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第2课时 函数的图像与性质2

时间:2016-12-27


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第 2 课时

函数的图像与性质 2

1.(2016· 河南)某班“数学兴趣小组”对函数 y=x2-2|x|的图像和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整. (1)自变量 x 的取值范围是全体实数,x 与 y 的几组对应值列表如下: 5 - 2 5 4 5 2 5 4

x y

? ?

-3 3

-2 m

-1 -1

0 0

1 -1

2 0

3 3

? ?

其中,m=0; (2)根据上表数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图像的一部分,请画出该图像的另一部分;

(3)观察函数图像,写出两条函数的性质:可从函数的最值、增减性、图像的对称性等方面阐述,答案不唯一,合理 即可; (4)进一步探究函数图像发现: ①函数图像与 x 轴有 3 个交点,所以对应方程 x2-2|x|=0 有 3 个实数根; ②方程 x2-2|x|=2 有 2 个实数根; ③关于 x 的方程 x2-2|x|=a 有 4 个实数根时,a 的取值范围是-1<a<0. 解:如图所示. 2.(2016· 安徽)如图,二次函数 y=ax2+bx 的图像经过点 A(2,4)与 B(6,0). (1)求 a,b 的值; (2)点 C 是该二次函数图像上 A,B 两点之间的一动点,横坐标为 x(2<x<6).写出四边形 OACB 的面积 S 关于点 C 的横坐标 x 的函数表达式,并求 S 的最大值.

解:(1)将 A(2,4)与 B(6,0)代入 y=ax2+bx,

? ?4a+2b=4, ?a=-2, ? 得? 解得? ? ?36a+6b=0. ? ?b=3.
(2)过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 D(2,0),连接 CD,过点 C 作 CE⊥AD,CF⊥x 轴,垂足分别为 E,F. 1 1 S△OAD= OD· AD= ×2×4=4, 2 2 1 1 S△ACD= AD· CE= ×4×(x-2)=2x-4, 2 2 1 1 1 S△BCD= BD· CF= ×4×(- x2+3x)=-x2+6x. 2 2 2 则 S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+(2x-4)+(-x2+6x)=-x2+8x. ∴S 关于 x 的函数表达式为 S=-x2+8x(2<x<6).
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1

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∵S=-(x-4)2+16, ∴当 x=4 时,四边形 OACB 的面积 S 取最大值,最大值为 16. 1 3 3.(2016· 唐山路南区模拟)已知二次函数 y= x2- x+m 的图像 C1 与 x 轴有且只有一个公共点. 2 2 (1)求 m 的值; (2)将 C1 向下平移若干个单位后得抛物线 C2,若 C2 与 x 轴的一个交点为 A(-1,0),求 C2 的函数关系式,并求 C2 与 x 轴另一个交点 B 的坐标; (3)①若 P(n,y1),Q(2,y2)是 C1 上的两点,且 y1>y2,求实数 n 的取值范围; ②若 C2 与 y 轴的交点为 D,请直接写出∠ADB 的度数. 3 1 9 解:(1)由题意,得 Δ=( )2-4× m=0,即 m= . 2 2 8 1 3 9 (2)设 C1 向下平移 n 个单位,则 C2 的函数关系式为 y= x2- x+ -n. 2 2 8 又∵C2 过点 A(-1,0), 1 3 9 ∴ ×(-1)2- ×(-1)+ -n=0. 2 2 8 9 解得 -n=-2. 8 1 3 ∴C2 的函数关系式为 y= x2- x-2. 2 2 1 3 当 y=0 时, x2- x-2=0,解得 x1=4,x2=-1. 2 2 ∴另一交点 B 的坐标为(4,0). 1 3 9 1 3 (3)①C1:y= x2- x+ = (x- )2. 2 2 8 2 2 3 对称轴为直线 x= ,开口向上. 2 当 n=1 时,y1=y2. ∴当 y1>y2 时,n 的取值范围为 n<1 或 n>2. ②易知 D(0,-2),又∵A(-1,0),B(4,0), ∴AD2=12+22=5,BD2=42+22=20,AB2=52=25. ∴AD2+BD2=AB2. ∴∠ADB=90°. 4.(2016· 福州)已知,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点,顶点为 A(h,k)(h≠0). (1)当 h=1,k=2 时,求抛物线的解析式; (2)若抛物线 y=tx2(t≠0)也经过 A 点,求 a 与 t 之间的关系式; (3)当点 A 在抛物线 y=x2-x 上,且-2≤h<1 时,求 a 的取值范围. 解:(1)根据题意,设抛物线的解析式为 y=a(x-h)2+k(a≠0). ∵h=1,k=2,∴y=a(x-1)2+2. 又∵抛物线过原点,∴a+2=0,即 a=-2. ∴y=-2(x-1)2+2,即 y=-2x2+4x. (2)∵抛物线 y=tx2 经过点 A(h,k),∴k=th2. ∴y=a(x-h)2+th2. ∵抛物线经过原点,∴ah2+th2=0. 又∵h≠0,∴a=-t. (3)∵点 A(h,k)在抛物线 y=x2-x 上, ∴k=h2-h.∴y=a(x-h)2+h2-h. ∵抛物线经过原点,
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1 ∴ah2+h2-h=0.∵h≠0,∴a= -1. h 分两种情况讨论: 1 1 3 ①当-2≤h<0 时,由反比例函数性质可知: ≤- ,∴a≤- ; h 2 2 1 ②当 0<h<1 时,由反比例函数性质可知: >1,∴a>0. h 3 综上所述,a 的取值范围是 a≤- 或 a>0. 2 5.(2016· 无锡)已知二次函数 y=ax2-2ax+c(a>0)的图像与 x 轴的负半轴和正半轴分别交于 A,B 两点,与 y 轴交 于点 C,它的顶点为 P,直线 CP 与过点 B 且垂直于 x 轴的直线交于点 D,且 CP∶PD=2∶3. (1)求 A,B 两点的坐标; 5 (2)若 tan∠PDB= ,求这个二次函数的关系式. 4

