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2015届高考数学一轮复习单元测试:集合 常用逻辑用语与函数 导数及应用

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质量检测(一)
测试内容:集合 常用逻辑用语与函数 时间:90 分钟 分值:120 分 导数及应用

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.(2013· 陕西卷)设全集为 R,函数 f(x)= 1-x2的定义域为 M, 则?RM 为( ) B.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

A.[-1,1] C.(-∞,-1]∪[1,+∞)

解析:从函数定义域切入,∵1-x2≥0,∴-1≤x≤1,依据补 集的运算知所求集合为(-∞,-1)∪(1,+∞),选 D. 答案:D 2.(2013· 福建卷)已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3” 是“A?B”的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

解析:因为 A={1,a},B={1,2,3},若 a=3,则 A={1,3},所 以 A?B;若 A?B,则 a=2 或 a=3,所以 A?BD?/a=3,所以“a =3”是“A?B”的充分而不必要条件. 答案:A 3.(2013· 山东烟台诊断)下列说法错误的是( )

A.命题“若 x2-4x+3=0,则 x=3”的逆否命题是“若 x≠3, 则 x2-4x+3≠0” B.“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件

C.若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D.命题 p:“?x∈R,使得 x2+x+1<0”,则綈 p:“?x∈R, x2+x+1≥0” 解析:若 p∧q 为假命题,则 p、q 中至少有一个是假命题,故选 C. 答案:C 4.(2013· 西安长安区第一次质检)下列函数中,既是奇函数又在 区间(0,+∞)上单调递增的函数是( 1 A.y=m|x| C.y=2|x| ) B.y=x3 D.y=cos x

解析:f(x)=x3,f(-x)=-x3=-f(x),∴f(x)=x3 为奇函数. 且 f(x)=x3 在 R 上单调递增,∴在(0,+∞)上单调递增,故选 B. 答案:B 5. 若函数 f(x)=ax2+(a2-1)x-3a 为偶函数, 其定义域为[4a+2, a2+1],则 f(x)的最小值为( )

A.3 B.0 C.2 D.-1 解析:由 f(x)为偶函数知 a2-1=0, 即 a=± 1, 又其定义域需关于原点对称, 即 4a+2+a2+1=0 必有 a=-1. 这时 f(x)=-x2+3, 其最小值为 f(-2)=f(2)=-1. 故选 D. 答案:D

1 6. (2014· 河北名校名师俱乐部二调)曲线 y=2x2+x 在点(2,4)处的 切线与坐标轴围成的三角形面积为( 4 2 A.1 B.2 C.3 D.3 解析:y′=x+1,所以切线在点(2,4)处的斜率为 3,切线方程为 2 y-4=3(x-2),令 x=0,得 y=-2,令 y=0,得 x=3,所以切线与 1 2 2 坐标轴围成的三角形的面积为 S=2×|-2|×3=3. 答案:D 7.(2013· 重庆卷)已知函数 f(x)=ax3+bsin x+4(a,b∈R), f[lg(log210)]=5,则 f[lg(lg 2)]=( A.-5 B.-1 C.3 D.4
? ? 1 ?? 解析: 因为 f[lg(log210)]=f?lg?lg2??=f[-lg(lg 2)]=5, 又 f(x)+f(- ? ? ??

)

)

x)=8,所以 f[-lg(lg 2)]+f[lg(lg 2)]=8,所以 f[lg(lg 2)]=3,故选 C. 答案:C 8.(2013· 青岛市统一质检)已知函数 f(x)对定义域 R 内的任意 x 都有 f(x)=f(4-x),且当 x≠2 时其导函数 f′(x)满足 xf′(x)>2f′(x), 若 2<a<4 则( )

A.f(2a)<f(3)<f(log2a) B.f(3)<f(log2a)<f(2a) C.f(log2a)<f(3)<f(2a) D.f(log2a)<f(2a)<f(3) 解析:由 f(x)=f(4-x)知函数 f(x)关于 x=2 对称,x≠2 时,有(x -2)f′(x)>0,∴x>2 时 f′(x)>0,x<2 时,f′(x)<0,f(x)在(-∞,2) 上单调减,在(2,+∞)上单调增,2<a<4 时 4<2a<16,klog2a<2,∴

log2a<2<2a,知 f(log2a)<f(3)<f(2a),选 C. 答案:C a? ? 9.(2013· 南平市质检)已知函数 f(x)=?ex+ex?,(a∈R,e 是自然
? ?

