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江苏省高考数学第一轮复习单元试卷6:等差数列与等比数列


第六单元

等差数列与等比数列

一.选择题. (1) 已知等差数列 {an } 中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1, 则a12 的值是 ( ) A 15 B 30 C 31 D 64 (2) 在各项都为正数的等比数列 {an} 中, 首项 a1=3 , 前三项和为 21, 则 a3+ a4+ a5=( ) A 33 B 72

C 84 D 189 (3) 已 知 等 差 数 列 ?an ? 的 公 差 为 2, 若 a1 ,a 3 , a4 成 等 比 数 列 , 则 a 2 = ( ) A –4 B –6 C –8 D –10 (4) 如 果 数 列 是 等 差 数 列 , 则 {an } ( ) A a1 ? a8 ? a4 ? a5 B a1 ? a8 ? a4 ? a5 C

a1 ? a8 ? a4 ? a5

D

a1a8 ? a4 a5
a28= )

(5) 已知由正数组成的等比数列{an}中,公比 q=2, a1·a2·a3·…·a30=245, 则 a1 · a4 · a7 · … · ( A 25 B 210 C 215 D 220 (6) (

?an ? 是 首 项 a1 =1 , 公 差 为 d

=3 的 等 差 数 列 , 如 果 an =2005 , 则 序 号

n 等于

) A 667 B 668 C 669 D 670 (7) 数 列 { an } 的 前 n 项 和 Sn=3n-c, 则 c=1 是 数 列 { an } 为 等 比 数 列 的 ( ) A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分又非必要条件 (8) 在等比数列{ an }中 , a1<0, 若对正整数 n 都有 an<an+1, 那么公比 q 的取值范围是 ( ) A q>1 B 0<q<1 C q<0 D q<1 (9) 有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点 是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为 2,且该塔形的表面积(含最底 层 正 方 体 的 底 面 面 积 ) 超 过 39 , 则 该 塔 形 中 正 方 体 的 个 数 至 少 是 ( ) A 4; B 5; C 6; D 7。 (10) 已知 f(x)=bx+1 为 x 的一次函数, b 为不等于 1 的常数, 且 g(n)= ? (

(n ? 0) ?1 ※ , 设 an= g(n) - g(n-1) (n ∈ N ), 则 数 列 { an } 是 ? f [ g (n ? 1)] (n ? 1)

) A 等差数列 B 等比数列 C 递增数列 D 递减数列 二.填空题 8 27 (11) 在 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为_____. 3 2

(12) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=

a1 (3 n ? 1) (对于所有 n≥1),且 a4=54,则 a1 的数值是 2

_____. (13) 等差数列 {an} 的前 m 项和为 30, 前 2m 项和为 100, 则它的前 3m 项和为

.

(14) 设等比数列 {an } 的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列,则 q 的值 为_________ 三.解答题 (15) 已知数列 {log2 (an ? 1)}n ? N * ) 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9. 求数列 {an } 的通项公 式;

(16) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn=2n2, {bn } 为等比数列,且 a1 ? b1 , b2 (a2 ? a1 ) ? b1 . (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 c n ?

an ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn. bn

(17) 已知等比数列{an}的各项都是正数, Sn=80, S2n=6560, 且在前 n 项中, 最大的项为 54, 求 n 的值.

(18) 已知{ an }是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a3 , a2 成等差数列. (Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)设{ bn }是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比较 Sn 与 bn 的大小,并说明理由..

参考答案 一选择题: 1.A [解析]:已知等差数列 {an } 中, a7 ? a9 ? 16, 又a7 ? a9 ? 2a8 ,? a8 ? 8 又 2a8 ? a4 ? a12 ,? a12 ? 15 2.C

[解析]:在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3 ,前三项和为 21 故 3+3q+3q2 =21,解得 q=2 因此 a3+ a4+ a5=21 ? 2 =84
2

3.B [解析]:已知等差数列 ?an ? 的公差为 2,若 a1 ,a 3 , a4 成等比数列, 则 (a 2 ?2) 2 ? (a 2 ?2)(a 2 ?4),? a 2 ? ?6 4.B [解析]: ∵ a1 ? a8 ? a4 ? a5 ? 2a1 ? 7d ∴故选 B 5.A [解析]:已知由正数组成的等比数列{an}中,公比 q=2, a1·a2·a3·…·a30=245, 则 a2·a5·a8·…·a29= a1·a4·a7·…·a28·210 a3·a6·a9·…·a30= a1·a4·a7·…·a28·220 故 a1·a4·a7·…·a28=25 6.C [解析]:

?an ? 是首项 a1 =1,公差为 d =3 的等差数列,如果 an =2005,
则 1+3(n-1)=2005,故 n=669

7.C [解析]:数列{an}的前 n 项和 Sn=3n-c,

? (n ? 1) ?3 ? c 则 an= ? 由等比数列的定义可知: n ? 1 ?2 ? 3 (n ? 2) ? c=1 ? 数列{an}为等比数列
8.B [解析]:在等比数列{an}中, a1<0, 若对正整数 n 都有 an<an+1, 则 an<anq 即 an(1-q)<0 若 q<0,则数列{an}为正负交错数列,上式显然不成立; 若 q>0,则 an<0,故 1 -q>0,因此 0<q<1 9.C [解析]: 底层正方体的表面积为 24;第2层正方体的棱长 2 ?

