nbhkdz.com冰点文库

2016年《南方新课堂·高考总复习》数学(理科) 第二章 第4讲 函数的单调性与最值


第4讲

函数的单调性与最值

1.会求一些简单函数的值域.

2.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.

1.函数的单调性

设函数 y=f(x)的定义域为 A,区间 I?A,如果对于区间 I
内的任意两个值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f

(x1)<f(x2),那么就说

y=f(x)在区间 I 上是单调递增函数,I 称为 y=f(x)的单调递增区
间;如果对于区间 I 内的任意两个值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2) ____________,那么就说 y=f(x)在区间 I 上是单调递减函数,I 称为 y=f(x)的单调递减区间.

2.用导数的语言来描述函数的单调性

设函数 y=f(x),如果在某区间 I 上 f ′(x)>0,那么 f(x)为区

f ′(x)<0 ,那么 f(x)为区 间 I 上的增函数;如果在某区间 I 上__________
间 I 上的减函数. 3.函数的最大(小)值
前提
设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 ①对于任意 x∈I,都有 条件 f(x)≤M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M 结论

①对于任意 x∈I,都有 f(x)≥M ;

f(x0)=M ②存在 x0∈I,使得____________
M 为最小值

M 为最大值

1.函数 y=x2-6x 的单调递减区间是( D ) A.(-∞,2] C.[3,+∞) B.[2,+∞) D.(-∞,3] 1 B.k<- 2 D.b>0

2.若函数 y=(2k+1)x+b 在实数集上是增函数,则( A ) 1 A.k>- 2 C.b>0

3.已知函数 f(x)的值域是[-2,3],则函数 f(x-2)的值域为 ( D ) A.[-4,1] B.[0,5]

C.[-4,1]∪[0,5]

D.[-2,3]

4.(2015年广东汕头一模)下列函数中,是偶函数,且在区
间(0,+∞)内单调递增的函数是( A.y=x
1 2

D )

B.y=cosx D.y=2|x|

C.y=|lnx|

考点1

利用定义判断函数的单调性
2

a 例1:已知函数f(x)=x +x (x≠0,a∈R). (1)判断函数f(x)的奇偶性; (2)若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.

解:(1)当a=0时,f(x)=x2为偶函数; a 当a≠0时,f(-x)=x -x ≠± f(x),则
2

f(x)既不是奇函数也不是偶函数. a a 2 2 (2)设x2>x1≥2,f(x1)-f(x2)=x1+x -x2-x 1 2
x1-x2 = x x [x1x2(x1+x2)-a], 1 2 由x2>x1≥2,得x1x2(x1+x2)>16,x1-x2<0,x1x2>0. 要使f(x)在区间[2,+∞)上是增函数, 只需f(x1)-f(x2)<0, 即x1x2(x1+x2)-a>0恒成立,则a≤16.

【规律方法】(1)利用增、减函数的定义证明或判断函数 的单调性,其步骤是:设出指定区间上的任意两个值→作差→ 变形→判符号→定结论.? (2)本题还可以利用导数求解:f′(x)=2x-
a ,要使f(x)在区间 2 x

a [2,+∞)上是增函数,只需当x≥2时,f′(x)≥0恒成立,即2x- 2 ≥0, x

则a≤2x3∈[16,+∞)恒成立,故当a≤16时,f(x)在区间[2,+∞)是增 函数.

【互动探究】
2x 1.试用函数单调性的定义判断函数f(x)= 在区间(0,1) x-1 上的单调性.
解:任取x1,x2∈(0,1),且x1<x2, 2?x2-x1? 2x1 2x2 则f(x1)-f(x2)= - = . x1-1 x2-1 ?x1-1??x2-1? 由于0<x1<x2<1,x1-1<0,x2-1<0,x2-x1>0, 故f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).

2x 所以函数f(x)= 在区间(0,1)上单调递减. x-1

考点 2 利用导数判断函数的单调性 例 2:(1)若 f(x)=x3-6ax 的单调递减区间是(-2,2),则 a 的取值范围是( A.(-∞,0] ) B.[-2,2] C.{2} D.[2,+∞)

解析:f′(x)=3x2-6a,若a≤0,则f′(x)≥0,∴f(x)单调递 增,排除A,B;若a>0,则由f′(x)=0,得x=± 2a.当x< - 2a和x> 2a时, f′(x)>0, f(x)单调递增;当- 2a<x< 2a时, f(x)单调递减,∴f(x)的单调减区间为(- 2a , 2a ),从而 2a = 2.∴a=2. 答案:C

(2)若 f(x)=x3-6ax 在区间(-2,2)上单调递减,则 a 的取值 范围是( )

A.(-∞,0]

B.[-2,2]

C.{2}

D.[2,+∞)

