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【题库大全】2005-2008年高考数学(文)试题分项 专题04 数列

时间:2015-04-14


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专题 04 数列 2008 年高考试题
一、选择题 1. (2008 北京 7) .已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 6 , a5 ? 15 ,若 bn ? a2 n ,则数列 ?bn ? 的 前 5 项和等于( C ) A.30 B.45 C.90 D.186

2. (200

8 广东 4) 记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 S1=4,S4=20,则该数列的公差 d= ( B ) A.7 B.6 C.3 D.2

3. (2008 宁夏 8)设等比数列 ?an ? 的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 A. 2 B. 4 C.

S4 =( C ) a2

15 2

D.

17 2 1 n

4. (2008 江西 5)在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? ( A ) A. 2 ? ln n B. 2 ? ( n ? 1) ln n C. 2 ? n ln n D. 1 ? n ? ln n

7. (2008 上海 14)若数列 ?an ? 是首项为 l ,公比为 a ? 和为 a,则 a 的值是( B ) A.1 B.2 C.

3 的无穷等比数列,且 ?an ? 各项的 2
D.

1 2

5 4

8.(2008 天津 4) 若等差数列 ?an ? 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? ( B ) A.12 B.13 C.14 D.15

9. (2008 浙江 4)已知 ?a n ? 是等比数列, a 2 ? 2,a5 ?

1 ,则公比 q = ( D ) 4
(D)

(A) ?

1 2

(B) ? 2

(C)2

1 2

10.(2008 重庆 1)已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则 a5 等于 ( C ) (A)4
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(B)5

(C)6
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(D)7
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11. (2008 陕西 4) 已知 {an } 是等差数列, 则该数列前 10 项和 S10 a1 ? a2 ? 4 , a7 ? a8 ? 28 , 等于( B ) A.64 B.100 二、填空题 C.110 D.120

3. (2008 江苏 10)将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 23 456 7 8 9 10 。 。 。 。 。 按照以上排列的规律,第 n 行( n ? 3 )从左向右的第 3 个数为 4. (2008 四川 16)设数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ?1 ? an ? n ? 1 , 则通项 an ? ______

n2 ? n ? 6 2

n ? n ? 1? ? 1 _____。 2

三、解答题 1. (2008 安徽 21) (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 满足 a0 ? a, an ?1 ? can ? 1 ? c, c ? N * , 其中 a, c 为实数,且 c ? 0 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式 (Ⅱ)设 a ?

1 1 , c ? , bn ? n(1 ? an ), n ? N * ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ; 2 2

(Ⅲ)若 0 ? an ? 1 对任意 n ? N * 成立,证明 0 ? c ? 1 解 (1) 方法一:

∵ an ?1 ? 1 ? c(an ? 1)
∴当 a ? 1 时, ?an ? 1? 是首项为 a ? 1 ,公比为 c 的等比数列。

∴ an ? 1 ? (a ? 1)c n ?1 ,即 an ? (a ? 1)c n ?1 ? 1 。当 a ? 1 时, an ? 1 仍满足上式。
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∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (a ? 1)c n ?1 ? 1 (n ? N * ) 。
方法二 由题设得:当 n ? 2 时,

an ? 1 ? c(an ?1 ? 1) ? c 2 (an ? 2 ? 1) ? ∴ an ? (a ? 1)c n ?1 ? 1

? c n ?1 (a1 ? 1) ? (a ? 1)c n ?1

n ? 1 时, a1 ? a 也满足上式。
∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (a ? 1)c n ?1 ? 1 (n ? N * ) 。

方法一:假设 c ? 1 ,由函数 f ( x) ? c 的函数图象知,当 n 趋于无穷大时, c n ?1 趋
x

于无穷大

1 不能对 n ? N * 恒成立,导致矛盾。∴ c ? 1 。 1? a ∴0 ? c ? 1 1 1 方法二:假设 c ? 1 ,∵ c n ?1 ? ,∴ log c c n ?1 ? log c 1? a 1? a 1 即 n ? 1 ? log c (*) (n ? N * ) 恒成立 1? a ∴ cn ?1 ?
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∵ a, c 为常数,∴ (*)式对 n ? N * 不能恒成立,导致矛盾,∴ c ? 1

∴0 ? c ? 1
2. (2008 北京 20) (本小题共 13 分) 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? (n 2 ? n ? ? )an ( n ? 1, , ? 是常数. 2, ) (Ⅰ)当 a2 ? ?1 时,求 ? 及 a3 的值; (Ⅱ)数列 ?an ? 是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由; (Ⅲ)求 ? 的取值范围,使得存在正整数 m ,当 n ? m 时总有 an ? 0 .

所以由 an ?1 ? bn an 及 a1 ? 1 ? 0 可知,若 n0 为偶数,则 an0 ? 0 ,从而当 n ? n0 时, an ? 0 ; 若 n0 为奇数,则 an0 ? 0 ,从而当 n ? n0 时 an ? 0 .
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因此“存在 m ? N* ,当 n ? m 时总有 an ? 0 ”的充分必要条件是: n0 为偶数, 记 n0 ? 2k (k ? 1, 2, ) ,则 ? 满足
2 ? ?b2 k ? (2k ) ? 2k ? ? ? 0 . ? 2 ? ?b2 k ?1 ? (2k ? 1) ? 2k ? 1 ? ? ? 0

故 ? 的取值范围是 4k 2 ? 2k ? ? ? 4k 2 ? 2k (k ? N* ) . 3. (2008 福建 20) (本小题满分 12 分) 已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点( an , an ?1 ) (n ? N*)在函数 y=x2+1 的图象上. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若列数{bn}满足 b1=1,bn+1=bn+ 2 n ,求证:bn ·bn+2<b2n+1.
a

解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)因为 b2=1,
n n+1 bn·bn+2- b 2 )- b 2 n ?1 =(bn+1-2 )(bn+1+2 n ?1

=2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1 =2n(bn+1-2n+1) =2n(bn+2n-2n+1) =2n(bn-2n) =? =2n(b1-2)
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=-2 〈0, 所以 bn-bn+2<b2n+1 4. (2008 广东 21)(本小题满分 14 分) 设数列{an}满足 a1=1,a2=2,an=
n

1 (an-1+2an-2)(n=3,4,?),数列{bn}满足 b1=1,bn(n=2,3,?) 3

是非零整数,且对任意的正整数 m 和自然数 k,都有-1 ? bm+bm+1+?+bm+1 ? 1. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2) 记 cn=nanbn(n=1,2,?),求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

??1 ? b1 ? b2 ? 1 ? 由 ? ?1 ? b2 ? 1 ? b ? Z,b ? 0 2 ? 2

??1 ? b2 ? b3 ? 1 ? 得 b2 ? ?1 ,由 ? ?1 ? b3 ? 1 ? b ? Z,b ? 0 3 ? 3



b3 ? 1 ,?

