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2013年马鞍山二中理科实验班招生数学试卷及答案

时间:2016-08-16


2013 年马鞍山市第二中学创新人才实验班招生考试

数学素质测试题
【温馨提示】 1.本试卷分第(Ⅰ)卷、第(Ⅱ)卷两部分,报考创新人才文科实验班 的考生,需要完成第(Ⅰ) ..... 卷,满分为 150 分;报考创新人才理科实验班 和文理兼报 的考生,需要完成第(Ⅰ)卷及第(Ⅱ)卷,满 ..... .... 分为 170 分。 2.本试卷分试题卷和答题卷,其中试题卷共 4 页、答题卷共 4 页。考生务必将答案写在答题卷上 , ........... 在试题卷上作答无效 。 ......... 3.请将自己的姓名、准考证号用钢笔或圆珠笔填写在答题卷的相应位置上。考试结束后,请将试题 卷和答题卷一并交回。 4.考试时间 120 分钟。希望大家放松心情,合理安排考试时间,发挥出自己最完美的水平。

第Ⅰ卷(满分 150 分)
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给的四个选项中,只有一个是符合题目 要求的.把答案填在答题卷的相应位置. (1)若 |1 ? x |? 1 ? x ,则有 (A) x ? 1 (A) ?3 或 3 (A) sin A (B) cos A (C) cos A (D) sin A (4)函数 y ? ax2 ? x 与 y ?
2 2

(B) x ? 1 (B) 1 或 3

(C) x ? 1 (C) 1

(D) x ? 1 (D) ?3

(2)已知一次函数 y ? kx ? b ,当 ?1 ? x ? 2 时,对应 y 的值为 ?1 ? y ? 5 ,则 k ? b ? (3)如图, △ABC 为锐角三角形, BE ? AC 于 E , CF ? AB 于 F ,则 S△AEF : S△ABC 的值为

A

F

E

y

a (a ? 0) 在同一坐标系中的图象可能是 x y

B

第(3)题图

C

O O

x

x

(A)

(B)

y

y

O

O

x

x

(C)

(D)

数学试题卷 第 1 页(共 4 页)

(5)某水池有编号为①、②、③、④、⑤的五个进出水管.已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表, 则五个水管一齐开,将水池灌满需要 水管号 时间(小时) (A) 0.2 个小时
3

①②
2

②③
4

③④
9

④⑤
12

⑤①
18

(B) 0.5 个小时
2013

(C) 1 个小时

(D) 2 个小时

(6)若 p 与 p ? 3 均为质数,则 p (A) 1 (B) 3

? 2013 的末位数字是
(C) 5 (D) 9

(7) 在两行四列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子 (相对面上分别标有 1 点和 6 点、2 点和 5 点、3 点 4 和 点) .开始时,骰子如图①那样摆放,朝上的点数是 1 ,最后翻动到如图②所示位置.现要求翻 动次数最少,则最后骰子朝上的点数为 3 的概率为 图① 图②

(A)

1 2

(B)

1 3

(C)

1 4

(D)

1 6

(8)将棱长为 5 的正方体锯成棱长为 1 的 125 个小正方体,至少需要锯 (A) 7 次 (B) 8 次 (C) 9 次 (D) 12 次

二.填空题:本大题共 10 小题,每小题 6 分,共 60 分.把答案填在答题卷的相应位置.

1 中自变量 x 的取值范围是 ★ . 1? 2x 1 ? ? ★ . (10)计算: 2sin 60 ? ? 2 tan 45 ? 3 tan 30?
(9)函数 y ?

x?3 ?

(11)平面直角坐标系中,将点 (3, 2) 绕点 (1,1) 为旋转中心逆时针旋转 270 后对应点的坐标为 (12)建筑学家研究发现:一个矩形窗户,如果把它切掉一个 正方形后,剩下的小矩形和原来的矩形相似,这样的矩 形窗户看起来最美观.如右图,矩形 ABCD 满足上述 E

?

★ .

A

D F
B

A

M

AB ? ★ . BC x x3 ? 1,那么 6 ? (13)已知 2 x ? 3x ? 2 x ? 48 x3 ? 8
条件,则

O N
第(14)题图

C

★ .

B

第(12)题图

C

? (14)如图, O 为 △ABC 的外心, ?C ? ?B , M 、 N 分别为 OA 、 BC 的中点,若 ?BAC ? 60 ,

?OMN ? 12? ,则 ?C ?

