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2016年湖北高考数学首届全国卷考纲精析

时间:2016-01-27


找异同

明方向

促教学

—浅析湖北卷与全国新课标卷 1
第一部分
近几年高考数学湖北卷与全国新课标卷 1 比较 全国新课标数学卷 1 (以下简称全国卷 1) 从 2010 年开始考试了 6 年, 湖北高考数学卷 (以 下简称湖北卷) 自 2004 年至 2015 年考试了 12 年.全国卷 1 紧扣 《课程标准》 和 《考试说明》 , 命题科学、注重基础、考察面广、布局合理、难度与区分度合适、重视数学能力和数学思想 方法,得到教育界的广泛认同和好评,2016 年高考,将会有湖北等 12 个省市使用新课标卷 1(有广西等 13 个省份使用新课标卷 2). 一.相同点: 两卷命题的指导思想都是依纲靠本,坚持能力立意,对国家考试大纲规定的“五个能 力”和“两个意识”进行了全面考查;关注通性通法,淡化特殊技巧,突出对数学思想方法 的考查;既注重全面考查基础知识又突出考查主干内容,主干知识在试卷中占主导地位;注 意发挥开放性、探索性试题的评价功能,关注检测学生的学习潜能,较好地实现“有利于高 校科学选拔人才,有利于中学推进素质教育”的功能. 二.不同点: 1.命题风格:两卷各有千秋. 湖北风格: “三本”命题特色,即: 一是以教材为本:在选材立意上,以教材中核心概念、性质法则、定理公式和例题习题为 载体, 以主干内容和通性通法为重点, 检测考生对教材知识和方法的理解与掌握的熟练程度. 二是以考生为本:在设问方式上,以分步设问为主,力求将起点设问根植于课本展开, 尽量让表述方式贴近教材呈现,着力使解答方法源于教材变通,让考生有似曾相似之感. 三是以能力为本:在情境创新上,以教材中原料作为命题元素,依托于整合迁移演变, 将解决问题的数学思想方法、数学能力和数学文化内隐其中进行命题,反映数学的本质 全国卷特色:稳、变、新. 即: 依纲靠本,传承经典——体现一个“稳”,如:立几中的“切接组合体”问题;三角中 的“辅助角公式”问题;数列中的递推问题等. 依托直观,注重交汇——着眼一个“变”,如:向量与几何;三角与几何等. 正本清源,守正出新——展示一个“新”如:新题型问题;融合性问题(全国卷传接湖 北卷融入数学史背景试题的做法—融史嵌名). 2.难度方面: 全国数学卷 1 的难度系数,理科一般为 0.50~0.64,文科一般为 0.40~0.54, 以与湖 北教育相近的使用全国卷Ⅰ的河南省近几年高考统计的难度系数为例:2014 年理科 0.56, 文科 0.48;2013 年理科 0.52,文科 0.47;2012 年理科 0.50,文科 0.38;2011 年理科 0.64, 文科 0.50,四年平均难度系数理科 0.56,文科 0.46. 湖北卷理科数学难度系数在 0.50~0.58 范围内,文科数学难度系数在 0.36~0.52 范围内.

启示: 相比较,全国数学卷 1,其理科、文科数学难度系数整体上大于湖北卷的难度系数, 即全国卷 1 的整体难度明显低于湖北卷.另外,教育部考试中心王建民教授指出: “全国数学 卷 1 难度近几年已大致平稳,在后面多省市加入后不会提升难度.”

3.考试内容、考核要求差异分析:
表 1 高考数学全国 1 卷与湖北卷考试内容统计对比 卷型 必考内容 选考内容 选修 4-1 几何证明选讲 选修 4-4 坐标系与参数方程 选修 4-5 不等式选讲 选考方式 解答题 三选一 全国 1 卷(理) 必修 1~5 选修 2 系列 全国 1 卷(文) 必修 1~5 选修 1 系列 湖北卷(理) 必修 1~5 选修 2 系列,选修 4-5 湖北卷(文) 必修 1~5, 选修 1 系列,选修 4-5 选修 4-1 几何证明选讲 选修 4-4 坐标系与参数方程 未设选考 填空题 二选一