同理可得当 n 为偶数时, bn ? ?1 ;当 n 为奇数时, bn ? 1 ; 因此 bn ? ?

? 1 当 n 为奇数时 ?-1 当 n 为偶数时

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n ?1 ? 8 3 ?2? ? n ? n? ? 5 ?3? ? 5 (2) cn ? nanbn ? ? n ?1 3 ?2? ? 8 ? n ? n ? ? ? 5 5 ?3? ?

当 n 为奇数时

当 n 为偶数时

S n ? c1 ? c2 ? c3 ? c4 ?
当 n 为奇数时,

? cn

8 8 8 8 8 S n ? ( ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ? n) ? 5 5 5 5 5 0 1 2 3 ? 3 ?2? ?2? ?2? ?2? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 5? ?3? ?3? ?3? ? ?3?

?2? ? n? ? ?3?

n ?1

? ? ? ?

0 1 2 3 4 ? n ? 1? 3 ? ? 2 ? ?2? ?2? ?2? ? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 5 5? ?3? ?3? ?3? ? ?3?

?2? ? n? ? ?3?

n ?1

? ? ? ?

当 n 为偶数时,

8 8 8 8 8 S n ? ( ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ? n) ? 5 5 5 5 5 0 1 2 3 3? ?2? ?2? ?2? ?2? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 5? ?3? ?3? ?3? ? ?3?

?2? ? n? ? ?3?

n ?1

? ? ? ?

0 1 2 3 4n 3 ? ? 2 ? ?2? ?2? ?2? ? ? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 5 5? ?3? ?3? ?3? ? ?3?

?2? ? n? ? ?3?
??①

n ?1

? ? ? ?

?2? ?2? ?2? ?2? 令 Tn ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ?3? ?3? ?3? ?3?

0

1

2

3

?2? ? n? ? ?3?

n ?1

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5. (2008 江苏 19) (16 分) (1)设 a1 , a 2 ,......a n 是各项均不为零的等差数列( n ? 4 ) ,且公差 d ? 0 ,若将此数列删去 某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列: ①当 n ? 4 时,求

a1 的数值;②求 n 的所有可能值; d

( 2 )求证:对于一个给定的正整数 n(n ? 4) ,存在一个各项及公差都不为零的等差数列

b1 , b2 ,......bn ,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列。

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( 2 )假设对于某个正整数 n ,存在一个公差为 d 的 n 项等差数列 b1 , b2 ,......bn ,其中

bx ?1 , by ?1 , bz ?1 ( 0 ? x ? y ? z ? n ? 1 )为任意三项成等比数列,则 b 2 y ?1 ? bx ?1 ? bz ?1 ,即
(b1 ? yd ) 2 ? (b1 ? xd ) ? (b1 ? zd ) ,化简得 ( y 2 ? xz )d 2 ? ( x ? z ? 2 y )b1d
由 b1d ? 0 知, y ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时为 0 或同时不为 0
2

(*)

当 y ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时为 0 时,有 x ? y ? z 与题设矛盾。
2

故 y ? xz 与 x ? z ? 2 y 同时不为 0,所以由(*)得
2

b1 y 2 ? xz ? d x ? z ? 2y
b1 为有理数。 d

因为 0 ? x ? y ? z ? n ? 1 ,且 x、y、z 为整数,所以上式右边为有理数,从而 于是, 对于任意的正整数 n(n ? 4) , 只要

b1 为无理数, 相应的数列就是满足题意要求的数列。 d

例如 n 项数列 1, 1 ? 2 , 1 ? 2 2 ,??,1 ? (n ? 1) 2 满足要求。 6. (2008 江西 19)等差数列 {an } 的各项均为正数, a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n ,{bn } 为等比数 列, b1 ? 1 ,且 b2 S 2 ? 64, b3 S3 ? 960 . (1)求 an 与 bn ; (2)求和:

1 1 ? ? S1 S 2

?

1 . Sn
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7. (2008 湖南 20)数列 ?an ? 满足

a1 ? 0, a 2 ? 2, an ? 2 ? (1 ? cos 2

n? n? )an ? 4sin 2 , n ? 1, 2,3, 2 2

,

(I)求 a3 , a 4 ,并求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设 S k ? a1 ? a3 ?

? a2 k ?1 , Tk ? a2 ? a4 ?

? a2 k , Wk ?

2Sk (k ? N ? ) , 2 ? Tk

求使 Wk ? 1 的所有 k 的值,并说明理由。 解: (I)因为 a1 ? 0, a 2 ? 2, 所以 a3 ? (1 ? cos 2

?
2

)a1 ? 4sin 2

?
2

? a1 ? 4 ? 4,

a4 ? (1 ? cos 2 ? )a2 ? 4sin 2 ? ? 2a2 ? 4, 一般地, 当 n = 2k ? 1(k ? N ? ) 时,

a2 k ?1 ? [1 ? cos 2

(2k ? 1)? 2k ? 1 ]a2 k ?1 ? 4sin 2 ? ? a2 k ?1 ? 4, 2 2

即 a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? 4. 所以数列 ?a2 k ?1? 是首项为 0、公差为 4 的等差数列,
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因此 a2 k ?1 ? 4(k ? 1).

(II)由(I)知, S k ? a1 ? a3 ?

? a2 k ?1 ? 0 ? 4 ?

? 4(k ? 1) ? 2k (k ? 1),
2Sk k (k ? 1) ? . 2 ? Tk 2k ?1

Tk ? a2 ? a4 ?

? a2 k ? 2 ? 22 ?

2k ? 2k ?1 ? 2, Wk ?

于是 W1 ? 0, W2 ? 1, W3 ?

