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南京清江花苑严老师高一数学《集合》专题强化训练(共5份)(附:解析与答案)

时间:2014-09-15


高一数学《集合》专题强化训练(共 5 份) (附:解析与答案) (一)
1.用列举法表示下列集合. (1)x2-4 的一次因式组成的集合; (2){y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N}; (3)方程 x2+6x+ 9=0 的解集; (4){20 以内的质数}. 2.用描述法表示下列集合.(1)方程 2x+y=5 的解集; (2)小于 10 的所有非负整数的集合; (3)坐标平面内,两

坐标轴上点的集合;(4)二次函数 y=ax2+bx+c 图象上所有点的集合. 3. 用描述法表示下列集合.(1)方程 x2-1=0 的解集;(2)坐标平面内,第二象限内的点的集合;(3)大于 4 的全体奇数构成 的集合. 4.已知集合 A={x|ax2+2x+1=0,a∈R},(1)若 A 中只有一个元素,求 a 的值;(2)若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值 范围. 5. 已知集合 A={x|ax2-3x+2=0,a∈R},若 A 中元素至多只有一个,求 a 的取值范围. 6.设由 2,4,6 构成的集合为 A,若实数 a 满足 a∈A 时,6-a∈A,则 a=_________ 7.已知 A={2,x},B={xy,1},若 A=B,则 x+y=________ 8.下列叙述中,正确的个数是__________.①1 是集合 N 中最小的数 ②若- 的最小值为 2 ④方程 x -4x=-4 的解集是{2,2}
2

N,则 a∈N ③若 a∈N*,b∈N,则 a+b

9. (1)“被 3 除余 1 的数”组成的集合用描述法可表示为__________. (2)

集合 A={(x,y)|x+y=5,x∈N,y∈N},则用列举法表示为 A=__________. 9.(1)“被 3 除余 1 的数”组成的集合用描述法可表示为__________.(2)集合 A={(x,y)|x+y=5,x∈N,y∈N},则用列 举法表示为 A=__________. 10.用适当的方法表示下列集合.(1)中国古代四大发明的集合;(2)直角坐标平面内第二象限的点集;(3)由大于 0 小于 2 的 实数组成的集合;(4)绝对值等于 1 的实数的集合;(5)方程 x(x2+2x-3)=0 的解集;(6)不等式 x2+2≤0 的解集. 11.求不等式 4(x+1)-3(x-1)>9 的解集. 12.已知集合 A={x|kx2-3x+2=0}.(1)若 A=

,求实数 k 的取值范围;(2)若 A 中只有一个元素,求 k 的值及集合 A. ④{x|x2+2x+5=0}=

13.下列关系式中,正确的序号是__________.①a∈{a,b} ②0∈ ③{x|x2≤0}= 14.由 a2,2-a,4 组成一个集合 A,A 中含有 3 个元素,则实数 a 一定不 等于 __________. . 15.集合{x|x-2<3,且 x∈N*}用另一种表示方法应是__________.

x y z |xyz| 16.已知 x、y、z 为非零实数,代数式 + + + 的值所组成的集合是 M,则 M=________. |x| |y| |z| xyz y 17.设三元素集 A={x, ,1},B={|x|,x+y,0},其中 x,y 为确定常数且 A=B,则 x2 009-y2 009 的值等于_______. x 18.下列结论中,正确的个数是__________.①若以集合 S={a,b,c}中三个元素为边可构成一个三角形,则该 三角形一定不是等腰三角形 集 19.用描述法表示图中阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是____________. 20.已知 A={a-2,2a2+5a,6},且-3∈A,求实数 a 的值. ②满足 1+x>x 的实数 x 组成一个集合 ③方程 x-2+|y+2|=0 的解集为{2,-2} ④方程(x-1)2(x+5)(x-3)=0 的解集中含有 3 个元素 ⑤今天正午 12 时生活在地球上的所有人构成的集合是无限

1 南京清江花苑严老师

21.已知 M={2,a,b},N={2a,2,b2},且 M=N,求实数 a 与 b 的值. 22.观察下面三个集合,回答下面问题:①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1}.(1)它们是不是相同的集合? (2)它们各自的含义是什么? 23.设 S 是由满足下列条件的实数所构成的集合:①1 1 S;②若 a∈S,则 ∈S.请解答下列问题:(1)若 2∈S,则 S 中 1-a

1 必有另外两个数,求出这两个数;(2)求证:若 a∈S,则 1- ∈S;(3)在集合 S 中元素能否只有一个?请说明理由. a

24. 由下列对象组成的集体属于集合的是________. ①不超过 π 的正整数; ②高一数学课本中所有的难题; ③中国的大城市; ④平方后等于自身的数;⑤某校高一(2)班中考成绩在 500 分以上的学生. 1 25. 用符号“∈”或“? ”填空. (1)0________N, 5________N, 16________N; (2)- ________Q, π________Q; (3) 2- 3 2 + 2+ 3________{x|x=a+ 6b, a∈Q, b∈Q}. 解析: 0 是自然数, 5是无理数, 不是自然数, 16=4 是自然数. ( 2- 3 + 2+ 3)2=6, ∴ 2- 3+ 2+ 3= 6,令 a=0,b=1,故 6在集合中. ?x+y=3 26.方程组? 的解集用集合表示为________. ?x-y=1 27.集合{1,3,5,7,9}用描述法表示是____________. 28.下面有四个命题:①集合 N 中最小的数是 1;②若-a 不属于 N,则 a 属于 N;③若 a∈N,b∈N,则 a+b 的最小值为 2;④x2+1=2x 的解集可以表示为{1,1}.其中正确命题的个数为________. 29.集合 A={x2,3x+2,5y3-x},B={周长等于 20 cm 的三角形},C={x|x-3 <2,x∈R},D={(x,y)|y=x2-x-1},其中 用描述法表示集合的有________. 30.已知集合 A 中含有三个元素 2,4,6,且当 a∈A 时,有 6-a∈A,那么 a 为________. 31.设 P、Q 是两个非空集合,定义 P*Q={ab|a∈P,b∈Q},若 P={0,1,2},Q={1,2,3},则 P*Q 中元素的个数是________. 32.已知集合 M={x|x=7n+1,n∈N},则 2010________M,2011________M.(填∈或?). x y xy 33.已知 x,y 为非零实数,则集合 M={m|m= + + }为________. |x| |y| |xy| 34.已知集合 A={(x,y)|y=2x+1},B={(x,y)|y=x+3},若 a∈A,a∈B,则 a 的值为________. 35.已知集合 A={0,2,3},定义集合运算 A※A={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则 A※A=________. 36.用适当的方法表示下列集合,并指出它是有限集还是无限集.(1)由所有小于 10 的既是奇数又是质数的自然数组成的集 合;(2)由平面直角坐标系中所有第三象限内的点组成的集合;(3)由方程 x2+x+1=0 的实数根组成的集合;(4)由所有周长 等于 10 cm 的三角形组成的集合. . 12 37.已知集合 A={x| ∈N,x∈N},试用列举法表示集合 A.. 6-x

(二)
1. 写出满足条件? M {0,1,2}的所有集合 M M?{0,1,2}的集合 M. 2.上例改为写出满足条件{0}

3.已知集合 A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2},若 A=B,求实数 c 的值. . 4.已知集合 A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1≤x≤m+1},且 B?A.求实数 m 的取值范围. . 5. 设 A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若 B?A,求实数 a 组成的集合,并写出它的所有子集. 6.已知集合 A ,且 A 中至多有 1 个奇数,则这样的集合共有________个. 7.设集合 A={2,x,y},B={2x,y2,2},且 A=B,则 x+y 的值为________. 8.已知非空集合 P 满足:①P?{1,2,3,4,5},②若 a∈P,则 6-a∈P,符合上述条件的集合 P 的个数是________. 9.集合 M={x|x=6-2n,n∈N+,x∈N}的子集有________个. 10.已知集合 A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合 A 有且仅有 2 个子集,则实数 a 的取值是________. 2 南京清江花苑严老师

11. 已知集合 A={x|0<x<2, x∈Z}, B={x|x2+4x+4=0}, C={x|ax2+bx+c=0}, 若 A?C, B?C, 则 a∶b∶c 等于________ 2 12.已知集合 A={-1,2},B={x|x -2ax+b=0},若 B≠?,且 B A,则实数 a,b 的值分别是________. 1 n 1 p 1 13.已知集合 M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= - ,n∈Z},P={x|x= + ,p∈Z}.试确定 M,N,P 之间满足的关 6 2 3 2 6 系. . 14.集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.(1)若 B?A,求实数 m 的取值范围;(2)当 x∈Z 时,求 A 的非空真 子集个数;(3)当 x∈R 时,不存在元素 x,使 x∈A 与 x∈B 同时成立,求实数 m 的取值范围.

15.已知集合 A={1,3,-x3},B={x+2,1},是否存在实数 x,使得 B 是 A 的子集?若存在,求出集合 A,B;若不存在, 请说明理由. . 16.已知集合 A={x∈R|x<5-

2 },B={1,2,3,4},则( ? RA)∩B=

17..有限集合 S 中元素的个数记作 card(S) 。设 A、B 都为有限集合,给出下列命题: (A ? B)=cad(A)+cad(B) ;②A ? B 的必要条件是 cad(A) ? card(B) ;③A ④A=B 的充要条件是 cad(A)=card(B).其中真 命题的序号是 . 19.设集合 A ? {1, 2,3} ,则满足 20.已知 M={ m |

①A ? B= ? 的充要条件是 card

B 的充分条件是 cad(A) ? card(B) ;

18.已知集合 A={0,1} ,B={x|x∈A,x∈N*} ,C={x|x ? A} ,则 A、B、C 之间的关系是___________________.

A ? B ? {1, 2,3, 4,5} 的集合 B 的个数是

21.非空集合 G 关于运算 ? 满足: (1)对任意 a, b ? G ,都有 a ? b ? G ; (2)存在 e ? G ,使得对一切 a ? G ,都有

m?4 x?3 ? Z },N={x| ? N} ,则 M∩N=__________。 2 2

a?e ? e?a ? a, 则称 G 关于运算 ? 为 “融洽集” ; 现给出下列集合和运算: ① G ? ?非负整数? , ?为整数的加法



G ? ?二次三项式?, ?为多项式的加法 其中 G 关于运算 ? 为“融洽集”__________;(写出所有“融洽集”的序号)
22.已知 验) (温馨提示:注意回代检 A ? {a2 , a ? 1, ?3} , B ? {a ? 3,3a ?1, a2 ? 1} 若 A B ? {?3} ,求实数 a 的值。

G ? ?偶数? , ?为整数的乘法



G ? ?平面向量?, ?为平面向量的加法



23..已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={x|x -mx+2=0},且 A∩B=B,求实数 m 范围。 24.设 M

2

2

? {x x 2 ? 2x ? 3 ? 0} N ? {x ax ? 1 ? 0} ,若 M
x?3 x ?1

N ?M

,求所有满足条件的 a 的集合。

25. 记函数 若B

f ( x) ? 2 ?

g ( x) 的定义域为 A,

? lg[(x ? a ? 1)(2a ? x)](a ? 1) 的定义域为 B( 。1) 求 A;

(2)

? A ,求实数 a 的取值范围。

(三)
1.设全集 U=R,集合 A={x|x≥-3},B={x|2-x<0}.(1)求?UA,?UB;(2)判断?UA 与?UB 的关系. . 2.上例中若 A={x|-3≤x<0},B={x|2-x<0 或 x<1},则结果如何?

3.设全集 U={1,2,x2-2},A={1,x},求?UA.

4.

设全集 U=R,M={x|3a<x<2a+5},P={x|-2≤x≤1}.若 M

?UP,求实数 a 的取值范围. 3

南京清江花苑严老师

5. 已知全集 U, M、 N 是 U 的非空子集, 若?UM?N, 则下列关系正确的是________. ①M??UN ②M ?UN③?UM=?UN ④ M=N 6.设全集 U 和集合 A、B、P,满足 A=?UB,B=?UP,则 A________P(填“ ”、“ ”或“=”). 7.设全集 U=R,A={x|a≤x≤b},?UA={x|x>4 或 x<3},则 a=________,b=________. 8.给出下列命题:①?UA={x|x/∈A};②?U?=U;③若 S={三角形},A={钝角三角形},则?SA={锐角三角形};④若 U= {1,2,3},A={2,3,4},则?UA={1}.其中正确命题的序号是________. 9.已知全集 U={x|-2011≤x≤2011},A={x|0<x<a},若?UA≠U,则实数 a 的取值范围是________. 10. 设 U 为全集, 且 M U, N U, N?M, 则①?UM??UN; ②M??UN; ③?UM??UN; ④M??UN.其中不正确的是________(填 序号). 11.设全集 U={1,3,5,7,9},A={1,|a-5|,9},?UA={5,7},则 a 的值为________. 12.设全集 U={2,4,1-a},A={2,a2-a+2}.若?UA={-1},则 a=______. 13.已知全集 U,集合 A={1,3,5,7,9},?UA={2,4,6,8},?UB={1,4,6,8,9},求集合 B.