表 2 高考数学全国Ⅰ卷与湖北卷考核要求及侧重的差别的统计对比 知识 单元 圆锥 曲线 了解抛物线与双曲线 (文理有别) 理解抛物线与双曲线 (文 理有别) 全国Ⅰ卷 湖北卷

理解数形结合的思想 了解圆锥曲线的简单应用 统计 案例 不等 式选 讲 了解回归分析与独立性检验的基本方法及其初 步应用 了解证明不等式的基本方法减少了:反证法、放缩 法, 用数学归纳法证明一些简单的不等式和算术— 几何平均不等式、柯西不等式及其简单应用

掌握直线与圆锥曲线的位 置关系 未纳入考查范围

将《不等式选讲》由选考 内容调整为必考内容

(一)全国卷Ⅰ有要求湖北卷未要求或低要求的主要考查内容 (1)反函数:全国卷有要求偶有考查,湖北卷未要求未作考查. (2)分段函数:全国卷几乎每年必考,对函数分三段的有要求有考查,湖北卷对分段函数 时有考查,对函数分三段的未要求未作考查. (3)伸缩变换:全国卷有要求暂未考查过,湖北卷对此没有要求 (4)圆与方程:全国卷比湖北卷对此要求更高、考查更多. (5) 抽样: 新课标卷有要求 “理解随机抽样的必要性和重要性” , 曾有过考查(2013 年理 3) , 湖北卷无此要求. (6)随机数:新课标卷有要求“了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率” 暂未考查 (2010 年理 13 文 14) , 湖北卷对此无要求. (7)独立性检验:新课标卷有要求“了解独立性检验的思想、方法及其初步应用”有考查, 湖北卷对此未要求.

文(14)设函数 y ? f ( x) 为区间 ? 0,1? 上的图像是连续不断的一条曲线,且恒有 0 ? f ? x ? ? 1, 可以用随机模拟方法计算由曲线 y ? f ( x) 及直线 x ? 0 , x ? 1 , y ? 0 所围成部分的面积,先产 生 两 组 i 每 组 N 个 , 区 间 ? 0,1? 上 的 均 匀 随 机 数 x1, x2..... xn 和 y1, y2..... yn , 由 此 得 到 V 个 点

? x, y ??i ?1,2....N ? 。再数出其中满足 y1 ? f ( x)(i ? 1,2.....N ) 的点数 N1 ,那么由随机模拟方法可得
S 的近似值为___
N1 ________ N

理(13)设 y ? f ( x) 为区间 [0,1] 上的连续函数,且恒有 0 ? f ( x) ? 1 ,可以用随机模拟方法近似计算积分

?

1

0

f ( x)dx ,先产生两组(每组 N 个)区间 [0,1] 上的均匀随机数 x1 , x2 ,…xN 和 y1, y2 ,…yN ,由此得到 N

个点 ( x1 , y1 )(i ? 1,2,…,N ) ,再数出其中满足 y1 ? f ( x1 )(i ? 1,2,…,N ) 的点数 N1 ,那么由随机模拟方案可 得积分

?

1

0

f ( x)dx 的近似值为



N1 N

(二)全国卷 1 未考查或极少考查而湖北卷常有考查的主要考查内容 (1)柯西不等式:湖北卷常考查,全国卷未考查. (2)合情推理:湖北卷每年考查,全国卷 1 考查较少. (3)异面直线角:异面直线所成的角湖北卷有要求有过几次考查,全国卷仅在 2015 年理 科卷有一次考查. (4)事件的关系与运算:湖北卷有要求有过考查,全国卷无要求未考查. (5)参数方程与普通方程:湖北卷对此比全国卷要求高且广泛. (6)函数模型与函数的实际应用:湖北卷有要求有考查,全国卷有要求未考查. (7)线性回归:湖北卷有要求有考查,全国卷有要求仅在 2015 年文理科第 19 题有一次考 查. (8)数学归纳法:湖北卷有要求有考查,全国卷有要求未考查. (9)几何概型:湖北卷有要求有考查,全国卷有要求未考查. (10)定积分:湖北卷有要求常有考查,全国卷仅见一次考查(2011 理 9).

