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高中数学竞赛向量

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高中数学竞赛专题讲座——向量 一、三角函数部分 1.(集训试题)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别记为 a、b、c(b≠1),且 C , A sin B 都是方程 log x=log (4x-4)的根,则△ABC(B) b b sin A A.是等腰三角形,但不是直角三角形 B.是直角三角形,但不是等腰三角形 C.是等腰直角三角形 D.不是等腰三角形,也不是直角三角形

2 解:由 log b x=logb(4x-4)得:x -4x+4=0,所以 x1=x2=2,故 C=2A,sinB=2sinA, 因 A+B+C=180°,所以 3A+B=180°,因此 sinB=sin3A,∴3sinA-4sin3A=2sinA, ∵sinA(1-4sin2A)=0,又 sinA≠0,所以 sin2A= 1 1 ,而 sinA>0,∴sinA= . 4 2 因此 A=30°,B=90°,C=60°。故选 B。 2. (2006 吉林预赛)已知函数 y=sinx+acosx 的图象关于 x=5π/3 对称,则函数 y=asinx+cosx 的图象的一条对称轴是(C) A.x=π/3 B.x=2π/3 C.x=11π/6 D.x=π 3.2006 年南昌市)若三角形的三条高线长分别为 12,15,20,则此三角形的形状为( B ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.形状不确定 4. (2006 年南昌市)若 a ? sin ? ? tan ? , b ? cos ? ? cot ? ,则以下诸式中错误的是( B ) A. sin ? = ab ? 1 b ?1 B. cos ? ? 1 ? ab a ?1 ( a ? b)( a ? b ? 2) (a ? b ? 1) 2 ? 1 ? 2ab D. tan ? ? cot ? = ( a ? 1)(b ? 1) (a ? 1)(b ? 1) 5. (2006 安徽初赛)已知△ABC 为等腰直角三角形,∠C = 90°,D、E 为 AB 边上的两个 点,且点 D 在 AE 之间,∠DCE = 45°,则以 AD、DE、EB 为边长构成的三角形的最 大角是 ( ) A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不能确定 3 3 6. (2006 陕西赛区预赛)若 sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ? ,0 ? ? ? 2? ,则角 ? 的取值范围 是(C) C. tan ? ? cot ? = , ) 4 4 2 1 3 10 7. (2006 年江苏)在△ ABC 中, tan A ? , cos B ? .若△ ABC 的最长边为1 ,则 2 10 4 4 4 最短边的长为 ( D ) A. A. [0, ? ] B. [ ? ,? ] C. [ ? 5? , ] D. [ ? 3? 4 5 5 B. 3 5 5 C. 1 2 5 5 D. 5 5 8 . (2005 年浙江 ) 设 f1 ( x) ? 2 , f2 ( x) ? sin x ? cos 2x , f3 ( x) ? sin C.3 D.4 x ? cos 2 x , 2 f 4 ( x) ? sin x2 ,上述函数中,周期函数的个数是( B ) A.1 【解】 : f1 ( x) ? B.2 2 是以任何正实数为周期的周期函数; f 2 ( x) 不是周期函数。 因为 2? sin x 是以 T1 ? 2? 为周期的周期函数 , cos 2

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