14.设全集 I={2,3,x2+2x-3},A={5},?IA={2,y},求 x,y 的值.

1 15.已知全集 U=R,集合 A={x|0<ax+1≤5},集合 B={x|x≤- 或 x>2}.(1)若 A??UB,求实数 a 的取值范围;(2)集合 A、 2 ?UB 能否相等?若能,求出 a 的值;否则,请说明理由.

16.集合 { x | 为

x 是平行四边形 } ? { y | y 是梯形}=


. 17.集合 {m |

m?2 ? N, 且m ≤ 10} 用列举法可表示 3
.19.若 ?1?{m,

18.满足{3,5,7,17}? ≠ A ? {x | 的取值范围为 20 .集合 {( x, y) | .

x 是小于 20 的质数}的集合 A 的个数是

m2} ,则实数 m

y ? 2 x ? 4} {( x, y) | xy ? 0} =

.21 .若 A={y|y=x2+2} , B={x|y=

x?4

} ,则

?A B ?
22.已知全集 U



? {1,2,3,4,5},若 A B ? U ,且 B (? U A) ? {1, 2} ,则 A=
2



23.若 A= {x | ( x ?1)

? 3 x ? 7} ,则 A

Z 的元素的个数为

. A={1,2},B={2,3},则

24.设 M,P 是两个非空集合,定义: M

? P ? {x | x ? a ? b, a ? M , b ? P} .若

( A ? B) B =

. ,B= .

25.若全集 U={x|0<x<10,x∈N*},A∩B={3},A∩ ? UB={1,5,7},( ? UA)∩( ? UB) ={9},则 A= 6 户,则只订阅《扬子晚报》的有 27 .已知集合 为 户.

26.某大楼共有住户 50 户,已知订阅《服务导报》的有 23 户,订阅《扬子晚报》的有 37 户,上述两种报纸都未订阅的有

A ? {x | x 2 ? 2x ? 3 ? 0}, B ? {x | ax ? 1 ? 0} ,若 ( A B) ? A ,则


a 的所有取值组成的集合

28.若全集 U=R,集合 A= [?

3, 3] ,B= [?3,1] ,则右图中阴影部分对应的集合用区间可表示为



29.在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类” ,记为[k],即[k]={x|x=5n+k,n∈ Z},k=0,1,2,3,4.下列 结论中,正确 的是 . ①2012∈ [2] ②-2∈ [2] ③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④若整数 a,b 属于同一“类” ,则(a-b)∈ [0], 4 南京清江花苑严老师

反之亦然 30.设集合 A={-4,2m-1,m 2},B={9,m-5,1-m },且 A ? B={9},求 m 的值.

31.已知集合 A ? (2,5] , B ? {x | ?m ? 1 ≤ x ≤ 2m ? 1} ,且

A ? B ? B ,求实数 m 的取值范围.

32.已知集合 求a与A

A ? {x | x2 ? (2a ? 3) x ? 3a ? 0}, B ? {x | x2 ? (a ? 3) x ? a2 ? 3a ? 0} ,且 A≠B, A ? B ? ? ,

B.

33.设集合 A ? {x | (2)若 B ? ( A

x 2 ? 4x ? 0}, B ? {x | x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 1 ? 0} . (1)若 A ? B ? B ,求实数 a 的值;

B) ,求实数 a 的取值范围.

34.已知全集 U={x|x2+2≥3x },A={x||x-2|>1},B= { x

3x ? 5 ≥ 2},求 CU A,CU B,A∩B,A∩( CU B),( CU A)∩B. x?2

35.已知 A={a1,a2,a3,a4,a5},B={a12,a22,a32,a42,a52},其中 a1< a2< a3< a4 < a5,且 a1,a2,a3,a4,a5∈N+,若 A ∩B={ a1,a4},a1+ a4=10,且 A∪B 所有元素之和为 256,求集合 B.

(四)
1. (1)已知集合 M={y|y=x2,x∈R},P={y|y=2x-x2,x∈R},求 M∩P;(2)设集合 A={1,2,3},B={2,3,4,5},求 A∪B; (3)设集合 A={x|-3<x≤5},B={x|2<x≤6},求 A∪B. 2.设 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.(1)若 A∩B=B,求 a 的取值;(2)若 A∪B=B,求 a 的取值.

3.上例中,若 A≠B 且 A∩B≠?,求 a 的值.

5 4. 已知全集 U=R,A={x|-4≤x<2},B={x|-1<x≤3},P={x|x≤0 或 x≥ },求 A∩B、(?UB)∪P、(A∩B)∩(?UP). 2 . 5.已知全集 U={x|-5≤x≤3},A={x|-5≤x<-1},B={x|-1≤x≤1},求?UA,?UB,(?UA)∩(?UB),(?UA)∪(?UB), ?U(A∩B),?U(A∪B). 6.如图所示,U 是全集,A,B 是 U 的子集,则阴影部分所表示的集合是________. 7.已知全集 U={x|0≤x<10,x∈N},A∪B=U,A∩(?UB)={1,3,5,7,9},则集合 B=________. 8.集合 M={x|-2≤x<1},N={x|x≤a},若? M∩N),则实数 a 的取值范围为________. 9.设集合 M={-1,0,1},N={a,a2},则使 M∪N=M 成立的 a 的值是________. 10.对于集合 A,B,定义 A-B={x|x∈A,且 x/∈B},A⊕B=(A-B)∪(B-A).设 M={1,2,3,4,5,6},N= {4,5,6,7,8,9,10},则 M⊕N 中元素的个数为________. 11.已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},且 B≠?,若 A∪B=A,则 m 的取值范围________. 12.已知非空集合 A={(x,y)|(a2-1)x+(a-1)y=15},B={(x,y)|y=(5-3a)x-2a}.若 A∩B=?,则 a=________. 13.已知集合 M 是方程 x2+px+q=0(p2-4q≠0)的解集,A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10},若 M∩A=?,且 M∪B=B,试求 5 南京清江花苑严老师

p、q 的值.

14.已知全集 U={不大于 5 的自然数},A={0,1},B={x|x∈A,且 x<1},C={x|x-1 若 D={x|x∈A},说明 A、B、D 的关系.

A,且 x∈U}.(1)求?UB,?UC;(2)

15.设集合 A={a2,2a-1,-4},B={a-5,1-a,9}.(1)若{9}=A∩B,求实数 a 的值;(2)若 9∈(A∩B),求实数 a 的值.

16、已知集合 S

? ? x ? R x ? 1≥ 2? , T ? ??2, ?1 , 01 , , 2? ,则 S T ?



17、已知全集 U=R,集合 A ? {x | ?2 ≤ x ≤ 3},B ? ( x | x ? 1 ? 0) ,则集合 A 18、已知全集 U

?U B ?

. .

? R ,集合 A ? ? x ?2 ? x ? 2? , B ? x x 2 ? 2 x ≤ 0

?

? ,则 A I

B?

19、已知函数

y ? 5 ? 2x 的定义域为集合 P , N 为自然数集,则集合 P N 中元素的个数为
2



20、若集合 A ? {x | x ? 9 x ? 0} , B ? ? y |

? ?

? 4 y ? Z且 ? N? ? ,则集合 A B 的元素个数为 y ?
2



21、设集合 A ?

?x

x ? 2 ? 2, x ? R

? , B ? ? y | y ? ? x , ?1 ? x ? 2? ,则 C ? A B? 等于
R

. .

22、 已知集合 M = {直线的倾斜角} , 集合 N ={两条异面直线所成的角}, 集合 P= {直线与平面所成的角} , 则(M∩N)∪P=

23、 设全集 U ? {1,2,3,4,5} , 若 A ? B ? {2} ,(CU A) ? B ? {4} ,(CU A) ? (CU B) ? {1,5} , 则 A=_____, B= .

24、已知集合 A ? {2,3}, B ? {1, a}, 若A 25、已知集合 A ? 26、设集合 M 27、设集合 M 围是 .
2

B ? {2}, 则A B ?

. . .

?0, m? , B ? ?n | n 2 ? 3n ? 0, n ? Z ? ,若 A

B ? ? ,则 m 的值为

? ? y | y ? x 2 ? 2 x ? 1? , N ? ? x | y ? x 2 ? 2 x ? 5? ,则 M ? N 等于

? {x | x ? m ? 0} , N ? {x | x 2 ? 2x ? 8 ? 0} ,若 U=R,且
(1)有两个实根;

U

M ? N ? ? ,则实数 m 的取值范

28、求实数 m 的范围,使关于 x 的方程 x +2(m-1)x+2m+6=0 比 0 小; (3)有两个实根,且都比 1 大;

(2)有两个实根,且一个比 0 大,一个

(五)
1.已知 M={x|y=x2-1},N={y|y=x2-1},那么 M∩N=________.2.设全集 U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,3,5},则 ?U(A∩B)等于________. 3.设全集 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,5},而 A∩(?UB)等于________. 4.设集合 A={x|x∈Z 且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z 且-5≤x≤5},则 A∪B 的元素个数是________. 5. 已知全集 U={1,2,3,4,5}, 集合 A={x|x2-3x+2=0}, B={x|x=2a, a∈A}, 则集合?U(A∪B)=________. 6.如图所示,U 是全集,A,B 是 U 的子集,则阴影部分所表示的集合是________. 7.已知全集 U={x|0≤x<10,x∈N},A∪B=U,A∩(?UB)={1,3,5,7,9},则集合 B=________. 8.集合 M={x|-2≤x<1},N={x|x≤a},若? M∩N),则实数 a 的取值范围为________. 9.设集合 M={-1,0,1},N={a,a2},则使 M∪N=M 成立的 a 的值是________. 10.对于集合 A,B,定义 A-B={x|x∈A,且 x/∈B},A⊕B=(A-B)∪(B-A).设 M={1,2,3,4,5,6},N={4,5,6,7,8,9,10}, 则 M⊕N 中元素的个数为________. 6 南京清江花苑严老师

11.已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},且 B≠?,若 A∪B=A,则 m 的取值范围________. 12.已知非空集合 A={(x,y)|(a2-1)x+(a-1)y=15},B={(x,y)|y=(5-3a)x-2a}.若 A∩B=?,则 a=_______. 13.已知集合 M 是方程 x2+px+q=0(p2-4q≠0)的解集,A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10},若 M∩A=?,且 M∪B=B,试求 p、q 的值. . 14.已知全集 U={不大于 5 的自然数},A={0,1},B={x|x∈A,且 x<1},C={x|x-1 A,且 x∈U}.(1)求?UB,?UC;(2) 若 D={x|x∈A},说明 A、B、D 的关系.

15.设集合 A={a2,2a-1,-4},B={a-5,1-a,9}.(1)若{9}=A∩B,求实数 a 的值;(2)若 9∈(A∩B),求实数 a 的值. . 16 设全集 U=R,集合 A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}. (1)求 实数 a 的取值范围. (A∩B); (2)若集合 C={x|2x+a>0},满足 B∪C=C,求

17.设 A={x∈R|ax? +2x+1=0,a∈R}.(1)当 A 中元素个数为 1 时, 求 a 和 A; (2)当 A 中元素个数至少为 1 时, 求 a 的取值范围; 3)求 A 中各元素之和. 18. 已知 A={(x,y)|y=ax+b},B={(x,y)|y=3x? +15},C={(x,y)|x? +y?≤144},问是否存在 a,b∈R 使得下列两个命题同时成立: (1) A∩B ?

? ;(2)(a,b)∈C.

19(1)已知集合 A、B 满足 A∪B={1,2},则满足条件的集合 A、B 有多少对?请一一写出来. (2)若 A∪B={1,2,3}, 则满足条件的集合 A、 B 有多少对?

20 已知 A={ a1 , a2 , a3 , a4 , a5 } , B={ a1 , a2 , a3 , a4 , a5 } ,其中 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ∈Z , a1 A∩B={ a1 , a4 },

2

2

2

2

2

? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ,且

a1 ? a4 =10,又 A∪B 的元素之和为 224,求:(1) a1 , a4 ;(2) a5 ;(3)A..
.

21 设

A ? {x | x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0} , B ? {x | x 2 ? 5 x ? 6 ? 0} ,C ? {x | x 2 ? 2 x ? 8 ? 0} .(1)A
,且 A = ? ,求 a 的值;(3) A =A

=A

,求

a 的值;(2) ? ? ? A

? ? ,求 a 的值.