对数的底数),在区间[0,1]上单调递增,则 a 的取值范围是( A.[0,1] C.[-1,1] 1 解析:当 a=1 时,f(x)=ex+ex B.[-1,0]

)

D.(-∞,-e2)∪[e2,+∞)

1 e -1 f′(x)=e -ex= ex 在[0,1]上 f′(x)≥0,所以 f(x)在区间[0,1]上
x

x

单调递增. 1 a=-1 时 f(x)=ex-ex很显然在区间[0,1]上单调递增,故选 C. 答案:C 10.(2014· 河北名校名师俱乐部二调)下图中,有一个是函数 f(x) 1 =3x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R, a≠0)的导函数 f ′(x)的图象, 则 f (- 1)等于( )

1 1 7 1 5 A.3 B.-3 C.3 D.-3或3 解析:∵f ′(x)=x2+2ax+(a2-1), ∴导函数 f ′(x)的图象开口向上.

又∵a≠0,∴其图象必为第(3)个图. 由图象特征知 f ′(0)=0,且-a>0,∴a=-1, 1 ∴f(x)=3x3-x2+1, 1 1 故 f(-1)=-3-1+1=-3. 答案:B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
?log3x,x>0 ? 11.(2013· 重庆市九校联考)已知函数 f(x)=? x ,则 ? ?2 ,x≤0 ? ?1?? f?f?9??=________. ? ? ?? ?1? 1 解析:f?9?=-2,f(-2)=4, ? ? ? ?1?? 1 ∴f?f?9??=f(-2)=4. ? ? ??

1 答案:4 12.f(x)=xn2-3n(n∈Z)是偶函数,且 y=f(x)在(0,+∞)上是减 函数,则 n=________. 解析: 因为 f(x)在(0, +∞)上是减函数, 所以 n2-3n<0, 即 0<n<3, 又因为 f(x)是偶函数,所以 n2-3n 是偶数,只有 n=1 或 2 满足条件. 答案:1 或 2 13.(2013· 山东菏泽模拟)设函数 f(x)=xm+ax 的导函数 f′(x)= 2x+1,则?2f(-x)dx 的值等于________.
?1

解析:由于 f(x)=xm+ax 的导函数 f′(x)=2x+1,所以 f(x)=x2 1 1 2 5 +x,于是?2f(-x)dx=?2(x2-x)dx=(3x3-2x2)|1 =6.
?1 ?1

5 答案:6 14.(2013· 陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面 积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长 x 为________(m).

DE x 解析:如图,过 A 作 AH⊥BC 于 H,交 DE 于 F,易知BC=40=
?40?2 AD AF ? ? ,当且仅当 40 = ? AF = x ? FH = 40 - x. 则 S = x(40 - x) ≤ AB AH ?2?

-x=x,即 x=20 时取等号.所以满足题意的边长 x 为 20(m). 答案:20 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 15.(满分 12 分)已知命题 p:方程 2x2+ax-a2=0 在[-1,1]上有

2 解;命题 q:只有一个实数 x0 满足不等式 x0 +2ax0+2a≤0,若命题

“p∨q”是假命题,求 a 的取值范围. a 解:由 2x2+ax-a2=0,得(2x-a)(x+a)=0,∴x=2或 x=-a,
? a? ∴当命题 p 为真命题时,?2?≤1 或|-a|≤1,∴|a|≤2. ? ?
2 又“只有一个实数 x0 满足不等式 x0 +2ax0+2a≤0”,

即抛物线 y=x2+2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, ∴Δ=4a2-8a=0,∴a=0 或 a=2. ∴当命题 q 为真命题时,a=0 或 a=2. ∴命题“p∨q”为真命题时,|a|≤2. ∵命题“p∨q”为假命题,∴a>2 或 a<-2. 即 a 的取值范围为{a|a>2 或 a<-2}. 16.(满分 12 分)(2013· 丰台区期末练习)已知函数 f(x)=(ax2+bx +c)ex(a>0)的导函数 y=f ′(x)的两个零点为-3 和 0. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)的极小值为-1,求 f(x)的极大值. 解:(1)f ′(x)=(2ax+b)ex+(ax2+bx+c)ex=[ax2+(2a+b)x+b +c]ex. 令 g(x)=ax2+(2a+b)x+b+c, ∵ex>0, ∴y=f′(x)的零点就是 g(x)=ax2+(2a+b)x+b+c 的零点,且 f′(x)与 g(x)符号相同. 又∵a>0,∴当 x<-3,或 x>0 时,g(x)>0,即 f ′(x)>0, 当-3<x<0 时,g(x)<0,即 f ′(x)<0, ∴f(x)的单调增区间是(-∞,-3),(0,+∞),单调减区间是(-

