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四川省绵阳南山中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学理试题

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2014 年 11 月

绵阳南山中学 2014 年秋季高 2016 届半期考试 数学试题(理科)
命题人 龙小平 审题人 王怀修 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1

、抛物线 y ? ? A. C.

1 2 x 的准线方程为( 6
B. D.



3 2 3 x? 2 y?

x?

1 24 1 y? 24
)

2、已知 P(2,-1),则过 P 点且与原点距离最大的直线的方程是( A.x-2y-5=0 B. 2x-y-5=0 C.x+2y-5=0 D. 2x+y+5=0 3、以圆 x ? 2 x ? y ? 0 的圆心为圆心,半径为 2 的圆的方程是(
2 2



A. ? x ? 1? ? y 2 ? 4
2

B. ? x ? 1? ? y 2 ? 2
2

C. ? x ? 1? ? y 2 ? 2
2

D. ? x ? 1? ? y 2 ? 4
2

4、已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点坐标是 ? 5,0 ? ,则双曲线的渐近线方程是( 9 m
3 2 x 4 3 D. y ? ? x 4
B. y ? ?



2 2 x 3 4 C. y ? ? x 3
A. y ? ?
2

5、抛物线 y ? 4 x 的焦点到双曲线 x 2 ?

y ? 1 的渐近线的距离是( 3 3 2

2



A.

1 2

B.

C. 1

D. 3
2 2

6、过原点且倾斜角为 60? 的直线被圆 x ? y ? 4 y ? 0 所截得的弦长为( A.



6

B.2 D. 3

C. 2 3

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7、若直线 l:y=kx- 3与直线 x+y-3=0 的交点位于第二象限,则直线 l 的倾斜角的取值 范围是( ) A. (

? 3?
2 ,

4 ? 3? C. ( , ) 3 4
8、 已知双曲线

]

B. (

) 4 ? 3? D. [ , ) 2 4 2

? 3?
,

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y ? 3 x ,它的一个焦点在抛物线 a 2 b2
)

y 2 ? 24 x 的准线上,则双曲线的方程为(
x2 y 2 ? ?1 9 27 x2 y 2 C. ? ?1 108 36
A.
2

x2 y 2 ? ?1 36 108 x2 y 2 D. ? ?1 27 9
B.

9、设抛物线 y =2x 的焦点为 F,过点 M( 3 ,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点,与 抛物线的准线相交于 C, BF =2,则 ? BCF 与 ? ACF 的面积之比

S ?BCF =( S ?ACF
4 5

)

A.

1 2

6

B.

2 3

C.

4 7

D.

C

4

2

F: (0.51, 0.00)

A F
M
5 10

-5

x=-0.5
-2

B

-4

x2 y2 a2 10、设 F1、F2 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线 x= 上存在点 P,使 a b c
-6 线段 PF1 的中垂线过点 F2,则椭圆离心率的取值范围是(

)

A.? C.?

3 ? ? 3 ,1?

B.?0,

?

3 ? 3 ?

2 ? ? 2 ,1?

2 D. ?0, ? 2? ?

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二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,请把答案填在答卷相应横线上. 11、经过点 A(3,0) ,且与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 平行的直线方程是________. 12、按如图所示的程序框图运算,若输入 x=20,则输出的 k=________.

13、椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 | PF1 |? 4 ,则 ?F1 PF2 的大小为 9 2
x2 y 2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1、A2 ,点 P 在椭圆 C 上,记直线 PA2 的斜率 4 3
.

__________. 14、椭圆 C :

为 k2 ,直线 PA1 的斜率为 k1 ,则 k1 · k2 =
2

15、已知过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线交抛物线于 M ( x1 , y1 ) 、N ( x2 , y2 ) 两点, 直线 OM 、 ON ( O 为坐标原点)分别与准线 l 相交于 P 、 Q 两点,下列结论正确的 是 .(请填上正确结论的序号) ① MF ? MQ ③ MN ? MQ ? NP ② ?PFQ ﹥

? 2

④以线段 MF 为直径的圆必与 y 轴相切

三、解答题:本大题共 4 小题,每小题 10 分,共 40 分.解答应写出必要的文字说明、演算 过程及步骤. 16、 (1)过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1:2x+y-8=0 和 l2:x-3y+10=0 截得的线段 被点 P 平分,求直线 l 的方程. (2)已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1,y1)、 B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9,求该抛物线的方程. 17、圆 M 的圆心在直线 y ? ?2 x 上,且与直线 x ? y ? 1 相切于点 A(2,?1) ,

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(1)试求圆 M 的方程; (2)从点 P (3,1) 发出的光线经直线 y ? x 反射后可以照在圆 M 上,试求发出光线所在 直线的斜率的取值范围.
2 2 18、已知椭圆 C: 4 x ? y ? 1 及直线 L: y ? x ? m .

(1) 当直线 L 和椭圆 C 有公共点时,求实数 m 的取值范围; (2) 当直线 L 被椭圆 C 截得的弦最长时,求直线 L 所在的直线方程 . 19、设椭圆 E:

x2 y 2 、N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点, ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) a 2 b2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,若不存在说明理由。
2016 级理科数学半期试题参考答案 一、选择题:ABDCB CBADA (13)120
?