★ .
2

(15)某学生解一道没有实数根的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 时,因看错了某一项的符号,得到的两根 为

1 ? 32 217 b?c ,则 的值为 ★ . a 4


(16)两游泳者在长 90 米的游泳池的对边上同时开始游泳,一人以每秒 3 米,另一人以每秒 2 米的速度进 行,他们来回游了 6 分钟.若不计转向时的时间,则他们互相闪过的次数为 ★ (17)若函数 y ? (1 ? x2 )( x2 ? ax ? b) 的图象关于直线 x ? ?2 对称,则该函数的最大值是 ★ .

数学试题卷 第 2 页(共 4 页)

(18)已知正整数 a1 , a2 , a3 , a4 满足 a1 ? a2 ? a3 ? a4 且 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 16 ,则单独再增加下列哪一个 选项中的条件,可以使得 a1 ? 1 ?其中正确的条件有 ★ (写出所有正确条件的编号 ) . .. ① a2 是奇数、 a3 是偶数; ④ a2 , a4 都是奇数; ② a2 , a3 都是偶数; ③ a2 , a3 都是奇数; ⑤ a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? a4 ? a3 .

三.解答题:本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.把答案填在答题 卷的相应位置. (19) (本小题满分 10 分) 化简:

3?2 5? 7 . 15 ? 35 ? 21 ? 5

(20) (本小题满分 13 分)

a (a ? 0) 的图象交于 A 、 B 两点.过点 A 、 B 向 x 轴作垂线, x 垂足分别为 P 、 Q ,以 A 、 B 、 P 、 Q 这四个点构成凸四边形,设这个凸四边形的面积为 S . (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)试用 a 表示 S .
已知直线 y ? x ? 2 与反比例函数 y ?

(21) (本小题满分 13 分)

D∥ M N 如图,? O 为 △ABC 的外接圆,AB ? AC , 直线 MN 与 ? O 相切于点 C , 弦B
相交于点 E . (Ⅰ)求证: △ABE≌△ACD ; (Ⅱ)若 AB ? 5 , BC ? 3 ,求 AE .

,AC 与 BD

M
B E

C N
D

O

A
(22) (本小题满分 14 分) 已知 a, b, c 都是非零整数,且 ax ? bx ? c ? 0 的两个相异实根也是 x ? bx ? ax ? c ? 0 的根.
2 3 2

(Ⅰ)求证: ?a 是方程 x ? bx ? ax ? c ? 0 的根;
3 2

(Ⅱ)求所有满足条件的非零整数 a, b, c .

数学试题卷 第 3 页(共 4 页)

第Ⅱ卷(满分 20 分)
(仅报考创新人才文科实验班 的考生不需要 做本题) ..... ... 附加题: (本小题满分 20 分) 从自然数 0,1, 2,3,?, n 中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法” ,若各条线段 相连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同,则称这样的填法为“完美填法” . (Ⅰ)当 n ? 4 时,对于图①中的“三角形” ,请列出所有的“完美填法” . (注意:不用考虑内在的次 序,例如

① ② ③



① ③ ②



② ③ ①

都视作同一种“填法” )

(Ⅱ)当 n ? 10 时,图②是否存在“完美填法”?若存在,请给出一种“完美填法” (请在圆圈内填 入数字并在各线段上标出相应的数字之差的绝对值) ;若不存在,请说明理由. (Ⅲ)当 n ? 10 时,图③是否存在“完美填法”?若存在,请给出一种“完美填法” (请在圆圈内填 入数字并在各线段上标出相应的数字之差的绝对值) ;若不存在,请说明理由.

图①

图② 图③

数学试题卷 第 4 页(共 4 页)

数学参考答案
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 题号 答案 题号 答案 (1) A (9) ( 2) B (3) C (10) (4) D (11) (5) D (6) D (12) (7) A (8) C (13)

二.填空题:本大题共 10 小题,每小题 6 分,共 60 分.

?3 ? x ?
(14)

1 2

2
(15)

(2, ?1)
(16)

1? 5 2
(17)

1 88
(18) ②⑤

72?

2013 或 2014

10

16

三.解答题:本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (19) (本小题满分 10 分) 【解析】

3?2 5? 7 3? 5? 5? 7 ? 15 ? 35 ? 21 ? 5 3? 5 ? 5? 7 ? 3? 7 ? 5? 5 ( 3 ? 5) ? ( 5 ? 7) ?????4 分 ? ( 3 ? 5 ? 3 ? 7) ? ( 5 ? 7 ? 5 ? 5)

( 3 ? 5) ? ( 5 ? 7) ( 3 ? 5) ? ( 5 ? 7) 1 1 ? ? 5? 7 3? 5 ?
?

