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2010一模虹口高三数学理科


2009 学年第一学期徐汇区高三年级数学学科 学习能力诊断卷 (理科试卷)
(考试时间:120 分钟,满分 150 分) 一. 填空题:(本题满分 56 分,每小题 4 分) 2010.1

1.设全集 U 是实数集,若 M ? x 2.函数 f ( x) ?

?

x ? 1 ? 0 , N ? x 3x

? 3x?2 ,则 M C uN 等于_____.

?

?

2

?

x 2 ?1 ?

1 的定义域为________________. 2? x
.

3.已知 a ? b =3, a ? b =4,则 a ? b = 4. 若关于 x 的方程

1 ? x2 ? 2 x 3 ?a

则实数 a 的取 ? 0 有解, 开始 s?0,n?2,i?1

值范围是 ___________________. 5.函数 y ?

1 ? cot x 的最小正周期是__________. sin x

6. arccos ? sin

? ?

5? ? 5? ? ? ? ? arcsin ? cos ? ? ___________. 3 ? 6 ? ?

否 是

1 1 1 1 ? ? ? ? 的值的一个程序 2 4 6 20 框图,其中判断框内应填入的条件是_______________.
7.如图给出的是计算

s?s?

1 n

输出 s 结束

n?n?2

i?i?1

(第 7 题图) 8.设 A 是 m 阶方阵,定义运算: A ? A ? A 2 , A n?1 ? A n ? A?n ? N *? ,称这一运算为矩阵的乘方。
1 1 ,计算 A 2 , A3 , A 4 , 显然矩阵的乘方满足:对任意的 m, n ? N *, A m ? A n ? A m?n ,设 A ? ? ? 0 1? ? ? ?

并对一切正整数 n ,猜想 A n ? __________. 9.有一技术难题,甲单独解决的概率为 则此难题能被解决的概率是
n n 3 2 n

1 1 ,乙单独解决的概率为 ,现两人单独解决难题, 2 3 .

10 .若 ( x ? 2) ? x ? ? ? ax ? bx ? cx ? 2 (n ? N , n ? 3) 且

a : b ? 3 : 2 ,则

n ? _______________ .

1

11.点 P 是直线 2x+y+10=0 上的动点,直线 PA、PB 分别切圆 x 2 ? y 2 ? 4 于 A、B 两点,则 四边形 PAOB(O 为坐标原点)的面积的最小值=__________. 12.定义在 R 上的函数 f ? x ? ,其图像关于点 ?1, 2 ? 成中心对称,且 f ? x ? 存在反函数 f ?1 ? x ? , 若 f ? 4? ? 0 ,则 f ?1 ? 4 ? =_________________. 13. 已知点 P 在双曲线 x2 ? y 2 ? a2 ? a ? 0? 的右支上 A 1, A 2 分别是双曲线的左、右顶点,且

?A2 PA1 ? 2?PA1 A2 ,则 ?PA1 A2 =__________________.
14. 已知数列 ?xn ? 满足 x2 ?

1 1 x1 , xn ? ? xn ?1 ? xn ? 2 ?? n ? 3, 4,5, 2 2

xn ? 2 ,则 ? ,若 lim n ??

x1 =____________.
二.选择题: (本题满分 16 分,每小题 4 分)
15.直线 y ? x ? 1 与曲线 (A)1 个

y2 x x ? ? 1 的公共点的个数是-------------------------------( 9 4
(C)3 个 (D)4 个



(B)2 个

16. 已知 ?an ? 为等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 105, a2 ? a4 ? a6 ? 99 。以 S n 表示 ?an ? 的前 n 项和,则使得 S n 达到最大值的 n 是--------------------------------------------------------( (A)18 (B)19 (C)20
0

)

(D)21

17.?ABC 中,若 AB ? 3, AC ? 1 ,则“ ?B ? 30 ”是“ ?ABC 的面积等于 (A) .充分而不必要条件 (C) .充分必要条件
2

3 ”的( 2



(B) .必要而不充分条件 (D) .既不充分也不必要条件

18 . 已知 f ? x? ? ax ? bx? c ? a?0? ,且方程 f ? x? ? x 无实根。现有四个命题①方程

f? ? f ? x? ? ? ? x也一定没有实数根;②若 a ? 0 ,则不等式 f ? ? f ? x ?? ? ? x 对一切 x ? R 成立;
③若 a ? 0 ,则必存在实数 x0 使不等式 f ? ? f ? x0 ? ? ? ? x0 成立;④若 a ? b ? c ? 0 ,则不等式

f? ? f ? x ?? ? ? x 对一切 x ? R 成立。其中真命题的个数是---------------------------------------(
(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个



2

三.