3 3 5 15 , W4 ? , W5 ? , W6 ? . 2 2 4 16

下面证明: 当 k ? 6 时, Wk ? 1. 事实上, 当 k ? 6 时,

Wk ?1 ? Wk ?

(k ? 1)k k (k ? 1) k (3 ? k ) ? ? ? 0, 即 Wk ?1 ? Wk . 2k 2k ?1 2k

又 W6 ? 1, 所以当 k ? 6 时, Wk ? 1. 故满足 Wk ? 1 的所有 k 的值为 3,4,5. 8. (2008 辽宁 20) (本小题满分 12 分) 在数列 | an | , | bn | 是各项均为正数的等比数列,设 cn ? (Ⅰ)数列 | cn | 是否为等比数列?证明你的结论; (Ⅱ)设数列 | ln an | , | ln bn | 的前 n 项和分别为 S n , Tn .若 a1 ? 2 , 列 | cn | 的前 n 项和. 解: (Ⅰ) cn 是等比数列. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 证明:设 an 的公比为 q1 (q1 ? 0) , bn 的公比为 q2 (q2 ? 0) ,则

bn ( n ? N* ) . an

Sn n ,求数 ? Tn 2n ? 1

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cn ?1 bn ?1 an bn ?1 an q · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ? ? ? 2 ? 0 ,故 cn 为等比数列. · cn an ?1 bn bn an ?1 q1

9. (2008 全国Ⅰ19) (本小题满分 12 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? 2an ? 2n . (Ⅰ)设 bn ?

an .证明:数列 ?bn ? 是等差数列; 2n ?1

(Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n . 解: (1) an ?1 ? 2an ? 2n ,

an ?1 a ? nn ?1 , n 2 2 ?1

bn ?1 ? bn ? 1 ,
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则 bn 为等差数列, b1 ? 1 ,

bn ? n , an ? n 2n ?1 .
(2) S n ? 1 20 ? 2 21 ?

? (n ? 1) 2n ? 2 ? n 2n ?1

2 S n ? 1 21 ? 2 22 ?
两式相减,得

? (n ? 1) 2n ?1 ? n 2 n

S n ? n 2n ? 1 20 ? 21 ?

2n ?1 ? n 2n ? 2n ? 1 .

10. (2008 全国Ⅱ18) (本小题满分 12 分) 等差数列 ?an ? 中, a4 ? 10 且 a3,a6,a10 成等比数列,求数列 ?an ? 前 20 项的和 S 20 .

11.(2008 山东 20)(本小题满分 12 分) 将数列 ?an ? 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:

a1 a2 a3
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a4 a7

a5 a8

a6 a9 a10

记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7, 构成的数列为 ?bn ? ,b1 ? a1 ? 1 .S n 为数列 ?bn ? 的前

n 项和,且满足

2bn ? 1(n ≥ 2) . 2 bn S n ? S n

(Ⅰ)证明数列 ?

?1? ? 成等差数列,并求数列 ?bn ? 的通项公式; ? Sn ?
4 时,求上表中第 k (k ≥ 3) 行所有项的和. 91

(Ⅱ)上表中,若从第三行起,第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为 同一个正数.当 a81 ? ?

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12. (2008 上海 21) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分4分,第 2 小题满 分6分,第 3 小题满分 8 分. 已知数列 ?an ? : a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? r , an ?3 ? an ? 2 ( n 是正整数) ,与数列 . ?bn ? : b1 ? 1 , b2 ? 0 , b3 ? ?1 , b4 ? 0 , bn? 4 ? bn ( n 是正整数) 记 Tn ? b1a1 ? b2 a2 ? b3a3 ? (1)若 a1 ? a2 ? a3 ?

? bn an .

? a12 ? 64 ,求 r 的值;

(2)求证:当 n 是正整数时, T12 n ? ?4n ; (3)已知 r ? 0 ,且存在正整数 m ,使得在 T12 m ?1 ,T12 m ? 2 , ,T12 m ?12 中有 4 项为 100.求

r 的值,并指出哪 4 项为 100.
【解】 (1)

a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a12

? 1 ? 2 ? r ? 3 ? 4 ? ? r ? 2? ? 5 ? 6 ? ? r ? 4? ? 7 ? 8 ? ? r ? 6?
? 48 ? 4r. 48 ? 4r ? 64, ? r ? 4.
………………..2 分 ………………..4 分



【证明】 (2)用数学归纳法证明:当 n ? Z ?时, T12 n ? ?4n.

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① 当 n=1 时, T12 ? a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? a9 ? a11 ? ?4, 等式成立…. 6 分 ② 假设 n=k 时等式成立,即 T12 k ? ?4k , 那么当 n ? k ? 1 时,

T12? k ?1? ? T12 k ? a12 k ?1 ? a12 k ?3 ? a12 k ?5 ? a12 k ?7 ? a12 k ?9 ? a12 k ?11 ………8 分

? ?4k ? ? 8k ? 1? ? ? 8k ? r ? ? ? 8k ? 4 ? ? ? 8k ? 5 ? ? ? 8k ? r ? 4 ? ? ? 8k ? 8 ? ? ?4k ? 4 ? ?4 ? k ? 1? , 等式也成立.
根据①和②可以断定:当 n ? Z ?时, T12 n ? ?4n. …………………...10 分

13. (2008 四川 21) (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? 2an ? 2n , (Ⅰ)求 a1 , a4 (Ⅱ)证明:

?a

n ?1

? 2a n ? 是等比数列;

(Ⅲ)求 ?an ? 的通项公式 【解】 : (Ⅰ)因为 a1 ? S1 , 2a1 ? S1 ? 2 ,所以 a1 ? 2, S1 ? 2 由 2an ? S n ? 2n 知

2an ?1 ? S n ?1 ? 2n ?1 ? an ?1 ? S n ? 2n ?1
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得 an ? S n ? 2n ?1 ①

所以 a2 ? S1 ? 22 ? 2 ? 22 ? 6, S 2 ? 8

a3 ? S 2 ? 23 ? 8 ? 23 ? 16, S 2 ? 24 a4 ? S3 ? 24 ? 40

14.(2008 天津 20)(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 ,且 an ?1 ? (1 ? q )an ? qan ?1 (n ≥ 2,q ? 0) . (Ⅰ)设 bn ? an ?1 ? an (n ? N* ) ,证明 ?bn ? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)若 a3 是 a6 与 a9 的等差中项,求 q 的值,并证明:对任意的 n ? N* , an 是 an ?3 与 an ? 6 的等差中项.

