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湖南省怀化市2015年高三第二次模拟考试数学理试题

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湖南省怀化市 2015 年高三第二次模考 理科数学
试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分. 时量:120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共计 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求,请把正确答案的代号填在答题卡上. 1.设集合 M ? {x | 0 ? x ? 3} , N ? {x | x2 ? 3x ? 4 ? 0} ,则集合 M ? N 等于 A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 3} B. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | 0 ? x ? 3}

2.复数 (

2i 2 ) (其中 i 为虚数单位)的虚部等于 1? i

A. ? i B. ? 1 C. 1 D. 0 3.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的结果为 A.7 B. 6 C.5 D.4 4.在 ?ABC 中, “ sin( A ? B ) cos B ? cos ? A ? B ? sin B ? 1 ”是“ ?ABC 是直角三角形”的 A.充分不必要条件 C.必要不充分条件 B.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

5.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 则正视图中的 x 的值是 A.2 B.

3 , 2

9 2

C.

3 2

D.3

6. 若数列 ?an ? 满足

1 p ? ? 0 ,n ? N * , p为非零常数 , 则称数列 ?an ? 为 “梦想数列” . an?1 an

已知正项数列 ? A.2 7.定积分 A.

?1? ,且 b1b2b3 ?b99 ? 299 ,则 b8 ? b92 的最小值是 ? 为“梦想数列” ? bn ?
B.4 C.6 D.8

?

1

0

x(2 ? x)dx 的值为
B.

? 4

? 2

C. ?

D.2 ?

8.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(b ? 0) ,过其右焦点 F 作圆 x2 ? y 2 ? 9 的两条切线,切点分别 9 b2

记作 C 、 D ,双曲线的右顶点为 E , ?CED ? 150 ,其双曲线的离心率为
?

A.

2 3 9

B.

3 2

C. 3

D.

2 3 3

9. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f ?( x) ? 1 ? f ( x) , f (0) ? 6 , f ?( x ) 是 f ( x ) 的导函数, 则不等式 ex f ( x) ? e x ? 5 (其中 e 为自然对数的底数)的解集为 A. ? 0, ?? ? B. ? ??, 0 ? U ? 3, ?? ? C. ? ??, 0 ? U ?1, ?? ? D. ? 3, ?? ?

??? ? ??? ? 10.已知 A(1, 0) ,曲线 C : y ? eax 恒过点 B ,若 P 是曲线 C 上的动点,且 AB ? AP 的最小值
为 2 ,则 a 的值为 A. ? 2 B. ? 1 C.1 D.2

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 把答案填在答题卡 上的相应横线上. (一)选作题(请考生在 11、12、13 三题中任选 2 题作答,如果全做,则按前 2 题记分) 11.在极坐标系中, 定点 A(2,

?
2

), 点 B 在直线 ? cos? ? 3? sin ? ? 0 上运动, 则线段 AB

长度的最小值为__________. 12. 如图, PAB 、 PCD 为圆 O 的两条割线,若 PA ? 5 ,

AB ? 7 , CD ? 11 , AC ? 2 ,则 BD ?
2

. .

13.若不等式 x ? 3 ? x ? 7 ? a ? 3a 的解集为 R ,则实数 a 的取值范围是 (二)必做题(14~16 题) 14.某班有 50 名同学,一次数学考试的成绩 X 服从正态分布 N (105,102 ) ,已

知 p(95 ? X ? 105) ? 0.34 ,估计该班学生数学成绩在 115 分以上的有_______ 人.

? x ? 0, ? 15. 已知点 P ( x, y ) 满足条件 ? y ? x, ( k 为常数) ,若 z ? x ? 3 y 的最大值为 8, ?2 x ? y ? k ? 0 ?
则k ? . 16.设 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数,对于任意的 x 都有 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? 0 恒成立,若

? f (m2 ? 6m ? 23) ? f (n 2 ? 8n) ? 0 2 2 实数 m, n 满足 ? ,则 m ? n 的取值范围是________. ?m ? 3
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分 12 分) 已 知 向 量 a ? ? sin? x , cos ? x ? , b ? cos ? x, 3 cos ? x
?

?

?

?

,其中 ? ? 0 ,若函数

f ( x) ? a? b ?

? ?

3 的最小正周期为 ? . 2

(Ⅰ)求函数 f ?x ? 的单调递增区间; (Ⅱ)如果 ?ABC 的三边 a, b, c 所对的角分别为 A, B, C ,且满足 b ? c ? a ? 3bc ,
2 2 2

求 f ? A? 的值.

