 ? ? ? ?
2





14.若关于 x 的不等式 x ? 2 ? x ? t 至少有一个负数解,则实数 t 的取值范围是____▲ ____. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. (本小题 14 分) 在△ABC 中,a, b, c 分别为角 A、 C 的对边,a 2 ? c 2 ? b 2 ? B、 △ABC 的面积为 6,D 为△ABC 内任一点,点 D 到三边距离之和为 d。 ⑴求角 A 的正弦值; ⑵求边 b、c; ⑶求 d 的取值范围

8bc ,a =3, 5

16. (本小题 14 分)在四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA P ⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点,PA=2AB=2. (Ⅰ)求四棱锥 P-ABCD 的体积 V; E (Ⅱ)若 F 为 PC 的中点,求证 PC⊥平面 AEF;
F A D

B C

17. (本小题 15 分) (本小题 15 分) 某建筑的金属支架如图所示, 根据要求 AB 至少长 2.8m,

C 为 AB 的中点, B 到 D 的距离比 CD 的长小 0.5m, ?BCD ? 600 ,已知建筑支架的材料每 米的价格一定,问怎样设计 AB, CD 的长,可使建造这个支架的成本最低?
A C B

D

20 18. (本小题 15 分)已知圆 C 1 的方程为( x ? 2) ? ( y ? 1) ? ,椭圆 C 2 的方程为 3
2 2

地面

2 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,且 C 2 的离心率为 ,如果 C 1 、C 2 相交于 A、B 两点,且线段 2 2 a b
AB 恰好为 C 1 的直径,求直线 AB 的方程和椭圆 C 2 的方程。

19. (本小题 16 分)已知函数 f ( x) ? x , ,g ? x ? ? x ? 1
2

3

(1) 已知函数? ? x ? ? log m x ? 2 x , 如果 h ? x ? ? 存在正零点,求 m 的值

1 且 f ? x ? ? ? ? x ? 是增函数, h ? x ? 的导函数 h ?? x ? 2

(2)设 F ? x ? ? f ? x ? ? tg ? x ? ? 1 ? t ? t 2 ,且 F ? x ? 在 ? 0 ,1? 上单调递增,求实数 t 的取值范围. (3)试求实数 p 的个数,使得对于每个 足 的偶数根 ,关于x的方程 都有满

20. (本小题 16 分)已知 a 为实数,数列 ? an ? 满足 a1 ? a ,当 n ? 2 时,

?an ?1 ? 3 an ? ? ?4 ? an ?1

(an ?1 ? 3) (an ?1 ? 3)



(Ⅰ) 当a ? 100 时,求数列?an ?的前100项的和S100 ;(5 分) (Ⅱ)证明:对于数列 ? an ? ,一定存在 k ? N ,使 0 ? ak ? 3 ;(5 分)
*

(Ⅲ)令 bn ?

n an 20 ? a ,当 2 ? a ? 3 时,求证: ? bi ? . (6 分) n n 12 2 ? (?1) i ?1

???要?????答?????题??????

姓名_____________

高三数学 2 月考附加题试卷 一、选做题:本大题共 4 小题,请从这 4 题中选做 2 小题,如果多做,则按所做的前两题记 分.每小题 10 分,共 20 分. A 1. (几何证明选讲)如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的圆 大 交 AC 于 D.求证: BC 2 ? 2CD ? AC .

于 失

D B
大 于 失
4

_______座位号__________

大 C 于 大 失 于 失

2. (矩阵与变换)设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍,纵坐标伸长到 3 倍的伸 压变换. (Ⅰ)求矩阵 M 的特征值及相应的特征向量;

x2 y2 (Ⅱ)求逆矩阵 M 以及椭圆 ? ? 1 在 M ?1 的作用下的新曲线的方程. 4 9
?1

4 ? ?x ? 1? 5 t ? ? 3. (坐标系与参数方程)求直线 ? ( t为参数 )被曲线 ? ? 2 cos(? ? ) 所 4 ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?
截的弦长.