22.若 A={2,4,a3-2a2-a+7},B= a 的值.

?a -3a-8?,a -2a+2,a +a +3a+7},且 A∩B={2,5},求实数 {1,a+1,-1 2
2 2 3 2

23. 已知集合 A={x|x2-2x-8=0},B={x|x2+ax+a2-12=0},当 B?A 时,求 a 的取值集合.

24.由集合 A={x|1<ax<2},B={x|-1<x<1},求满足 A?B 的实数 a 的取值范围. 7 南京清江花苑严老师

25.说明下列集合的区别: (1)A={(x,y)|y=x2+1,x∈R};(2)B={y|y=x2+1,x∈R};(3)C={x|y=x2+1,x∈R};(4)D ={x|x?M},其中 M={0,1}.

26.已知全集 I={1,2,3,4,5,6,7},且满足 A∩(?IB)={1,3},B∩(?IA)={4,5},A∩B={2},求集合 A、B.

27.已知集合 A={x|ax2+2x+1=0},B={x|2x2-x-1=0},若 A∩B=A,求满足条件的实数 a 的取值集合.

附:解析与答案 (一)
1.用列举法表示下列集合. (1)x2-4 的一次因式组成的集合; (2){y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N}; (3)方程 x2+6x+ 9=0 的解集; (4){20 以内的质数}. 【解】 (1)∵x2-4=(x-2)(x+2),∴符合题意的集合为{x-2,x+2}.(2)y=-x2- 2x+3=-(x+1)2+4,即 y≤4,又 y∈N,∴y=0,1,2,3,4.故{y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N}={0,1,2,3,4}.(3)由 x2+6x +9=0,得 x1=x2=-3,∴方程 x2+6x+9=0 的解集为{-3}.(4){20 以内的质数}={2,3,5,7,11,13,17,19}. 2.用描述法表示下列集合.(1)方程 2x+y=5 的解集; (2)小于 10 的所有非负整数的集合; (3)坐标平面内,两坐 标轴上点的集合;(4)二次函数 y=ax2+bx+c 图象上所有点的集合. 【解】 y)|y=ax2+bx+c,x∈R 且 a≠0}. 3. 用描述法表示下列集合.(1)方程 x2-1=0 的解集;(2)坐标平面内,第二象限内的点的集合;(3)大于 4 的全体奇数构成 的集合. 解:(1){x|x2-1=0}或{x|x=1 或 x=-1}.(2){(x,y)|x<0,y>0}.(3){x|x=2k+1,k≥2 且 k∈N}. 4.已知集合 A={x|ax2+2x+1=0,a∈R},(1)若 A 中只有一个元素,求 a 的值;(2)若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值 范围. 1 【解】(1)当 a=0 时,原方程变为 2x+1=0,此时 x=- ,当 a≠0 时,由 Δ=0,得 a=1,此时 x=-1.所以若 A 中只有一 2 个元素,则 a 的值为 0 或 1.(2)当 a≠0 时,A 中至多含有一个元素,即方程 ax2+2x+1=0 有两个相等的实数根或没有实数 根.由 Δ=4-4a≤0,得 a≥1.结合(1)可知,当 a=0 或 a≥1 时,A 中至多有一个元素. 5. 已知集合 A={x|ax2-3x+2=0,a∈R},若 A 中元素至多只有一个,求 a 的取值范围. 2 解:①当 a=0 时,原方程变为-3x+2=0,解得 x= ,符合题意.②当 a≠0 时,方程 ax2-3x+2=0 为一元二次方程,Δ 3 9 9 =9-8a≤0,a≥ .∴当 a≥ 时,方程 ax2-3x+2=0 无实数根或有两个相等的实数根,均符合题意,综合①②知,a=0 或 8 8 9 a≥ . 8 6.设由 2,4,6 构成的集合为 A,若实数 a 满足 a∈A 时,6-a∈A,则 a=__________.6.2 或 4 时,6-a=4∈A,适合题意;当 a=4 时,6-a=2∈A,也适合题意;当 a=6 时,6-6= 4. ?x=1, ?x=1, 7.已知 A={2,x},B={xy,1},若 A=B,则 x+y=________.7.3 由集合相等的概念有? 解得? ∴x+y ?xy=2, ?y=2, =3. 8.下列叙述中,正确的个数是__________.①1 是集合 N 中最小的数 ②若- 的最小值为 2 1 但 a= 3 ④方程 x2-4x=-4 的解集是{2,2} 8. 0 N,则 a∈N ③若 a∈N*,b∈N,则 a+b N, ∵A={2,4,6},∴当 a=2 ,不合题意.∴a 的值为 2 或 (1)方程 2x+y=5 的解集用描述法表示为{(x,

y)|2x+y=5}. (2)小于 10 的所有非负整数的集合用描述法表示为{x|0≤x<10, x∈Z}. (3){(x, y)|xy=0, x∈R, y∈R}. (4){(x,

1 1 N 中的最小数为 0, 故①错误; ②可举反例: a= , 则-a=- 3 3

N,故②不正确;③可取 a=1,b=0,则 a+b=1,其最小值不为 2,故③错;④方程的解集应为{2},故④错.所 8

南京清江花苑严老师

以正确个数为 0. 9.(1)“被 3 除余 1 的数”组成的集合用描述法可表示为__________.(2)集合 A={(x,y)|x+y=5,x∈N,y∈N},则用列 举法表示为 A=__________. 9.(1){x|x=3n+1,且 n∈Z}(2){(0,5),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,0)} 10.用适当的方法表示下列集合.(1)中国古代四大发明的集合;(2)直角坐标平面内第二象限的点集;(3)由大于 0 小于 2 的 实数组成的集合;(4)绝对值等于 1 的实数的集合;(5)方程 x(x2+2x-3)=0 的解集;(6)不等式 x2+2≤0 的解集.解:(1)中 国古代四大发明的集合可用列举法表示为 {指南针,造纸术,火药,印刷术}.(2)在平面直角坐标系内第二象限的点构成的 集合用描述法可表示为{(x,y)|x<0,且 y>0}.(3)由大于 0 且小于 2 的实数组成的集合用描述法可表示为{x|0<x<2}.(4)绝对 值等于 1 的实数的集合用描述法可表示为{x||x|=1},用列举法可表示为{-1,1}.(5)方程 x(x2+2x-3)=0 的解集用描述法可 表示为{x|x(x2+2x-3)=0},用列举法可表示为{-3,0,1}.(6)不等式 x2+2≤0 的解集为 11.求不等式 4(x+1)-3(x-1)>9 的解集.解:由 4(x+1)-3(x-1)>9,可得 x>2, 12.(易错题)已知集合 A={x|kx2-3x+2=0}.(1)若 A= 集合 A. 解:(1)A= 2 ,即方程 kx2-3x+2=0 无解;若 k=0,方程有一根 x= ,不合题意;若 k≠0,方程 kx2-3x+2=0 为一元 3 9 2 的 k 的取值范围是 k> .(2)当 k=0 时,由(1)知 A={ },符 8 3 列举法). 所以原不等式的解集为{x|x>2}.

,求实数 k 的取值范围;(2)若 A 中只有一个元素,求 k 的值及

9 二次方程,当 Δ=9-8k<0,即 k> 时,方程无解;故使 A= 8

9 9 合题意,当 k≠0 时,若 A 中只有一个元素,需使方程有两个相等的实数根,即 Δ=9-8k=0,∴k= ,此时方程为 x2-3x 8 8 4 4 2 9 4 +2=0,解得 x= ,即 A={ }.综上所述,当 k=0 时,A={ };当 k= 时,A={ }. 3 3 3 8 3 13 .下列关系式中,正确的序号是 __________ .①a∈{a , b} ②0∈ ③{x|x2≤0} = ④{x|x2 + 2x + 5 = 0} =

13.①④ 14.由 a2,2-a,4 组成一个集合 A,A 中含有 3 个元素,则实数 a 一定不 等于__________.14.-2,2,1 若 a2=2-a,则可得 . a=-2, 或 a=1, 此时 A 中含有 1 个或 2 个元素, 不合题意; 若 a2=4, 则得到 a=± 2, 当 a=-2 时, A={4}含一个元素. 当 a=2 时,A={0,4}只含 2 个元素,不合题意;若 2-a=4,则得 a=-2,不合题意.∴a≠-2,2,1. 15.集合{x|x-2<3,且 x∈N*}用另一种表示方法应是__________.15.{1,2,3,4} x y z |xyz| 16.已知 x、y、z 为非零实数,代数式 + + + 的值所组成的集合是 M,则 M=________.16.{-4,0,4} 分四种情 |x| |y| |z| xyz 况讨论:x,y,z 中三个都为正,代数式的值为 4;x,y,z 中两个为正,一个为负,代数式值为 0;x,y,z 中一个为正, 两个为负,代数式值为 0;x,y,z 都为负数时代数式值为-4.∴M={-4,0,4}. y 17.设三元素集 A={x, ,1},B={|x|,x+y,0},其中 x,y 为确定常数且 A=B,则 x2 009-y2 009 的值等于 x y y _______.17.-1 由题意,知{x, ,1}={|x|,x+y,0}.∵x≠0,∴ =0,即 y=0.又∵x≠1,且|x|=1, x x ∴x=-1.∴x2 009-y2 009=(-1)2 009-02 009=-1. 18.下列结论中,正确的个数是__________.①若以集合 S={a,b,c}中三个元素为边可构成一个三角 形,则该三角形一定不是等腰三角形
2

②满足 1+x>x 的实数 x 组成一个集合

③方程 x-2+|y+2|=0 的解集为{2,-2}

④方程(x-1) (x+5)(x-3)=0 的解集中含有 3 个元素 集合是无限集

⑤今天正午 12 时生活在地球上的所有人构成的

18.3 由集合中元素的互异性知①正确;由 1+x>x 知 x 为全体实数,故能构成实数

集 R,②正确;③中 x=2,y=-2 应同时成立,解集表示不正确;④中方程有一个重根 x=1,在集合 中只算一个元素,故④正确;⑤中构成的集合为有限集,故⑤错误. 19 .用描述法表示图中阴影部分的点 (包括边界上的点)的坐标的集合是 ____________ .19. {(x,y)|- 2≤x≤0,且-2≤y≤0} 20.(易错题)已知 A={a-2,2a2+5a,6},且-3∈A,求实数 a 的值.20.解:∵-3∈A,∴a-2=-3 或 2a2+5a=-3.解 9 南京清江花苑严老师

3 3 7 得 a=-1 或 a=- .当 a=-1 时,a-2=-3,2a2+5a=-3 与集合中元素的互异性矛盾,舍去;当 a=- 时,a-2=- , 2 2 2 7 3 2a2+5a=-3.此时 A={- ,-3,6},适合题意.∴a=- . 2 2 21.已知 M={2,a,b},N={2a,2,b2},且 M=N,求实数

a 与 b 的值.

1 ? 2 ?a=4, ?a=2a, ?a=b , ?a=0, ?a=0, 解:∵M=N,∴? 或? 解得? 或? 或? 2 1 ?b=b ?b=2a. ?b=1 ?b=0 ? ?b=2.