解答题: (本大题共 5 题,满分 78 分)
a ? x ? 1? ? 1 ?其中a ? 0且a ? R? x?2

19. (本题满分 14 分) 解关于 x 的不等式

20. (本题满分 14 分,第一小题 6 分;第二小题 8 分) 已知向量 m ?

?

3 sin x, cos x , n ? ? cos x, cos x ? , p ? 2 3,1 。

?

?

?

(1)若 m // p ,求 sin x ? cos x 的值; (2) 设 ?ABC 的三边 a、b、c 满足 b ? ac , 且边 b 所对的角 B 的取值集合为 M , 当 x?M
2

时,求函数 f ? x ? ? m ? n 的值域.

21. (本题满分 16 分;第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第三小题 6 分) 设 f ? x? ?

x , g ? x ? ? ? x ? a ? a ? 0?

(1)若 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,试求 F ? x ? 的单调递减区间; (2)设 G ? x ? ? ?

? ? ? ? f ?x ? f ?x ? ?g x ,试求 a 的值,使 G ? x ? 到直线 x ? y ? 1 ? 0 距离的最 ? ?g ? x? f ? x? ? g ? x?

小值为 2 ; (3)若不等式

f ? x? ? a ? ? g ? x ? ? 2a ? ? f ? x?

? 1 对 x ??1, 4? 恒成立,求 a 的取值范围.

3

22. (本题满分 16 分;第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分) 数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn ,首项为 x ? x ? R ? ,满足 S n ? nan ? (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 是否存在 x ? x ? R ? ,使

n(n ? 1) n? N? ? ? 2

Sn ? k (其中 k 是与自然数 n 无关的常数),若存在,求出 x 与 k S2 n

的值,若不存在,说明理由; (3) 求证: x 为有理数的充要条件是数列 ?an ? 中存在三项构成等比数列.

23. (本题满分 18 分;第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分) 已 知 抛 物 线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 过 焦 点 F 的 任 一 条 弦 AB , 设 A? x y ? x 1, y 1? , B 2, ? 2 且

y1 ? 0, y2 ? 0
(1) 若 y1 y2 ? ?4 ,求抛物线方程; (2) 是否存在常数 ? ,使

Y A

1 1 ? ??, FA FB
O B F x

若存在,求出 ? 的值,并给予证明,若 不存在,请说明理由; (3) 在抛物线对称轴( ox 的正方向)上是否 存在一定点 M ,经过点 M 的任意一条 弦 AB ,使

1 MA
2

?

1 MB
2

为定值,若

存在,则求出定点 M 的坐标和定值,若不存在,请说明理由.

4

2009 学年第一学期徐汇区高三年级数学学科 学 习 能 力 诊 断 卷 理科试卷参考答案及评分标准(2010.1)
一. 填空题: 1. ? 2. (??, ?1] [1, 2) 7. n ? 20 或 i ? 10 13.

(2, ??)

3. ?

7 4

4. [?3, ??) 9.

5.

2?
11.8

6.

? 2

1 n ,n? N * 8. A n ? ? ?0 1? ? ? ?

? 14. 3 8
15.A 16.C 17.B 18.C

2 3

10. 11

12. ?2

二.选择题: 三.解答题: 19.解:由

a ? x ? 1? ? a ? 1? x ? ? a ? 2 ? ? 0 ---------------------------------------------2 分 ?1? x?2 x?2

如果 a ? 1 ,则此不等式的解是 x ? 2 ;----------------------------------------------------------6 分

a?2 a ? 1 ? 0 ,此时 a ? 2 ? 2 ? ?a ? 0 ,即 a ? 2 ? 2 如果 a ? 1 ,则 a ?1 a ?1 a ?1 x?2 a?2 该不等式的解是 x ? 2 或 x ? ;-------------------------------------------------------------10 分 a ?1 a?2 x? a ? 1 ? 0 ,且 a ? 2 ? 2 ? ?a ? 0 ,即 a ? 2 ? 2 如果 0 ? a ? 1 ,则 a ?1 a ?1 a ?1 x?2 a?2 此时不等式的解为 2 ? x ? ;----------------------------------------------------------------14 分 a ?1 a?2 a?2 综上: a ? 1 时, x ? 2 ; a ? 1 时, x ? 2 或 x ? ; 0 ? a ? 1 时, 2 ? x ? a ?1 a ?1 x?
20.解: (1)由