4. (不等式证明选讲)若 x ? ? ?

? 2 1? , ? ,证明 1 ? 2 x ? 3 ? x ? 2 ? 3x ? 3 2 。 ? 3 2?

二、必做题:本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分. 5. 已 知 斜 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 , ?BCA ? 90 ,
?

AC ? BC ? 2 , A1 在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中
点 D ,又知 BA1 ? AC1 。 (I)求证: AC1 ? 平面 A1 BC ; (II)求 CC1 到平面 A1 AB 的距离; (III)求二面角 A ? A1 B ? C 余弦值的大小。

5

6.某城市有甲、乙、丙、丁 4 个旅游景点,一位客人游览这 4 个景点的概率都是 0.6,且 客人是否游览哪个景点互不影响.设 ? 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览 的景点数之差的绝对值. (Ⅰ)求 ? 的分布列及数学期望; (Ⅱ) 记“函数 f ( x) ? x ? 3?x ? 1 在区间 [4, ??) 上单调递增”为事件 A,求事件 A 的
2

概率. 高三数学月考试卷参考答案 1. ?2 ? a ? 3 6.
3 3?4 10
2

2009-2-27 4.68
1 3

2. ?1 7. 29?

3. 8.2

2? 3 2

5.0 11. 2

9. a ?

10.5

12、 x

25

y ?

2

16

?1

13. 1 ? x ? 1 ? 2
8bc 5

9 14. (? , 2) 4

15.解:(1) a2 ? c2 ? b2 ?

?b

2

? c2 ? a2 4 ? 2bc 5

? cos A ?

3 4 ? sin A ? 5 5

1 1 3 (2)? S?ABC ? bc sin A ? bc ? ? 6 ,?bc ? 20 2 2 5 b2 ? c2 ? a2 4 由 ? 及 bc ? 20 与 a =3 解得 b=4,c=5 或 b=5,c= 4 2bc 5 1 (3)设 D 到三边的距离分别为 x、y、z,则 S?ABC ? (3x ? 4 y ? 5z ) ? 6 2
?3x ? 4 y ? 12, 12 1 ? d ? x ? y ? z ? ? (2 x ? y) 又 x、y 满足 ? x ? 0, 5 5 ? y ? 0, ? 12 画出不等式表示的平面区域得: ? d ? 4 5

16. 解: (Ⅰ)在 Rt△ABC 中,AB=1, ∠BAC=60°,∴BC= 3 ,AC=2.
6

在 Rt△ACD 中,AC=2,∠CAD=60°, ∴CD=2 3 ,AD=4. ∴SABCD=
1 1 AB ? BC ? AC ? CD 2 2

1 1 5 ? ? 1? 3 ? ? 2 ? 2 3 ? 3 .?????? 3 分 2 2 2 1 5 5 则 V= ? ?????? 7 分 3?2 ? 3. 3 2 3 (Ⅱ)∵PA=CA,F 为 PC 的中点, ∴AF⊥PC. ??????8 分 ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面 PAC.∴CD⊥PC. ∵E 为 PD 中点,F 为 PC 中点, ∴EF∥CD.则 EF⊥PC. ??? 12 分 ∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面 AEF.?? 14 分 17.解:设 BC ? am(a ? 1,4), CD ? bm. 连结 BD.

1 则在 ?CDB 中, (b ? )2 ? b2 ? a 2 ? 2ab cos60?. 2
1 1 a2 ? 4 . ? b ? 2a ? 4 ? 2a. ?b ? a ?1 a ?1 a2 ?
设 t ? a ? 1, t ?