解:(1)过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E, ∵y=ax2-2ax+c, ∴该二次函数的对称轴为直线 x=1,∴OE=1. ∵OC∥BD, ∴CP∶PD=OE∶EB. 3 ∴OE∶EB=2∶3.∴EB= . 2 5 5 ∴OB=OE+EB= .∴B( ,0). 2 2 1 ∵A 与 B 关于直线 x=1 对称,∴A(- ,0). 2 (2)过点 C 作 CF⊥BD 于点 F,交 PE 于点 G. 将 x=1 代入 y=ax2-2ax+c,∴y=c-a. 将 x=0 代入 y=ax2-2ax+c,∴y=c. ∴PG=a. 5 CF ∵CF=OB= ,∴tan∠PDB= .∴FD=2. 2 FD ∵PG∥BD,∴△CPG∽△CDF. ∴ PG CP 2 4 4 = = .∴PG= .∴a= . DF CD 5 5 5

4 8 ∴y= x2- x+c. 5 5 1 4 8 把 A(- ,0)代入 y= x2- x+c,解得 c=-1. 2 5 5 4 8 ∴该二次函数解析式为 y= x2- x-1. 5 5
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1 6.(2016· 淮安)如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=- x2+bx+c 的图像与坐标轴交于 A,B,C 三点,其中 4 点 A 的坐标为(0,8),点 B 的坐标为(-4,0). (1)求该二次函数的表达式及点 C 的坐标; (2)点 D 的坐标为(0, 4), 点 F 为该二次函数在第一象限内图像上的动点, 连接 CD, CF, 以 CD, CF 为邻边作?CDEF, 设?CDEF 的面积为 S. ①求 S 的最大值; ②在点 F 的运动过程中,当点 E 落在该二次函数图像上时,请直接写出此时 S 的值.

1 解:(1)y=- x2+x+8. 4 1 令 y=0,则- x2+x+8=0. 4 解得 x1=-4(舍去),x2=8.∴C(8,0). 1 (2)①连接 DF,设 F(a,- a2+a+8). 4 1 易求得 CD 的解析式为 y=- x+4. 2 1 过点 F 作 FG⊥x 轴,交 CD 于点 G,则 G(a,- a+4). 2 1 S=2S△CDF=2× ×FG· OC 2 1 3 =8(- a2+ a+4) 4 2 =-2a2+12a+32. 当且仅当 a=3 时,S 取最大值. S 最大=-2×9+12×3+32=50.

②构造全等三角形:△EFH≌△DCO. 1 ∵F(a,- a2+a+8), 4 1 ∴E(a-8,- (a-8)2+a). 4 ∴EH=4,即 1 1 - (a-8)2+a-(- a2+a+8)=4, 4 4 解得 a=7. 代入可知 S=-2×49+87+32=18.
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7.(2016· 长沙)如图,直线 l:y=-x+1 与 x 轴、y 轴分别交于 A,B 两点,点 P,Q 是直线 l 上的两个动点,且点 P 在第二象限,点 Q 在第四象限,∠POQ=135°. (1)求△AOB 的周长; (2)设 AQ=t>0.试用含 t 的代数式表示点 P 的坐标; (3)当动点 P,Q 在直线 l 上运动到使得△AOQ 与△BPO 的周长相等时,记作 tan∠AOQ=m,若过点 A 的二次函数 y=ax2+bx+c 同时满足以下两个条件: ①6a+3b+2c=0; 2 ②当 m≤x≤m+2 时,函数 y 的最大值等于 .求二次项系数 a 的值. m

解:(1)在函数 y=-x+1 中,令 x=0,得 y=1, ∴B(0,1). 令 y=0,得 x=1, ∴A(1,0). 则 OA=OB=1,AB= 2, ∴△AOB 的周长为 1+1+ 2=2+ 2. (2)∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO=45°.∴∠PBO=∠QAO=135°. 设∠POB=x,则∠OPB=∠AOQ=135°-x-90°=45°-x, PB BO ∴△PBO∽△OAQ.∴ = . OA AQ OA· BO 1 ∴PB= = . AQ t 过点 P 作 PH⊥OB 于 H 点,则△PHB 为等腰直角三角形. 1 2 2 2 ∵PB= ,∴PH=HB= ,∴P(- ,1+ ). t 2t 2t 2t (3)由(2)可知△PBO∽△OAQ,若它们的周长相等 1 ∴PB=AQ=AO=BO.∴ =t. t ∵t>0.∴t=1. 同理可得 Q(1+ 2 2t 2 2 ,- ), 2t 2t

∴m= = 2-1. 2 1+ 2t ∵抛物线经过点 A, ∴a+b+c=0. 又∵6a+3b+2c=0, ∴b=-4a,c=3a, ∴抛物线对称轴为直线 x=2.取值范围是 2-1≤x≤ 2+1 时,函数 y 的最大值等于 2( 2+1). ①若 a>0,则开口向上,
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2 由题意,得 x= 2-1 时,取得最大值 =2 2+2, m 11+8 2 即( 2-1)2a+( 2-1)b+c=2 2+2,解得 a= ; 7 ②若 a<0,则开口向下, 由题意,得 x=2 时,取得最大值 2 2+2, 即 4a+2b+c=2 2+2,解得 a=-2 2-2. 11+8 2 综上所述,所求 a 的值为 或-2 2-2. 7

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