代入检验得所求 a、b 之

1 ? ?a=4, ?a=0, 值为? 或? 1 ?b=1 ? ?b=2. 22.(易错题)观察下面三个集合,回答下面问题:①{x|y=x2+1};②{y|y=x2+1};③{(x,y)|y=x2+1}.(1)它们是不是相 同的集合?(2)它们各自的含义是什么?解:(1)不是相同的集合.(2)集合①是函数 y=x2+1 的自变量 x 所允许取到的值组成 的集合,因为 x 可以取任意实数,所以{x|y=x2+1}=R;集合②是函数 y=x2+1 的所有函数值 y 所允许取到的值组成的集 合, 由二次函数图象, 知 y≥1, 所以{y|y=x2+1}={y|y≥1}; 集合③是函数 y=x2+1 图象上的所有点的坐标组成的集合. 如 图所示. 23.设 S 是由满足下列条件的实数所构成的集合:①1 1 S;②若 a∈S,则 ∈S.请解答下列问题:(1)若 2∈S,则 S 中 1-a

1 必有另外两个数,求出这两个数;(2)求证:若 a∈S,则 1- ∈S;(3)在集合 S 中元素能否只有一个?请说明理由.(1)解: a ∵2∈S,2≠1,∴ 1 1 1 1 1 1 1 =-1∈S.∵-1∈S,-1≠1,∴ = ∈S.∵ ∈S, ≠1,∴ =2∈S.∴-1, ∈S,即集 1-2 1-?-1? 2 2 2 1 2 1- 2 1 1 =1- ∈S(a≠0,若 a=0,则 =1∈S,不合 1 a 1-a 1- 1-a 1

1 1 合 S 中另外两个数分别为-1 和 .(2)证明:∵a∈S,∴ ∈S.∴ 2 1-a

1 2 题意).(3)解:集合 S 中的元素,不能只有一个.理由:假设集合 S 中只有一个元素,则根据题意知 a= ,即 a -a+1 1-a =0.此方程无实数解.∴a≠ 1 .因此集合 S 不能只有一个元素. 1-a

24. 由下列对象组成的集体属于集合的是________. ①不超过 π 的正整数; ②高一数学课本中所有的难题; ③中国的大城市; ④平方后等于自身的数;⑤某校高一(2)班中考成绩在 500 分以上的学生.解析:②③中的元素没有明确的标准,即不具备 确定性.答案:①④⑤ 1 25. 用符号“∈”或“? ”填空. (1)0________N, 5________N, 16________N; (2)- ________Q, π________Q; (3) 2- 3 2 + 2+ 3________{x|x=a+ 6b, a∈Q, b∈Q}. 解析: 0 是自然数, 5是无理数, 不是自然数, 16=4 是自然数. ( 2- 3 + 2+ 3)2=6, ∴ 2- 3+ 2+ 3= 6,令 a=0,b=1,故 6在集合中.答案:(1)∈ ? ∈ (2)∈ ? (3)∈ ?x+y=3 ?x+y=3 ?x=2 26.方程组? 的解集用集合表示为________.解析:由方程组? ,解得? .答案:{(2,1)} ?x-y=1 ?x-y=1 ?y=1 27.集合{1,3,5,7,9}用描述法表示是____________.解析:1,3,5,7,9 是不大于 9 的非负奇数.答案:{x|x=2k-1,1≤k≤5,k ∈Z}或{x|x 是不大于 9 的非负奇数} 28.下面有四个命题:①集合 N 中最小的数是 1;②若-a 不属于 N,则 a 属于 N;③若 a∈N,b∈N,则 a+b 的最小值为 2;④x2+1=2x 的解集可以表示为{1,1}.其中正确命题的个数为________.解析:①集合 N 中最小的数应该是 0;②反例: -0.5/∈N,但 0.5? N;③当 a=0,b=1 时,a+b=1;④由元素的互异性知④错.答案:0 29.集合 A={x2,3x+2,5y3-x},B={周长等于 20 cm 的三角形},C={x|x-3 <2,x∈R},D={(x,y)|y=x2-x-1},其中 用描述法表示集合的有________.解析:集合 A 是用列举法描述的.答案:B、C、D 30.已知集合 A 中含有三个元素 2,4,6,且当 a∈A 时,有 6-a∈A,那么 a 为________.解析:若 a=2,则 6-2=4∈A; 10 南京清江花苑严老师

若 a=4,6-4=2∈A;若 a=6,则 6-6=0? A.答案:2 或 4 31. 设 P、 Q 是两个非空集合, 定义 P*Q={ab|a∈P, b∈Q}, 若 P={0,1,2}, Q={1,2,3}, 则 P*Q 中元素的个数是________. 解 析:若 a=0,则 ab=0;若 a=1,则 ab=1,2,3;若 a=2,则 ab=2,4,6.故 P*Q={0,1,2,3,4,6}.答案:6 32.已知集合 M={x|x=7n+1,n∈N},则 2010________M,2011________M.(填∈或?).解析:令 7n+1=2010,解得 n= 1 287∈N,∴2010∈M.令 7n+1=2011,解得 n=287 ? N,∴2011/∈M.答案:∈ ? 7 x y xy 33.已知 x,y 为非零实数,则集合 M={m|m= + + }为________.解析:当 x>0,y>0 时,m=1+1+1=3,x>0,y<0 |x| |y| |xy| 时,m=1-1-1=-1,x<0,y<0 时,m=-1-1+1=-1,x<0,y>0 时,m=-1+1-1=-1.故 M={-1,3}.答案:{- 1,3} 34.已知集合 A={(x,y)|y=2x+1},B={(x,y)|y=x+3},若 a∈A,a∈B,则 a 的值为________.解析:由题意知,a∈A, ?y=2x+1 ?x=2 a∈B,所以 a 是方程组? 的解,解得? .答案:(2,5) ?y=x+3 ?y=5 35.已知集合 A={0,2,3},定义集合运算 A※A={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则 A※A=________.解析:∵A={0,2,3},a∈A, b∈A, ?a=0 ?a=0 ?a=0 ?a=2 ?a=2 ?a=2 ?a=3 ?a=3 ?a=3 ? ,? ,? ,? ,? ,? ,? ,? , ? .则 a+b 的情况有 0,2,3,4,5,6.答 ?b=0 ?b=2 ?b=3 ?b=0 ?b=2 ?b=3 ?b=0 ?b=2 ?b=3 案:{0,2,3,4,5,6} 36.用适当的方法表示下列集合,并指出它是有限集还是无限集.(1)由所有小于 10 的既是奇数又是质数的自然数组成的集 合;(2)由平面直角坐标系中所有第三象限内的点组成的集合;(3)由方程 x2+x+1=0 的实数根组成的集合;(4)由所有周长 等于 10 cm 的三角形组成的集合. 解: (1)满足条件的数为 3,5,7, 所以所求集合为 B={3,5,7}. 集合 B 是有限集. (2)所求集合可表示为 C={(x, y)|x<0 且 y<0}. 集 合 C 是无限集. (3)因为方程 x2+x+1=0 的判别式 Δ<0,故无实根,所以由方程 x2+x+1=0 的实数根组成的集合是空集.(4)由所有周长等 于 10 cm 的三角形组成的集合可表示为 P={x|x 是周长等于 10 cm 的三角形}.P 为无限集. 12 12 37. 已知集合 A={x| ∈N, x∈N}, 试用列举法表示集合 A.解: ∵ ∈N(x∈N), ∴6-x=1,2,3,4,6(x∈N), 即 x=5,4,3,2,0. 6-x 6- x 故 A={0,2,3,4,5}. 2 39.已知集合 A={a-3,2a-1,a +1},a∈R.(1)若-3∈A,求实数 a 的值;(2)当 a 为何值时,集合 A 的表示不正确.解: (1)由题意知,A 中的任意一个元素都有等于-3 的可能,所以需要讨论.当 a-3=-3 时,a=0,集合 A={-3,-1,1}, 2 满足题意;当 2a-1=-3 时,a=-1,集合 A={-4,-3,2},满足题意;当 a +1=-3 时,a 无解.综上所述,a=0 或 a=-1.(2)若元素不互异,则集合 A 的表示不正确.若 a-3=2a-1,则 a=-2;若 a-3=a2+1,则方程无解;若 2a-1 2 =a +1,则方程无解.综上所述,a=-2.

(二)
1. 写出满足条件? M {0,1,2}的所有集合 M 【解】 ∵? M {0,1,2},∴M 为{0,1,2}的非空真子集,M 中的元素个数为 1 或 2.当 M 中只有 1 个元素时,可以是{0}, {1},{2};当 M 中含有 2 个元素时,可以是{0,1},{0,2},{1,2}.∴所求集合 M 为{0},{1},{2},{0,1},{0,2}{1,2}. 2.上例改为写出满足条件{0} M?{0,1,2}的集合 M. 解:由已知得集合 M 必含有元素 0,且至少有一个不同于 0 的元素,故符合条件的集合 M 有:{0,1},{0,2},{0,1,2}. 3.已知集合 A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2},若 A=B,求实数 c 的值. 【解】 a≠ac, ? ? 2 由 B={a, ac, ac }, 集合中的元素满足互异性, 则?a≠ac ? ?ac≠ac2
2

?a+b=ac, , 故 c≠0, 且 c≠± 1, 且 a≠0.∵A=B, ∴(1)? 2 ?a+2b=ac ,

2 ?a+b=ac , 或(2)? ?a+2b=ac.

1 1 由(1),得 a=0(舍去),或 c=1(舍去).由(2),得 c=- ,或 c=1(舍去).所以,c=- . 2 2

4.已知集合 A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1≤x≤m+1},且 B?A.求实数 m 的取值范围. -3≤2m-1. ? ? 解由 B?A,得(1)当 B=?时,m+1<2m-1,解得 m>2;(2)当 B≠?时,有?m+1≤4, ?m+1≥2m-1, ? 解得-1≤m≤2.综上得 m 的

取值范围为 m≥-1. 5. 设 A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若 B?A,求实数 a 组成的集合,并写出它的所有子集. 1 1 1 1 解:A={3,5},因为 B?A,所以(1)若 B=?,则 a=0;(2)若 B≠?,则 a≠0,这时有 =3 或 =5.即 a= 或 a= .综上所述, a a 3 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 由实数 a 组成的集合为{0, , }.其所有的子集为?,{0},{ },{ },{0, },{0, },{ , },{0, , },共 8 个. 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 11 南京清江花苑严老师

6.已知集合 A ,且 A 中至多有 1 个奇数,则这样的集合共有________个.解析:(1)若 A 中有且只有 1 个奇数,则 A={2,3}或{2,7}或{3}或{7};(2)若 A 中没有奇数,则 A={2}或?.答案:6 2 2 ?y=y , ?x=y , 7.设集合 A={2,x,y},B={2x,y2,2},且 A=B,则 x+y 的值为________.解析:因为 A=B,所以? 或? ?x=2x, ?y=2x, 1 ? ?x=4, ?x=0, ?x=0, ?x=0, 解得? 或? 或? 经检验,当? 时,A={2,0,0}与集合中元素互异性矛盾,舍去,其余符合题 1 ?y=0, ?y=1, ?y=0, y= . ? ? 2 3 3 意.所以 x+y=1 或 .答案:1 或 4 4 8.已知非空集合 P 满足:①P?{1,2,3,4,5},②若 a∈P,则 6-a∈P,符合上述条件的集合 P 的个数是________.解析:由 a∈P,6-a∈P,且 P?{1,2,3,4,5}可知,P 中元素在取值方面应满足的条件是 1,5 同时选;2,4 同时选;3 单独选,可一一列出 满足条件的全部集合 P 为{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,5,2,4},{1,2,3,4,5}共 7 个.答案:7 9.集合 M={x|x=6-2n,n∈N+,x∈N}的子集有________个.解析:令 x≥0,得 6-2n≥0,∴n≤3,又 n∈N+,解得 n =1,2,3,∴x=4,2,0. ∴集合 M={x|x=6-2n,n∈N+,x∈N}={4,2,0}的子集有 23=8 个.答案:8 10.已知集合 A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合 A 有且仅有 2 个子集,则实数 a 的取值是________.解析:∵集合 A 有且仅有 2 个子集,∴A 仅有一个元素,即方程 ax2+2x+a=0(a∈R)仅有一个根.当 a=0 时,方程化为 2x=0,此时 A= {0},符合题意.当 a≠0 时,由 Δ=22-4· a· a=0,即 a2=1,得 a=± 1.此时 A={-1},或 A={1},符合题意.故 a=0,或 a= ± 1.答案:0 或± 1 11. 已知集合 A={x|0<x<2, x∈Z}, B={x|x2+4x+4=0}, C={x|ax2+bx+c=0}, 若 A?C, B?C, 则 a∶b∶c 等于________. 解 b 2 析:由于 A={1},B={-2},C={x|ax +bx+c=0},若 A?C,B?C,则 C={1,-2}.由根与系数的关系得,- =-1, a c =-2.∴a∶b∶c=1∶1∶(-2).答案:1∶1∶(-2) a 12.已知集合 A={-1,2},B={x|x2-2ax+b=0},若 B≠?,且 B A,则实数 a,b 的值分别是________.解析:∵A={- 2 ?Δ=?2a? -4b=0, ?a=-1, 1,2},B≠?,且 B A,∴B={-1},或 B={2}.当 B={-1}时,有? 解得? 当 B={2} 2 ?-1?+b=0, ??-1? -2a· ?b=1.
2 ?Δ=?2a? -4b=0, ?a=2, 时,有? 2 解得? ?2 -2a×2+b=0, ?b=4. 综上所述,a=-1,b=1;或 a=2,b=4.答案:a=-1,b=1 或 a=2,b=4 1 n 1 p 1 13.已知集合 M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= - ,n∈Z},P={x|x= + ,p∈Z}.试确定 M,N,P 之间满足的关 6 2 3 2 6 1 1 系.解:集合 M={x|x=m+ ,m∈Z}.关于集合 N:①当 n 是偶数时,令 n=2m(m∈Z).N={x|x=m- ,m∈Z}.②当 n 6 3 2m+1 1 1 是奇数时,令 n=2m+1(m∈Z).N={x|x= - ,m∈Z}={x|x=m+ ,m∈Z}.从而,得 M N.关于集合 P:①当 p 2 3 6 2m-1 1 1 1 =2m(m∈Z)时,P={x|x=m+ ,m∈Z}.②当 p=2m-1(m∈Z)时,P={x|x= + ,m∈Z}={x|x=m- ,m∈Z}.从 6 2 6 3 而,得 N=P.总之,M N=P. 14.集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.(1)若 B?A,求实数 m 的取值范围;(2)当 x∈Z 时,求 A 的非空真 子集个数;(3)当 x∈R 时,不存在元素 x,使 x∈A 与 x∈B 同时成立,求实数 m 的取值范围.解:(1)当 m+1>2m-1,即 ?m+1≥-2, m<2 时, B=?, 满足 B?A.当 m+1≤2m-1, 即 m≥2 时, 要使 B?A 成立, 需? 可得 2≤m≤3.综上所述, m≤3 ?2m-1≤5,