2.8 ? 1 ? 0.4, 2

1 4 ? 2(t ? 1) ? 3t ? 3 ? 4 ? 7, 则 b ? 2a ? t 4t 等号成立时 t ? 0.5 ? 0.4, a ? 1.5, b ? 4. (t ? 1)2 ?
答:当 AB ? 3m, CD ? 4m 时,建造这个支架的成本最低. 18. 解:设 A( x1 , y1 ) 、B( x 2 , y 2 ) A、B 在椭圆上 ? b x1 ? a y1 ? a b
2 2 2 2 2 2

b 2 x2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2
2 2

? b 2 ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) ? a 2 ( y 2 ? y1 )( y 2 ? y1 ) ? 0
又线段 AB 的中点是圆的圆心(2,1) ,所以 x2 ? x1 ? 4, y 2 ? y1 ? 2 所以 k AB ? ?

2b 2 , a2

b2 2b 2 2 1 2 椭圆的离心率为 ? 2 ? 1 ? e = , k AB ? ? 2 =-1 2 2 a a
直线 AB 的方程为 y-1=-1(x-2)即 x+y-3=0.

7

(1) 由( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ?

20 和 x+y-3=0 得 3

A(2+

10 10 2 2 ,1- )代入椭圆方程得: a ? 16, b ? 8 3 3

所以椭圆方程为:

x2 y2 ? ?1 16 8

19.解:(1)由题意
h? ? x ? ? x ? 2 ? 1 ? 0 在 ?0,??? 上恒成立 x ln m

即 即

1 2 ? x ? 2 ? x ? ? ? ? x ? 1? ? 1 在 ?0,??? 上恒成立 ln m 1 ? 1 ,所以 0 < ln m ? 1 ,又 h ?? x ? 存在正零点, ? ? 0 ln m

所以 ln m ? 1 ,即 m ? e (2)由题设得 F

? x ? ? x 2 ? tx ? 1 ? t 2 ,?????5 分
t 2 2 2 , ? ? t ? 4 1 ? t ? 5t ? 4 。?????7 分 2

对称轴方程为 x ?

?

?

由于 F ? x ? 在 ? 0 ,1? 上单调递增,则有 (Ⅰ)当 ? ? 0 即 ?

2 5 2 5 时,有 ?t ? 5 5

? t ?0 ?2 ? 2 5 2 5 ? ? 5 ?t ? 5 ?
设方程 F

解得 ?

2 5 ? t ? 0 。?????9 分 5

(Ⅱ)当 ? ? 0 即 t ? ? 2 5 或t ? 2 5 时, 5 5

? x ? ? 0 的根为 x1 ,x2 ? x1 ? x2 ? ,
?t / 2 ? 1, 2 5 t 5 ,则 ? ,有 ? 2 5 2 5 ? x1 ? 0 ? F (0) ? 1 ? t ? 0.

① 若t

?

解得 t ? 2 ;?????11 分 ②若 t ? ?

2 5 t 5 ,即 ? ? ,有 x1 ? 0 ,x2 ? 0 ; 5 2 5

8

? ? x1 ? x2 ? 0 ? t ? 0 ? ? ? ? x1 x2 ? 0 ? 1 ? t 2 ? 0 ? ?1 ? t ? 1 ? ?t ? ? 2 5 ? 5 ?

解得 ? 1 ? t ? ?

2 5 。?????13 分 5
2 5 或t ? 2 。综合(Ⅰ), (Ⅱ)有 5

由①②得 ?1 ? t ? ?

?1 ? t ? 0或t ? 2 .?14 分

⑶对任意

, x 为偶数, p ?

x

3

?1

x ?1

的取值各不同,反证法证明。答案是 2009

20.解:(Ⅰ) 当a ? 100 时, 由题意知数列 ? an ? 的前 34 项成首项为 100,公差为-3 的等差 数列,从第 35 项开始,奇数项均为 3,偶数项均为 1,从而

S100 =

(100 ? 97 ? 94 ? ? ? 4 ? 1) (3 ? 1 ? ? ? 3 ? 1) ??(3 分) ? 共34项 共66项 (100 ? 1) ? 34 66 = ? (3 ? 1) ? ? 1717 ? 132 ? 1849 . ????(5 分) 2 2