解析:f′(x)=3x2-6a,若a≤0,则f′(x)≥0,∴f(x)单调 递增,排除A,B;若a>0,则由f′(x)=0,得x=± 2a.当x< - 2a 和x> 2a 时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当- 2a <x< 2a 时,f(x)单调递减,∴f(x)的单调减区间为(- 2a , 2a ),则区 间(-2,2)是区间(- 2a , a≥2.故选D.
答案:D
? ?- 2a≤-2, 2a )的子集,故 ? ? ? 2a≥2,

解得

【规律方法】(1)在研究函数的单调性时,应先确定函数的 定义域.函数的单调性是对某一个区间而言的.若f(x)在区间A 与B 上都是单调递增(或递减)函数,则在A∪B 上不一定单调. (2)注意 f(x)在区间 A上单调递减与f(x)的单调递减区间为A

的区别.本题中 f(x)的单调递减区间是(-2,2)是指方程f′(x)=
3x2-6a=0 的两根为±2;第(2)小题 f(x)在(-2,2)上单调递减是

指f′(x)=3x2-6a≤0 在(-2,2)上恒成立.

【互动探究】
? 1 ?1 2.(2013年大纲)若函数f(x)=x +ax+ x 在 ?2,+∞? 上是增 ? ?
2

函数,则a的取值范围是( D ) A.[-1,0] B.[-1,+∞) C.[0,3] D.[3,+∞)

? 1 1 ?1 解析:f′(x)=2x+a- x2 ≥0,a≥-2x+ x2 在 ?2,+∞? 上 ? ? ? ? 1? 1 ?1 恒成立,a≥?-2x+x2?max.而-2x+x2在?2,+∞?上单调递减, ? ? ? ? ? 1? ?-2x+ 2?max=-1+4=3,即a≥3.故选D. x? ?

考点 3 函数的最值与值域 例 3:求下列函数的值域:

3x+2 (1)y= ; x-2 (2)y=-x2-2x+3(-5≤x≤-2); x2-x (3)y= 2 ; x -x+1 4 (4)y=x+x .

3x+2 ?3x-6?+8 8 解:(1)方法一:y= = =3+ , x-2 x-2 x-2 8 ∵ ≠0,∴y≠3. x-2 3x+2 ∴函数 y= 的值域是{y|y∈R,且 y≠3}. x-2 3x+2 2?y+1? 方法二:由 y= ,得 x= .∴y≠3. x-2 y-3

(2)∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,x∈[-5,-2], ∴其图象是开口向下,顶点为(-1,4). ∴当 x=-5 时,ymin=-12;当 x=-2 时,ymax=3. ∴y=-x2-2x+3(-5≤x≤-2)的值域是[-12,3]. x2-x 1 (3)方法一:y= 2 =1- 2 . x -x+1 x -x+1 ∵x
2

? 1?2 3 3 -x+1=?x- 2? +4≥4, ? ?

1 1 1 ∴-3≤1- 2 <1,即-3≤y<1. x -x+1
? 1 ? 故该函数的值域为?-3,1?. ? ?

方法二:∵x2-x+1≠0,∴对函数去分母,整理,得 (y-1)x2-(y-1)x+y=0. 易知 y≠1,故上式可看作是关于 x 的二次方程. ∵x∈R,∴方程有实根.∴Δ=(y-1)2-4y(y-1)≥0,
? 1 ? 1 解得- ≤y≤1.又 y≠1,故该函数的值域为?- ,1?. 3 ? 3 ?

4 (4)方法一:函数 y=x+ 是定义域为{x|x≠0}的奇函数,故 x 其图象关于原点对称. 4 当 x>0 时,y=x+ ≥2 x 4 x·=4, x

当且仅当 x=2 时取得等号. 当 x<0 时,y≤-4,当且仅当 x=-2 时取得等号. 综上所述,函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞).

4 方法二:函数 y=x+ 的定义域为{x|x≠0}. x 4 ∵y′=1- 2,令 y′>0,解得 x<-2 或 x>2;y′<0,解得 x -2<x<0 或 0<x<2, ∴当 x<-2 或 x>2 时,f(x)单调递增; 当-2<x<0 或 0<x<2 时,f(x)单调递减. 故当 x=-2 时,f(x)极大值=f(-2)=-4; 当 x=2 时,f(x)极小值=f(2)=4. ∴所求函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞).

【规律方法】常用的求值域的方法有:

①代入法:适用于定义域为有限集的函数;

②分离系数法:若函数y=f(x)解析式中含有|x|,x2, x , sinx,cosx等元素,又能用y表示出来,则利用这些元素的有界 性解出y的范围;
③配方法:适用于二次函数类的函数;

ax+b ④反函数法:适用于形如y= 类的函数; cx+d ax2+bx+c ⑤判别式法:适用于形如y= 2 类的函数; mx +nx+p
⑥换元法:主要处理一些根式类的函数; ⑦不等式法:借助于不等式的性质和均值不等式等工具求

最值;
⑧最值法:通过求导数进而求出最值.