18. (本小题满分 12 分) 从 6 名男同学和 4 名女同学中随机选出 3 名同学参加一项竞技测试, 每位同学通过测试 的概率为 0.7,试求: (Ⅰ)选出的三位同学中至少有一名女同学的概率; (Ⅱ)选出的三位同学中同学甲被选中并且通过测试的概率; (Ⅲ)设选出的三位同学中男同学的人数为 ? ,求 ? 的概率分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 侧面 AA1 B1 B ⊥底面 ABC , 侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60° 的角, AA1 ? 2 .底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,其重心为 G 点, E 是线段 BC1 上一点,且 BE ?

1 BC1 . 3 (Ⅰ)求证: GE // ?侧面 AA1 B1 B ;
(Ⅱ)求平面 B1GE 与底面 ABC 所成 锐二面角的正切值.

20. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 是等差数列,数列 {bn } 是等比数列, a1b1 ? 3 ,且对任意的 n ? N ,都
?

? anbn ? 有 a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? …

(2n ? 1)3n?1 ? 3 . 4

(Ⅰ)求数列 {anbn } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 的首项为 3 ,公比为 3 ,设 cn ? bn ? (?1)n?1 ? ? 2 n ,且对任意的
a ?1

n ? N ? ,都有 cn?1 ? cn 成立,求实数 ? 的取值范围.

21.(本小题满分 13 分) 已知抛物线 ? : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,若过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线 ? 相交于 M、N 两点,且|MN|=4. (Ⅰ)求抛物线 ? 的方程; (Ⅱ) 若点 P 是抛物线 ? 上的动点, 点 B、 C 在 y 轴上, 圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 内切于 ?PBC , 求 ?PBC 面积的最小值. 22.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? mx ? m . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 在 x ? (0, ??) 上恒成立,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,对任意的 0 ? a ? b ,求证:

f (b) ? f (a) 1 ? . b?a a(a ? 1)

怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷

2015 年高三二模
一、选择题 题号 答案 二、填空题 11、 1 C 2 B 3 D 4 A 5 C 6 B

理科数学参考答案
7 A 8 D 9 A 10 C

3 ;

12、6; 15、 ? 6 ;

13、 ? ?2,5? ; 16、 (13, 49) .

14、 8 ; 三、解答题

17 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? a? b ?

? ?

3 3 ? ? sin ? x,cos ? x ? ? cos ? x, 3 cos ? x ? 2 2 3 1 3(cos 2? x ? 1) 3 ? sin 2? x ? ? 2 2 2 2

?

?

? sin ? x cos ? x ? 3 cos2 ? x ?
? sin(2? x ? ) 3

?

????????? 2 分

由 f ( x ) 的周期为 ? 得 ? ? 1 ,即 f ( x) ? sin(2 x ? 由 2 k? ?

?
3

) ???? 4 分 5? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) , 12 12
??????? 6 分

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

(k ? Z ) 解得 k? ?

所以 f ( x ) 的单调增区间为 [k? ?
2 2 2

5? ? , k? ? ] (k ? Z ) 12 12
2 2 2

(Ⅱ)由已知 b ? c ? a ? 3bc 及余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 可知

cos A ?

3 2

??????? 8 分 所以 A ?

因为 A ? (0, ? ) ,

?
6

??????? 10 分

所以

? 2? 3 ??????? 12 分 f ( A )? f ( ? ) n si ? 6 3 2
C 63
3 C 10

18 解: (Ⅰ)至少有一名女同学的概率为 1 ?
2 (Ⅱ)同学甲被选中的概率为 C9 ? 3 , 3 10 C10

? 1?

1 5 ????? ? . 6 6

4分

则同学甲被选中且通过测试的概率为 0.3×0.7=0.21 ???? 8 分 (Ⅲ)根据题意, ? 的可能取值为 0、1、2、3,
P(? ? 0) ?
3 C4 1 ? , 3 C10 3

P(? ? 1) ?

1 2 C6 C4 3 ? , 3 10 C10

P(? ? 2) ?

2 1 C6 C4 1 ? 3 C10 2

P(? ? 3) ?

3 C6 1 ? 3 C10 6

所以, ? 的分布列为:

1 3 1 1 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 1.8 30 10 2 6 19 解法 1: (Ⅰ)延长 B1E 交 BC 于点 F, E (? ) ? 0 ?

????? 12 分

1 ? ?B1 EC1 ∽△FEB,BE= EC1, 2
从而点 F 为 BC 的中点.

