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2.6平面向量数量积的坐标表示检测试题 北师大版必修4


【金榜教程】2014 年高中数学 2.6 平面向量数量积的坐标表示检测试题 北师 大版必修 4
(30 分钟 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.已知平面向量 a =(3,1), b =(x,-3),且 a ⊥ b ,则实数 x 的值为( (A)-9 (B)9 (C)1 (D)-1 50 分)

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2.(2011·辽宁高考)已知向量 a =(2,1), b =(-1,k), a ·( 2a ? b )=0,则 k=( (A)-12 ( B)-6 (C)6 (D)12

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? ? ? ? ? ? ? 3. a , b 为平面向量,已知 a =(4,3), 2a ? b =(3,1 8),则 a , b 夹角的余弦值等于
( )

8 (A) 65 16 (C) 65

8 (B) ? 65 16 (D) ? 65

?0 ? x ? 2 ? 4.(2011·广东高考)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ? 2 给定.若 M(x,y)为 D 上 ? ? x ? 2y ???? ? ???? 动点,点 A 的坐标为( 2 ,1),则 z ? OM? OA 的最大值为( )
(A)3 (B)4 (C)3 2 (D)4 2

二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 5.(2011·福建高考)若向量 a =(1,1), b (-1,2),则 a · b 等于_______. 6.(2011·南通高一检测)已知向量 a =(1,1) , b =(2,n),若| a + b |= a · b ,则 n=___ __. 三、解答题(每小题 8 分,共 16 分) 7.已知向量 a =(1,2), b =(2,1), c 与 a 、 b 的夹角相等,且| c |=1,求向量 c 的坐标. 8.(2011·宿州高一检测)已知 a =(1,2), b =(-3,2) ,当 k 为何值时, (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直? (2) ka ? b 与 a ? 3b 平行?平行时它们是同向还是反向? 【挑战能力】 (10 分)在△ABC 中, AB =(2,3), AC =(1,k),且△ABC 的一个内角为直角,求 k 值.
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答案解析 1.【解析】选 C.∵ a =(3,1), b =(x,-3) ,且 a ⊥ b , ∴ a · b =(3,1)·(x,-3)=3x-3=0,即 x=1. 2.独具【解题提示】考察向量的数量积和向量的坐标运算. 【解析】选 D.因为 a =(2,1), b =(-1,k),所以 2a ? b =(5,2-k). 又 a ·( 2a ? b )=0,所以 2×5+1×(2-k)=0,得 k=12. 3.【解析】选 C.∵ a =(4,3), 2a ? b =(3,18), ∴ b =(3,18)-2(4,3)=(-5,12),则 a , b 夹角的余弦值

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?? ? 4,3??? ?5,12? ? 16 . a ?b cos? ? ? ? ? 5 ?13 65 | a || b | ???? ? ???? ???? ???? ? 4.【解析】选 B.设 M(x,y),则 OA ? 2,1 ,OM ? ? x, y ? , z ? OM? OA =(x,y)·( 2 ,1)

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= 2 x+y,则当 x 与 y 都取得最大值时 z 取得最大值,此时 x= 2 ,y=2,所以 z 的最大值为 2 × 2 +2=4, 故选 B. 5.独具【解题提示】用数量积的坐标运算法则求值. 【解析】∵ a =(1,1), b =(-1,2), ∴ a · b =(1,1)·(-1,2)=-1+2=1. 答案:1 6.【解析】∵ a =(1,1), b =(2,n), ∴ a + b =(3,1+n), a · b =2+n. ∴由| a + b |= a · b ,得 9 ? ?1 ? n ? ? 2 ? n ,
2

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解得:n=3. 答案:3 7.独具【解题提示】利用夹角相等及| c |=1 建立向量 c 的坐标关系,利用方程的思想求解.
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【解析】设 c =(x,y), c 与 a 的夹角为θ 1, c 与 b 的夹角为θ 2,则 cos θ 1=cos θ 2,

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?? ?? c? a c?b ∴ ? ? ? ? ? | c |? | a | | c |? |b|
∴?

? x ? 2y ? 2x ? y
2 2 ?x ? y ? 1

,

? ?x ? ? 解得 ? ?y ? ? ?
∴ c =(

2 ? ?x ? ? 2 或? ? 2 ? y?? ? 2 ?

2 2 , 2 2

?

2 2 2 2 )或( ? ). , ,? 2 2 2 2

8.【解 析】 ka ? b =k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),

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? ? a ? 3b =(1,2 )-3(-3,2)=(10,-4).
(1)由( ka ? b )⊥( a ? 3b ) 得( ka ? b )·( a ? 3b )=10(k-3)-4(2k+2) =2k-38=0,k=19. (2)由 (ka ? b) ∥(a ? 3b)

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1 3 ? ? 10 4 1 此时 ka ? b ? (? , ) ? ? (10, ?4) ,所以方向相反. 3 3 3
得-4(k-3)=10(2k+2), k ? ? . 【挑战能力】 【解析】当 A=90°时, AB · AC =0,

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2 . 3 ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? 当 B=90°时, AB · AC =0, BC ? AC ? AB ? (1-2,k-3)=(-1,k-3),
∴2×1+3×k=0∴ k ? ? ∴2×(-1) +3×(k-3)=0, ∴k ?

11 . 3

当 C=90°时, AC · BC =0,
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??? ?

??? ?

∴-1+k(k-3)=0, ∴k ?

3 ? 13 . 2

独具【方法技巧】分类讨论在数学解题中的应用 当数学问题中的条件,结论不明确或题意中含参数或图形不确定时,就应分类讨论. 其求解思 想是:将所有研究的问题根据题目的特点和要求,分成若干类,转化成若干个小问题来解决, 这种按不同情况分类,然后 再逐一研究解决的数学思想,如本题因“△ABC 的一个内角为直角”,条件不明, 不具体知道哪个角是直角,产生分类讨论; 分类讨论的好处:一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题,另一方面恰当的分类可避免丢值 漏解,从而提高全面考虑问题的能力,养成周密严谨的数学素养.

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