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高中数学


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第二章 基本初等函数

单元回顾总结

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一、指数、对数的运算 1.指数、对数的运算应

遵循的原则:

指数式的运算首先注意化简顺序,一般负指数先转化成正
指数,根式化为分数指数幂运算,其次若出现分式则要注意分 子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式

应用过程中范围的变化,前后要等价,熟练地运用对数的三个
运算性质并结合对数恒等式,换底公式是对数计算、化简、证 明常用的技巧.

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2.对于底数相同的对数式的化简,常用的方法: (1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数. (2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).

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计算:
? 7? 1 (1)?29? 2 ? ? ?1? (2)?27? ? ?
1 - 3



3

1 62 5 - - - 2-27-3÷ 16 0.75+ 2×(4 5 ) 2-( 2-1)0;
2

1 + ?lg 4? -lg 16+1-lg +log5 35-log5 7. 4 3 3 1 2 ??5? ?1 8 - 2 2 4 -4 解:(1)原式=??3? ? + -27-3÷ (2 ) +25 ×(2 5 )-2 ?? ? ?

-1 5 2 =3-3-24+2-1=-22.

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(2)原式=(3 )
-1

-3



1 3

+ ?lg 4?2-2lg 4+1

35 -lg 4 +log5 7 =3+ ?lg 4-1?2+lg 4+log5 5 =3+1-lg 4+lg 4+1 =5.

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【题后总结】 指数式的运算首先注意化简顺序,一般负指 数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算,其次要准确把 握幂的运算性质;对数运算一般先化为同底数对数,再利用对 数运算性质进行“收”或“拆”,即将同底数对数的和(差)收成 积(商)的对数,或将积(商)的对数拆成对数的和(差).

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二、指数、对数、幂函数的图象及应用

1.函数图象的画法.
画法 应用范围 画法技巧 利用一次函数、反比例函数、二次函数、指 数函数、对数函数、幂函数的有关知识,画 出特殊点(线),直接根据函数的图象特征作出 图象 弄清所给函数与基本函数的关系,恰当选择 平移、对称等变换方法,由基本函数图象变 换得到函数图象 列表、描点、连线

基本函 基本初等函数 数法 与基本初等函 变换法 数有关联的函 数 描点法 未知函数或较 复杂的函数

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2.使用数形结合的思想解题的常见类型. (1)求函数的定义域. (2)求函数的值域. (3)求函数的单调区间. (4)解方程、不等式等有关问题,确定参数范围.

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(1)函数 ( )

则 y=f(x+1)的图象大致是

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2 ? ? ,x≥2, (2)已知函数 f(x)=?x 若关于 x 的方程 f(x)=k 3 ? ? x - 1 ? ,x<2. ? 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是______.

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解析: (1) 作出

的图象,如图 1 所

示.再把 f(x)的图象向左平移一个单位长度,可得到 y=f(x+1) 的图象.故选 B.

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2 ? ? ,x≥2, (2)作出函数 f(x)=?x 的简图,如图 2 所示, 3 ? ??x-1? ,x<2. 方程 f(x)=k 有两个不同的实根,也就是函数 f(x)的图象与直线 y =k 有两个不同的交点,所以 0<k<1.

答案:(1)B (2)(0,1)

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【题后总结】1.函数图象判断问题要对常见函数,如一次函 数,二次函数、正比例函数、反比例函数、指数函数、对数函数、 1 形如 y=x+ x的函数等的图象与性质,以及由此变换得到的函数 图象与性质要做到非常熟练. 2.利用函数图象,由方程 f(x)=g(x)解的个数可以确定参数 的取值范围,这时可转化为两函数 y=f(x)与 y=g(x)图象交点个 数问题.

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三、指数、对数、幂函数的定义域和值域问题 定义域、值域是函数的两个重要要素,也是高考的热点, 求函数定义域时,先要列出使解析式有意义的式子,常有以下 几种情况:①分式分母不为0;②偶次根式中,被开方数非负; ③ 0 的 0 次幂无意义;④对数式中真数大于 0 ,底数大于 0 ,且不 为1,然后根据条件将自变量满足的范围转化为求不等式或不等 式组的问题,而函数的值域往往和函数的最值联系在一起,常

见方法有:观察法,单调性法,换元法,分离常数法,配方
法,数形结合法等.

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(1)求函数 f(x)=log2x-1 3x-2的定义域. (2)求函数
?1? 2- y=?3?x 4x,x∈[0,5)的值域. ? ?