4.试卷结构、题量和分值的比较: 表 3 2015 年全国Ⅰ卷与湖北卷试卷结构统计对比

卷型
全国卷 (Ⅰ) 湖北卷 (理) 湖北卷 (文)

题分
题序 分值 题序 分值 题序 分值

选择题
1~12 12× 5=60 1~10 10× 5=50 1~10 10× 5=50

填空题
13~16 4× 5=20 11~14+15~16 5× 5=25 11~17 7× 5=35

解答题
17~21+22~24 5× 12=60+10=70 17~22 11+3× 12+2× 14=75 18~22 2× 12+13+2× 14=65

全卷
12+4+5+3=24 60+20+70=150 10+6+6=22 50+25+75=150 10+7+5=22 50+35+65=150

全国卷与湖北卷的试卷结构、题量和分值是有所不同的. 全国数学理科卷:共有 24 题,第 1 卷为 12 个必考选择题,第 2 卷必考题部分有 4 个填空 题和 5 个大题,选考题部分有“几何证明选讲” 、 “坐标系与参数方程” 、 “不等式选讲”各一 个大题,考生从中选做一题.考生共需作答试题 22 道. 全国数学文科卷结构与全国数学理科卷一致,考生共需作答试题 22 道. 全国数学理科卷与文科卷在分值设置上相同,选择题每题 5 分共 60 分、填空题每题 5 分 共 20 分,前五道大题每题 12 分,选考大题(三选一)10 分.六道大题共 70 分. 湖北数学理科卷:共有 22 题,第 1 卷为 10 个必考选择题,第 2 卷必考题部分有 4 个必考 填空题、二个选考填空题(从中选做一题) ,6 个必考大题。考生共需作答试题 21 道。湖北 数学理科卷选择题每题 5 分共 50 分,填空题每题 5 分(含二选一填空题)共 25 分,六道大 题共 75 分,后两道大题一般都为 14 分. 湖北数学文科卷:共有 22 题,第 1 卷为 10 个必考选择题,第 2 卷必考题部分有 7 个必考 填空题,5 个必考大题。考生共需作答试题 21 道.湖北数学文科卷选择题每题 5 分共 60 分、 填空题每题 5 分共 35 分,五道大题共 65 分,后两道大题一般都为 14 分. 几点感悟: 1.湖北卷与全国卷的考查内容、目标、侧重是有差别的,数学备考复习应改变原来湖北卷的 思路和框架,向全国卷的考查内容、目标、侧重点靠拢. 2.近几年全国卷试卷命题循标遵纲,突出重点,拒绝“繁难偏超” ,整体难度低于湖北卷, 近六年全国卷难度最大的是 2012 年,理科难度系数 0.50,文科难度系数 0.38,没有超“标” 超“纲”的试题,没有非常规方法的偏题,没有太繁琐的运算和推理,也没有难度超高的试 题。全国卷坚持以基础题和中等题为主,重点考查基础知识与基本方法的应用,题目设计 紧扣教材,整体坚持重点知识模块重点考查,注重对通性通法的考查。2015 年更是融入了 古代数学及贴近生活的题材, 但这类题多与实际应用有关, 多考查对题意的理解和数学灵气, 专家预测该类题一般不会成为难点,即新题不难,预计 2016 年高考会继续保持这一命题特 色.

3.选填题前几题考查知识点单一,攻克它们没有问题,用襄阳一中王勇老师的话讲是全国卷 比湖北卷要大气,送分就送到位,所以基础知识是成绩提升的瓶颈;

1. 已知集合A ? {x | log 2 x ? 1 }, B ? { y | y ? 2 x , x ? A}, 则A ? B ? A.(0, 2) B.(1 , 2) C.[0, 4) D.(1 , 4)
4.对于知识交汇的题则要求学生回归课本,夯实基础,以中档题为主,在“准确规范”上 下功夫,如统计概率题一定要用文字描述,只用数字不予给分,还需还原作答.

理18,文19.已知数列{a n }各项均为正数,其前n项和为Sn,且a1 =1,
* a n a n +1 =2S ( n n ? N ).

(1)求数列{a n }的通项公式;

(2)求数列{n ? 2a n }的前n项和Tn .