????6 分

7? 5 5? 3 7? 3 . ? ? 2 2 2

?????10 分

(20) (本小题满分 13 分)

?y ? x ? 2 ? 2 【解析】 (Ⅰ)由 ? a 得: x ? 2 x ? a ? 0 , y? ? x ? ? ? 4 ? 4a ? 0 ? a ? ?1 ,又 a ? 0 , 所以 ?1 ? a ? 0 或 a ? 0 . ?????3 分 2 (Ⅱ)设点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则 x1 , x2 为 x ? 2 x ? a ? 0 的两个不等实根,
且 x1 ? x2 ? ?2 , x1 x2 ? ?a ,

| PQ |?| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 a ? 1 .
① 当 a ? 0 时, y1 y2 ? 0 ,

y

A

1 1 1 1 | PQ | ? | AP | ? | PQ | ? | BQ |? | PQ | ?(| y1 | ? | y2 |) ? | PQ | ? | y1 ? y2 | 2 2 2 2 Q 1 1 1 ? | PQ | ? | ( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ? (2 a ? 1) 2 2 2 2 B ? 2a ? 2 ② 当 ?1 ? a ? 0 时, y1 y2 ? 0 , S?

O

P

x

数学试题卷 第 5 页(共 4 页)

S?

1 1 1 | PQ | ?(| AP | ? | BQ |) ? | PQ | ?(| y1 | ? | y2 |) ? | PQ | ? | y1 ? y2 | 2 2 2 1 1 ? | PQ | ? | ( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) |? | PQ | ?2 2 2 ? 2 a ?1
?????13 分

y A B Q

O
P

?2 a ? 1, ? 1 ? a ? 0 ? 综合①②, S ? ? . ? ?2a ? 2, a ? 0
(未写“综合①②”步骤的不扣分)

x

M
(21) (本小题满分 13 分) 【解析】 (Ⅰ)∵ BD∥MN ,∴ ?MCB ? ?CBD , ∵直线 MN 与 ? O 相切于点 C ,∴ ?MCB ? ?BAC (弦切角) , ∴ ?CBD ? ?BAC , 又 ?CBD ? ?CAD (同弧的圆周角) ,∴ ?BAE ? ?CAD . 在 △ABE 和 △ACD 中, ∵ AB ? AC (已知) , ?ABE ? ?ACD (同弧的圆周角) , ?BAE ? ?CAD , ∴ △ABE ≌△ACD ( ASA ) . ?????6 分

B E

C N
D

O

A

? ? CD ? , CD ? BC ? 3 , (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ?BAC ? ?CAD ,∴ BC
∵ △ABE ≌△ACD ,∴ BE ? CD ? BC ? 3 ,设 AE ? x ,

DE DC 3 3 ? ? , ? DE ? x , x AB 5 5 又 AE ? EC ? BE ? ED , EC ? 5 ? x , 3x 16 ∴ x (5 ? x ) ? 3 ? ,解得: x ? 0 (舍)或 x ? .?????13 分 5 5
易证: △ABE∽△DCE ,∴ (22) (本小题满分 14 分) 【解析】方法一: (Ⅰ)由于 ax ? bx ? c ? 0 的两个相异实根也是 x ? bx ? ax ? c ? 0 的根,
2 3 2

b c x ? ) ? x 3 ? bx 2 ? ax ? c , (*) a a b c b c 3 2 3 2 即: x ? ( ? x0 ) x ? ( ? ? x0 ) x ? ? x0 ? x ? bx ? ax ? c , a a a a b ? ① ?b ? a ? x0 c b ? 故有: ? a ? ? ? x0 ② ,由③式知 x0 ? ?a . a a ? c ③ ?c ? ? ? x0 a ?
所以存在实数 x0 ,使得 ( x ? x0 )( x ?
2

由(*)式可知 x0 ? ?a 是方程 x ? bx ? ax ? c ? 0 的根.
3 2

?????7 分

(Ⅱ)将 x0 ? ?a 代入①、②式得:

b b ? ? ?b ? a ? a ?a ? b ? ? a c ? ?b ? 2 , ?? ? c c a ? b(a ? 1) ? a ? ? b ?a ? b ? a a ? ?

?