?2x-1>0, ? 解:(1)由题意知?2x-1≠1,故 ?3x-2>0, ?
?2 ? 2 x>3,且 x≠1,即定义域为?3,1?∪(1,+∞). ? ?

(2)令 u=x <y

2

? 1? ? 1? - 1 5 4 ? ? ? ? -4x, x∈[0,5), 则-4≤u<5,3 <y≤ 3 , 243 ? ? ? ?

? 1 ? ≤81,即值域为?243,81?. ? ?

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【题后总结】1. 求函数定义域先要根据解析式有意义的要 求,列出不等式或不等式组,然后转化为求不等式或不等式组 的解集,同时注意解析式中含有字母时,要对字母进行分类讨 论. 2.函数的值域是函数值的集合,它是由函数的定义域与对 应关系确定的.若函数在给定区间上是单调函数,可利用单调

性求值域.

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四、数的大小比较 数的大小比较常用方法: (1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题 型,主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用 及差值比较法与商值比较法的应用,常用的方法有单调性法、 图象法、中间搭桥法、作差法、作商法. (2) 当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时,可

将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值,然后利
用该函数的单调性比较.

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(3)比较多个数的大小时,先利用“0”和“1”作为分界点, 即把它们分为“小于 0”,“大于等于 0 小于等于 1”,“大于 1”三部分,然后再在各部分内利用函数的性质比较大小. (4)采用数形结合的方法,通过函数的图象解决.

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比较下列各组数的大小: (1)0.65.1,5.10.6,log0.65.1; (2)log712,log812; (3)
1 a=0.22 1 ,b=0.32 1 ,c=33 1 ,d=53

.

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解:(1)因为 0<0.65.1<1,5.10.6>1,log0.65.1<0,

所以 5.10.6>0.65.1>log0.65.1.

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(2)方法一:在同一坐标系中作出函数 y=log7x 与 y=log8x 的图象,由底数变化对图象位置的影响知: log712>log812. lg 12 log712 lg 7 lg 8 方法二: = = =log78>1. log812 lg 12 lg 7 lg 8 因为 log812>0,所以 log712>log812.

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1 1 (3)因为 0<2<1,所以 y=x2 在[0,+∞)上为增函数,所



1 0.22

1 <0.32

,即 a<b.同理
1 <1,33

1 33

1 <53

,即 c<d.

又因为

1 0.32

>1,

所以 b<c,故有 a<b<c<d.

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【题后总结】 幂的大小比较应尽量化为同底数或同指数, 再利用指数函数或幂函数的单调性比较,对数的比较也要尽量 化为同底数对数,不能转化时常用中间值比较或利用图象比 较.

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五、指数、对数、幂函数的奇偶性和单调性 1.指数、对数、幂函数的奇偶性的判断方法和注意事项 (1)判断方法. ①定义法:首先看定义域是否关于原点对称,然后判断 f(- x)=± f(x)或 f(-x)± f(x)=0 是否成立,最后得出结论. ②图象法:若一个函数的图象关于原点(y 轴)对称,则该函 数是奇(偶)函数.

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(2)注意事项. 正确应用指数和对数的运算性质和结论进行变形,例如 e x 2 1 + -x= x+2ex, 2 e 2e


?x-1? x+1 x-1 ? ?-1 loga =loga? ? =-logax+1. x + 1 x-1 ? ?

2.指数、对数、幂函数单调性的应用 (1)比较指数幂、对数的大小. (2)解指数、对数不等式. (3)求函数的值域.

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ex a 设 a>0,f(x)= + x是 R 上的偶函数. a e (1)求 a 的值; (2)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 解:(1)依题意,对一切 x∈R,有 f(-x)=f(x),

e-x a ex a 即 a + -x= a +ex, e
? 1? ? x 1 ? ∴?a-a??e -ex?=0 ? ?? ?

对一切 x∈R 成立,

1 则 a- =0,∴a=± 1.∵a>0,∴a=1. a

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(2)f(x)在(0,+∞)上为增函数. 证明如下:设 0<x1<x2, 1 1 则 f(x1)-f(x2)=e -e + x1- x2 e e
x1 x2

=(e -e

x2

x1 ?

? )?e x1+x2-1? ? ? ?

?

1

x1+x2 1 - e =(e x2-e x1)· x1+x2 , e

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∵0<x1<x2,∴e x2>e x1,e x1+x2>1, ∴e x2-e x1>0,1-e x1 ∴f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.
+x2

<0,

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【题后总结】 本题主要考查与指数函数有关的奇偶性、单 调性的求解,在单调性的证明中,要充分利用指数函数的有关 性质优化解题过程.