3,0). (2)由(1)知,x=0 是 f(x)的极小值点,所以有 c=-1, ? ? ?b+c=0, ? ?9a-3?2a+b?+b+c=0, 解得 a=1,b=1,c=-1. 所以函数的解析式为 f(x)=(x2+x-1)ex. 又由(1)知,f(x)的单调增区间是(-∞,-3),(0,+∞),单调减 区间是(-3,0). 5 所以,函数 f(x)的极大值为 f(-3)=(9-3-1)e-3=e3. 17. (满分 12 分)2013 年 8 月 31 日第十二届全运会在辽宁沈阳开 幕,历时 13 天.某小商品公司以此为契机,开发了一种纪念品,每 件产品的成本是 15 元,销售价是 20 元,月平均销售 a 件,通过改进 工艺,产品的成本不变,质量得到提高,市场分析的结果表明:如果 产品的销售价提高的百分率为 x(0<x<1), 那么月平均销售量减少的百 分率为 x2,记改进工艺后,该公司销售纪念品的月平均利润是 y 元. (1)写出 y 与 x 的函数关系式; (2)改进工艺后,试确定该纪念品的销售价,使该公司销售该纪 念品的月平均利润最大. 解:(1)改进工艺后,每件产品的销售价为 20(1+x)元,月平均销 售量为 a(1-x2)件, 则月平均利润为 y=a(1-x2)· [20(1+x)-15]元, 所以 y 与 x 的函数关系式为 y=5a(1+4x-x2-4x3)(0<x<1). 1 2 (2)由 y′=5a(4-2x-12x2)=0,得 x1=2,x2=-3(舍去),

1 1 所以当 0<x<2时,y′>0;当2<x<1 时,y′<0. 1 所以函数 y=5a(1+4x-x2-4x3)(0<x<1)在 x=2处取得最大值. 1? ? 故改进工艺后, 纪念品的销售价为 20×?1+2?=30 元时, 该公司
? ?

销售该纪念品的月平均利润最大. 18. (满分 14 分)(2013· 山西省第三次四校联考)已知函数 f(x)=ax2 -(a+2)x+ln x. (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当 a>0 时,若 f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求 a 的取值 范围; (3)若对任意 x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,且 f(x1)+2x1< f(x2)+2x2 恒成立,求 a 的取值范围. 1 解:(1)当 a=1 时,f(x)=x2-3x+ln x,f(x)=2x-3+x. 因为 f′(1)=0,f(1)=-2. 所以切线方程是 y=-2. (2)函数 f(x)=2ax2-(a+2)x+ln x 的定义域是(0,+∞). 1 当 a>0 时,f′(x)=2ax-(a+2)+x 2ax2-?a+2?x-1 = (x>0) x 2ax2-?a+2?x+1 令 f′(x)=0,即 f′(x)= x = ?2x-1??ax-1? =0, x

1 1 所以 x=2或 x=a.

1 当 0<a ≤1,即 a≥1 时,f(x)在[1,e]上单调递增,所以 f(x)在[1, e]上的最小值是 f(1)=-2;
?1? 1 当 1<a <e 时,f(x)在[1,e]上的最小值是 f? a?<f(1)=-2,不合题 ? ?

意; 1 当a≥e 时,f(x)在(1,e)上单调递减, 所以 f(x)在[1,e]上的最小值是 f(e)<f(1)=-2,不合题意. ∴综上 a≥1. (3)设 g(x)=f(x)+2x,则 g(x)=ax2-ax+ln x, 只要 g(x)在(0,+∞)上单调递增即可.
2 1 2ax -ax+1 而 g′(x)=2ax-a+x= x

1 当 a=0 时,g′(x)=x>0,此时 g(x)在(0,+∞)上单调递增; 当 a≠0 时,只需 g′(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立,因为 x∈(0, +∞),只要 2ax2-ax+1≥0, 则需要 a>0, 1 对于函数 y=2ax2-ax+1,过定点(0,1),对称轴 x=4>0,只需 Δ =a2-8a≤0, 即 0<a≤8.综上 0≤a≤8.


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