理19,文20.某基建公司年初以100万元购进一辆挖掘机,以每年22万 元的价格出租给工程队.基建公司负责挖掘机的维护,第一年维护费 为2万元,随着机器磨损,以后每年的维护费比上一年多2万元,同时 该机器第x(x ? N * ,x ? 16) 年末可以以(80-5x)万元的价格出售. (1)写出基建公司到第x年末所得总利润y(万元)关于x(年)的函数解 析式,并求出最大值; (2)为使经济效益最大化,即年平均利润最大,基建公司应在第几年末出 售挖掘机?说明理由.
5.解答题注重对基础知识、基本方法的考查,如三角函数、数列、概率统计、立体几何、 “三选一”部分,这些属于“送分”题,同学们在平时要养成审清题意、运算准确、表达合 理、 书写规范、 数学用语熟练使用的习惯, 其中三角与数列是无规律的轮番轰炸 (见附表 4) , 选考题文理近几年一样;解答题还注重在知识网络交汇处命题. 对于压轴的解析几何题中的“猜结果后论证” 、导数题中的“构造函数处理不等式”等 策略要有意识地加以运用,新课标对函数与导数没有降低难度.

文理11.设a>b>0,当a 2 ? ?b sin 2 x的最小值为( A.3 B.2 2

4 a 取得最小值时,函数f ( x ) ? b( a ? b) sin 2 x ) C.5 D.4 2

6.华师一附中党宇飞老师指出我们有些高三老师,特别是带过多年高三的老师,复习备考 中往往依据经验和老高考试题,在头脑中固有一些偏离《课标》和《考纲》的复习重点和作 法,如在立体几何复习中突出“三垂线定理” 、突出二面角的多种作法,甚至突出解决异面 直线距离,在直线方程复习中强调线到线的角、夹角公式运用,在圆锥曲线复习中突出第 二定义、焦半径公式的应用??这些超《标》超《纲》的复习作法是要摒弃的.高三老师应 认真学习和研究《课程标准》 、 《考试大纲》 、 《考试说明》 ,明晰课标卷和老大纲卷的变化, 把握数学复习的要求和重点,做到不超《标》 、不超《纲》 、不补充新课标已删去的内容.所 以,由全国卷立足“双基” 、注重课本、考查通性通法的重要特点,我们在第一轮复习时应 特别注重落实.

表 4 近六年全国Ⅰ卷三角与数列轮换考查特点统计 卷型 年份 12 2015 2014 全国 卷1 2013 2012 2011 2010 函数 立几 数列 函数 函数 立几 理科 16 三角 三角 函数 数列 三角 解几 17 数列 数列 三角 三角 数列 数列 12 函数 函数 函数 数列 函数 立几 文科 16 解几 三角 三角 函数 立几 解几 17 三角 数列 数列 三角 数列 数列

第二部分
近五年全国卷 1 文、理统计、分析
(一)近五年全国卷 1 考查内容、分值、权重统计 1. 2011 年——2015 年理科数学 1 考查各内容模块总题量、总分值与权重

2. 2011 年——2015 年文科数学 1 考查各内容模块总题量、总分值与权重

启示: 1. 文理卷考查的前五大知识模块为: (1)函数与导数(文科权重>15.73%,理科权重>14.67%) , (2)解析几何(文科权重=14.27%,理科权重=13.87%) , (3)立体几何(文科权重=13.73%,理科权重=13.07%) , (4)统计与概率(文科权重=11.33%,理科权重=10.93%) , (5)三角(文科权重=10.53%,理科权重=10.53%). 试卷中这五大知识模块的考题分值文科数学超过 99 分、理科数学超过 95 分. 可以看到文理两卷对主干知识与主干内容的考查,如出一辙,连年突出考查,如函数性 质、三角函数图象与性质、三视图等近 20 个重点知识点和数形结合、转化思想、分类讨论 等重要思想方法每年都考查甚至同一卷中重复考查. 2. 文理两卷都加强对新课标增加的内容如统计、程序框图、三视图等 的考查力度. 教育部考试中心专家王建明教授在 2016 年高考过渡座谈会上指出: “新课标增加的部分内 容在全国卷中一直重点考查.特别是统计,在实际中很重要,会在以后的全国试卷中继续加 强考查.”从近五年全国卷看,统计的考查是显得十分突出:2015 年文科理科各 1 大题 12 分;2014 年文科理科各 1 大题 12 分;2013 年理科 1 小题 1 大题(含概率)超过 12 分,文