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【考情分析】
本章知识在高考中属于必考内容,其中近几年高考中与对 数有关的知识更是占有重要的分量,一是以选择题和填空题的 形式出现,直接考查指数、对数的运算,指数、对数函数的图 象与性质等基础知识,二是考查与对数函数有关的综合问题,

既可以选择、填空题的形式出现,也可以解答题的形式出现.

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【高考冲浪】 1. (2013·浙江高考)已知x,y为正实数,则( A.2lg x+lg y=2lg x+2lg y B.2lg(x+y)=2lg x·2lg y C.2lgx·lg y=2lg x+2lg y D.2lg(xy)=2lg x·2lg y )

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解析:利用指数幂及对数的运算性质逐项验证. A项,2lg x+lg y=2lg x·2lg y,故错误; B项,2lg x·2lg y=2lgx+lg y=2lg(x·y)≠2lg(x+y),故错误; C项,2lg x ·lg y=(2lg x)lg y,故错误; D项,2lg(xy)=2lg x+lg y=2lg x·2lg y,正确. 答案:D

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2. (2013· 新课标全国高考Ⅱ)设 a=log36, b=log510, c=log7 14,则( ) B.b>c>a

A.c>b>a C.a>c>b

D.a>b>c lg 6 lg 2 lg 10 lg 2 解析:根据公式变形,a=lg 3=1+lg 3,b= lg 5 =1+lg 5,

lg 14 lg 2 lg 2 lg 2 lg 2 c= lg 7 =1+lg 7.因为 lg 7>lg 5>lg 3, 所以lg 7<lg 5<lg 3, 即 c<b<a.故选 D.
答案:D

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3.(2014·北京高考)下列函数中,定义域是R且为增函数的 是( )

A.y=e-x
C.y=ln x

B.y=x3
D.y=|x|

解析: 依据函数解析式,通过判断定义域和单调性,逐项 验证.A项,函数定义域为 R,但在R上为减函数,故不符合要 求;B项,函数定义域为R,且在R上为增函数,故符合要求;C 项,函数定义域为(0,+∞),不符合要求;D项,函数定义域为 R,但在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,不符合 要求.

答案:B

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4. (2014·山东高考)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其 中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1 C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1 解析:由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知 0 )

<a<1,0<c<1.
答案:D

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5.(2013· 天津高考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且在区间[0,+∞)上单调递增,若实数 a 满足 f(log2a)+f(log1
2

a)≤2f(1),则 a 的取值范围是( A.[1,2]
?1 ? C.?2,2? ? ?

)
? 1? B.?0,2? ? ?

D.(0,2]

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解析:根据函数的单调性和奇偶性得出关于 a 的不等式求 解. ∵f(log1 a)=f(-log2a)=f(log2a),
2

∴原不等式可化为 f(log2a)≤f(1), 又∵f(x)在区间[0,+∞)上单调递增, ∴0≤log2a≤1, 即 1≤a≤2, ∵f(x)是偶函数,

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∴f(log2a)≤f(-1). 又 f(x)在区间(-∞,0]上单调递减, ∴-1≤log2a≤0, 1 ∴ ≤a≤1. 2 1 综上可知2≤a≤2.
答案:C

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?16?-3 6.(2014· 安徽高考)?81? 4 ? ?

5 4 +log3 4+log3 5=________.


?16? 解析:根据负分数指数幂的性质及对数运算性质求解.?81? ? ?
3 4

5 4 ?2?-3 27 27 ? ? +log3 +log3 = 3 +log31= +0= . 4 5 ? ? 8 8

27 答案: 8

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7 . (2013· 安徽高考 ) 函数 ______.

? 1? y = ln ?1+x? + ? ?

1-x2 的定义域为

1 ? ?1+ >0, x 解析:(1)由题意,得? 2 ? 1 - x ≥0, ?
? ?x<-1或x>0, 所以? ? ?-1≤x≤1,

所以 0<x≤1,

故该函数的定义域为(0,1].
答案:(0,1]

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8 . (2013· 北京高考 ) 函数 ______.

的值域为

解析:利用指数函数、对数函数的性质求解. 当 x≥1 时,log1 x≤log1 1=0,∴当 x≥1 时,f(x)≤0.当 x<
2 2

1 时,0<2x<21,即 0<f(x)<2.因此函数 f(x)的值域为(-∞,2).

答案:(-∞,2)


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