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新人教版2014—2015学年高三上学期期中考试(理科)数学试卷


数学测试题答案
一、 (每小题 5 分,共计 60 分) DCABA BDADB CC 二、 (每小题 5 分,共计 20 分) 13、2 e ;14、

n 10 6 1 ○ 2 ○ 3 ;16、 ; 15、○ . 2n ? 1 3

三、解答题(共计 70 分,17 题 10 分,其它各题每小题 12 分) 17、解

f ? x ? ? 1? 2sin x cos x ? 2cos2 x ………………………… 1 分 = sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ………………………… ……… 2 分

?? ? = 2 sin ? 2 x ? ? ? 2 …………………………………4 分 4? ?

? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? (1) f ? ? ? 2 sin ? ? ? ? 2 ? 2 ? sin cos ? cos sin ? +2…6 分 6 4 6 4? ? 12 ? ?6 4? ?
1 3 5? 3 = ? ……………………………………7 分 ?2? 2 2 2
(2)由 2k? ?

w

w w .x k b 1.c o m

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

k? ?

?
8

? x ? k? ?

5? ………………………………9 分 8

3? 得……………………8 分 2

新课 标第 一 网

? 5? ? ? 所以, f ? x ? 的单调减区间是 ? k? ? , k? ? ? k ? Z ? ……10 分 8 8 ? ? ?
(注:未注明 k ? Z 者,扣 1 分.) 18、解(1)

B?

?

?? ? ? A,? cos B ? cos ? ? A ? ? ? sin A, 即sin A ? ? sin B. …2 分 2 ?2 ?
3 4 3 4 ? ? ,所以 , …4 分 sin A sin B ? cos B sin A
Xkb1.co

又 a ? 3, b ? 4, 所以由正弦定理得
m

所以 ?3sin B ? 4 cos B ,两边平方得 9sin 2 B ? 16cos 2 B ,又 sin 2 B ? cos2 B ? 1

3 ? 3 所以 cos B ? ? , 而 B ? ,所以 cos B ? ? . ……………………………6 分 5 2 5 3 4 (2) cos B ? ? ,? sin B ? ……………………7 分 5 5 B?

?

2

? A ,? 2 A ? 2B ?? ? ,

s i n? A 2

?B ?2 ?sin ???

sB in 2

4 ? 3 ? 24 = ?2sin B cos B ? ?2 ? ? ? ? ? ? …………………………………9 分 5 ? 5 ? 25
又 A ? B ? C ? ? ,? C ?

[来源:Z*xx*k.Com]

3? 7 ? 2 B ,?sin C ? ? cos 2B ? 1 ? 2cos 2 B ? …11 分 2 25 24 7 31 ? sin 2 A ? sin C ? ? ? …………………………………12 分 25 25 25

19、解 (1) a2 ?

1 1 , a3 ? …………………………4 分 3 2
? 1 ? ? 为等差数列,则 ? an ? ? ?

(2)假设存在一 个实常数 ? ,使得数列 ?

1 1 1 2 1 1 成等差数列,所以 ,……6 分 , , ? ? a1 ? ? a 2? ? a 3 ?? a2 ? ? a1 ? ? a3 ? ?
所以

2 1 ?? 3
1

?

1 1 ,解之得 ? ? 1 .……………8 分 ? 0?? 1 ?? 2
?

因为

3 ? an 1 ? an 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? …11 分 an ?1 ? 1 an ? 1 1 ? an ? 1 an ? 1 2 ? an ? 1? an ? 1 2 ? an ? 1? 2 3 ? an



? 1 ? 1 ? ?1 ,所以存在一个实常数 ? = 1,使得数列 ? ? 是首项为 ?1 , a1 ? 1 ? an ? ? ?
1 的等差数列.…12 分 2

公 差为 ?

x kb 1

20、 (1)证明 取 BC 的中点 M , 连结 AM , PM .

P N E H B G A F M C D

A B? B C , ? ABC ?6 0,??ABM 为正三角形,
?A M? B . C
又 PB ? PC,? PM ? BC, AM

PM ? M ,

? BC ? 平面 PAM ,

x.k.b.1

PA ? 平面 PAM ,同理可证 PA ? CD,

又 BC

CD ? C,? PA ? 平 面 ABCD. …4 分.

w

w w .x k b 1.c o m

(2)取 PA 的中点 N ,连结 EN , ND.

PE ? EB, PN ? NA,? EN // AB, 且 EN ?

1 1 AB. 又 FD // AB, 且 FD ? AB, 2 2

? EN //DF ,? 四边形 ENDF 是平行四边形,? EF // ND, 而 EF ? 平面 PAD,
ND ? 平面 PAD,? EF // 平面 PAD. …………………8 分
xk|b|1

(3 )取 AB 的中点 G, 过 G 作 GH ? PB 于点 H , 连结 HC , GC. 则 CG ? AB, 又 CG ? PA, PA

AB ? A,?CG ? 平面 PAB. ? HC ? PB,

??GHC 是二面角 A ? PB ? C 的平面角.
在 Rt ?PAB 中, AB ? 2, PB ? 4,? PA ? 2 3. 又 Rt ?BHG ∽ Rt ?BAP ,?

