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浙江省杭州市五校联盟2015-2016学年高三12月月考数学(理)试题


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2015 学年杭州市五校联盟高三月考数学(理)试卷(12 月)
试卷满分:150 分 一、选择题(共 40 分) 考试时间:120 分钟

1.设全集为 R ,集合 A ? {x | x2 ? 9 ? 0}, B ? {x | ?1 ? x ? 5} ,则 A ? (CR B) ? ( A. (?3, 0) B. (

?3, ?1] C. ( ?3, ?1) D. (?3,3)



y?
2.函数

cos 6 x 2 x ? 2 ? x 的图像大致为

3.在△ABC 中,a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 的对边,且 c>b>a,若向量 m =(a-b,1) 和 n =(b-c,1)平行,且 sin B= A.

??

?

4 3 ,当△ABC 的 面积为 时,则 b=( 5 2



1+ 3 B.2 C.4 D.2+ 3 2 4.设 O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三点,动点 P 满足

??? ? ???? ??? ? ??? ? AB AC 则点 P 的轨迹经过△ABC 的 ( OP ? OA ? ? ( ??? ? ???? ) ,? ? ?0,??? , ? AB ? cos B AC ? cos C
B.内心 C.重心 D.垂心.



A.外心 5 . 在 数 列

?an ?

中 , 对 于 任 意 n? N * , 若 存 在 常 数

?1 , ?2 ,...?k , 使 得

an?k ? ?1an ? k ?1 ? ?2an?k ?2 ? ... ? ?k an (?i ? 0, i ? 1, 2,..., k ) 恒成立,则称数列 ?an ? 为 k 阶数
列。现给出下列三个结论: ①若 an ? 2n ,则数列 ?an ? 为 1 阶数列; ②若 an ? 2n ? 1,则数列 ?an ? 为 2 阶数列; ③若 an ? n2 ,则数列 ?an ? 为 3 阶数列;以上结论正确的序号是 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③

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?2 x ? y ? 0 ? 6.已知 变量 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 z ? log4 ? 2x ? y ? 4? 的最大值为( ?x ? 0 ?
A. 2 B.



3 2

C.

2 3

D. 1

7.已知正四面体(所有的棱都相等的正三棱锥)ABCD 中,E 是 AB 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为( ) A.

1 6

B.

3 6

C.

1 3

D.

3 3

[

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 8.如图, F1 、 F2 是双曲线 a 的左、右焦点,过 F1 的直线
l 与双曲线的左
右两支分别交于点 A 、 B . 若 ?ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率 为

A.4

B. 7

2 3 C. 3

D. 3

二、填空题(9-12 每题 6 分,13-15 每题 4 分)
? 9.在△ ABC 中,已知 a ? 2 , b ? x , B ? 30 .如果 x ? 1 ,则 ?A ?

;如果

x?

2 3 ,则 ?A ? 3



10 . 已 知 数 列 {an } 满 足 : a4n? 3? 1 , a 4 an ? n ? ? 1 0 , 2

an ? ,n

?

则, N

a2013 =

; a2016 =

. 则 f ( f ( )) ?

11.设函数 f ( x) ? ? 则 a 的值为 .

?3x ? 1, x ? 1, ?2 ,
x

x ? 1.

2 3

;若 f ( f (a)) ? 1 ,

12.如图所示,在四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD= 2 ,BD ? CD,将四边形 ABCD 沿对角线
/ / BD 折成四面体 A ? BCD ,使平面 A BD ? 平面 BCD,则下列结论正确的是



/ / ? / / ? (1) A C ? BD ;(2) ?BA C ? 90 ;(3) CA 与平面 A BD 所成的角为 30 ;(4)
/ 四面体 A ? BCD 的体积为

1 . 6

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13. 在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB ? DC , AB ? 2, BC ? 1, ?ABC ? 60 , 点 E 和点 F 分别在
?