∴BF=

1 1 B1C1= BC, 2 2

∵G 为△ ABC 的重心, ∴A、G、F 三点共线. 且

又 GE ? 侧面 AA1B1B, ∴GE//侧面 AA1B1B????? 5 分 (Ⅱ)在侧面 AA1B1B 内,过 B1 作 B1H⊥AB,垂足为 H, ∵侧面 AA1B1B⊥底面 ABC, ∴B1H⊥底面 ABC. 又侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60° 的角,AA1=2,

FG FE 1 ? ? ,? GE // AB1 , FA FB1 3

∴∠B1BH=60° ,BH=1,B1H= 3. 在底面 ABC 内,过 H 作 HT⊥AF,垂足为 T,连 B1T,由三垂线定理有 B1T⊥AF,

又平面 B1CE 与底面 ABC 的交线为 AF,∴∠B1TH 为所求二面角的平面角. ∴AH=AB+BH=3,∠HAT=30° ,∴HT=AH sin 30? ? 在 Rt△ B1HT 中, tan ?B1TH ?

3 . 2

B1 H 2 3 , ? HT 3
3

从而平面 B1GE 与底面 ABC 成锐二面角的正切值为 2 3

????? 12 分

解法 2: (Ⅰ) ∵侧面 AA1B1B⊥底面 ABC, 侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60° 的角, ∴∠A1AB=60° , 又 AA1=AB=2,取 AB 的中点 O,则 AO⊥底面 ABC. 以 O 为原点建立空间直角坐标系 O— xyz 如图, 则 A ? 0, ?1, 0 ? , B ? 0,1, 0 ? , C

A1 0, 0, 3 , B1 0, 2,

?

? ?

? 3, 0, 0 ? , 3? , C ? 3,1, 3 ? .
1

? 3 ∵G 为△ ABC 的重心,∴ G ? . ? ? 3 , 0, 0 ? ? ? ? ??? ? 1 ???? ? ? ? ? BE ? BC1 ,∴ E ? 3 ,1, 3 ? , ? 3 3 ? ? 3 ?

??? ? ? ???? ? ∴ CE ? ? 0,1, 3 ? ? 1 AB1 . ? 3 ? ? ? 3 又 GE ? 侧面 AA1B1B,∴GE//侧面 AA1B1B. ????? 5 分
n ? B1 E ? 0, 得 ? (Ⅱ)设平面 B1GE 的法向量为 n ? (a, b, c) ,则由 ? ? 3 ? ? ??? ? ?n ? GE ? 0. ? ????
? 3 a ?b? ? ?b ? 3 c ? 0. ? 3 ? 2 3 c ? 0, 3

可取 n ?

?

3, ?1, 3

?

又底面 ABC 的一个法向量为 m ? ? 0, 0,1?

设平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的大小为 ? ,则 cos ? ?

m?n 21 . ? | m |?| n | 7

由于 ? 为锐角,所以 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 2 7 ,进而 tan ? ? 2 3 . 7 3 故平面 B1GE 与底面 ABC 成锐二面角的正切值为 2 3 ?????
3

12 分

? anbn ? 20 解: (Ⅰ)因为 a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? …

(2n ? 1)3n?1 ? 3 , 4 (2n ? 3)3n ? 3 , 4

? an?1bn?1 ? 当 n ? 2 时, a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? …
两式相减,得 anbn ? n ? 3n ( n ? 2 ) , 又当 n ? 1 时, a1b1 ? 3 ,适合上式,

从而 anbn ? n ? 3n ( n ? N ? ) ????? 5 分 (Ⅱ)因为数列 {bn } 的首项为 3,公比为 3,故 bn ? 3n , an ? n ,

所以 cn ? bn ? (?1)n?1 ? ? 2

an ?1

? 3n ? (?1)n?1 ? ? 2n?1 .

因为对任意的 n ? N ? ,都有 cn?1 ? cn 成立, 即 3n?1 ? (?1)n ? ? 2n?2 ? 3n ? (?1)n?1 ? ? 2n?1 恒成立,

1 3 ( ?1) n ?1 ? ? ? ( ) n ????? 9 分 3 2 1 1 3 n 1 31 当 n 为奇数时, ? ? ? ( ) 恒成立,所以 ? ? ? ( ) ,即 ? ? , 2 3 2 3 2 3 1 3 n 1 3 2 当 n 为偶数时, ? ? (? ) ? ( ) 恒成立,所以 ? ? (? ) ? ( ) ,即 ? ? ? , 4 3 2 3 2 3 1 综合可得 ? ? ( ? , ) ????? 13 分 4 2 p p 21 解: (Ⅰ)已知 F ( , 0) ,则过点 F 且斜率为 1 的直线方程为 y ? x ? . 2 2
化简得

p ? ?y ? x ? 联立 ? 2 ? y 2 ? 2 px ?