(Ⅱ)证明:①若 0 ? a1 ? 3 ,则题意成立???????(6 分) ②若 a1 ? 3 ,此时数列 ? an ? 的前若干项满足 an ? an ?1 ? 3 ,即 an ? a1 ? 3(n ? 1) . 设 a1 ? ? 3k ,3k ? 3? , (k ? 1, k ? N ) ,则当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? a1 ? 3k ? ? 0,3? .
*

从而此时命题成立?? (8 分) ③若 a1 ? 0 ,由题意得 a2 ? 4 ? a1 ? 3 ,则由②的结论知此时命题也成立. 综上所述,原命题成立?????(10 分) (Ⅲ)当 2 ? a ? 3 时,因为 an ? ?

? a (n为奇数) , ?4 ? a(n为偶数)

a ? ? 2 n ? ( ?1) n a ? 所以 bn ? n n n = ? 2 ? ( ?1) ? 4 ? a ? 2 n ? ( ?1) n ?

(n为奇数)
?????(11 分)

(n为偶数)

因为 bn >0,所以只要证明当 n ? 3 时不等式成立即可.

9

而 b2 k ?1 ? b2 k ?

4 ? a a ? 22 k ?1 ? 22 k ?1 ? (4 ? 2a) ? 22 k ?1 ? 1 22 k ? 1 (22 k ?1 ? 1)(22 k ? 1) a ?

?

a ? 22 k ?1 ? 22 k ?1 a ? 22 k ?1 ? 22 k ?1 a ? 4 ? ? 2 k ???(13 分) 24 k ?1 ? 22 k ?1 ? 1 24 k ?1 2
*

①当 n ? 2k (k ? N 且k ? 2) 时,

? bi ? b1 ? b2 ? ? bi ?
i ?1 i ?3

2k

2k

a 4?a a?4 a?4 a?4 ? ? ( 2?2 ? 2?3 ? ??? ? 2?k ) 3 3 2 2 2

1 k ?1 1 1 (1 ? ( )k ?1 ) 4 (a ? 4) ? (1 ? ( ) ) 4 a ? 4 20 ? a 4 4 4 4 ? . ??(15 分) ? ? ? ? ? ? (a ? 4) ? 2 12 1 3 12 3 12 3 1? 4
②当 n ? 2k ? 1(k ? N 且k ? 2) 时,由于 bn >0,所以
*

2 k ?1 i ?1

? b ? ?b <
i i ?1 i

2k

20 ? a . 12

综上所述,原不等式成立???(16 分) 附加题 2.解: (Ⅰ)由条件得矩阵 M ? ?

0? , 3? ? ?1 ? ? 0 ? 它的特征值为 2 和 3 ,对应的特征向量为 ? ? 及 ? ? ; ? 0 ? ?1 ?
? 0? x2 y2 ,椭圆 ? ? 1 在 M ?1 的作用下的新曲线的方程为 x 2 ? y 2 ? 1. ? 4 9 1? 3? ?

?2 ?0

?1 (Ⅱ) M ?1 ? ? 2 ? ?0 ? ?

4 ? ? x ? 1 ? 5 t ( t为参数 )被曲线 ? 3. (坐标系与参数方程)求直线 ? ? ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?

? 2 cos(? ? ) 所截的 4

?

? 弦长,将方程 ?

?

4 x ? 1? t 5 ,? ? ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?

? 2 cos(? ? ) 分别化为普通方程: 4

?

3x ? 4 y ? 1 ? 0 , x 2 ? y 2 ? x ? y ? 0, ???(5 分)
1 1 2 1 1 1 7 圆心C( ,- ),半径为 圆心到直线的距离d= ,弦长=2 r2 ? d 2 ? 2 ? ? . 2 2 2 10 2 100 5
??(10 分)

10

4. (不等式证明选讲)若 x ? ? ? 柯西不等式一步可得

? 2 1? , ? ,证明 1 ? 2 x ? 3 ? x ? 2 ? 3x ? 3 2 。 ? 3 2?

