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第三章 3.3 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域

时间:2016-12-01






二元一次不等式?组?与简单的线性规划问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
预习课本P82~86,思考并完成以下问题
(1)二元一次不等式是如何定义的?

(2)应按照怎样的步骤画二元一次不等式表示的平面区域?

(3)应按照怎样的步骤画二元一次不等

式组表示的平面区域?

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[新知初探]
1.二元一次不等式 含有 两个 未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式称为 二元一次不等式. 2.二元一次不等式组 由 几个二元一次不等式 组成的不等式组称为二元一次 不等式组.

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3.二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对

(x,y) ,叫做二元一次不等式(组)的解,所有这样的 有序数 ______ 对 (x,y) 构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集. ________
4.二元一次不等式表示平面区域 在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域,把 直线画成 虚线 以表示区域不包括边界. 不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界,把边 界画成 实线 .
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5.二元一次不等式表示的平面区域的确定 (1)直线Ax+By+C=0同一侧的所有点的坐标(x,y)代入 Ax+By+C,所得的符号都 相同 . (2)在直线Ax+By+C=0的一侧取某个特殊点(x0,y0)作 为测试点,由 Ax0+By0+C 的符号可以断定Ax+By+C>0表 示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.

[点睛]

确定二元一次不等式表示平面区域的方法是

“线定界,点定域”,定边界时需分清虚实,定区域时 常选原点(C≠0).
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[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)由于不等式2x-1>0不是二元一次不等式,故不能表示平面 的某一区域 (2)点(1,2)不在不等式2x+y-1>0表示的平面区域内 (× ) (× )

(3)不等式Ax+By+C>0与Ax+By+C≥0表示的平面区域是相 同的 (× )

(4)二元一次不等式组中每个不等式都是二元一次不等式 ( × ) (5)二元一次不等式组所表示的平面区域都是封闭区域
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( × )
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解析:(1)错误.不等式 2x-1>0 不是二元一次不等式, 1 但表示的区域是直线 x= 的右侧(不包括边界). 2 (2)错误.把点(1,2)代入 2x+y-1,得 2x+y-1=3>0,所以点(1,2)在不 等式 2x+y-1>0 表示的平面区域内. (3)错误.不等式 Ax+By+C>0 表示的平面区域不包括边界,而不等式 Ax+By+C≥0 表示的平面区域包括边界,所以两个不等式表示的平面 区域是不相同的. (4) 错 误 . 在 二 元 一 次 不 等 式 组 中 可 以 含 有 一 元 一 次 不 等 式 , 如
? ?2x+y-1≥0, ? ?3x+2<0 ?

也称为二元一次不等式组.

(5)错误. 二元一次不等式组表示的平面区域是每个不等式所表示的平面 区域的公共部分,但不一定是封闭区域.
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2.在直角坐标系中,不等式y2-x2≤0表示的平面区域是(

)

解析:选C 原不等式等价于(x+y)(x-y)≥0,因此表示 的平面区域为左右对顶的区域(包括边界),故选C.

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3.不等式2x-y-6>0表示的平面区域在直线2x-y-6=0的 ( A.左上方 C.左下方 B.右上方 D.右下方 )

解析:选D 将(0,0)代入2x-y-6,得-6<0,(0,0)点在 不等式2x-y-6>0表示的平面区域的异侧.则所求区域 在对应直线的右下方.故选D.

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4.已知点A(1,0),B(-2,m),若A,B两点在直线x+2y+3=0 的同侧,则m的取值集合是________.

解析:因为A,B两点在直线x+2y+3=0的同侧,所以把点 A(1,0),B(-2,m)代入可得x+2y+3的符号相同,即(1+ 1 2×0+3)(-2+2m+3)>0,解得m>- . 2
? ? ? 1 ? ? 答案: m m>-2 ? ? ? ? ? ? ? ?

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二元一次不等式(组)表示的平面区域
[典例] 画出下列不等式(组)表示的平面区域.

(1)2x-y-6≥0; ?x-y+5≥0, ? (2)?x+y≥0, ?x≤3. ?

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[ 解]

(1)如图,先画出直线2x-y-6=0,

取原点O(0,0)代入2x-y-6中, ∵2×0-1×0-6=-6<0, ∴与点O在直线2x-y-6=0同一侧的所 有点(x,y)都满足2x-y-6<0,因此2x-y -6≥0表示直线下方的区域(包含边界)(如图 中阴影部分所示).

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(2)先画出直线x-y+5=0(画成实线), 如图,取原点O(0,0)代入x-y+5, ∵0-0+5=5>0, ∴原点在x-y+5>0表示的平面区域 内,即x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及 其右下方的点的集合.同理可得,x+y≥0表示直线x+y=0上 及其右上方的点的集合,x≤3表示直线x=3上及其左方的点的 集合.如图所示的阴影部分就表示原不等式组的平面区域.