消去 y 得: x ? 3 px ?
2

p2 ? 0, 4

设 M ( x1, y1 ), N ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? 3 p , 所以 |MN|= x1 ? x2 ? p ? 4 p =4, 解得 p=1. 所以抛物线 ? 的方程为 y ? 2 x
2

?????????? 5 分

(Ⅱ)设 P( x0 , y0 )( x0 ? 0), B(0, b), C(0, c) ,不妨设 b>c, 直线 PB 的方程为

y ?b ?

y0 ? b x, x0

化简得 故

,又圆心(1,0)到直线 PB 的距离为 1, ( y0 ? b) x? 0 x y ? 0x b ?0

| y0 ? b ? x0b | ( y0 ? b) 2 ? ? ? x0 ?
2

2 2 2 ? 1 ,即 ( y0 ? b)2 ? x0 ? ( y0 ? b)2 ? 2x0b( y0 ? b) ? x0 b ,

不难发现 x0 ? 2 ,上式又可化为 ( x0 ? 2)b2 ? 2 y0b ? x0 ? 0 , 同理有 ( x0 ? 2)c ? 2 y0c ? x0 ? 0 , 所以 b,c 可以看做关于 t 的一元二次方程
2

( x0 ? 2)t 2 ? 2 y0t ? x0 ? 0 的两个实数根,则 b ? c ?

?2 y0 ? x0 , bc ? , ( x0 ? 2) ( x0 ? 2)

所以

(b ? c)2 ? ? b ? c ? ? 4bc ?
2

2 2 4( x0 ? y0 ? 2 x0 ) ( x0 ? 2)2 2 4 x0 , ( x0 ? 2)2

2 因为点 P( x0 , y0 ) 是抛物线 ? 上的点,所以 y0 ? 2 x0 ,则 (b ? c)2 ?

又 x0 ? 2 ,所以 b ? c ?

2 x0 . x0 ? 2

所以 S?PBC ?

x2 1 4 (b ? c) x0 ? 0 ? x0 ? 2 ? ?4?8, 2 x0 ? 2 x0 ? 2

当且仅当 x0 ? 4 时取等号,此时 y0 ? ?2 2 , 所以 ?PBC 面积的最小值为 8 ?????????? 13 分 22 解: (Ⅰ) f ( x) ?
'

1 1 ? mx ?m ? ( x ? (0, ??)) , x x

当 m ? 0 时, f ' ( x) ? 0 恒成立,则函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增, 此时函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) ,无单调递减区间;

1 1 ? mx 1 ?m ? ? 0 ,得 x ? (0, ) , x x m 1 1 ? mx 1 ' ? 0 ,得 x ? ( , ?? ) , 由 f ( x) ? ? m ? x x m 1 1 此时 f ( x ) 的单调递增区间为 x ? (0, ) , 单调递减区间为 ( , ?? ) ????? 4 分 m m
当 m ? 0 时,由 f ( x) ?
'

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:当 m≤0 时,f(x)在 (0, ??) 上递增,f(1)=0,显然不成立; 当 m>0 时, f ( x) max ? f (

1 1 ) ? ln ? 1 ? m ? m ? ln m ? 1 m m

只需 m ? ln m ? 1 ? 0 即可, 令 g ( x) ? x ? ln x ? 1 , 则 g ( x) ? 1 ?
'

1 x ?1 ? , x ? (0, ??) x x

得函数 g ( x) 在(0,1)上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增. ∴ g ( x)min ? g (1) ? 0

g ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,也就是 m ? ln m ? 1 ? 0 对 m ? (0, ??) 恒成立,
∴ m ? ln m ? 1 ? 0 ,解 m ? 1 , ∴若 f ( x) ? 0 在 x ? (0, ??) 上恒成立,则 m ? 1 ????? 8 分

b ln f (b) ? f (a) ln b ? ln a ? a ? b ln b ? ln a 1 (Ⅲ)证明: ? ? ?1 ? a ? ?1 , b b?a b?a b?a ?1 a a
由(Ⅱ)得 f ( x) ? 0 在 x ? (0, ??) 上恒成立, 即 ln x ? x ? 1 ,当且仅当 x ? 1 时去等号,又由 0 ? a ? b 得

b ? 1, a

b ln b b a ? 1. 所以有 0 ? ln ? ? 1 , 即 b a a ?1 a b ln 2 1 a ? 1 ?1 ? 1 ?1 ? 1 ? a ? 1 ? a ? 则 , b a a a a (1 ? a ) a ( a ? 1) ?1 a
则原不等式

f (b) ? f (a) 1 ? 成立 ????? 13 分 b?a a(a ? 1)


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