HG BG 3 . ? ,? HG ? PA PB 2 15 5 , , ? cos ?GHC ? 2 5

在 Rt ?HGC 中,可求得 GC ? 3,? HC ?

故二面角 A ? PB ? C 的余弦值为

5 . ………………12 分. 5

(注:若(2) 、 (3)用向量法解题,证线面平行时应说明 EF ? 平面 PAD 内,否 则扣 1 分;求二 面角的余弦值时,若答案为负值,亦扣 1 分.) 21、解 (1)设椭圆的标准方 程为
2

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,有椭圆的 定义可得 a 2 b2
2 2 2

? 2 ? ? 30 ? ? 2 ? ? 30 ? 2a ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 6 ? ? 2 ? ?? ? ? ? 2 3. ? ? ? ? ? ? ? 6 ?

?a ? 3, 又 c ? 2,?b ? 1,
故椭圆的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1. … ………………………4 分. 3
x k b 1 . c o m

(2)设直线 l 的方程 为 y ? kx ? 2 ,

? x2 2 ? ? y ? 1, 由? 3 得 ?1 ? 3k 2 ? x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 ,依题意 ? ? 36k 2 ? 36 ? 0 , ? y ? kx ? 2 ?

?k 2 ? 1??? …………………………6 分
设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则 x1 ? x2 ?

12k 9 , x1 x2 ? ,………………7 分 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

x k b 1 . c o m

? AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ?
由点到直线的距离公式得 d ?

6 k 2 ?1 ,……………8 分 1 ? 3k 2
,………………9 分

2 1? k 2

1 6 k 2 ?1 2 6 k 2 ?1 ? S? ? ? 1 ? k 2 ? ? ? . ……………10 分 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 1? k 2
设 k 2 ? 1 ? t ? t ? 0 ? , 则k 2 ? t 2 ? 1,

? S?OAB ? 6 ?

t t 1 3 ? 6? 2 ? 6? ? , 2 4 3t ? 4 2 1 ? 3 ? t ? 1? 3t ? t

当且仅当 t ?

2 3 时,上式取等号, 3 3 . …………………12 分 2

所以, ?OAB 面积的最大值为 22、解

(1) 由题意知, f ? x ? 的定义域为 ? ?1, ?? ? ,

a ? ?6 时,由 f ? ? x ? ? 2 x ? 1 ?

6 2 x 2 ? 3x ? 5 ? ? 0, x ?1 x ?1

5 ? ? 得 x ? 1? x ? ? 舍去 ? 2 ? ?
当 x ? ? 0,1? 时, f ? ? x ? ? 0,当x ? ?1,3?时,f ? ? x ? ? 0 ,

?当x ?? 0,1? , f ? x ? 单调递减,当 x ? ?1,3? 时, f ? x ? 单调递增. …2 分
所以 f ? x ?min ? f ?1? ? 2 ? 6ln 2. 又因为 f ? 0? ? 0, f ?3? ? 32 ? 3 ? 6ln 4 ? 12 ?1 ? ln 2? ? 0,

所以 f ? x ?max ? f ?3? ? 12 ?1 ? ln 2? . 所以 f ? x ?min ? 2 ? 6ln 2. , f ? x ?max ? 12 ?1 ? ln 2? . ……………4 分 ( 2 )依题意, f ? ? x ? ? 2 x ? 1 ?

a 2 x 2 ? 3x ? 1? a ? ? 0 在 ? ?1, ?? ? 上有两个 x ?1 x ?1

不等实根,即 2 x2 ? 3x ? a ? 1 ? 0 在 ? ?1, ?? ? 上有两个不等实根,…6 分

? 1 ?? ? 9 ? 8 ? a ? 1? ? 0, 设 h ? x ? ? 2x2 ? 3x ? a ?1,则 ? , 解得 0 ? a ? . ……8 分 8 ? ?h ? ?1? ? 0
(3) g ? x ? ? x3 ? x ? f ? x ? = x3 ? x2 ? ln ? x ? 1? ,

g ? ? x ? ? 3x 2 ? 2 x ?

3x3 ? ? x ? 1? 1 ? x ?1 x ?1

2

显然,当 x ? ? 0, ??? 时, g? ? x ? ? 0, 所以 g ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增, 所以,当 x ? ? 0, ??? 时, g ? x ? ? g ? 0? ? 0,即x2 ? x3 ? ln ? x ?1? 恒成立.…10 分 令x?

1 n ? 1 n ?1 ?1 ? 1 1 ? ? 0, ?? ? ? n ? N ? ? ,则有 ln ? ? 1? ? 2 ? 3 ,即ln ? 3 . …12 分 n n n ?n ? n n

新课 标第 一 网


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