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(1)在画二元一次不等式组表示的平面区域时,应先画出 每个不等式表示的区域,再取它们的公共部分即可.其步骤 为:①画线;②定侧;③求“交”;④表示. (2)要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域,只需 在它所对应的直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+ By0+C的正负判定.

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[活学活用] ? ?x≥0, ?y≥0, 不等式组 ? ?x+y- 2-1≤0, ? ?x-ky+k≥0 成的区域,则 k 为 A.1 B.-1 C.± 1 D.± 2

表示的是一个轴对称四边形围

(

)

?x≥0, ? 解析:选C 在不等式组 ?y≥0, ?x+y- 2-1≤0 ?

所表示的平面区

域中,三个顶点的坐标分别为(0,0),( 2+1,0),(0, 2+1),
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又 x-ky+k=0 表示的是过点(0,1)的直线,则当 k>0 时,k=1 满足条件(如图 1);当 k<0 时,k=-1 满足条件(如图 2).故当 k ? ?x≥0, ?y≥0, =-1 或 1 时不等式组? ?x+y- 2-1≤0, ? ?x-ky+k≥0 称四边形围成的区域,故选 C.

表示的是一个轴对

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二元一次不等式(组)表示平面区域的面积
?y≤x, ? [典例] 不等式组?x+2y≤4, ?y≥-2 ?

表示的平面区域的面积为 ( )

50 A. 3 100 C. 3

25 B. 3 10 D. 3

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?y≤x, ? [解析] 作出不等式组 ?x+2y≤4, ?y≥-2 ? 图阴影部分所示.可以求得点A的坐标为

表示的平面区域,如
?4 4? ? , ? ?3 3?

,点B的坐标为

1 (-2,-2),点C的坐标为(8,-2),所以△ABC的面积是 ×[8 2 ?4 ? 50 -(-2)]×?3-?-2??= . 3 ? ?

[答案]

A
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求平面区域的面积的方法 求平面区域的面积,先画出不等式组表示的平面区域,然后 根据区域的形状求面积.若图形为规则的,则直接利用面积公式 求解;若图形为不规则图形,可采取分割的方法,将平面区域分 为几个规则图形求解.

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[活学活用]

?x≥0, ? 不等式组?x+3y≥4, ?3x+y≤4 ?

所表示的平面区域的面积等于

(

)

3 2 4 3 A. B. C. D. 2 3 3 4 解析:选C 作出平面区域如图所示为
△ABC,
? ?x+3y-4=0, 由? ? ?3x+y-4=0,

可得A(1,1),

? 4? 1 1 ? 4? 4 ? ? ? ? 又B(0,4),C 0,3 ,∴S△ABC= · |BC|· |xA|= × 4-3 ×1= ,故选C. 2 2 ? 3 ? ? ?

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用二元一次不等式组表示实际问题
[典例] 某厂使用两种零件 A,B 装配两种产品 P,Q,该厂

的生产能力是月产 P 产品最多有 2 500 件,月产 Q 产品最多有 1 200 件;而且组装一件 P 产品要 4 个零件 A,2 个零件 B,组装一 件 Q 产品要 6 个零件 A,8 个零件 B,该厂在某个月能用的 A 零件 最多 14 000 个,B 零件最多 12 000 个.用数学关系式和图形表示 上述要求.

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[解]

设分别生产P,Q产品x件,y件,依题意则有

? ?4x+6y≤14 000, ?2x+8y≤12 000, ? ?0≤x≤2 500,x∈N, ? ?0≤y≤1 200,y∈N.

用图形表示上述限制条件,得其表

示的平面区域如图(阴影部分整点)所示.

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用二元一次不等式组表示实际问题的方法 (1)先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量 用字母表示. (2)将问题中所有的量都用这两个字母表示出来. (3)由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实 际意义写出所有的不等式. (4)把这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来.

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[活学活用] 某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子,每张桌子需木工和漆工 两道工序完成.已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h 和2 h,漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h和1 h.又 木工、漆工每天工作分别不得超过8 h和9 h.请列出满足生产 条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.

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解:设家具厂每天生产甲,乙型号的桌子 的张数分别为x和y,它们满足的数学关系 ? ?x+2y≤8, ?3x+y≤9, 式为: ? ?x≥0,x∈N, ? ?y≥0,y∈N.

分别画出不等式

组中各不等式表示的平面区域,然后取交集,如图中的阴影部分 所示,生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件.

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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十七)” (单击进入电子文档)

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