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用二分法求方程的近似解


知识回顾:
f ( x) ? 0 1. 对于函数y=f(x)(x∈D),把使______ 成立的实
数 x 叫做函数y=f(x)的零点.

注意: 函数的零点不是点,是数.
2.几个等价关系 零点 即: 函数y=f(x)有_______

? 方程f(x)=0有 实数根
x轴 有交点 ?函数y=f(

x)的图象与 ______

3.判定函数零点的常用方法: ①方程 法; ②图像法; ③零点存在性定理:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲 线,并且有f(a)· f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间 (a,b) 内 有零点。

注意:零点存在性定理是不可逆的.

4、一元二次方程根的分布: 2 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)在某个区间 ★一元二次方程
上有实根,求其中字母系数的问题称为实根分布问题。
(1)当两根与“0”比较时,可采用韦达定理解决; (2)当两根在某个具体区间时,就必须用根的分布的方法。 一元二次方程根的分布转化为一元二次函数图像与x轴交点分布,
根的分布问题一般考虑四个方面,即 (1)开口方向 (2)判别式

? ? b ? 4ac
2

b (3)对称轴 x ? ? 2a
(4)端点值 f ( m) 的符号。

?

? 开口方向 ? ? ? ? ? 对称轴 ? ?端点值符号

游戏规则: 给出一件商品,请你猜出它的准确价 格,我们给的提示只有“高了”和“低 了”。给出的商品价格在1000 ~ 2000之 间的整数,如果你能在规定的次数之内 猜中价格,这件商品就是你的了。
要求:误差小于1元.
游戏:
“看商品猜价格”,请同学们在误差范围内猜一 猜这件商品(1000~2000元间)的价格。

如何做才能以最快的速度猜中?

(对半猜)

主持人李咏说道:猜一猜这件商品的价格[1000,2000].
观众甲:2000! 李咏:高了! 观众甲:1000! 李咏:低了!

观众甲:1500!

李咏:低了!

………………. 李咏:这件商品归你了。 下一件……

引例:有12个大小相同的小球,其中有 11个小球质量相等,另有一个小球稍重, 用天平称几次就可以找出这个稍重的球?

引 例

从某水库闸房到防洪指挥部的某一处电话线路发生了故障。这是一条 10km长的线路,如何迅速查出故障所在?(每50米一根电线杆)

如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多。 每查一个点要爬一次电线杆子,10km长,大约 有200根电线杆子呢。 想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最 合理?

如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B, 1.首先从中点C查. 2.用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定 故障在BC段, 3.再到BC段中点D, 4.这次发现BD段正常,可见故障在CD段, 5.再到CD中点E来看. 6.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半,

A

C

E

D

B

在已知存在零点的区间确定函数的零点的近似值,

实际上就是如何缩小零点所在的范围,得到一个更小的区
间,使得零点还在里面, 从而得到零点的近似值。

问: 这能提供求确定函数零点的思路吗?

思路:用区间两个端点的中点,将区间一分为二??

一.二分法的定义:


y ? f ?x ? ,通过不断地把函数 f ?x ?的零点所在的区

对于在区间 ?a, b? 上连续不断且 f ?a ? ? f ?b? ? 0的函

间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到 零点近似值的方法叫做二分法. 二分法的实质:
将函数零点所在的区间不断地一分为二, 使新得到的区间不断变小,两个端点逐步逼近 零点.
a 0 b y

x

思考:

读法: epsilon

你能归纳出“给定精确度ε,用二分法求
函数零点近似值的步骤”吗?

二、 给定精确度 ,用二分法求函数 f ?x ?零点近似值的 步骤如下:
1.确定区间 ?a, b? ,验证 f ?a ? ? f ?b? ? 0 ,给定精确度 2.求区间 ?a, b ?的中点 c ; 3.计算 f ?c ? ; (1)若 f ?c ? ? 0 ,则 c 就是函数的零点; (2)若 f ?a ? ? f ?c? ? 0 ,则令 b

?

?;

(3)若 f ?c ? ? f ?b? ? 0 ,则令 a ? c (此时零点 x0 ? 4.判断是否达到精确度 近似值 a(或

? c(此时零点 x0 ? ?a, c?).

? :即若 a ? b ? ? ,则得到零点

?c, b?).

b);否则重复2~4.