(Ⅱ)解:由(Ⅰ) ,

a2 ? a1 ? 1 , a3 ? a2 ? q ,
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??

an ? an ?1 ? q n ? 2 (n ≥ 2) .
将以上各式相加,得 an ? a1 ? 1 ? q ? … ? q n ? 2 (n ≥ 2) .所以当 n ≥ 2 时,

? 1 ? q n ?1 ,q ? 1, ?1 ? an ? ? 1? q ?n, q ? 1. ?
上式对 n ? 1 显然成立.

15 . ( 2008 浙江 18 ) (本题 14 分)已知数列 ? xn ? 的首项 x1 ? 3 ,通项 xn ? 2n p ? nq ( n ? N , p, q 为常数) ,且 x1 , x4 , x5 成等差数列,求: (Ⅰ) p, q 的值; (Ⅱ)数列 ? xn ? 的前 n 项的和 S n 的公式。
?

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(Ⅱ)解: S n ? (2 ? 22 ?

? 2n ) ? (1 ? 2 ?

? n)

? 2n ?1 ? 2 ?

n(n ? 1) . 2
3

16. (2008 重庆 22) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 6 分.(Ⅱ)小问 6 分)
2 设各项均为正数的数列{an}满足 a1 ? 2, an ? an ?1an ? 2 ( n ? N*) .

(Ⅰ)若 a2 ?

1 , 求 a3,a4,并猜想 a2008 的值(不需证明); 4

(Ⅱ)若 2 2 ? a1a2

an

4 对 n≥2 恒成立,求 a2 的值.

2 3 由于 a1=2, a n ? a n ?1 a n ? 2 (n∈N*),得 x n ?

3 x n ?1 ? x n ? 2 (n∈N*),即 2

3 1 1 x n ?1 ) ? x n ?1 ? ( x n ?1 ? 2 x n ) , 2 2 2 1 因此数列{xn+1+2xn}是首项为 x2+2,公比为 的等比数列,故 2 x n ? 2 ? 2 x n ?1 ? ( x n ? 2 ?
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xn+1+2xn=(x2+2)

1 2 n ?1

(n∈N*).

将上式对 n 求和得 Sn+1-x1+2Sn=(x2+2)(1+

1 1 1 +?+ n ?1 )=(x2+2)(2- n ?1 )(n≥2). 2 2 2
)<5(n≥2).

因 Sn<2,Sn+1<2(n≥2)且 x1=1,故 (x2+2)(2-

1 2 n ?1

因此 2x2-1< 下证 x2≤ 2n 1<


x2 ? 2 (n≥2). 2 n ?1

1 1 ,若淆,假设 x2> ,则由上式知,不等式 2 2

x2 ? 2 2 x2 ? 1
1 . 2

对 n≥2 恒成立,但这是不可能的,因此 x2≤ 又 x2≥

1 1 ,故 z2= ,所以 a2=2 z 2 = 2 . 2 2 2 ax ? n ? 4n , bn ? (?1) n (an ? 3n ? 21) , 其 3

17.(2008 湖北 21).(本小题满分 14 分) 已知数列 {an }和{bn }满足:a1 ? ? , an ? 1 ? 中 ? 为实数, n 为正整数.

(Ⅰ)证明:当 ? ? ?18时,数列{bn }是等比数列; (Ⅱ)设 S n 为数列 {bn } 的前 n 项和,是否存在实数 ? ,使得对任意正整数 n,都有

S n ? ?12? 若存在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由.

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(Ⅲ)当 ? ? ?18时, 由(Ⅱ)得 bn ? ?(? ? 18) (? ) n ?1 , 于是

2 3

3 2 S n ? ? (? ? 18) [1 ? (? ) n ], 5 3
当 ? ? ?18 时, bn ? 0 ,从而 S n ? 0. 上式仍成立. 要使对任意正整数 n , 都有 S n ? ?12. 即 ? (? ? 18) [1 ? ( ? ) n ] ? 12 ? ?

3 5

2 3

20 ? 18. 2 n 1 ? (? ) 3

令 f ( n) ? 1 ? ( ? ) n , 则 当 n 为正奇数时, 1 ? f ( n) ?

2 3

5 5 : 当 n 为正偶数时, ? f (n) ? 1, 3 9

5 ? f (n)的最大值为f (1) ? . 3 3 于是可得 ? ? 20 ? ? 18 ? ?6. 5
综上所述,存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都有 S n ? ?12;

? 的取值范围为 (??, ?6).
18.(2008 陕西 20)(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ?
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2an 2 , an ?1 ? , n ? 1, 2,3, ?. 3 an ? 1
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(Ⅰ)证明:数列 {

1 ? 1} 是等比数列; an

(Ⅱ)数列 {

n } 的前 n 项和 S n . an

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

1 1 1 1 1 1 n n ? 1 ? ? n ?1 ? n ,即 ? n ? 1 ,? ? n ? n . an ?1 2 2 2 an 2 an 2

1 2 3 n ① ? 2 ? 3 ??? n , 2 2 2 2 1 1 2 n ?1 n 则 Tn ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ,② 2 2 2 2 2 由① ? ②得
设 Tn ?

1 1 (1 ? n ) 1 n 1 1 1 2 ? n ? 1? 1 ? n , Tn ? ? 2 ? ? ? n ? n ?1 ? 2 1 2 2 2n ?1 2n 2n ?1 2 2 2 1? 2 1 n n(n ? 1) . ? Tn ? 2 ? n ?1 ? n .又 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 2 2

2 ? n n(n ? 1) n 2 ? n ? 4 n ? 2 n ? ? n . ? 数列 { } 的前 n 项和 S n ? 2 ? n ? 2 2 2 2 an

2007 年高考试题

2007 文科数列
4、 (安徽文 3)等差数列 ?a x ? 的前 n 项和为 S x 若 a 2 ? 1, a3 ? 3, 则S 4= (A)12 (B)10 (C)8 (D)6 解析:等差数列 ?a x ? 的前 n 项和为 S x ,若 a2 ? 1, a3 ? 3, 则 d =-2, a1 ? ?1 ,∴ S 4 ? 8 , 选 C。
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?1 , 1 ≤ n ≤ 1000, ? ? n2 5、 (上海文 14)数列 ? a n ?中, an ? ? 则数列 ? a n ?的极限值( 2 ? n , n ≥ 1001, ? ? n 2 ? 2n



A.等于 0

B.等于 1

C.等于 0 或 1

D.不存在

8、 (湖南文 4)在等比数列 ?an ? n ? N ? 中,若 a1 ? 1, a4 ? A.