时有 B?A.(2)当 x∈Z 时, A={-2, -1,0,1,2,3,4,5}. ∴A 的非空真子集个数为: 28-2=254.(3)∵x∈R, 且 A={x|-2≤x≤5}. B ={x|m+1≤x≤2m-1}, 又不存在元素 x, 使 x∈A 与 x∈B 同时成立. 则①若 B=?, 即 m+1>2m-1, 得 m<2 时满足条件. ② ?m+1≤2m-1, ?m+1≤2m-1, 若 B≠?,则要满足的条件有:? 或? 解之得 m>4.综上,当 m<2 或 m>4 时满足条件. ?m+1>5, ?2m-1<-2, 15.已知集合 A={1,3,-x3},B={x+2,1},是否存在实数 x,使得 B 是 A 的子集?若存在,求出集合 A,B;若不存在, 请说明理由. 解:因为 B 是 A 的子集,所以 B?A,B 的元素必是 A 的元素.(1)若 x+2=3,则 x=1,符合题意;(2)若 x+2=-x3,x3+ x+2=0,则 x3+1+x+1=0,(x+1)(x2-x+1)+(x+1)=0,即(x+1)(x2-x+2)=0.因为 x2-x+2≠0,所以 x+1=0,x=- 1.此时 x+2=1,B 中元素不满足互异性, 所以不符合题设.综上所述,当 x=1 时,A={1,3,-1},B={1,3}. 16.已知集合 A={x∈R|x<5-

2 },B={1,2,3,4},则( ? RA)∩B=

{4}

17..有限集合 S 中元素的个数记作 card(S) 。设 A、B 都为有限集合,给出下列命题: 南京清江花苑严老师

①A ? B= ? 的充要条件是 card 12

(A ? B)=cad(A)+cad(B) ;②A ? B 的必要条件是 cad(A) ? card(B) ;③A ④A=B 的充要条件是 cad(A)=card(B).其中真 命题的序号是 ①② .

B 的充分条件是 cad(A) ? card(B) ;

18.已知集合 A={0,1} ,B={x|x∈A,x∈N*} ,C={x|x ? A} ,则 A、B、C 之间的关系是___________________. B A, A∈C,B∈C; 19.设集合 A ? {1, 2,3} ,则满足 20.已知 M={ m |

A ? B ? {1, 2,3, 4,5} 的集合 B 的个数是

8

21.非空集合 G 关于运算 ? 满足: (1)对任意 a, b ? G ,都有 a ? b ? G ; (2)存在 e ? G ,使得对一切 a ? G ,都有

m?4 x?3 ? Z },N={x| ? N} ,则 M∩N=__________。Φ 2 2

a?e ? e?a ? a, 则称 G 关于运算 ? 为 “融洽集” ; 现给出下列集合和运算: ① G ? ?非负整数? , ?为整数的加法



G ? ?二次三项式?, ?为多项式的加法 其中 G 关于运算 ? 为“融洽集”__________;(写出所有“融洽集”的序号)
①③ 22.已知 验) 解:由已知: a ? 3 ? ?3 或 3a ? 1 ? ?3 ? (温馨提示:注意回代检 A ? {a2 , a ? 1, ?3} , B ? {a ? 3,3a ?1, a2 ? 1} 若 A B ? {?3} ,求实数 a 的值。

G ? ?偶数? , ?为整数的乘法



G ? ?平面向量?, ?为平面向量的加法



2 检验: 当a ? 0时A ? {0,1,?3} B ? {?3,?1,1} A ? B ? {?3,1} 3 2 2 4 1 11 当a ? ? 时A ? { , , ?3} B ? {? , ?3,1} A B ? {?3} ? a ? ? 3 3 9 3 3 a ? 0或a ? ?
2 2
2

23..已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={x|x -mx+2=0},且 A∩B=B,求实数 m 范围。解:A={1,2},A∩B=B ? B ? A 根据集合 B

中 元 素 个 数 分 类 :B=φ , B={1} 或 {2} , B={1 , 2} 当 B=φ 时 , △=m -8<0

? 2 2 ? m ? 2 2 当 B={1} 或 {2} 时 ,


?? ? 0 ?1 ? 2 ? m , m 无解当 B={1, 2}时,? ? ?1 ? 2 ? 2 ?1 ? m ? 2 ? 0或4 ? 2m ? 2 ? 0
24.设 M

解得 m=3 综上所述, m=3 或 ? 2 2 ? m ? 2 2

? {x x 2 ? 2x ? 3 ? 0} N ? {x ax ? 1 ? 0} ,若 M
M

N ?M

,求所有满足条件的 a 的集合。特别提醒:

莫忘 N=φ 解:M={-1,3}

N ? M ? N ? M ①当 N ? ? ,即 ax-1=0 无解时,a=0 当N ? ? 时, x ?

1 a



1 1 1 1 ? ?1或 ? 3 得 a ? ?1或a ? 综①②得:所求集合为{-1,0, } a a 3 3
25. 记函数

f ( x) ? 2 ?

x?3 x ?1

g ( x) 的定义域为 A,

? lg[(x ? a ? 1)(2a ? x)](a ? 1) 的定义域为 B( 。1) 求 A;


(2)

若B

? A ,求实数 a 的取值范围。 【解】(1)2-

x?3 ≥0, x ?1

x ?1 ≥0, x<-1 或 x≥1 x ?1

即 A=(-∞,-1)∪[1,+ ∞)(2) 由(x

-a-1)(2a-x)>0, 得(x-a-1)(x-2a)<0.∵a<1, ∴a+1>2a, a≤-2, 而 a <1,∴

∴B=(2a,a+1).∵B ? A, ∴2 a≥1 或 a +1≤-1, 即 a≥

1 2



1 2

≤a <1 或 a≤-2, 故当 B ? A 时, 实数 a 的取值范围是 (-∞,-2)∪[

1 2

,1]

(三)
1.设全集 U=R,集合 A={x|x≥-3},B={x|2-x<0}.(1)求?UA,?UB;(2)判断?UA 与?UB 的关系. 【解】 (1)?UA=?RA={x|x<-3},∵B={x|x>2},∴?UB={x|x≤2}.(2)由(1)知,?UA ?UB,即?UA 是?UB 的真子集. 2.上例中若 A={x|-3≤x<0},B={x|2-x<0 或 x<1},则结果如何? :(1)?UA=?RA={x|x<-3 或 x≥0}.∵B={x|2-x<0 或 x<1},∴?UB={x|1≤x≤2}.(2)由(1)知?UB ?UA,即?UB 是? UA 的真子集. 3.设全集 U={1,2,x2-2},A={1,x},求?UA. 【解】 由条件知 A U,∴x∈{2,x2-2}.∵x≠1,∴x=2 或 x=x2-2.若 x=2,则 x2-2=2,此时 U={1,2,2},这与 集合中元素的互异性矛盾,舍去.若 x=x2-2,得 x2-x-2=0,解得 x=-1 或 x=2(舍去).此时 U={1,2,-1},A={1, -1}.∴?UA={2}. 13 南京清江花苑严老师

4.

设全集 U=R,M={x|3a<x<2a+5},P={x|-2≤x≤1}.若 M

?UP,求实数 a 的取值范围. 【解】 ∵?UP={x|x<

-2 或 x>1},

? ? ?3a<2a+5, ?3a<2a+5, ? ?UP, ∴分 M=?, M≠?两种情况进行讨论: ①当 M≠?时, 或? ? ? ?2a+5≤-2, ?3a≥1,

7 1 ∴a≤- 或 ≤a<5. 2 3
5.已知全集 U,M、N 是 U 的非空子集,若?UM?N,则下列关系正确的是________.①M??UN ②M ?UN③?UM =?UN ④M=N 解析:结合 Venn 图判断,易知①正确.答案:① 6.设全集 U 和集合 A、B、P,满足 A=?UB,B=?UP,则 A________P(填“ ”、“ ”或“=”). 解析:由 B=?UP,得?UB=?U(?UP)=P.又∵A=?UB,∴A=P.答案:= 7.设全集 U=R,A={x|a≤x≤b},?UA={x|x>4 或 x<3},则 a=________,b=________.答案:3 4 8.给出下列命题:①?UA={x|x/∈A};②?U?=U;③若 S={三角形},A={钝角三角形},则?SA={锐角三角形};④若 U= {1,2,3},A={2,3,4},则?UA={1}.其中正确命题的序号是________.解析:①应为?UA={x|x∈U,且 x/∈A};②正确;③ 应为?SA={锐角三角形或直角三角形};④∵A U,∴?UA 无意义.答案:② 9.已知全集 U={x|-2011≤x≤2011},A={x|0<x<a},若?UA≠U,则实数 a 的取值范围是________. 解析:∵?UA≠U,∴A≠?,又 U={x|-2011≤x≤2011},∴0<a≤2011.答案:0<a≤2011 10.设 U 为全集,且 M U,N U,N?M,则①?UM??UN;②M??UN;③?UM??UN;④M?? UN.其中不正确的是________(填序号). 解析:作出 Venn 图(如图)可知,只有③正确.答案:① ②④ 11.设全集 U={1,3,5,7,9},A={1,|a-5|,9},?UA={5,7},则 a 的值为________. 解析:∵U={1,3,5,7,9},?UA={5,7}.∴A={1,3,9}.∴|a-5|=3.∴a=8 或 a=2.答案:8 或 2 12.设全集 U={2,4,1-a},A={2,a2-a+2}.若?UA={-1},则 a=______. 解析:由?UA={-1},知 1-a=-1,∴a=2.当 a=2 时,A={2,4},符合题意.答案:2 13.已知全集 U,集合 A={1,3,5,7,9},?UA={2,4,6,8},?UB={1,4,6,8,9},求集合 B. 解:借助 Venn 图,如图所示,得 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.∵?UB={1,4,6,8,9},∴B={2,3,5,7}. 14.设全集 I={2,3,x2+2x-3},A={5},?IA={2,y},求 x,y 的值. 解:∵A?I,∴5∈I,∴x2+2x-3=5,即 x2+2x-8=0,解得 x=-4 或 x=2.∴I={2,3,5},∵y∈?IA,∴y∈I,且 y?A,即 y≠5,∴y=2 或 y=3,又知?IA 中元素的互异性知:y≠2.综上知:x=-4 或 x=2;y=3 为所求. 1 15.已知全集 U=R,集合 A={x|0<ax+1≤5},集合 B={x|x≤- 或 x>2}.(1)若 A??UB,求实数 a 的取值范围;(2)集合 A、 2 1 1 ?UB 能否相等?若能,求出 a 的值;否则,请说明理由. 解:(1)∵B={x|x≤- 或 x>2},∴?UB={x|- <x≤2}.当 a=0 2 2 4 1 ? >- , ? a 2 4 1 时, A=R, 不符合题意; 当 a<0 时, A={x| ≤x<- }, 若 A??UB, 则? a a 1 ? ?-a≤2, 1 1 ? ?-a≥-2, 若 A??UB,则? 4 ? ?a≤2, 此时 a=2. 16.集合 { x | 为 1 4 解得 a<-8; 当 a>0 时, A={x|- <x≤ }, a a a>0

? 1 ?-1=-2 时, 解得 a≥2.综上可知,a 的取值范围为 a<-8 或 a≥2.(2)当且仅当? a 4 ? ? a= 2
?
. 17.集合 {m |

A=?UB,

x 是平行四边形 } ? { y | y 是梯形}=


m?2 ? N, 且m ≤ 10} 用列举法可表示 3
15 .18.若 ?1?{m,

{2,5,8 }

18.满足{3,5,7,17}? ≠ A ? {x | m 的取值范围为

x 是小于 20 的质数}的集合 A 的个数是
.20.集合 {( x, y) | }, 则 ?A B ? [2, 4)
2

m2} ,则实数

m≠0 且 m≠1 且 m≠-1

y ? 2 x ? 4} {( x, y) | xy ? 0} =
. 22. 已知全集 U

{(2,0),(0,-

4)} 且B

. 21. 若 A={y|y=x2+2}, B={x|y=

x?4

U ? {1,2,3,4,5} , 若A B ?
6



则 A= {3, 4, 5} (? U A) ? {1, 2} ,

. 23. 若 A= {x | ( x ?1)

则A ? 3 x ? 7} ,

Z 的元素的个数为

. 24. 设

14 南京清江花苑严老师

M, P 是两个非空集合, 定义:M {3} B=

? P ? {x | x ? a ? b, a ? M , b ? P} . 若 A={1, 2}, B={2, 3}, 则 ( A ? B) B =
{1,3,5, 7} ,

. 25.若全集 U={x|0<x<10, x∈N*},A∩B={3},A∩ ? UB={1,5,7}, ( ? UA)∩( ? UB) ={9}, 则 A= {2,3,4,6,8} 21 户.