科 1 大题 12 分;2012 年理科 1 小题 1 大题(含概率)约 12 分,文科 1 小题 1 大题(含概 率)超 12 分;2011 年理科 1 大题约 12 分,文科 1 大题 12 分. 可以看出,统计、程序框图、三视图等的考查权重远远大于课标安排的课时,数学复习 应足够重视,加大这些内容的复习课时和讲练力度. (二)近三年全国卷 1 文、理的不同考点

另外:理科比文科多出的内容还有:计数原理,排列组合,二项式定理,随机变量及其分 布,空间向量及其在立体几何中的应用 . (三)近三年全国卷 1 文理的命题差异: 除三选一相同外, 2015 年全国卷文理科试题命题差异扩大趋势减弱,相同的题有 5 道 即第 6,8,9,11,19 题其中第 6 题是融入数学史背景具有人文色彩的试题,第 8 题是三角函数 图像问题,第 9 题是程序框图,第 11 题是三视图,第 19 题是统计中的散点图与回归分析, 而 2014 年高考文理科试题,相同的题目共有 4 道,其中理科第 3 题(文科第 5 道题)考查 函数的奇偶性、理科第 7 道(文科第 9 道题)考查程序框图、理科第 11 题(文科第 12 道 题)考查函数与导数不等式、文理科第 14 道题(简易逻辑) ,2013 年文理科试题有 7 个题 是相同的,还有 1 道立体几何姐妹题,其中文理科第 4 道考查双曲线、理科第 5 道(文科第 7 道题)考查程序框图、理科第 8 道(文科第 11 道题)考查三视图、理科第 11 道(文科第 12 道题)考查分段函数不等式、文理科第 13 道考查平面向量数量积、理科第 15 道(文科 第 16 道题)考查三角函数求最值、理科第 20 道(文科第 21 道题)考查直线与圆 2012 年相同题有 7 道,姊妹题前 3 道解答题都是;2011 年相同题有 6 道,另有 3 道姊妹题。

启示: 1.全国文理两卷在 2015 年相同的题目的题号一致,值得关注,至少说明在部分内容上文理 地位相当,尤其突出的是新课标增加内容. 2.文理两卷考查的侧重点主要体现在传统的主干知识以及文理内容不同处,如: 线性规划—理科:2014 年的第 9 题与命题结合考查,2015 年第 15 题考查线性规划中目 标函数是非线性(斜率型) ;文科:线性规划考查比较直接都是线性目标函数,属于容易题. 复数——文科考查比较直接,如 2015 年可直接作除法得结果,而理科需化简后再求模, 加大了转化与计算. 概率——理科一般考查概率分布(超几何分布,二项分布正态分布等)较多,文科考查古 典概型较多. 数列----文理科都较多考查数列通项与前 n 项和, 但理科在 2013 年第 12 题是以三角形为 背景与数列结合,2014 年第 17 题第二问是存在性问题的探究,难度较大;而文科通常考查 较常规,求和方法通常比较固定,多为裂项相消法和错位相减法,计算的准确性往往是解题 关键. 立体几何----理科多以椎体或柱体考查线线、线面、面面垂直与所成角的问题,2015 年不 同于以往, 以不规则的几何体为载体考查面面垂直及异面直线所成的角; 文科解答题一般考 查空间平行或垂直的证明(近几年以考查垂直为主) 、体积、侧面积或棱柱棱锥高的计算等. 解析几何----理科在解答题中多考查以椭圆、抛物线或圆为载体的综合类问题,涉及轨迹 或标准方程、直线与曲线的位置关系等,计算量与思维量大;而文科考查与圆有关的问题逐 渐成为热点,有时融入轨迹问题的求解,需注意计算的准确性及数形结合的灵活应用. 从上不难看出,全国卷 1 理科相比文科更多侧重考查学生迁移,转化及综合应用等,突出 学科素养,文科侧重对基本知识与方法,基本技能的考查,突出数学本质.


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