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【新课标人教A版必修四】高中数学“学考复习”模块过关专题讲座练习:第三、四讲 正、余弦函数的图象与性质


第三、四讲
一、知识回顾

正、余弦函数的图象与性质

知识点 1:用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) : 正弦函数 y ? sin x, x ? [0,2? ] ,余弦函数 y ? cos x, x ? [0,2? ] 的图象的五个关键点是:

x
y ? sin x
y

/>
x
y ? cos x
y=sinx
o -1 y ? 3? 4? 5?

知识点 2:

1 -6? -5? -4? -3? -2? -? 2? 6? x

y ? sin x, x ? R

y ? cos x, x ? R

1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

知识点 3:对于函数 f (x) ,如果存在一个非零常数 T ,使得当 x 取定 义域内的每一个值时,都有:

f ( x ? T ) ? f ( x) ,那么函数 f (x) 就叫做周 期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期。对于一个周期函
数 f (x) ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f (x) 的最小正周期。 知识点 4:正弦函数 y ? sin x, x ? R ,与余弦函数 y ? cos x, x ? R 的性质 性质 定义域 最值 当且仅当 x ?

y ? sin x, x ? R
R(或 (??,??) )

y ? cos x, x ? R
R(或 (??,??) ) 当且仅当 x ? 2k? , k ? Z 时,取得最大值 1 , 当 x ? 2k? ? ? , k ? Z 时,取得最小值 ? 1

?
2

? 2k? , k ? Z 时,取得最大值1 ,

x??
值域 周期性 奇偶性 对称性

?
2

? 2k? , k ? Z 时,取得最小值 ? 1

[?1,1]
周期: 2k? ? k ? Z , k ? 0? 最小正周期: 2? 奇函数,其 图象关于原点 O 对称 对称中心是 ? k? ,0?? k ? Z ? ,

[?1,1]
周期: 2k? ? k ? Z , k ? 0? 最小正周期: 2? 偶函数,其图象关于 y 轴对称 对称中心是 ? k? ?

对称轴是直线 x ? k? ?

?
2

?k ? Z ? ;

? ?

?

? , 0??k ? Z ?, 2 ?

对称轴是直线 x ? k? ? k ? Z ?

对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线,对称中心为图象与 x 轴(中轴线)的交点 单调性

[? [

?
2

? 2k? ,

?
2

? 2k? ]( k ? Z ) 上是增函数

[2k? ? ? ,2k? ](k ? Z ) 上是增函数 [2k? ,2k? ? ? ](k ? Z ) 上是减函数

?

? ? 2k? , ? ? 2k? ]( k ? Z ) 上是减函数 2 2

二、 典型例题 例 1、作下列函数的简图,并观察函数的周期。 (1) y ? ?2 sin x, x ? R

y

x
sin x ? 2 sin x
O x

y

(2) y ? 4 sin 3x, x ? R

x
3x 4 sin 3x
O x

函数 y=Asin( ?x ? ? ), x ? R 的周期 T=____; y=Acos( ?x ? ? ), x ? R 的周期 T=____. 例 2、求下列函数的周期及最小正周期 T: 3 (1)y=sin x , x ? R 4
1 (3)y= cos x , x ? R 2

(2) y=cos4x, x ? R
1 ? (4)y=sin( x ? ) 3 4

x?R

1 ? 例 3、求函数 y ? sin( x ? ), x ?R 的单调递增区间区间。 2 3

变式训练:求函数 y ? sin(

?
3

?

1 x) 的单调递增区间区间。 2

1、求 y ? A sin(?x ? ? ) 的单调区间,可以把 ?x ? ? 看作一个整体,代入 y ? sin x 的 单调区间内,解不等式即可。尤其注意 x 前面系数为负时,一定先转化为正。 2、当单调区间不连续时,一定要用逗号“, ”分开,或用“和”连续,千万不能 用“或”及“ ? ”连接,切记!切记!

例 4、 求函数 y ? 2 sin( 2 x ?

?
3

), (?

?
6

?x?

?
6

) 的值域。

例 5、求下列函数的最大值、最小值及取最大值、最小值时自变量 x 的集合。 (1) y ? cos x ? 1, x ? R (2) y ? ?3 sin 2 x, x ? R

例 6、若

f ( x) ? ? sin 2 x ? cos x ? a 的最小值为-6,求 a 的值.

例 7、求下列函数的对称中心与对称轴。 1 ? (1) y ? 1 ? cos x, x ? R 2 3

(2) y ? 3 sin( 2 x ?

?
4

), x ? R

三、课堂练习
1 的 x 取值范围是: 2 ? ? ? 2、已知函数 y ? 2 sin( x ? ) 的最小正周期为 ,则 ? ? 3 3
1、在[ 0,2 ? ]上,满足 sin x ?
. .

3、 f(x) ? sinx 是不是周期函数?若是,则它的周期是多少? f(x) ? c (c 为常数)呢?
? 4. f ( x) ? 2a sin(2 x ? ) ? b 的定义域为[0, ],函数的 最大值为 1,最小值为-5,求 a,b 的值.

?

3

2

5、 函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ? ), (?? ? ? ? 0), y ? f ( x)的图象的一条对称轴是 直线 x ? (1) 求?; (2) 求函数y ? f (x)的单调增区间;

?
8

.

6、判断函数 f ( x) ? sin( x ?

3 4

3? ) 的奇偶性 2

四、总结提升
1、正、余弦函数的定义域、值域、有界性、单调性、奇偶性、周期性等都在图象上被充分地 反映出来,所以正、余弦函数的图象十分重要 ,要注意数形结合、整体思想的应用; 2、周期函数: f ( x ? T ) ? f ( x) 。

五、课后作业
1.下列四个函数中,既是 ? 0, A. y ? sin x

? ?

??

? 上的增函数,又 是以 ? 为周期的偶函数的是( 2?
C. y ? cos x D. y ? cos 2x

).

B. y ? sin 2x

2. 根据正弦函数图像,不等式 sin x ≥ ?

2 的解集是_________________ _____. 2

3、求下列函数的最小正周期:

? ?x (1) y ? sin( ? ), T ? 3 2
4. 求下列函数的单调增区间:

; (2) y ? cos(2 x? ? ), T ? 6 (2) y ? cos 2x

?

.

? (1) y ? 2 sin( ? 2 x) 4

5、y=-3cos2x 取得最大值时的自变量 x 的集合是_________________.
6、求函数 y=cos2x - 4cosx + 3 的最值

7.求下列函数的对称中心 与对称轴的方程: ( )f ( x) ? 3 cos(2 x ? 1

?
6

)

1 ? (2) f ( x) ? 2 sin(? x ? ) 3 4


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