?

?

2?

1 28

B.

2?

1 29

C.

1 ,则该数列的前 10 项和为 8 1 1 D. 2 ? 11 2 ? 10 2 2

【答案】B

1 1 【解析】由 a 4 ? a1 q 3 ? q 3 ? ? q ? ,所以 S10 ? 8 2

1 1 ? ( )10 2 ? 2? 1 1 29 1? 2
2

13、 (海、宁文 6)已知 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y ? x ? 2 x ? 3 的顶点是 (b,c) , 则 ad 等于( ) A.3 B.2 D. ?2

C.1

17、 (重庆文 11)设 3b是1 ? a和1 ? a 的等比中项,则 a+3b 的最大值为 (A)1 【答案】 :B (B)2 (C)3 (D)4

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【分析】 : 3b是1 ? a和1 ? a 的等比中项,则 3b 2 ? 1 ? a 2 ? a 2 ? 3b 2 ? 1. 令

a ? cos ? , 3b ? sin ? , ? ? (0, 2? ). 则:

a ? 3b ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ? ) ? 2. 6

?

23、 (陕西文 11)给出如下三个命题: ①设 a,b ? R,且 ab ? 0, 若

b a >1,则 <1; a b

②四个非零实数 a、b、c、d 依次成等比数列的充要条件是 ad=bc; ③若 f(x)=logix,则 f(|x|)是偶函数. 其中正确命题的序号是 (A)①② (B)②③ (C)①③ 解析:①

(D)①②③

b a ? 1 ? 0 ,所以 <1 成立;②ad=bc 不一定使 a、b、c、d 依次成等比数列, a b

如取 a=d=-1,b=c=1;③由偶函数定义可得

2、 (全国 1 文 16) 等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 S1 ,2 S 2 ,3S3 成等差数列, 则 {an } 的公比为______。 解.等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 S1 , 2 S 2 , 3S3 成等差数列, an ? a1q n ?1 ,又 5、 (全国 2 文 14)已知数列的通项 an ? ?5n ? 2 ,则其前 n 项和 S n ? .

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10、 (江西文 14)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S12 ? 21 ,则 a2 ? a5 ? a8 ? a11 ? . 解析:由题意得 S12 ?

a1 ? a12 7 7 7 ? 12 ? 21, ? a1 ? a12 ? , a2 ? a5 ? a8 ? a11 ? ? ? 7. 2 2 2 2

11、 (海、宁文 16)已知 ?an ? 是等差数列, a4 ? a6 ? 6 ,其前 5 项和 S5 ? 10 ,则其公差

d?
1 【答案】 : 2



【分析】 : a4 ? a6 ? 6 ? a5 ? 3, S5 ?

?d ?

a5 ? a1 1 ? . 5 ?1 2

a1 ? a5 a ?3 ?5 ? 1 ? 5 ? 10 ? a1 ? 1. 2 2

5、 (天津文 20)在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an ?1 ? 4an ? 3n ? 1 , n ? N* . (Ⅰ)证明数列 ?an ? n? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ; (Ⅲ)证明不等式 S n ?1 ≤ 4S n ,对任意 n ? N* 皆成立. 本小题以数列的递推关系式为载体,主要考查等比数列的概念、等比数列的通项 公式及前 n 项和公式、不等式的证明等基础知识,考查运算能力和推理论证能 力.满分 12 分.

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6、 (四川文 22)已知函数 f(x)=x2-4,设曲线 y=f(x)在点(xn,f(xn) )处的切线与 x 轴的交点为(xn+1,u) (u,N +) ,其中为正实数.

(Ⅰ)用 xx 表示 xn+1; (Ⅱ)若 a1=4,记 an=lg 的通项公式; (Ⅲ)若 x1=4,bn=xn-2,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,证明 Tn<3. 解析:本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识,以及推理论证、 计算及解决问题的能力. (Ⅰ)由题可得 f '( x) ? 2 x . 所以曲线 y ? f ( x) 在点 ( xn , f ( xn )) 处的切线方程是: y ? f ( xn ) ? f '( xn )( x ? xn ) .
xn ? 2 ,证明数列{a1}成等比数列,并求数列{xn} xn ? 2

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2 即 y ? ( xn ? 4) ? 2 xn ( x ? xn ) .

2 令 y ? 0 ,得 ?( xn ? 4) ? 2 xn ( xn ?1 ? xn ) .

2 即 xn ? 4 ? 2 xn xn ?1 .

显然 xn ? 0 ,∴ xn ?1 ?

xn 2 ? . 2 xn

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 xn ?

2(32 ? 1) 32 ? 1
n?1

n?1



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全品高考网 gk.canpoint.cn ∴ bn ? xn ? 2 ?
n?1

4 32 ? 1
n?1

?0



bn ?1 32 ? 1 1 1 1 1 ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1 ? 21?1 ? bn 3 3 ?1 3 ?1 3 3

当 n ? 1 时,显然 T1 ? b1 ? 2 ? 3 .

8、 (上海文 20)如果有穷数列 a1, a2, a3, , am ( m 为正整数)满足条件 a1 ? am , ,我们称其为“对称数列” . a2 ? am ?1 ,?, a m ? a1 ,即 ai ? am ?i ?1 ( i ? 1,, 2 , m) 例如,数列 1,,,, . 2 5 2 1 与数列 8, 4, 2, 2, 4, 8 都是“对称数列”

b4 ? 11 . (1) 设 ? bn ?是 7 项的 “对称数列” , 其中 b1, 且 b1 ? 2 , 依 b2, b3, b4 是等差数列,
次写出 ? bn ?的每一项; (2)设 ? c n ?是 49 项的“对称数列” ,其中 c25, c26, , c49 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列,求 ? c n ?各项的和 S ; (3)设 ? d n ? 是 100 项的“对称数列” ,其中 d51, d52, , d100 是首项为 2 ,公差为

3 的等差数列.求 ? d n ? 前 n 项的和 S n ( n ? 1,, 2 , 100 ) .
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全品高考网 gk.canpoint.cn 解: (1)设数列 ? bn ?的公差为 d ,则 b4 ? b1 ? 3d ? 2 ? 3d ? 11 ,解得 d ? 3 ,
?