3 sin x 2 3 ? ? sin x ? 2cos x cos x 1
2 ;-----------------------------------------------------------------6 分 5

? tan x ? 2 ? sin x ? cos x ?
(2) cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? c 2 ? ac a 2 ? c 2 1 2ac 1 1 ? ? ? ? ? ? 2ac 2ac 2ac 2 2ac 2 2

? ? M ? (0, ], -------------------------------------------------------------------------------------------10 分 3

5

f ? x ? ? 3 sin x cos x ? cos x cos x ?

3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? 2 2

?? 1 ? ? sin ? 2 x ? ? ? 6? 2 ?

? ? ? 5? ? ? ?1 ? ? x ? (0, ]? 2 x ? ? ( , ]?sin ? 2 x ? ? ? ? ,1? 3 6 6 6 6 ? ?2 ? ?

? 3? ? f ? x ? ? ?1, ? ----------------------------------------------------------------------------------------14 分 ? 2?

1? 1 ? 21.(1)解: F ? x ? ? f ? x ? ? g ( x) ? ? x ? x ? a ? ? ? x ? ? ? a ? , 2? 4 ?
易得当 x ?

2

1 1 即 x ? [ , ??) 时, F ? x ? 单调递减;----------------------------------------4 分 2 4

另解:对任意 0 ? x1 ? x2 ? ??

F ? x1 ? ? F ? x2 ? ? ? x1 ? x1 ? a ? ? x1 ? x1 ? a ?


?

?

?

x1 ? x2 ?1 ? ?

? ?

x1 ? x2 ? ?

?

? ??

1 1 ? x1 ? x2 ? ?? 时, ? ?? 式大于零,所以, x ? [ , ??) 时, F ? x ? 单调递减; 4 4 P l (2)如图:易得所求即为 点到直线 的距离,也就是两条平
行直线 x ? y ? 1 ? 0 与 x ? y ? a ? 0 之间的距离, y



a ?1 2

l

? 2 ,且 a ? 1 得 a ? 3 ;----------------------10 分
0

P x

(3)

f ? x? ? a ? ? g ? x ? ? 2a ? ? f ? x?

?1?

x ? a ? x ? a? x

a ? ? ? 1? a ? x ? ? ?1 x? ?

a ? a ? ? ? ? ?1 ? a ? x ? ? ?1 ? 1 ? 0 ? a ? x ? ? ? 2 ,将 x ? 1 与 x ? 4 分别代入得 x? x? ? ?
? ? a? ?a ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ?0 ? a ? 2 2 ? 2 ? 0 ? a ? 2 2 ? 2 ----------------------------------16 分 ?a ?1 ? a ? ? 2 ? ? ? ?0 ? a ? 1 ?a ? 0 ? ? ?
6

? ? n ? 1? n Sn ?1 ? ? n ? 1? an ?1 ? ? ? 2 22.解: (1) ? ? an ?1 ? ? n ? 1? an ?1 ? nan ? n n ( n ? 1) ? S ? na ? n n ? ? 2

? an?1 ? an ? 1,数列 ?an ? 是等差数列,首项为 x ,公差为 1? an ? x ? ? n ? 1? ? n ? N ? ? 6 分
(2)由 Sn ? kS2 n ,即 xn ?

1 n(n ? 1) ? k (2 xn ? n(2n ? 1)) , 2 1 1 整理得: (1 ? 4k )n ? (2 x ? 1)(2k ? 1) ? 0 ,当 x ? , k ? 时,该式恒成立; 2 4 1 1 1 Sn 1 即:当 x ? 时, ? ,? x ? , k ? 即为所求。--------------------------------10 分 2 2 4 S2 n 4

(3)证明:充分性:若三个不同的项 x ? i, x ? j , x ? k 成等比数列,且 i ? j ? k ,则

?x ? j?

