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1989年全国高中数学联赛试题及详细解析


一.选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分): 1. 若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角,则复数 z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA) 在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 1 2.函数 f(x)=arctanx+ arcsinx 的值域是( ) 2
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D.第四象限

/>
A.(-π ,π )

B.[- π , π ]

3 4

3 4

C.(- π , π )

3 4

3 4

D.[- π , π ]

1 2

1 2

三.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1.若 loga 2<1,则 a 的取值范围是 . 2. 已知直线 l:x+y=10, 2 过点(-10, 0)作直线 l?⊥l, l?与 l 的交点坐标为 则 . 3.设函数 f0(x)=|x|,f1(x)=|f0(x)-1|,f2(x)= |f1(x)-2|,则函数 y=f2(x)的图象 与 x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是 . 4.一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,则该数为 . 5.如果从数 1,2,3,…,14 中,按由小到大的顺序取出 a1,a2,a3,使同时满足 a2-a1≥3,与 a3-a2≥3, 那么,所有符合上述要求的不同取法有 种. 6.当 s 和 t 取遍所有实数时,则 2 2 (s+5-3|cost|) +(s-2|sint|) 所能达到的最小值为 .

三.(本题满分 20 分) 已知 a1,a2,…,an 是 n 个正数,满足 a1? a2?…? an=1. n 求证:(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3 .

四.(本题满分 20 分) 已知正三棱锥 S—ABC 的高 SO=3, 底面边长为 6, 过点 A 向其所对侧面 SBC

S

AP 作垂线,垂足为 O?,在 AO?上取一点 P,使 =8,求经过点 P 且平行于底面的 PO?
截面的面积.
A

五.(本题满分 20 分) 已知:对任意的 n ∈N*,有 an>0,且 Σ aj=( Σ aj) .求证:an=n. j=1 j=1

C O B

n

3

n

2

三.(本题满分 35 分) 有 n?n(n≥4)的一张空白方格表,在它的每一个方格内任意的填入+1 与-1 这两个数 中的一个,现将表内 n 个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个基 本项.试证明:按上述方式所填成的每一个方格表,它的全部基本项之和总能被 4 整除(即

总能表示成 4k 的形式,其中 k∈Z).

1989 年全国高中数学联赛解答
第一试 一.选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分): 1.若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角,则复数 z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA) 在复平面内所对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 【解析】 <A、 <90°<A+B<180°. 90°>A>90°-B>0°, A>cosB, A<sinB. 0° B 故 sin cos 故 cosB-sinA<0,sinB-cosA>0.点 Z 位于第二象限.选 B
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3.对任意的函 数 y=f(x),在同一个直角坐标系中,函数 y=f(x-l)与函数 y=f(-x+l) 的图象恒( ) A.关于 x 轴对称 B.关于直线 x=l 对称 C.关于直线 x=-l 对称 D.关于 y 轴对称 【答案】B 【解析】令 x-1=t,则得 f(t)=f(-t),即 f(t)关于 t=0 对称,即此二图象关于 x=1 对称.选 B

5.若

M={z| z=

t 1+t +i ,t∈R,t≠-1,t≠0}, 1+t t
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N={z| z= 2[cos(arcsint)+icos(a rccost)],t∈R,|t|≤1}.

则 M∩N 中元素的个数为 A.0 B.1 C.2 D.4 【答案】A 2 2 【解析】M 的图象为双曲线 xy=1(x≠0 ,x≠1)N 的图象为 x +y =2(x≥0),二者无公共

点.选 A.

三.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1.若 loga 2<1,则 a 的取值范围是 . 【答案】(0,1)∪( 2,+∞) 【解析】若 0<a<1,则 loga 2<0,若 a>1,则得 a> 2.故填(0,1)∪( 2,+∞) 2. 已知直线 l:x+y=10, 2 过点(-10, 0)作直线 l?⊥l, l?与 l 的交点坐标为 则 【答案】(2,6) 【解析】直线 l?方程为(x+10)-2y=0,解得交点为(2,6). .

3.设函数 f0(x)=|x|,f1(x)=|f0(x)-1|,f2(x)= |f1(x)-2|,则函数 y=f2(x)的图象 与 x 轴所围成图形中的封闭部分的面积是 .