.26.某大楼共有住户 50 户,已知订阅《服务导报》的有 23 户,订阅《扬子晚报》的有 37

户,上述两种报纸都未订阅的有 6 户,则只订阅《扬子晚报》的有 27.已知集合 A ? {x | {0,-1, 1 } 3

x 2 ? 2x ? 3 ? 0}, B ? {x | ax ? 1 ? 0},若 ( A B) ? A ,则

a 的所有取值组成的集合为



28.若全集 U=R,集合 A= [?

3, 3] ,B= [?3,1] ,则右图中阴影部分对应的集合用区间可表示为

(1, 3]



29.在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类” ,记为[k],即[k]={x|x=5n+k,n∈ Z},k=0,1,2,3,4.下列 结论中,正确 的是 ①③④ . ①2012∈ [2] ②-2∈ [2] ③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④若整数 a,b 属于同一“类” ,则(a-b)∈ [0], 反之亦然 30.设集合 A={-4,2m-1,m 2},B={9,m-5,1-m },且 A ? B={9},求 m 的值. 解:∵A ? B={9},A={-4,2m-1,m 2},B={9,m-5,1-m },∴2m-1=9 或 m 2=9,解得 m =5 或 m =3 或 m =-3.若 m =5,则 A={-4,9,25},B={9,0,-4}与 A ? B={9}矛盾;若 m =3,则 B 中元素 m-5=1-m =-2,与 B 中元素互异矛 盾;若 m =-3,则 A={-4,-7,9},B={9,-8,4},满足 A ? B={9}.综上得,m =-3. 31.已知集合 A ? (2,5] , B ? {x | ?m ? 1 ≤ x ≤ 2m ? 1} ,且

A ? B ? B ,求实数 m 的取值范围.

?? m ? 1 ≤ 2m ? 1 ? 解:因为 A ? B ? B ,所以 B ? A . (1)若 B ? ? ,则 ? m ? 1 ≤ 2m ? 1 ,由 B ? A 得 ? ? m ? 1 ? 2 无解; ? 2m ? 1 ≤ 5 ?
(2)若 B

? ? ,满足 B ? A ,此时 ? m ? 1 ? 2m ? 1,解得 m ?

2 2 ;综上所述,实数 m 的取值范围是 m ? . 3 3

32.已知集合 求a与A 解:∵

A ? {x | x2 ? (2a ? 3) x ? 3a ? 0}, B ? {x | x2 ? (a ? 3) x ? a2 ? 3a ? 0} ,且 A≠B, A ? B ? ? ,

B. B ? ? ,∴A
与 B 有公共元素.设 A 与 B 的公共元素为 m,则 ,且 m2 ? (2a ? 3)m ? 3a ? 0

A

m2 ? (a ? 3)m ? a2 ? 3a ? 0 ,
两式相减得

?a ? 0, ?a ? 0, ?a ? 2, 2 a(m ? a) ? 0 ,解得 ? 或? 或? 当 a ? 0 时, A ? { x | x ? 3 x ? 0} ? {0, 3} , ?m ? 0, ?m ? 3, ?m ? 2.
, 与 A ≠ B 矛 盾 ; 当

B ? {x | x2 ? 3x ? 0} ? {0,3}

a?2

时 ,

A ? { x | 2x ? x ? 6 ? 0 } ? { 2, ?, 3 }

B ? {x | x2 ? x ? 2 ? 0} ? {2, ?1} , A B ? {2, ?1, ?3} ,满足题意.综上得, a ? 2 , A B ? {2, ?1, ?3} .
33.设集合 A ? {x | (2)若 B ? ( A

x 2 ? 4x ? 0}, B ? {x | x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 1 ? 0} . (1)若 A ? B ? B ,求实数 a 的值;

B) ,求实数 a 的取值范围.
15

南京清江花苑严老师

解: ( 1 )∵

A ? B ? B ,∴ A ?

B .又∵

A ? {x | x2 ? 4 x ? 0} ? {0,? 4},且

B 中最多有两个元素,∴ B=A ,即

B ? {0, ? 4},
2 2 ? ?0 ? 2(a ? 1) ? 0 ? a ? 1 ? 0, ∴? 2 2 ? ?(?4) ? 2(a ? 1)(?4) ? a ? 1 ? 0,

解得 a = 1. (2) ∵ B ? (A

∴B ? B) ,

A. 又∵ A ? {0, ?4} , ∴

B??

或 {0} 或 {

? 4} 或 {0 , ? 4} . ① 当 B ? ? 时 , ? ? 4(a ? 1)2 ? 4(a2 ?1) ? 0 , 解 得 a ? ?1 ; ② 当
解得 a= -1;③当 B={-4}时,则 ?

B={0} 时 , 则

2 2 ? ?? ? [2(a ? 1)] ? 4( a ? 1) ? 0, ? 2 2 ? ?0 ? 2( a ? 1) ? 0 ? a ? 1 ? 0,

2 2 ? ?? ? [2(a ? 1)] ? 4(a ? 1) ? 0, 2 2 ? ?(?4) ? 2(a ? 1)(?4) ? a ? 1 ? 0,



式无解;④当 B={0,-4}时,由(1)得 a= 1. 综上所述,a 的取值范围为 a≤-1,或 a=1.

34.已知全集 U={x|x2+2≥3x },A={x||x-2|>1},B= { x

3x ? 5 ≥ 2},求 CU A,CU B,A∩B,A∩( CU B),( CU A)∩B. x?2

解:∵全集 U={x|x2-3x+2≥0}= {x ( x ?1)( x ? 2) ≥ 0 }={ x | x≤1 或 x≥2},A={ x ||x-2|>1}={ x | x- 2< - 1 或 x - 2>1}={ x | x <1 或 x >3} , B= {x

3x ? 5 x ?1 ≥ 2} = {x ≥ 0} = {x ( x ?1)( x ? 2) ≥ 0 且 x?2 x?2

x ? 2 ? 0 }={ x | x≤1 或 x>2}, ∴ CU A= {x|x ? 1或2 ≤ x ≤ 3} ,
A∩( CU B)= ? , ( CU A)∩B= {x|x

CU B={2},

A∩B=A={ x | x <1 或 x >3},

? 1或2<x ≤ 3} .

35.已知 A={a1,a2,a3,a4,a5},B={a12,a22,a32,a42,a52},其中 a1< a2< a3< a4 < a5,且 a1,a2,a3,a4,a5∈N+,若 A ∩B={ a1,a4},a1+ a4=10,且 A∪B 所有元素之和为 256,求集合 B. 解:∵a1< a2< a3< a4< a5,A∩B={ a1,a4},∴a1= a12,∴a1=1(a1 =-1 舍去) .又∵a1+ a4=10, ∴ a4=9.又∵ a4 ∈B,∴ a22=9 或 a32=9. (1)若 a32=9,则 a3=3,只能有 a2=2,此时 A={1,2,3,9,a5},B={1,4,9,81,a52}.∵a52 ? a5,∴1+2+3+9+4+ a5+81+a52=256, ∴a52+a5-156=0,解得 a5=12(a5=-13 舍去) ,此时 B={1,4,9,81,144}. (2)若 a22=9,则 a2=3,此时 A={1,3, a3 , 9, a5 },B={1,9,a32,81,a52}.∵1+3+9+a3+a5+81+a32+a52=256,∴a52+a5+a32+a3-162=0.∵ a2 < a3 < a4 , ∴ 3< a3 <9, ∴当 a3 =4 或 5 或 6 或 7 或 8. 若 a3 =4 或 6 或 7 或 8, 则 a5 无整数解; 若 a3 =5, 解得 a5 =11 (a5=-12 舍去) , 此时 B={1,9,25,81,121}.综上所得,B={1,4,9,81,144}或{1,9,25,81,121}.

(四)
1. (1)已知集合 M={y|y=x2,x∈R},P={y|y=2x-x2,x∈R},求 M∩P;(2)设集合 A={1,2,3},B={2,3,4,5},求 A∪B; (3)设集合 A={x|-3<x≤5},B={x|2<x≤6},求 A∪B. 【解】 (1)因为 x2≥0,x∈R,所以 y≥0,所以 M={y|y≥0}.因为 y=2x-x2=-(x-1)2+1,x∈R,所以 y≤1,所以 P = {y|y ≤ 1} .所以 M ∩ P = {y|y ≥ 0} ∩ {y|y ≤ 1} = {y|0 ≤ x ≤ 1} . (2)A ∪ B = {1,2,3} ∪ {2,3,4,5}={1,2,3,4,5}. 16 南京清江花苑严老师

(3)画出数轴如图所示:∴A∪B={x|-3<x≤5}∪{x|2<x≤6}={x|-3<x≤6}. 2.设 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.(1)若 A∩B=B,求 a 的取值;(2)若 A∪B=B,求 a 的取值. 【解】 ∵A={x|x2+4x=0},∴A={0,-4}.(1)∵A∩B=B,∴B?A.①当 B≠?时,若 0∈B,则 a2-1=0,解得 a= A.若-4∈B,则 a2-8a+7=0,解得 a=7 或 a=1.当 a=7 ±1.当 a=1 时,B={x|x2+4x=0}=A;当 a=-1 时,B={0}

时,B={x|x2+16x+48=0}={-12,-4},与 A∩B=B 矛盾.②当 B=?时,则Δ =4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得 a<-1. 综上所述,a≤-1 或 a=1.(2)∵A∪B=B,∴A?B.∵A={0,-4},而 B 中最多有两个元素,∴A=B,即 a=1. 3.上例中,若 A≠B 且 A∩B≠?,求 a 的值. 解: 由例题解答可知 A={0, -4}. 若 0∈B, 则 a=±1, 当 a=1 时, B={0, -4}, 与 A≠B 矛盾. 当 a=-1 时, B={0}. 若 -4∈B,则 a=7 或 a=1(舍去),当 a=7 时,B={-12,-4}.∴a=-1 或 a=7. 5 4. 已知全集 U=R,A={x|-4≤x<2},B={x|-1<x≤3},P={x|x≤0 或 x≥ },求 A∩B、(?UB)∪P、(A∩B)∩(?UP). 2 5 5 【解】 A∩B={x|-1<x<2}. ∵?UB={x|x≤-1 或 x>3}, ∴(?UB)∪P={x|x≤0 或 x≥ }. 又∵?UP={x|0<x< }, 1∴(A∩B)∩(? 2 2 UP)={x|0<x<2}. 5.已知全集 U={x|-5≤x≤3},A={x|-5≤x<-1},B={x|-1≤x≤1},求?UA,?UB,(?UA)∩(?UB),(?UA)∪(?UB), ?U(A∩B),?U(A∪B). 解:在数轴上将各集合标出,如图. 由图可知:?UA={x|-1≤x≤3},?UB={x|-5≤x<-1 或 1<x≤3}, (?UA)∩(?UB)={x|1<x≤3},(?UA)∪(?UB)={x|-5≤x≤3}=U,?U(A∩B)=U,?U(A∪B)={x|1<x≤3}. 6.如图所示,U 是全集,A,B 是 U 的子集,则阴影部分所表示的集合是________. 解析:由 Venn 图可知阴影部分为 B∩(?UA).答案:B∩(?UA) 7.已知全集 U={x|0≤x<10,x∈N},A∪B=U,A∩(?UB)={1,3,5,7,9},则集合 B=________.解析:U= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A∩(?UB)={1,3,5,7,9},∴B={0,2,4,6,8}.答案:{0,2,4,6,8} 8. 集合 M={x|-2≤x<1}, N={x|x≤a}, 若? M∩N), 则实数 a 的取值范围为________. 解析: ∵? M∩N), 则 M∩N 非空,故 a≥-2.答案:a≥-2 9.设集合 M={-1,0,1},N={a,a2},则使 M∪N=M 成立的 a 的值是________.答案:-1 10.对于集合 A,B,定义 A-B={x|x∈A,且 x/∈B},A⊕B=(A-B)∪(B-A).设 M={1,2,3,4,5,6},N={4,5,6,7,8,9,10}, 则 M ⊕ N 中元素 的个 数为 ________ . 解析: ∵ M - N = {1,2,3} , N - M = {7,8,9,10} ,∴ M ⊕ N = (M - N) ∪ (N - M) = {1,2,3,7,8,9,10}.答案:7 11.已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},且 B≠?,若 A∪B=A,则 m 的取值范围________.解析:∵A ∪B=A,∴B?A.