线段 BC 和 CD 上,且 BE ?

??? ?

? ???? 1 ???? ??? ? ??? ? 2 ??? BC , DF ? DC , 则 AE ? AF 的值为 3 6



14.双曲线

b2 ? 1 x2 y 2 ? ? 1 的离心率是 2 ,则 的最小值是 ( a ? 0, b ? 0) 3a a 2 b2



x 15.已 知 f ( x) 是 定 义 在 [? 2 , 2上 ] 的 奇 函 数 , 当 x ? ( 0 , 2时 ] , f ( x )? 2 ? , 1 函

数 g ( x) ? x ? 2 x ? m .如果对于 ?x1 ?[?2, 2] , ?x2 ?[?2, 2] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ,则
2

实数 m 的取值范围是 三、解答题(共 74 分)



16.在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b ?

cos B b . ?? cos C 2a ? c

13,a ? c ? 4 ,求△ABC 的面积.

17.如图,在四棱锥 ? ? ?? CD 中,底面 ?? CD 为直角梯形, ?D//? C , ??DC ? 90? , 平 面 ??D ?底 面 ?? CD , Q 为 ?D 的 中 点 , ? 是 棱 ? C 上 的 点 , ?? ? ?D ? 2 ,

?C ?

1 ?D ? 1 , CD ? 3 . 2

(Ⅰ)求证:平面 ?Q? ? 平面 ??D ;
? (Ⅱ)若二面角 ? ? ?Q ? C 为 30 ,设 ?? ? t ? C ,试确定 t 的值.

18. 已知点 F 为抛物线 E : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点, 点 A(2, m) 在抛物线
2

E 上,且 AF ? 3 .
(Ⅰ)求抛物线 E 的方程;
[来源:学科网][来源:Z+xx+k.Com]

(Ⅱ)已知点 G (?1, 0) ,延长 AF 交抛物线 E 于点 B ,证明:以点 F 为 圆心且与直线 GA 相切的圆,必与直线 GB 相切.

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19.(本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 为 Sn , Sn ? 2 ? ?

?2 ? ? 1? an (n ? 1), ?n ?

(1)求证:数列 ?

? an ? ? 是等比数列; ?n?

n (2)设数列 2 an 的前 n 项和为 Tn , An ?

?

?

2 1 1 1 的大小. ? ? ? ? , ,试比较 An 与 nan T1 T2 Tn

20.设函数 f ( x) ? loga ( x ? 3a) (a ? 0 且 a ? 1) ,当点 P ( x, y ) 是函数 y ? f ( x) 图象上的 点时,点 Q( x ? 2a,? y) 是函数 y ? g ( x) 图象上的点. (1)写出函数 y ? g ( x) 的解析式; (2)若当 x ? ?a ? 2, a ? 3? 时,恒有 f ( x) ? g ( x) ? 1,试确定 a 的取值范围.

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2015 学年杭州市五校联盟高三月考数学(理)答案
一、选择题 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 D 5 D 6 B 7 B 8 B

二、填空题 9. A ? 90 , A ? 60? 或120?
?

10.1;0

11. 2, ?

5 . 3

12.(2)(4) 13.

29 18

14.

2 3 3

15. [?5, ?2]

三、解答题

16.







1











理 ,





将上式代入 即 ∵

,得 ,即

, , ,





∵B 为三角形的内角,∴



(2)将

代入余弦定理





, ∴

, ∴

17.(I)AD∥BC,BC=1/2AD,Q 为 AD 的中点,∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD∥BQ。

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[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

18.(1)由定义可知 AF=2+0.5P=3,故 P=2,所以方程为 y =4x。

2

19.(1)由 a1=S1=2-3a1 得 a1=1/2

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所以数列

是首项及公比均为 1/2 的等差数 列

20.解:(1)设点 Q 的坐标为(x’,y’),则 x’=x-2a,y’=-y,即 x=x’+2a,y=-y’

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