数列 ? bn ?为 2,,, 5 8 11,,, 8 5 2.

(2) S ? c1 ? c 2 ? ? ? c 49 ? 2(c 25 ? c 26 ? ? ? c 49 ) ? c 25

? 2 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 24 ? 1 ? 2 2 25 ? 1 ? 1 ? 2 26 ? 3 ? 67108861.

?

?

?

?

10、 (陕西文 20)已知实数列 {a n }是 等比数列,其中 a 7 ? 1, 且a 4 ,4 5 ? 1, a5 成等差数 列. (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)数列 {a n } 的前 n 项和记为 S n , 证明: S n , <128 (n ? 1,2,3, ?). 解: (Ⅰ)设等比数列 ?an ? 的公比为 q (q ? R ) , 由 a7 ? a1q 6 ? 1 ,得 a1 ? q ?6 ,从而 a4 ? a1q 3 ? q ?3 , a5 ? a1q 4 ? q ?2 , a6 ? a1q 5 ? q ?1 . 因为 a4,a5 ? 1,a6 成等差数列,所以 a4 ? a6 ? 2(a5 ? 1) ,

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全品高考网 gk.canpoint.cn 即 q ?3 ? q ?1 ? 2(q ?2 ? 1) , q ?1 (q ?2 ? 1) ? 2(q ?2 ? 1) . 所以 q ?
1 ?1? .故 an ? a1q n ?1 ? q ?6 q n ?1 ? 64 ? ? 2 ?2?
n ?1



? ? 1 ?n ? 64 ?1 ? ? ? ? ? ? 1 ?n ? a1 (1 ? q n ) ? ?2? ? ? ? (Ⅱ) S n ? ? ? 128 ?1 ? ? ? ? ? 128 . 1 1? q ? ?2? ? ? ? 1? 2

12、 (山东文 18)

设 {an } 是公比大于 1 的等比数列, S n 为数列 {an } 的前 n 项

和.已知 S3 ? 7 ,且 a1 ? 3, 3a2,a3 ? 4 构成等差数列. (1)求数列 {an } 的等差数列. (2)令 bn ? ln a3n ?1,n ? 1, 求数列 {bn } 的前 n 项和 T . 2, ,

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全品高考网 gk.canpoint.cn (2)由于 bn ? ln a3n ?1,n ? 1, 2, , 由(1)得 a3n ?1 ? 23n
? bn ? ln 23n ? 3n ln 2

又 bn ?1 ? bn ? 3ln 2n

?{bn } 是等差数列. ?Tn ? b1 ? b2 ? ? bn

n(b1 ? bn ) 2 n(3ln 2 ? 3ln 2) ? 2 3n(n ? 1) ? ln 2. 2 ?
故 Tn ?
3n(n ? 1) ln 2 . 2

14 、 ( 全 国 2 文 17 ) 设 等 比 数列 {an } 的 公 比 q ? 1 , 前 n 项 和 为 S n . 已 知

a3 ? 2,S 4 ? 5S 2 ,求 {an } 的通项公式.

16、 (全国 1 文 21)设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且
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a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13
(Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式;

?a ? (Ⅱ)求数列 ? n ? 的前 n 项和 S n . ? bn ?
解: ( Ⅰ ) 设 ?an ? 的 公 差 为 d , ?bn ? 的 公 比 为 q , 则 依 题 意 有 q ? 0 且
4 ? ?1 ? 2d ? q ? 21, ? 2 ? ?1 ? 4d ? q ? 13,

解得 d ? 2 , q ? 2 . 所以 an ? 1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 ,
bn ? q n ?1 ? 2n ?1 .

18、 (江西文 21)设 ?an ? 为等比数列, a1 ? 1 , a2 ? 3 . (1)求最小的自然数 n ,使 an ≥ 2007 ; (2)求和: T2 n ?
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1 2 3 ? ? ? a1 a2 a3

?

2n . a2 n
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?a ? 解: (1)由已知条件得 an ? 1 ? 2 ? ? a1 ?
n ?1

? 3n ?1 ,

因为 36 ? 2007 ? 37 ,所以,使 an ≥ 2007 成立的最小自然数 n ? 8 .
1 2 3 4 2n (2)因为 T2 n ? ? ? 2 ? 3 ? ? 2 n ?1 ,????① 1 3 3 3 3 1 1 2 3 4 2n ? 1 2n T2 n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? 2 n ?1 ? 2 n ,????② 3 3 3 3 3 3 3 4 1 1 1 1 2n ① ? ② 得: T2 n ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? 2 n ?1 ? 2 n 3 3 3 3 3 3 1 1 ? 2n 3 ? 2n ? 1 32 n 1? 3

?

3 32 n ? 3 ? 8n 4 32 n 32 n ? 2 ? 9 ? 24n . 16 32 n

所以 T2 n ?

23、 (湖北文 20)已知数列 {an } 和 {bn } 满足:a1 ? 1 ,a2 ? 2 ,an ? 0 ,bn ? an an ?1 ( n?N*) ,且 {bn } 是以 q 为公比的等比数列. (I)证明: an ? 2 ? an q 2 ; (II)若 cn ? a2 n ?1 ? 2a2 n ,证明数列 {cn } 是等比数列; (III)求和:
1 1 1 1 ? ? ? ? a1 a2 a3 a4 ? 1 a2 n ?1 ? 1 . a2 n

本小题主要考查等比数列的定义, 通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算 技能,考查分析问题能力和推理能力.

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(III)由(II)得

1 a2 n ?1

?

1 1 1 2? 2 n , 2 n ? 2 q 2? 2 n ,于是 q a a a1

1 1 ? ? a1 a2

?

1 ?1 1 ?? ? ? a2 n ? a1 a3
?

?