?m+1≥-2, ? 又 B≠?,∴?2m-1≤7, ?m+1<2m-1. ?

∴2<m≤4.答案:2<m≤4

12.已知非空集合 A={(x,y)|(a2-1)x+(a-1)y=15},B={(x,y)|y=(5-3a)x-2a}.若 A∩B=?,则 a=________.解析: 2 ??a -1?x+?a-1?y=15,① ∵A、B 非空,A∩B=?,∴? 无解,把②代入①,得(-2a2+8a-6)x=15+2a2-2a 无解,只需 ?y=?5-3a?x-2a, ②
2 ?-2a +8a-6=0, 1 满足条件? ∵15+2a2-2a=2 a-2 2 ?15+2a -2a≠0.

>0,∴只需求-2a +8a-6=0,即 a=1 或 a=3.经检验,当 ( ) +29 2
2 2

a=1 时方程不成立,A=?与题设矛盾,故舍去,∴a=3. 答案:a=3 13.已知集合 M 是方程 x2+px+q=0(p2-4q≠0)的解集,A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10},若 M∩A=?,且 M∪B=B,试求 p、q 的值. 解: (1)当 M=?时, 显然成立, 此时 p、 q 的值只要满足 p2-4q<0 即可; (2)当 M≠?时, ∵p2-4q≠0, ∴M 中含有两个元素. 又 A∩M=?, ?4+10=-p, ∴1,3,5,7,9/∈M.又 B∪M={1,4,7,10},∴4∈M,且 10∈M.∴由根与系数的关系,得? ∴p=-14,q=40. ?4×10=q. 14.已知全集 U={不大于 5 的自然数},A={0,1},B={x|x∈A,且 x<1},C={x|x-1 A,且 x∈U}.(1)求?UB,?UC;(2) 若 D={x|x∈A},说明 A、B、D 的关系. 解:由题意易知 U={0,1,2,3,4,5},B={0},集合 C 中的元素须满足以下两个条件:①x∈U;②x-1 A.若 x=0,此时 0-1=-1?A,∴0 合 C 中的元素;若 x=1,此时 1-1=0∈A,∴1 不是集合 C 中的元素;若 x=2,此时 2-1=1∈A,∴2 17 南京清江花苑严老师

不是集合 C 中的元素;同理可知当 x=3,4,5 时,3-1=2?A,4-1=3?A,5-1=4?A,∴3,4,5 也是集合 C 中的元素,∴C= {0,3,4,5}.(1)?UB={1,2,3,4,5},?UC={1,2}.(2)D={0,1},∴D=A B. 15.设集合 A={a2,2a-1,-4},B={a-5,1-a,9}.(1)若{9}=A∩B,求实数 a 的值;(2)若 9∈(A∩B),求实数 a 的值. 解:(1)∵A∩B={9}, ∴9∈A.∴a2=9 或 2a-1=9.解得 a=± 3 或 a=5.当 a=5 时,A={25,9, -4},B={0, -4,9}, 则 A∩B ={-4,9},故舍去; 当 a=3 时,B 中 a-5=1-a,故舍去;当 a=-3 时,A={9,-7,-4},B={-8,4,9},符合题意.综上知 a=-3.(2)由 (1)知 a=5 或 a=-3 为所求. 16、已知集合 S

? ? x ? R x ? 1≥ 2? , T ? ??2, ?1 , 01 , , 2? ,则 S T ?

.1.

?1, 2?



17、已知全集 U=R,集合 A ? {x | ?2 ≤ x ≤ 3},B ? ( x | x ? 1 ? 0) ,则集合 A 18、已知全集 U

?U B ?

.2. {x| ?2 ? .3. {x| 0 ?

x ? ?1}



? R ,集合 A ? ? x ?2 ? x ? 2? , B ? x x 2 ? 2 x ≤ 0

?

? ,则 A I

B?

x ? 2} ;

19、已知函数

y ? 5 ? 2x 的定义域为集合 P , N 为自然数集,则集合 P N 中元素的个数为
2

.4.3 ; .5.3;

20、若集合 A ? {x | x ? 9 x ? 0} , B ? ? y |

? ?

? 4 y ? Z且 ? N? ? ,则集合 A B 的元素个数为 y ?

21 、 设 集 合 .6.

A ? x x ? 2 ? 2, x ? R

?

?



B ? ? y | y ? ? x 2 , ?1 ? x ? 2?

, 则

CR ? A

? B等



? x x ? R, x ? 0? ;
? 2?

22、已知集合 M ={直线的倾斜角} ,集合 N ={两条异面直线所成的角},集合 P={直线与平面所成的角} ,则(M∩N)∪ P= .7. ?0, ? ? 提示: M ={直线的倾斜角}= ? ?

?0, ? ? , N ={两条异面直线所成的角}= ?? 0, ? ?? , P
? 2?

={直线与平

面所成的角}= ?0, ? ? ,则(M∩N)∪P= ? ? ? ? 0, ? ? 2? ? 2? ? ?

23、 设全集 U ? {1,2,3,4,5} , 若 A ? B ? {2} ,(CU A) ? B ? {4} ,(CU A) ? (CU B) ? {1,5} , 则 A=_____, B= .8.提示:利用韦恩图 (CU A) (CU B) ? CU ( A ? B) 易求 A ? {2,3} , B ? {2, 4}

24、已知集合 A ? {2,3}, B ? {1, a}, 若A 25、已知集合 A ? 26、设集合 M

B ? {2}, 则A B ?

.9 .

?1, 2,3?
.10.1 或 2 .11.

?0, m? , B ? ?n | n 2 ? 3n ? 0, n ? Z ? ,若 A

B ? ? ,则 m 的值为

? ? y | y ? x 2 ? 2 x ? 1? , N ? ? x | y ? x 2 ? 2 x ? 5? ,则 M ? N 等于

?0,??? 提示:

M ? ? y | y ? x 2 ? 2 x ? 1? ? ? 0, ?? ? , N ? ? x | y ? x 2 ? 2 x ? 5? ? R 所 以 M ? N = ?0,??? ; 11 、 m ? 2 提 示 :

M ? {x | x ? m ? 0} ,

N ? {x | x2 ? 2x ? 8 ? 0} ? (?2, 4) ,
27、设集合 M 围是

U

M

=( ??, ? m ) ,所以-m

? -2,
U

、m ? 2

? {x | x ? m ? 0} , N ? {x | x 2 ? 2x ? 8 ? 0} ,若 U=R,且 .12. m ? 2
2

M ? N ? ? ,则实数 m 的取值范

28、求实数 m 的范围,使关于 x 的方程 x +2(m-1)x+2m+6=0 比 0 小; (3)有两个实根,且都比 1 大;

(1)有两个实根;

(2)有两个实根,且一个比 0 大,一个

18 南京清江花苑严老师

解: (1)方程有两个实根时,得 ? ? [2(m-1)]

2

? 4 ? (2m+6) ? 0 解得 m ? -1或m ? 5
(3)令 f(x)=x
2

(2)令

f(x)=x2 +2(m-1)x+2m+6 由题意得 f (0) ? 0 ,解得 m ? ?3
f ( 1 )? 1 ? 2 m(? ? 1)m ? 2 ? 6 0 5 解得 2( m ? 1) 4 ? ? 1? m ? 1 2 2 ? ? [2(m-1)] ? 4 ? (2m+6) ? 0

+2(m-1) x+2m+6 由题意得

? m ? ?1

(五)
1.已知 M={x|y=x2-1},N={y|y=x2-1},那么 M∩N=________.解析:M=R,N={y|y≥-1},∴M∩N=N.答案:N 2. 设全集 U={1,2,3,4,5}, A={1,3,5}, B={2,3,5}, 则?U(A∩B)等于________. 解析: 易知 A∩B={3,5}, 则?U(A∩B)={1,2,4}. 答 案:{1,2,4} 3. 设全集 U={1,2,3,4,5}, A={1,2,3}, B={2,5}, 而 A∩(?UB)等于________. 解析: 由已知得?UB={1,3,4}, 而 A={1,2,3}. ∴ A∩(?UB)={1,3}. 答案:{1,3} 4.设集合 A={x|x∈Z 且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z 且-5≤x≤5},则 A∪B 的元素个数是________.解析:由已知得 A ∪B={x|x∈Z 且-10≤x≤5},故 A∪B 中有 16 个元素.答案:16 5. 已知全集 U={1,2,3,4,5}, 集合 A={x|x2-3x+2=0}, B={x|x=2a, a∈A}, 则集合?U(A∪B)=________.解析: ∵A={1,2}, ∴B={2,4}. ∴A∪B={1,2,4},∴?U(A∪B)={3,5}.答案:{3,5} 6.如图所示,U 是全集,A,B 是 U 的子集,则阴影部分所表示的集合是________.解析:由 Venn 图可知阴影部分为 B∩(? UA).答案:B∩(?UA) 7.已知全集 U={x|0≤x<10,x∈N},A∪B=U,A∩(?UB)={1,3,5,7,9},则集合 B=________.解析:U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A∩(?UB)={1,3,5,7,9},∴B={0,2,4,6,8}.答案:{0,2,4,6,8} 8.集合 M={x|-2≤x<1},N={x|x≤a},若? M∩N),则实数 a 的取值范围为________.解析:∵? M∩N),则 M∩N 非空,故 a≥-2. 答案:a≥-2 9.设集合 M={-1,0,1},N={a,a2},则使 M∪N=M 成立的 a 的值是________.答案:-1 10.对于集合 A,B,定义 A-B={x|x∈A,且 x/∈B},A⊕B=(A-B)∪(B-A).设 M={1,2,3,4,5,6},N={4,5,6,7,8,9,10}, 则 M ⊕ N 中元素 的个 数为 ________ . 解析: ∵ M - N = {1,2,3} , N - M = {7,8,9,10} ,∴ M ⊕ N = (M - N) ∪ (N - M) = {1,2,3,7,8,9,10}.答案:7 11.已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},且 B≠?,若 A∪B=A,则 m 的取值范围________.解析:∵A ∪B=A,∴B?A. m+1≥-2, ? ? 又 B≠?,∴?2m-1≤7, ?m+1<2m-1. ? ∴2<m≤4.答案:2<m≤4

12.已知非空集合 A={(x,y)|(a2-1)x+(a-1)y=15},B={(x,y)|y=(5-3a)x-2a}.若 A∩B=?,则 a=_______.解析:∵ 2 ??a -1?x+?a-1?y=15,① A、B 非空,A∩B=?,∴? 无解,把②代入①,得(-2a2+8a-6)x=15+2a2-2a 无解,只需满 ?y=?5-3a?x-2a, ②
2 ?-2a +8a-6=0, 1 足条件? ∵15+2a2-2a=2 a-2 2 ?15+2a -2a≠0.