二、必做题:本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分. 5. 解: (I)如图,取 AB 的中点 E ,则 DE // BC ,因为 BC ? AC , 所以 DE ? AC ,又 A1 D ? 平面 ABC , 以 DE , DC , DA1 为 x, y, z 轴建立空间坐标系, 则 A ? 0, ?1, 0 ? , C ? 0,1, 0 ? , B ? 2,1, 0 ? , A1 ? 0, 0, t ? , C1 ? 0, 2, t ? ,

???? ? ???? AC1 ? ? 0,3, t ? , BA1 ? ? ?2, ?1, t ? , ??? ? ???? ??? ? CB ? ? 2, 0, 0 ? ,由 AC ? CB ? 0 ,知 AC ? CB ,又 BA1 ? AC1 ,从而 AC1 ? 平面 A1 BC ; 1 1
(II)由 AC1 ? BA1 ? ?3 ? t ? 0 ,得 t ? 3 。
2

???? ???? ?

设平面 A1 AB 的法向量为 n ? ? x, y , z ? , AA1 ? 0,1, 3 , AB ? ? 2, 2, 0 ? ,所以

?

????

?

?

??? ?

? ???? ? ?n ? AA1 ? y ? 3z ? 0 ? ,设 z ? 1,则 n ? 3, ? 3,1 ? ? ? ??? ? n ? AB ? 2 x ? 2 y ? 0 ? ???? ? ? AC1 ? n 2 21 所以点 C1 到平面 A1 AB 的距离 d ? 。 ? ? 7 n ?? ??? ? ???? (III)再设平面 A1 BC 的法向量为 m ? ? x, y, z ? ,CA1 ? 0, ?1, 3 ,CB ? ? 2, 0, 0 ? ,

?

?

?

?

?? ???? ?? ?m ? CA1 ? ? y ? 3z ? 0 ? ,设 z ? 1,则 m ? 0, 3,1 , ? ? ?? ??? ? m ? CB ? 2 x ? 0 ? ?? ? ?? ? 7 m?n 故 cos ? m, n ?? ?? ? ? ? ,根据法向量的方向, 7 m?n

所以

?

?

可知二面角 A ? A1 B ? C 的余弦值大小为

7 7

6. 解: (1)分别设“客人游览甲景点”“客人游览乙景点”“客人游览丙景点” 、 、 、 “客人 游 览 丁 景 点 ” 为 事 件 A1 , A2 , A3 , A4 由 已 知 A1 , A2 , A3 , A4 互 独 立 , 且 , 相

P( A )? 1

P( 2A ? )

P(3 A ) ?

P( ? ) 4 A

0.6.

11

客人游览的景点数的可能取值为 0,1,2,3,4;相应的,客人没有游览的景点数的可 能取值为 4,3,2,1,0.所以 ? 的可能取值为 0,2,4

P(? ? 0) ? C4 2 (0.6) 2 (1 ? 0.6) 2 ? 0.3456 . P(? ? 2) ? C41 (0.6)1 (1 ? 0.6)3 ? C43 (0.6)3 (1 ? 0.6)1 ? 0.4992 . P(? ? 4) ? (0.6) 4 ? (1 ? 0.6) 4 ? 0.1552 .

? 2 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.24, P(? ? 1) ? 1 ? 0.24 ? 0.76
所以 ? 的分

?
P

布列为 0 0.3456 2 0.4992 4 0.1552

E ? 0 ? 0.3452 ? 2 ? 0.4992 ? 4 ? 0.1552 ? 1.6192. ??????(5 分)
(2)因为 f ( x) ? ( x ?

3 2 9 3 ? ) ? 1 ? ? 2 , 所以函数 f ( x) ? x 2 ? 3?x ? 1 在区间 [ ? ,??) 2 4 2

3 8 上单调递增.要使 f (x) 在 [4, ??) 上单调递增,当且仅当 ? ? 4, 即 ? ? . 2 3 8 从而 P( A) ? P(? ? ) ? P(? ? 0) ? P(? ? 2) ? 0.8448. ???????(10 分) 3

12


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