1 ? ?1 1 ??? ? ? a2 n ?1 ? ? a2 a4
?
2 n?2

?

1 ? ? a2 n ?
? 1 ? ? q ?
2 n?2

1? 1 1 ?1 ? 2 ? 4 ? a1 ? q q

1 ? 1? 1 1 ? ? ?1 ? 2 ? 4 ? q ? a2 ? q q
2 n?2

3? 1 1 ? ?1 ? 2 ? 1 ? 2? q q
当 q ? 1 时,

?

1 ? ?. q ? ? 1 ? ? q ?
2 n?2

1 1 ? ? a1 a2

?

1 3? 1 1 ? ?1 ? 2 ? 4 ? a2 n 2 ? q q
? 3 n. 2

当 q ? 1 时,

1 1 ? ? a1 a2

?

1 3? 1 1 ? ?1 ? 2 ? 4 ? a2 n 2 ? q q

?

1 ? ? q ?
2 n?2

3 ? 1 ? q ?2 n ? ? ? ? 2 ? 1 ? q ?2 ? ? 3 ? q 2n ? 1 ? ?. 2n?2 2 2? ? q (q ? 1) ?



1 1 ? ? a1 a2

?3 q ? 1, ? n, 1 ?2 ? ?? 2n a2 n ? ? ? q ? 1 ? ? q 2 n ? 2 (q 2 ? 1) ? ,q ? 1. ? ? ? ? ?
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(III)由(II)的类似方法得 a2 n ?1 ? a2 n ? (a1 ? a2 )q 2 n ? 2 ? 3q 2 n ? 2 ,
1 1 ? ? a1 a2 ? a ?a a ?a 1 ? 1 2? 3 4? a2 n a1a2 a3a4 ? a2 n ?1 ? a2 n , a2 n ?1a2 n

a2 k ?1 ? a2 k 3q 2 k ? 2 3 ?2 k ? 2 2, ,n . , k ? 1, ? 4k ?4 ? q a2 k ?1a2 k 2q 2
? 1 1 ? ? a1 a2 ? 1 3 ? (1 ? q ?2 ? a2 k 2 ? q ?2 n ? 2 ) .

下同解法 1. 25 、 (广东文 20 )已知函数 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 , ? 、 ? 是方程 f ( x) ? 0 的两个根 ( ? ? ? ), f ? ( x) 是的导数 设 a1 ? 1 , an ?1 ? an ? (1)求 ? 、 ? 的值; (2)已知对任意的正整数 n 有 an ? ? ,记 bn ? ln 前 n 项和 S n .
an ? ? , (n ? 1, 2, ) .求数列{ bn }的 an ? ? f (an ) , (n ? 1, 2, ) . f ?(an )

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27、 (福建文 21)数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 , an ?1 ? 2Sn (n ? N* ) . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项 an ; (Ⅱ)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn . 本小题考查数列的基本知识,考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和,考 查分类讨论及化归的数学思想方法,以及推理和运算能力.满分 12 分.

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(Ⅱ) Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 当 n ? 1 时, T1 ? 1 ;

? nan ,

当 n ≥ 2 时, Tn ? 1 ? 4 30 ? 6 31 ?
3Tn ? 3 ? 4 31 ? 6 32 ?

? 2n 3n ? 2 ,????①

? 2n 3n ?1 ,?????????② ? 3n ? 2 ) ? 2n 3n ?1

① ? ② 得: ?2Tn ? ?2 ? 4 ? 2(31 ? 32 ?

? 2?2

3(1 ? 3n ? 2 ) ? 2n 3n ?1 1? 3

? ?1 ? (1 ? 2n) 3n ?1 .
?Tn ? 1 ? 1? ? ? n ? ? 3n ?1 (n ≥ 2) . 2 ? 2?

又 T1 ? a1 ? 1 也满足上式,
?Tn ? 1 ? 1? ? ? n ? ? 3n ?1 (n ? N* ) . 2 ? 2?

30、 (安徽文 21)某国采用养老储备金制度,公民在就业的第一年就交纳养老储 备金,数目为 a1,以后第年交纳的数目均比上一年增加 d(d>0),因此,历年所交
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全品高考网 gk.canpoint.cn 纳的储备金数目 a1,a2,?是一个公差为 d 的等差数列,与此同时,国家给予优惠 的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利,这就是说,如果固定年利率为

r(r>0),那么,在第 n 年末,第一年所交纳的储备金就变为 n(1+r)n-1,第二年所
交纳的储备金就变为 a2(1+r)n-2,??, 以 Tn 表示到第 n 年末所累计的储备金总额. (Ⅰ)写出 Tn 与 Tn-1(n≥2)的递推关系式; 本小题主要考查等差数列、 等比数列的基本概念和基本方法, 考查学生阅读资料、 提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能 力.本小题满分 14 分.

其中 ? An ? 是以

a1r ? d (1 ? r ) 为首项,以 1 ? r (r ? 0) 为公比的等比数列; ? Bn ? 是以 r2 ar?d d d ? 1 2 ? 为首项, ? 为公差的等差数列. r r r

3 1 ? an ? an ?1 ? bn ?1 ? 1 ? ? 4 4 31、 (辽宁文 20) 已知数列 {an } ,{bn } 满足 a1 ? 2 ,b1 ? 1 ,且 ? ?b ? 1 a ? 3 b ? 1 n n ?1 n ?1 ? ? 4 4
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全品高考网 gk.canpoint.cn ( n≥ 2 ) (I)令 cn ? an ? bn ,求数列 {cn } 的通项公式; (II)求数列 {an } 的通项公式及前 n 项和公式 S n .

2006 年高考试题
1. (2006 年福建卷) 在等差数列 ?an ? 中, 已知 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13, 则 a4 ? a5 ? a6 等于 (B) (A)40 (B)42 (C)43 (D)45 2. (2006 年广东卷)已知等差数列共有 10 项,其中奇数项之和 15,偶数项之和为 30,则 其公差是 A.5 B.4 C. 3 D.2 第三章数列

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2. ?