【互动探究】 3.求下列函数的值域:

3x+2 (1)y= ; 5-4x

(2)y=-x2+x+2;

3x2-1 (3)y= 2 . x +2

3x+2 1 12x+8 解:(1)y= =4× 5-4x 5-4x 1 3?4x-5?+23 3 23 =4× =-4+ . 5-4x 4?5-4x?
? 3? ? ? ? ? ? ∴该函数的值域为 y y∈R,且y≠-4? ? ? ? ? ?

.

(2)y=-x

2

? 1? 2 9 +x+2=-?x-2? + . 4 ? ?

? 9? ∴该函数的值域是?-∞,4?. ? ?

3x2-1 (3)由 y= 2 知,x∈R 且(3-y)x2=2y+1, x +2 当 y=3 时,显然不成立. 2y+1 2y+1 2 ∴由 y≠3,得 x = .∵x ≥0,∴ ≥0. 3-y 3-y
2

? 1 ? 1 解得- ≤y<3.∴函数的值域为?-2,3?. 2 ? ?

●思想与方法●

⊙利用分类讨论及数形结合思想求最值
例题:(2014 年广东广州水平测试)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x-x2. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)在区间[a,a+1]上的最大值.

解:(1)函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,

在 f(-x)=-f(x)中,令 x=0,解得 f(0)=0.
又当 x>0 时,f(x)=x-x2,

∴当x<0时,-x>0,
f(x)=-f(-x)=-(-x-x2)=x+x2.
?x-x2,x>0, ? ∴函数 f(x)的解析式是 f(x)=?0,x=0, ?x+x2,x<0, ? 即
2 ? x - x ,x≥0, ? f(x)=? 2 ? x + x ,x<0. ?

(2)如图 241,画出函数

2 ? x - x ,x≥0, ? f(x)=? 2 ? x + x ,x<0 ?

的图象.

两个分段函数的对称轴分别是 1 1 x=-2,x=2. 又区间[a,a+1]的长度为 1, ∴当 a<-1 时,a+1<0,f(x)=x+x2, 函数 f(x)的最大值为 f(a)=a+a2;
图2-4-1

1 1 当-1≤a<-2时,0≤a+1<2, 函数 f(x)的最大值为 f(a+1)=(a+1)-(a+1)2=-a-a2;

1 1 1 3 当-2≤a≤2时,2≤a+1≤2, 函数 f(x)的最大值为
?1? 1 f?2?=4; ? ?

1 3 当 a> 时,a+1> ,f(x)=x-x2, 2 2

函数 f(x)的最大值为 f(a)=a-a2. ∴函数 f(x)在区间[a,a+1]上的最大值为
2 a + a ,a<-1, ? ? ? 1 2 ?-a-a ,-1≤a<-2, ? g(a)=?1 1 1 ?4,-2≤a≤2, ? 1 ? 2 a-a ,a>2. ? ?


【南方新课堂】2015年高考数学(理)总复习课时检测:第2章 第4讲 函数的单调性与最值

南方新课堂】2015年高考数学()总复习课时检测:第2章 第4讲 函数的单调性与最值_高中教育_教育专区。【南方新课堂】2015年高考数学()总复习课时检测:第2...

【南方新课堂】2015年高考数学(文)总复习课时检测:第2章 第4讲 函数的单调性与最值]

南方新课堂】2015年高考数学()总复习课时检测:第2章 第4讲 函数的单调性与最值]_高中教育_教育专区。【南方新课堂】2015年高考数学()总复习课时检测:第...

2016届 数学 (理科)一轮复习 第二章 函数与基本初等函数 第2讲 函数的单调性与最值

2016数学 (理科)一轮复习 第二章 函数与基本初等函数 第2讲 函数的单调性与最值_数学_高中教育_教育专区。第2讲 函数的单调性与最值基础巩固题组 (建议...

【南方新课堂】2016年高考数学总复习 第二章 函数练习 理

南方新课堂2016年高考数学总复习 第二章 函数练习 理_数学_高中教育_教育...3?1 第 4 讲 函数的单调性与最值 1.(2014 年北京)下列函数中,定义域是 ...

2016届 数学 (文科)一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第2讲 函数的单调性与最值

2016数学 (文科)一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第2讲 函数的单调性与最值_数学_高中教育_教育专区。第二章 第2讲 函数、基本初等函数 函数的单...

2015-2016年高三上数学理科大练习4(修改)

2015-2016年高三上数学理科大练习4(修改)_数学_...x ? 的表达式; (Ⅱ) 求函数 g ? x ? 的单调...

2016年高考理科数学全国新课标Ⅱ卷答案及解析

2016年高考理科数学全国新课标Ⅱ卷答案及解析_高考_...x?2 x e 的单调性,并证明当 x ? 0 时, ( ...(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 E,...

高2016届1轮复习理科第二章 函数(学案)

2016届1轮复习理科第二章 函数(学案)_数学_高中...分式函数中分母 ; 4.一次函数,二次函数的定义域为...单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间 M 上是...

2016年高考理科数学全国新课标II卷精校版含答案

2016年高考理科数学全国新课标II卷精校版含答案_高考...有 , 的值域是 考点: 函数的单调性、极值与最值...(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 【...