数学试题卷 第 6 页(共 4 页)

a2 a2 ?1 ? 1 1 ? ? a ?1? , a ?1 a ?1 a ?1 1 又 a , b 为非零整数,那么 为整数,只能 a ? 2 , a ?1 所以 a ? 2 , b ? 4 , c ? ?4 . 2 3 2 经检验,此时, 2 x ? 4 x ? 4 ? 0 有两个互异的实根 ?1 ? 3 ,其也是 x ? 4 x ? 2 x ? 4 ? 0 的根.
于是, a ? 1 且 b ? ?????14 分 方法二: (Ⅰ)设 ax ? bx ? c ? 0 的两个相异实根为 x1 , x2 ,
2

由于 x1 , x2 也是 x ? bx ? ax ? c ? 0 的根,
3 2

那么 x1 , x2 一定是 ( x3 ? bx2 ? ax ? c) ? (ax2 ? bx ? c) ? 0 的根 而 ( x3 ? bx2 ? ax ? c) ? (ax2 ? bx ? c) ? x3 ? (b ? a) x2 ? (a ? b) x , 所以 x3 ? (b ? a) x2 ? (a ? b) x ? x( x ? x1 )( x ? x2 ) ? x3 ? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1x2 ? x , 于是:

?xx x? x? a??ab? b
1 2 1 2



b ? ? x1 ? x2 ? ? a 方程 ax ? bx ? c ? 0 中由韦达定理知: ? , c ? x1 x2 ? a ? b ? ?a ? b ? ? a c ? ?b 故有: ? , ? 2 c a ? ab ? ?b ?a ? b ? a ? 3 2 将 x ? ?a 代入方程 x ? bx ? ax ? c ? 0 左边,有
2

?

(?a)3 ? b(?a)2 ? a(?a) ? c ? ?a3 ? a2b ? a2 ? c ? ?a(a2 ? ab) ? a2 ? c ? ab ? a 2 ? c ? b ? c ? 0 ,
所以 x ? ?a 是方程 x ? bx ? ax ? c ? 0 的根.
3 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

?

c ? ?b , a 2 ? ab ? ?b

a2 a2 ?1 ? 1 1 ? ? a ?1? , a ?1 a ?1 a ?1 1 又 a , b 为非零整数,那么 为整数,只能 a ? 2 , a ?1 所以 a ? 2 , b ? 4 , c ? ?4 . 2 3 2 经检验,此时, 2 x ? 4 x ? 4 ? 0 有两个互异的实根 ?1 ? 3 ,其也是 x ? 4 x ? 2 x ? 4 ? 0 的根.
于是, a ? 1 且 b ? (如果第(Ⅰ)题证明正确,第(Ⅱ)题未做完整,但得到了关系式

?

?????14 分

c ? ?b ,得 10 分) a 2 ? ab ? ?b

数学试题卷 第 7 页(共 4 页)

附加题: (本小题满分 20 分) 【解析】 (Ⅰ)从自然数 0,1, 2,3, 4 中挑选 3 个不同的数字填满图①的不同填法共有 10 种,列举如下:

0 1
0 1

2



0 1
0 4

3



0 1
0 2 3

4



0 2
0 3 4

3



0 2
1 2 4

4



0 3
1 3 4

4



1 2 3



1 2 4



1 3 4



2 3 4



其中“完美填法”有:

3 1 一共 6 种.













?????5 分

3 (注:事实上,当且仅当 3 个数成等差数列时不构成“完美填法” ,故一共有 C5 ? 4 ? 6 种)

(给出两种情况的得 1 分,每多一种情况再加 1 分) (Ⅱ)答案不唯一,下面给出了一个“完美填法” :

5
1

5

10
4

9

6
1

7
2

6

8

9

(Ⅲ)当 n ? 10 时,不存在“完美填法” . 因为图中一共有 10 条连线,因此各连线上两数之差的绝对值恰好为 1, 2,3,?,10 , 如图,设所填的自然数为 a1 , a2 ,?, a8 ,其和记为 S :

?????10 分

S ? a1 ? a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? a3 ? a3 ? a4 ? a3 ? a5 ? a4 ? a6 ? a5 ? a6 ? a6 ? a7 ? a6 ? a8 ? a7 ? a8 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9? 10 ? 55
S 为奇数,
另一方面注意到:当 x 为整数时, | x | 与 x 的奇偶性相同,

a4 a1 a3 a2 a5 a6 a8 a7

因此,和 S 的奇偶性与 (a1 ? a2 ) ? (a1 ? a3 ) ? (a2 ? a3 ) ? ? ? (a7 ? a8 ) 的奇偶性相同,然而:

(a1 ? a2 ) ? (a1 ? a3 ) ? (a2 ? a3 ) ? (a3 ? a4 ) ? (a3 ? a5 ) ? (a4 ? a6 ) ? (a5 ? a6 ) ? (a6 ? a7 ) ? (a6 ? a8 ) ? (a7 ? a8 ) ? 2(a1 ? a8 )
是一个偶数,矛盾! 所以,不存在“完美填法” . ?????20 分

数学试题卷 第 8 页(共 4 页)


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