二、填空题:(11) 2x+y-6=0 (12)3 三、解答题:

3 (14)-4

(15)①④

16、解:(1)设 l1 与 l 的交点为 A(a,8-2a)

2分

则由题意知,点 A 关于点 P 的对称点 B(-a,2a-6)在 l2 上, 代入 l2 的方程得-a-3(2a-6)+10=0, 解得 a=4,即点 A(4,0)在直线 l 上, 所以直线 l 的方程为 x+4y-4=0. p (2)直线 AB 的方程是 y=2 2(x- ), 6 分 2 分 5p 所以:x1+x2= ,8 分由抛物线定义得:|AB|=x1+x2+p=9, 9 分 4 所以 p=4,从而抛物线方程是 y2=8x. 10 分 17、解: (1)由题意知:过 A(2,-1)且与直线 x ? y ? 1 垂直的直线方程为: y ? x ? 3 ∵ 圆心在直线:y=-2x 上, ?x ? 1 ? y ? ?2 x ? ∴由 即 圆 心 M (1, ? 2) ( 2 分 ) 且 半 径 ? ? ? y ? ?2 ?y ? x ?3
r ? AO1 ? (2 ? 1) 2 ? (?1 ? 2) 2 ? 2

3分

5分 与 y2=2px 联立,从而有 4x2-5px+p2=0,7

3 分 5分
2 2

∴ 所求圆的方程为: 7 分,设发出光线为

( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 .

( 2 )圆 M 关于直线 y ? x 对称的圆为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 2 y ? 1 ? k ( x ? 3) 8 分 化简得 kx ? y ? 3k ? 1 ? 0 ,由 2 ?

| ?2k ? 1 ? 3k ? 1| 1? k 2

得k ? ?

46 23

9分

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所以发出光线所在直线的斜率取值范围为 [? 18、解: 由方程组 ?

46 46 , ]。 23 23

10 分

?4 x 2 ? y 2 ? 1, 消去 y,整理得 5 x 2 ? 2mx ? m 2 ? 1 ? 0 ? y ? x ? m,
4分

2分

∴△ ? 4m 2 ? 20(m 2 ? 1) ? 20 ? 16m 2

(1)因为直线和椭圆有公共点的条件是△ ? 0 ,即 20 ? 16m 2 ? 0 ,解之得 ? 5分

5 5 ?m? 2 2

2m ? ? x1 ? x 2 ? ? 5 ? (2)设直线 L 和椭圆 C 相交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2)由韦达定理得 ? 2 ? x1 ? x 2 ? m ? 1 ? 5 ?
∴弦长|AB|=
(1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ]

8分

=

? 4m 2 4(m 2 ? 1) ? 2 2? ? 10 ? 8m 2 , ?= 25 5 5 ? ?

?

5 5 ?m? 2 2
10 分

∴当 m=0 时,|AB|取得最大值,此时直线 L 方程为 y ? x . 19、解: (1)因为椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点, a 2 b2

?4 2 ?1 1 ? 2 ?1 ? 2 ? ? ?a 2 ? 8 x2 y 2 ?a b ? a2 8 所以 ? 解得 ? 所以 ? 2 椭圆 E 的方程为 ? ?1 8 4 ?b ? 4 ? 6 ? 1 ?1 ?1 ?1 ? ? ? a 2 b2 ? b2 4

4分

(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

? y ? kx ? m ? 2 2 OA ? OB ,设该圆的切线方程为 y ? kx ? m 解方程组 ? x 2 y 2 得 x ? 2(kx ? m) ? 8 , ?1 ? ? 4 ?8
即 (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 8 ? 0 ,
2 2 2

则△= 16k m ? 4(1 ? 2k )(2m ? 8) ? 8(8k ? m ? 4) ? 0 ,即 8k 2 ? m 2 ? 4 ? 0
2 2 2 2 2 2

5分

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4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?

k 2 (2m 2 ? 8) 4k 2 m 2 m 2 ? 8k 2 2 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? ? ?m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2 2

要 使 OA ? OB , 需 使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 即

2m 2 ? 8 m 2 ? 8k 2 ? ?0 , 所 以 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

3m 2 ? 8k 2 ? 8 ? 0
所以 k ?
2

7分

? m2 ? 2 3m 2 ? 8 2 6 8 , 所以 m 2 ? , 即 m ? ? 0 又 8k 2 ? m 2 ? 4 ? 0 , 所以 ? 2 8 3 3 ?3m ? 8

或m? ?

2 6 ,因为直线 y ? kx ? m 为圆心在原点的圆的一条切线 ,所以圆的半径为 3
, r2 ?

r?

m 1? k 2

m2 ? 1? k 2

m2 8 2 6 8 ,所求的圆为 x 2 ? y 2 ? ? ,r ? 2 3m ? 8 3 3 3 1? 8

8分

此时圆的切线 y ? kx ? m 都满足 m ?

2 6 2 6 或m ? ? ,而当切线的斜率不存在时切 3 3

x2 y 2 2 6 2 6 2 6 2 6 2 6 线为 x ? ? 与椭圆 ? ? 1 的两个交点为 ( ,? ) 或 (? ,? ) 8 4 3 3 3 3 3
满足 OA ? OB 9分

综上, 存在圆心在原点的圆 x 2 ? y 2 ? 交点 A,B,且 OA ? OB . 10 分

8 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个 3


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