?思考:
通过这种方法,是否可以得到任意精确度的近似值? (如精确度为0.01)

精确度为0.01: 即
零点值与近似值的差的绝对值要小于或等于0.01。

通常由于零点值是要计算的估计值(未知的),无法判断精确度。

故每次判断区间[a,b]的区间长度|a-b|<

?(精确度).

仔细阅读教材

P90 方框中的内容!

再回首看前面见过的例题:

解方程 : ? ln x ? 2 x ? 6 ? 0
找函数? f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6的零点
逐渐缩小函数f ( x ) ? ln x ? 2 x ? 6的零点所在范围

(2,3)

在区间(2,3)内零点的近似值.
区间 抓住f(a)* f(b)<0

中点 的值 2.5

中点函数 近似值 -0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009

区间长度

|a-b|

(2,3)

1 0.5 0.25 0.125 0.0625

(2.5,3) 2.75 (2.5,2.75) 2.625 (2.5,2.625) 2.5625 (2.5,2.5625) 2.53125 (?,?) …

求函数f ? x? ? ln x ? 2x ? 6在区间? 2, 3? 零点的近似值.
(精确度为0.01)

区间
抓住f(a)* f(b)<0 (2,3)

中点
2.5 2.75 2.625 2.5625 2.53125 2.546875 2.5390625

中点函数

区间长度

近似值
-0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009 0.029 0.010

|a-b|
1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125

(2.5,3) (2.5,2.75)
(2.5,2.625) (2.5,2.5625) (2.53125,2.5625) (2.53125,2.546875)

0.015625

(2.53125,2.5390625)

2.53515625

0.001

0.0078125

设函数的零点为 如图 由于 a ? b

=2.53125, b =2.5390625,则 a ? x ? b. x0 , a 0

a

.

x0

.

.

b

? 2.53125 ? 2.5390625 ? 0.0078125 ? 0.01,

所以我们可将此区间内的任意一点作为函数零点的 近似值,特别地,可以将区间端点作为零点的近似值. 注意:函数零点的近似值不唯一. 所以方程的近似解为

x ? 2.53125

应用: 1、下列函数中能用二分法求零点的是(

B )

(A)

(B)

(C)

(D)

练习.下列函数零点不宜用二分法的是( C ) A.f(x)=x3-8 B.f(x)=lnx+3 C.f(x)=x2+2x+2 D.f(x)=-x2+4x+1

应用:
2、用二分法求函数y=f(x)在x∈(1,2)为零点近似
值的过程中得到f(1)<0, f(1.5)>0, f(1.25)<0,则函数的

零点落在区间( B )
(A)(1,1.25) (B)(1.25,1.5)

(C)(1.5,2)

(D) 不能确定

f(1.25)* f(1.5)<0

3.计算函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 2x ? 2 的一个正零点, 列表如下: 中点坐标
x0=1.5
x1=1.25 x2=1.375 x3=1.4375

中点函数值

取区间
[1,2]

f(x0) >0
f(x1) <0 f(x2) <0 f(x3) >0

[1,1.5]
[1.25,1.5] [1.375,1.5] 0.125 [1.375,1.4375] 0.0625

x4=1.40625

f(x4) <0

[1.40625,1.4375] 0.03125

1.375 若精确度为0.1,结果是________.
答案不唯一 可取[1.375,1.4375] 中的任意一个值.

抓住: 区间长度 |a-b|<0.1

4.利用计算器,算出自变量和函数值的对应值如下表:
x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 ?

y=2x

1.149

1.516

2.0

2.639 3.482 4.595 6.063

8.0

10.556

?

y=x2

0.04

0.36

1.0

1.96

3.24

4.84

6.76

9.0

11.56

?

那么方程2x=x2的一个根所在区间为( C )

A.(0.6,1.0) C.(1.8,2.2)

B.(1.4,1.8) D.(2.6,3.0)

【解析】 设f(x)=2x-x2,由表格观察出 在x=1.8时,2x>x2,即f(1.8)>0;在x=2.2时, 2x<x2,即f(2.2)<0.所以f(1.8)·f(2.2)<0,所以 方程2x=x2的一个根位于区间(1.8,2.2)内.故 选C. 【答案】 C

通过本节课的学习,你学会了 哪些知识? 基本知识:1. 二分法的定义; 2.用 二分法求解方程的近似解的步骤. 二分法求方程近似解的口诀: 定区间,找中点, 同号去,异号算, 周而复始怎么办? 中值计算两边看; 零点落在异号间; 精确度上来判断.


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