2

? ? x ? i ?? x ? k ? ? x ? i ? k ? 2 j ? ? j 2 ? ik

若 i ? k ? 2 j ? 0 ,则 j 2 ? ik ? 0 ,? i ? j ? k 与 i ? j ? k 矛盾,

i ? k ? 2 j ? 0? x ?

j 2 ? ik ,且 i, j , k 都是非负整数,? x 是有理数;----------------13 分 i?k ?2j

必要性:若 x 是有理数,且 x ? 0 ,则必存在正整数 k ,使 x ? k ? 0 ,令 y ? x ? k 则 正 项 数 列 y, y ? 1, y ? 2, , 是 原 数 列 x, x ? 1, x ? 2, 的一个子数列,只要正项数列

y, y ? 1, y ? 2,
列。

中存在三个不同的项构成等比数列则原数列中必有 3 个不同项构成等比数

不失一般性,不妨设 x ? 0 ,记 x ?

n n, m ? N ? , 且m, n互质? ? m
2

? 又设 k , l ? N , l ? k ,且 x, x ? k , x ? l 成等比数列,则 ? x ? k ? ? x( x ? l ) ? l ? 2k ?

m 2 k n

为使 l 为整数,可令 k ? n ,于是 l ? 2n ? mn 可知 x, x ? n, x ? ? m ? 2? n 成等比数列。证毕----------------------------------------------------16 分 23. (1)解:设 AB : x ? ty ?
2 2

p 2 代入 y ? 2 px 2
2

得 y ? 2 py ? p ? 0,? y1 y2 ? ? p ? ?4? p ? 2 ?
2

p ? 0?

所以,抛物线方程为 y ? 4 x -----------------------------------------------------------------------4 分

7

(2) 1 当 AB ? x 轴时, FA ? y1 ? p, FB ? y2 ? p,?
0

1 1 2 ? ? ?? FA FB p

猜想:存在 ? ?

2 p

20 一般地证明:

y1 y2 ? ? p2 , y1 ? y2 ? 2 pt ,其中 t 是 AB 的斜率,由抛物线的定义知

y2 ? y2 ? y1 ? p p y12 p 2 ? y12 y12 ? y1 y2 y1 ? y1 ? y2 ? ,同理 FB ? FA ? ? x1 ? ? ? ? ? 2p 2 2 2p 2p 2p 2p

?

2 p ? y2 ? y1 ? 1 1 2p 2p 2p 2 ? ? ? ? ?? ? ,证毕-------10 分 FA FB y1 ? y1 ? y2 ? y2 ? y2 ? y1 ? y1 y2 ? y1 ? y2 ? y1 y2 p

(3)解:假设存在这样的定点 M ? x0 ,0?? x0 ? 0?
2 10 先探求定点坐标及定值,当 AB ? x 轴时,有 A? x0 , y0 ? , B ? x0 , ? y0 ? ,又 y0 ? 2 px0

?

1 MA
2

?

1 MB
2

?

2 2 1 ,当 AB 绕点 M 转动时,点 A ? O 点, ? ? 2 y0 2 px0 px0 1 MA
2

得 MA ? OM ? x0 ,点 B ? 无穷远, MB ? ? ,?

?

1 MB
2

?

1 ,由假设知 2 x0

1 1 1 ? 2 ,? x0 ? p ,猜想过定点为 M ? p,0? ,定值为 ? 2 ---------------------------------13 分 p px0 x0
20 再证明:结论:存在定点 M ? p,0? ,过 M 点的任意弦 AB ,使?

1 MA
2

?

1 MB
2

?

1 (定 p2

2 2 2 值)设 AB : x ? ty ? p ,代入 y ? 2 px ,得 y ? 2 pty ? 2 p ? 0 ,记 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,

则?

? y1 ? y2 ? 2 pt ? y1 y2 ? ?2 p
2

2

,而 MA ? ? x1 ? p ? ? y1 ? 1 ? t
2 2 2

?

2

?y

2 1 ,

2 2 MB ? ? x2 ? p ? ? y2 ? ?1 ? t 2 ? y2 , 2

2 ? y1 ? y2 ? ? 2 y1 y2 y12 ? y2 1 1 ? ? ? ? ? ? 2 2 MA MB ?1 ? t 2 ? y12 ?1 ? t 2 ? y22 ?1 ? t 2 ? ? y1 y2 ?2 ?1 ? t 2 ? 4 p4

1

1

2

?

4 p 2t 2 ? 4 p 2 1 ? 2 (定值)------------------------------------------------------------------------18 分 2 4 ?1 ? t ? 4 p p

8


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