>0,∴只需求-2a +8a-6=0,即 a=1 或 a=3.经检验,当 a ( ) +29 2
2 2

=1 时方程不成立,A=?与题设矛盾,故舍去,∴a=3.答案:a=3 13.已知集合 M 是方程 x2+px+q=0(p2-4q≠0)的解集,A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10},若 M∩A=?,且 M∪B=B,试求 p、q 的值. 解: (1)当 M=?时, 显然成立, 此时 p、 q 的值只要满足 p2-4q<0 即可; (2)当 M≠?时, ∵p2-4q≠0, ∴M 中含有两个元素. 又 A∩M=?, ?4+10=-p, ∴1,3,5,7,9/∈M.又 B∪M={1,4,7,10},∴4∈M,且 10∈M.∴由根与系数的关系,得? ∴p=-14,q=40. ?4×10=q. 14.已知全集 U={不大于 5 的自然数},A={0,1},B={x|x∈A,且 x<1},C={x|x-1 A,且 x∈U}.(1)求?UB,?UC;(2) 若 D={x|x∈A},说明 A、B、D 的关系. 解:由题意易知 U={0,1,2,3,4,5},B={0},集合 C 中的元素须满足以下两个条 件:①x∈U;②x-1 A.若 x=0,此时 0-1=-1?A,∴0 是集合 C 中的元素;若 x=1,此时 1-1=0∈A,∴1 不是集 合 C 中的元素;若 x=2,此时 2-1=1∈A,∴2 不是集合 C 中的元素;同理可知当 x=3,4,5 时,3-1=2?A,4-1=3?A,5 19 南京清江花苑严老师

-1=4?A,∴3,4,5 也是集合 C 中的元素,∴C={0,3,4,5}.(1)?UB={1,2,3,4,5},?UC={1,2}.(2)D={0,1},∴D=A B. 16.设集合 A={a2,2a-1,-4},B={a-5,1-a,9}.(1)若{9}=A∩B,求实数 a 的值;(2)若 9∈(A∩B),求实数 a 的值. 解:(1)∵A∩B={9}, ∴9∈A.∴a2=9 或 2a-1=9.解得 a=± 3 或 a=5.当 a=5 时,A={25,9, -4},B={0, -4,9}, 则 A∩B ={-4,9},故舍去; 当 a=3 时,B 中 a-5=1-a,故舍去;当 a=-3 时,A={9,-7,-4},B={-8,4,9},符合题意.综上知 a=-3.(2)由 (1)知 a=5 或 a=-3 为所求. 16 设全集 U=R,集合 A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}. (1)求 实数 a 的取值范围. (A∩B); (2)若集合 C={x|2x+a>0},满足 B∪C=C,求 (A

解: (1)由集合 B 中的不等式 2x-4≥x-2,解得 x≥2,∴B={x|x≥2}.又 A={x|-1≤x<3},∴A∩B={x|2≤x<3}.又全集 U=R,∴

∩B)={x|x<2 或 x≥3}.(2)由集合 C 中的不等式 2x+a>0,解得 x>- ,∴C={x|x>- }.∵B∪C=C,∴B?C,∴-- <2,解得 a>-4. 17.设 A={x∈R|ax? +2x+1=0,a∈R}.(1)当 A 中元素个数为 1 时, 求 a 和 A; (2)当 A 中元素个数至少为 1 时, 求 a 的取值范围; 3)求 A 中各元素之和. 解: (1)当 A 中元素的个数为 1 时,①当 a =0 时, A ? ? ? 1 ? ;②当 a ≠0 时, ? ? 4-4 a =0,解
? ? ? 2?

得 a =1.故当 a =0 时, A ? ? ? 1 ? ;当 a =1 时, A ? {x | x ? 2 x ? 1 ? 0} ? {?1} .(2)当 A 中元素的个数至少为 1 时,① ? ?
2

?

2?

1 ? ,满足题意;②当 a ≠0 时, ? ? 4-4 a ? 0,解得 a ? 1 且 a ≠0.故 a 的取值范围是(-∞,1].(3)① 当 a =0 时, A ? ? ?? ? ? 2?

当 a =0 时,元素之和为 ?

1 .②当 a ≠0 时,当 ? ? 4 ? 4 a ? 0 ,即 a ? 1 时, A ? ? ,无元素;当 ? ? 4-4 a =0,即 a =1 时, 2

元素之和为-1;当 ? ? 4 ? 4 a ? 0 ,即 a ? 1 时,元素之和为 ?

2 .[来源:学+科+网 Z+X+X+K] a

18. 已知 A={(x,y)|y=ax+b},B={(x,y)|y=3x? +15},C={(x,y)|x? +y?≤144},问是否存在 a,b∈R 使得下列两个命题同时成立: (1) A∩B ?

? ;(2)(a,b)∈C.

解:联立方程组 ?

? y ? ax ? b,
2 ? y ? 3 x ? 15,

得方程 3x? -ax+15-b=0.

要满足条件(1) ,需要

? ? a?-12(15-b)≥0, ①
立得 a= ?6

要满足条件(2) ,需要 a? +b?≤144 . ②

②-①得:b? -12b+36≤0,解得 b=6. 把 b=6 代入①②联

3 .因此存在 a= ?6 3 ,b=6 满足条件.

19(1)已知集合 A、B 满足 A∪B={1,2},则满足条件的集合 A、B 有多少对?请一一写出来. (2)若 A∪B={1,2,3}, 则满足条件的集合 A、 B 有多少对? {1};{1 2},{1,2};{1,2},{1};{1,2},{2};{1,2}, ? .则满足条件的集合 A、B 有 9 对.(2)若 A∪B={1,2,3},则满足 条件的集合 A、B 有:① 当 A= ? 时,B 只有 1 种情况;②当 A={1}时,B 要包含 2,3,有 2 种情况;③当 A={2}时,B 要包含 1,3,有 2 种情况 ; ④当 A={3}时,B 要包 含 1,2,有 2 种情况;⑤当 A={1,2}时,B 要包含 3,有 4 种情况;⑥当 A={1,3}时,B 要包含 2,有 4 种情况;⑦当 A={2, 3}时,B 要包含 1, 有 4 种情况; ⑧当 A={1, 2, 3}时, B 只需是{1, 2, 3}的子集, 有 8 种情况.则满足条件的集合 A、 B 有 1+2+2+2+4+4+4+8=27 对. 20 已知 A={ a1 , a2 , a3 , a4 , a5 } , B={ a1 , a2 , a3 , a4 , a5 } ,其中 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ∈Z , a1 A∩B={ a1 , a4 },
2 2 2 2 2

解: (1)∵A∪B={1,2},∴集合 A,B 可以是: ? ,{1,2};{1},{1,2};{1},{2};{2},{1,2};{2},

? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ,且

20 南京清江花苑严老师

(1)∵A∩B={ a1 , a4 }, a1 ? a4 =10,又 A∪B 的元素之和为 224,求:(1) a1 , a4 ;(2) a5 ;(3)A..解:

∴ a1 , a4 ∈B,因此

a1 , a4 均为完全平方
数. ∵ a1 ? a4 =10, a1

? a4, ∴只能有 a1 =1, a4 =9.

(2)∵ a1

∴ a2 =3 ? a2 ? a3 ? a4,

或 a3 =3 .

若 a3 =3,

则 a2 =2,这时 A∪B 的 元素之和为 224=1+2+4+3+9+81+ a5 + a5 ,此时 a5 不是整数,因此应该是 a2 =3.
2

这时 224>1+3+9+81+ a5 + a5 ,故

2

a5 <11,而 a5 > a4 =9,故 a5 =10.
(3)由上面的结论知道 224=1+3+9+81+10+100+ a3 + a3 ,解得 a3 =4. 21 设
2

∴A={1,3,4,9,10} . =A ,求

A ? {x | x 2 ? ax ? a 2 ? 19 ? 0} , B ? {x | x 2 ? 5 x ? 6 ? 0} ,C ? {x | x 2 ? 2 x ? 8 ? 0} .(1)A

a 的值;(2) ? ? ? =?, 求 a 的值; (3) A 求 a 的值.解: (1) ∵A ? ?, ,∴A=B , ∴ ?

A

, 且A

=A

=A

?a ? 5,
2 ?a ? 19 ? 6,



得 a=5. (2)B={2,3},C={2,-4}. ∵ ? ? ? A

, ∴A

??

. ∵A

= ? ∴2 ? A,-4 ? A. =A

∴3∈A. ∴A =A

将 x=3 代入 ={2},

A 中的方程得 a=5 或 a=-2, a=5 时 A={2,3},不合题意. ∴a=-2. (3)∵A ∴2∈A. 将 x=2 代入 A 中的方程得 a=5 或 a=-3 . a=5 时经检验 A ZXXK] ∴a=-3.

? ?,

?

A

,舍去. [来源:Z&xx&k.Com][来源:学科网

22.若 A={2,4,a3-2a2-a+7},B= a 的值.

?a -3a-8?,a -2a+2,a +a +3a+7},且 A∩B={2,5},求实数 {1,a+1,-1 2
2 2 3 2

【解】 ∵A∩B={2,5},∴5∈A,A={2,4,5}.由已知可得 a3-2a2-a+7=5,∴a3-2a2-a+2=0,∴(a2-1)(a-2)=0, ∴a=2 或 a=±1.当 a=1 时, B 中元素 a2-2a+2=1, 与元素的互异性相违背, 故应舍去 a=1.当 a=-1 时, B={0,1,2,4,5}, 此时 A∩B={2,4,5}与已知 A∩B={2,5}相矛盾.故又舍去 a=-1.当 a=2 时,A={2,4,5},B={1,3,2,5,25},此时,A∩B ={2,5},满足题设,故 a=2 为所求. 23. 已知集合 A={x|x2-2x-8=0},B={x|x2+ax+a2-12=0},当 B?A 时,求 a 的取值集合. 【解】 ∵A={x|x2-2x-8=0},∴A={-2,4}.又 B?A,∴B=?或{-2}或{4}或{-2,4}.(1)当 B=?时,方程 x2+ax +a2-12=0 无实根,∴Δ =a2-4(a2-12)<0,解得 a>4 或 a<-4.(2)当 B≠?时,①若 B={-2},则 4-2a+a2-12=0,∴ a2-2a-8=0,∴a=-2 或=4.但此时 a 也应满足Δ =0,∴a=4.②若 B={4},则 16+4a+a2-12=0,∴a=-2.但 a=-2 -2+4=-a, ? ?2 不满足 Δ=0,故舍去.③若 B={-2,4},即 x +ax+a -12=0 的解是 x=-2 或 x=4,∴?a -12=?-2?×4, ? ?Δ=a2-4?a2-12?>0,
2 2

解得 a

=-2.当 B≠?时,a=-2 或 a=4.综上所述,满足 B?A 的实数 a 的集合为{a|a<-4 或 a=-2 或 a≥4}.

24.由集合 A={x|1<ax<2}, B={x|-1<x<1}, 求满足 A?B 的实数 a 的取值范围. 【解】 B={x|-1<x<1}. (1)
21 南京清江花苑严老师

a ? 1 2 ? <x< ?,∵A?B,∴ 当 a=0 时,A=?,∴满足 A?B.(2)当 a>0 时,A=?x? a ? ? ?a 2

? ≥-1, ? ?a≤1,

1

∴a≥2. (3)当

a ? 2 1 ? <x< ?.∵A?B,∴ a<0 时,A=?x? a ? ? ?a 1

? ≥-1, ? ?a≤1,

2

∴a≤-2.综上可知:a=0 或 a≥2 或 a≤-2.

25.说明下列集合的区别:(1)A={(x,y)|y=x2+1,x∈R};(2)B={y|y=x2+1,x∈R};(3)C={x|y= x2+1,x∈R};(4)D={x|x?M},其中 M={0,1}. 【解】 (1)集合中的代表元素是有序实数对(x,y), 几何意义是点(x,y)的集合,点(x,y)的坐标满足二次函数式,即二元二次方程 y=x2+1(x∈R)的解.所 以集合 A 是抛物线 y=x2+1(x∈R)上的点组成的集合.(2)集合中的代表元素为 y,且 y 满足 y=x2+1≥ 1(x∈R).所以集合是二次函数 y=x2+1(x∈R)的函数值的集合,即 B={y|y≥1}.(3)集合中的代表元素 是 x,且 x 是二次函数 y=x2+1 的自变量,所以集合 C 是二次函数 y=x2+1 的自变量的取值范围,即 C =R.(4)代表元素是 x,且 x 是集合 M 的子集,所以集合 D 是由 M 的全部子集组成的集合,故 D={?,{0}, {1},{0,1}}.
26.已知全集 I={1,2,3,4,5,6,7},且满足 A∩(?IB)={1,3},B∩(?IA)={4,5},A∩B={2},求集合 A、B. 【解】 由全集的意义知,A、B?I.将 A∩(?IB),B∩(?IA),A∩B,转化为图形语言,如图所示,由 Venn 图知: A=(A∩(?IB))∪(A∩B)={1,2,3},B=((?IA)∩B)∪(A∩B)={2,4,5}. 27.已知集合 A={x|ax2+2x+1=0},B={x|2x2-x-1=0},若 A∩B=A,求满足条件的实数 a 的取值集合. 1 1 【解】 易得 B={- ,1}.当 a=0 时,A={x|2x+1=0}={- }?B,此时 A∩B=A,满足条件;当 a≠0 时,(1)当方程 2 2 ax2+2x+1=0 的判别式 Δ=4-4a>0,即 a<1 时,ax2+2x+1=0 有两根.又 A∩B=A,故 A=B.由根与系数的关系有 1 2 ? ?-2+1=-a ,此方程组无解;(2)当 Δ=4-4a<0,即 a>1 时,A=??B,则 A∩B=A,满足题意;(3)当 Δ=0,即 a= ? 1 1 ?- ?×1= ? ? 2 a 1 时,A={-1},不合题意.综上可得,满足条件的实数 a 的取值集合是{a|a>1,或 a=0}.

(时间仓促,如有错误,敬请原谅! )

22 南京清江花苑严老师


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