但 n∈N*,故 n=1,得,α +α -1=0,

2

∴ 由 α >0,知,?=

?=

-1± 5 , 2

-1+ 5 -1+ 5 .∴ 原数为 . 2 2

5.如果从数 1,2,3,…,14 中,按由小到大的顺序取出 a1,a2,a3,使同时满足 a2-a1≥3,与 a3-a2≥3, 那么,所有符合上述要求的不同取法有 种. 【答案】120 【解析】令 a1?=a1,a2?=a2-2,a3?=a3-4,则得 1≤a1?<a2?<a3?≤10.所求取法为 C10=120.
3

三.(本题满分 20 分) 已知 a1,a2,…,an 是 n 个正数,满足 a1? a2?…? an=1. n 求证:(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3 .

a1a2+a1a3+…+an-1an≥Cn
n

2

Cn

2

(a1a2…an)

n-1

=Cn,……,
n-1

2

∴ (2+a1)(2+a2)…(2+an)=2 +(a1+a2+…+an)2 ≥2 +Cn2
n
1 n-1

+(a1a2+a1a3+…+an-1an)2
n n

n-2

+…+a1a2…an

+Cn2

2 n-2

+…+Cn=(2+1) =3 .

1

四.(本题满分 20 分) 已知正三棱锥 S—ABC 的高 SO=3,底面边长为 6,过点 A 向其所对侧面 SBC 作垂线,垂 足为 O?,在 AO?上取一点 P,使

AP =8,求经过点 P 且平行于底面的截面的面积. PO?

五.(本题满分 20 分) 已知:对任意的 n∈N*,有 an>0,且 Σ aj=( Σ aj) .求证: an=n. j=1 j=1 【解析】证明:由已知,a1 =a1 ,a1>0,∴ a1=1. 设 n≤k(k∈N,且 k≥1)时,由 Σ aj =( Σ aj) 成立可证 ak=k 成立. j=1 j=1
3 2

n

3

n

2

n

3

n

2

k+1 3 k+1 2 k k 2 2 当 n=k+1 时, Σ aj=( Σ aj) =( Σ aj) +2ak+1( Σ aj)+ak+1. j=1 j=1 j=1 j=1
1 2 1 3 1 2 2 2 2 即 k (k+1) +ak+1= k (k+1) +2ak+1? k(k+1)+ak+1. 4 4 2
2
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∴ ak+1-a k+1-k(k+1)=0, 解此方程, ak+1=-k 或 ak+1=k+1. an>0 知, 得 由 只有 ak+1=k+1 成立. 即 n=k+1 时命题也成立.由数学归纳原理知对于一切 n∈N*,an=n 成立.

第二试 一.(本题满分 35 分) 已知 在 Δ ABC 中,AB>AC,?A 的一个外角的平分线交 Δ ABC 的外接圆于点 E,过 E 作 EF⊥AB,垂足为 F. 求证 2AF=AB-AC. 【解析】证明:在 FB 上取 FG=AF,连 EG、EC、EB, 于是 Δ AEG 为等腰三角形,∴EG=EA. E 又?3=180?-?EGA=180?-?EAG=180?-?5=?4. 5 A ?1=?2.于是 Δ EGB≌Δ EAC.∴BG=AC, 4 F 故证 3
G
1 2

二.已知 xi∈R(i=1,2,…,n;n≥2),满足 Σ |xi|=1, Σ xi=0, i=1 i=1 求证:? Σ

B

C

n

n

? n xi? 1 1 ≤ - . i ? 2 2n ?i=1 ?

三.有 n?n(n≥4)的一张空白方格表,在它的每一个方格内任意的填入+1 与-1 这两个数 中的一个,现将表内 n 个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个基 本项.试证明:按上述方式所填成的每一个方格表,它的全部基本项之和总能被 4 整除(即 总能表示成 4k 的形式,其中 k∈Z). 【解析】证明 :基本项共有 n!个,n>3,则基本项的个数为 4 的倍数,设共有 4m 项. 其中每个数 aij(=±1)都要在(n-1)!个基本 项中出现,故把所有基本项乘起来后,每 个 aij 都乘了(n-1)!次,而 n>3,故(n-1)!为偶数,于是该乘积等于 1.这说明等于-1 的




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