2 ,每个面的面积为 2

1 1 2 4 ? ( ) ;第3层正方体的棱长为 2 ? ( ) 2 ,每个面的面积为 4 ? ( ) 2 ;┉, 2 2 2
第 n 层正方体的棱长为 2 ? (

1 2 n?1 ) ,每个面的面积为 4 ? ( ) n ?1 ; 2 2

若该塔形为 n 层,则它的表面积为

24+4[ 4 ? ( ) + 4 ? ( ) +┉+ 4 ? ( )
2

1 2

1 2

1 2

n ?1

]=40 ? ( )

1 2

n ?5

因为该塔形的表面积超过 39,所以该塔形中正方体的个数至少是 6 10.B [解析]:

已知 f(x)=bx+1 为 x 的一次函数, b 为不等于 1 的常数, 且 g(n)= ?

(n ? 0) ?1 , ? f [ g (n ? 1)] (n ? 1)
n

则 g(1)=b+1,g(2)=b2+b+1,g(3)=b3+ b2+b+1, ┉,g(n)= b +┉+ b2+b+1. a1=b,a2= b2,a3= b3, ┉, an ? b n 故数列{an} 是等比数列 二填空题: 11. 216 [解析]:
8 27 在 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列, 3 2

8 27 ? 36 3 2 因此插入的三个数的乘积 为 36 ? 6 ? 216
设插入三个数为 a、b、c,则 b2=ac= ?

12. 2 [解析]:设数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn= 则 a4=S4-S3
a1 (3 n ? 1) (对于所有 n≥1), 2

a1 (81 ? 1) a1 (27 ? 1) ? ? 27a1 ,且 a4=54,则 a1 =2 2 2

13. 210 [解析]:∵{an}等差数列 , ∴ Sm,S2m-Sm , S3m-S2m 也成等差数列 即 2(S2m-Sm)= Sm + (S3m-S2m) ∴S3m=3(S2m-Sm)=210 14. –2 [解析]:设等比数列 {an } 的公比为 q,前 n 项和为 Sn,且 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列, 则2Sn=Sn+1+Sn+2 (*) 若 q=1, 则 Sn=na1, (*)式显然不成立, 若 q ? 1,则(*)为 2 故 2q ? q
n n?1

a1 (1 ? q n ) a1 (1 ? q n?1 ) a1 (1 ? q n? 2 ) ? ? 1? q 1? q 1? q

? q n? 2

即 q2+q-2=0

因此 q=-2 三解答题 (15)解:设等差数列 {log2 (an ? 1)}的公差为 d. 由 a1 ? 3, a3 ? 9得2(log2 2 ? d ) ? log2 2 ? log2 8, 即 d=1. 所以 log2 (an ? 1) ? 1 ? (n ? 1)? ? n, 即 an ? 2 n ? 1. (16) (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2;

当n ? 2时, an ? S n ? S n?1 ? 2n 2 ? 2(n ? 1) 2 ? 4n ? 2,
故{an}的通项公式为 an ? 4n ? 2,即 {an }是a1 ? 2, 公差d ? 4 的等差数列. 设{bn}的通项公式为 q, 则b1 qd ? b1 , d ? 4,? q ?
n ?1 故 bn ? b1 q ? 2 ?

1 . 4 2 4 n ?1 .

1 4
n ?1

, 即{bn }的通项公式为 bn ?

(II)? c n ? a n ? 4n ? 2 ? (2n ? 1)4 n ?1 , 2 bn 4 n ?1

? Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? [1 ? 3 ? 41 ? 5 ? 4 2 ? ? ? (2n ? 1)4 n?1 ], 4Tn ? [1 ? 4 ? 3 ? 4 2 ? 5 ? 4 3 ? ? ? (2n ? 3)4 n?1 ? (2n ? 1)4 n ]
两式相减得

1 3Tn ? ?1 ? 2(41 ? 4 2 ? 4 3 ? ? ? 4 n ?1 ) ? (2n ? 1)4 n ? [(6n ? 5)4 n ? 5] 3 1 ? Tn ? [(6n ? 5)4 n ? 5]. 9 (17) 解: 由已知 an>0, 得 q>0, 若 q=1, 则有 Sn=na1=80, S2n=2na1=160 与 S2n=6560 矛盾, 故

? a1 (1 ? q n ) ? 80 (1) ? ? 1? q q≠1. ∵ ? , 由(2)÷(1)得 qn=81 2n a ( 1 ? q ) ? 1 ? 6560 (2) ? ? 1? q
a1 n q =54, 且 qn=81, q 54 2 ∴a1= q. 即 a1= q. 3 81 2 2 将 a1= q 代入(1)得 q(1-qn)=80(1-qn), 3 3 2 即 q(1-81)=80(1-q), 解得 q=3. 又 qn=81, ∴n=4. 3
又 an=a1qn-1= (18) 解: (Ⅰ)由题设 2a3 ? a1 ? a2 ,即2a1q 2 ? a1 ? a1q,

(3).

∴q>1, 此数列为一递增数列, 在前 n 项中, 最大一项是 an, 即 an=54.

? a1 ? 0,? 2q 2 ? q ? 1 ? 0.

1 ? q ? 1或 ? . 2
(Ⅱ)若 q ? 1, 则S n ? 2n ? 当 n ? 2时, S n ? bn ? S n ?1 ? 若q ? ?

n(n ? 1) n 2 ? 3n ?1 ? . 2 2
(n ? 1)( n ? 2) ? 0. 故 S n ? bn . 2

1 n(n ? 1) 1 ? n 2 ? 9n , 则S n ? 2n ? (? ) ? . 2 2 2 4

(n ? 1)( n ? 10) , 4 故对于 n ? N ? ,当2 ? n ? 9时, S n ? bn ;当n ? 10 时, S n ? bn ;当n ? 11 时, S n ? bn .
当 n ? 2时, S n ? bn ? S n ?1 ? ?


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