?5a1 ? 20d ? 15 ? d ? 3 ,故选 C. ?5a1 ? 25d ? 30

3. (2006 年广东卷)在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样的乒乓 球堆成若干准“正三棱锥”形的展品,其中第一堆只有一层,就一个乒乓球;第 2、3、4、? 堆最底层(第一层)分别按图 4 所示方式固定摆放. 从第一层开始, 每层的小球自然垒放在下一层之上, 第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球, 以 f (n) 表示第 n 堆 的乒乓球总数, 则 f (3) ? ;f (n) ? (答 案用 n 表示) . 5 . ( 2006 年 广 东 卷 ) f (3) ? 10 ,

f ( n) ?

n(n ? 1)(n ? 2) 6

19 8. (2006 年全国卷 II)函数 f(x)= ?|x-n|的最小值为 ( C ) i=1 (A)190 (B)171 (C)90 (D)45

11. (2006 年全国卷 I) 设 ?an ? 是公差为正数的等差数列, 若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 , 则 a11 ? a12 ? a13 ? A. 120 B. 105 C. 90 D. 75 11 . a1 ? a2 ? a3 ? 15 ? 3a2 ? 15 ? a2 ? 5 , a1a2 a3 ? 80 ? ? a2 ? d ? a2 ? a2 ? d ? ? 80 ,将

a2 ? 5 代入,得 d ? 3 ,从而 a11 ? a12 ? a13 ? 3a12 ? 3 ? a2 ? 10d ? ? 3 ? ? 5 ? 30 ? ? 105 。选 B。 这个题主要反映一个“元”的概念:确定一个等差数列,需要且只要两个独立的“元” 。 在这个解法中,我选择的是 a2 和 d。
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12. (2006 年江西卷)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 OB=a1 OA+a 200 OC ,且 A、B、C 三点共线(该直线不过原点 O) ,则 S200=( A ) A.100 B. 101 C.200 D.201 解:依题意,a1+a200=1,故选 A 列,则 S n 等于 (A) 2n ?1 ? 2 (B)

13. (2006 年辽宁卷)在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 S n ,若数列 ?an ? 1? 也是等比数

3n (C) 2n

(D) 3n ? 1

14. (2006 年北京卷)设 f (n) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?
4 7 10

2 n (8 ? 1) 7 2 (C) (8n ?3 ? 1) 7
(A) 数字作答).

? 23n ?10 ( n ? N ) ,则 f (n) 等于 (D) 2 (B) (8n ?1 ? 1) 7 2 n?4 (D) (8 ? 1) 7
(用

15. ( 2006 年浙江卷) 设 S n 为等差数列 a,的前 n 项和, 若 S n -10, S n =-5,则公差为 -1

16. ( 2006 年浙江卷)已知函数 f(x)=x + x ,数列|x n |(x n >0)的第一项 x n =1,以后 各项按如下方式取定:曲线 x=f(x)在 ( x n ?1 , f ( x n ?1 )) 处的切线与经过(0,0)和(x n ,f (x n )) 两点的直线平行(如图)

3

3

. 求证:当 n ? N * 时,
2 (Ⅰ)x 2 n ? x n ? 3 x n ?1 ? 2 x n ?1 ;

(Ⅱ) ( ) n ?1 ? x n ? ( ) n ? 2 16.略。 17.(2006 年山东卷)已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,其中=1,2,3,? (1) 证明数列{lg(1+an)}是等比数列;
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1 2

1 2

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(2) 设 Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an),求 Tn 及数列{an}的通项; (3) 记 bn= 17.(2) Tn ? 3

1 1 2 ,求{bn}数列的前项和 Sn,并证明 Sn+ =1. ? an an ? 2 3Tn ? 1
, an ? 3
2n ?1

?1 ; 18. (2006 年北京卷) 在数列 {an } 中, 若 a1 , a2 是正整数, 且 an ?| an ?1 ? an ? 2 |, n ? 3, 4,5, 则称 {an } 为“绝对差数列”.

2n ?1



(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列” (只要求写出前十项) ; (Ⅱ)若“绝对差数列”{an } 中,a20 ? 3, a21 ? 0 ,数列 {bn } 满足 bn ? an ? an ?1 ? an ? 2 ,

n ? 1, 2,3,

,分别判断当 n ? ? 时, an 与 bn 的极限是否存在,如果存在,求

出其极限值; (Ⅲ)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

19. (2 0 0 6 年 上海卷)已知有穷数列 { a n } 共有 2 k 项(整数 k ≥2) ,首项 a1 =2.设该 数列的前 n 项和为 S n ,且 a n ?1 = (a ? 1) S n +2( n =1,2,┅,2 k -1) ,其中常数 a >1. (1)求证:数列 { a n } 是等比数列;
2

(2)若 a =2 2 k ?1 ,数列 { bn } 满足 bn = 列 { bn } 的通项公式;

1 ,求数 log 2 (a1 a 2 ? ? ? a n ) ( n =1,2,┅,2 k ) n
3 3 3 3 |+| b2 - |+┅+| b2 k ?1 - |+| b2 k - | 2 2 2 2

(3)若(2)中的数列 { bn } 满足不等式| b1 - ≤4,求 k 的值. [解](1) (2) 20. (2006 年辽宁卷)已知 f 0 ( x) ? x n , f k ( x) ?

0 1 k n 设 F ( x ) ? Cn f 0 ( x 2 ) ? Cn f1 ( x 2 ) ? ... ? Cn f k ( x 2 ) ? ... ? Cn f n ( x 2 ) , x ? ? ?1,1? .

f k'?1 ( x) ,其中 k ? n(n, k ? N ? ) , f k ?1 (1)

(I) 写出 f k (1) ;

(II) 证明:对任意的 x1 , x2 ? ? ?1,1? ,恒有 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? 2

n ?1

(n ? 2) ? n ? 1 .

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n?k n?k n?k (n ? k ? 1)Cn ? (n ? k )Cn ? Cn k k ? nCn ?1 ? Cn ( k ? 1, 2,3

n ? 1)

1 2 k ?1 1 2 n ?1 0 F (1) ? F (0) ? n(Cn ?1 ? Cn ?1 ... ? Cn ?1 ) ? (Cn ? Cn ... ? Cn ) ? Cn

? n(2n ?1 ? 1) ? 2n ? 1 ? 2n ?1 ( n ? 2) ? n ? 1
因此结论成立. 证法 2: 当 ?1 ? x ? 1 时,
1 2( n ?1) 2 2( n ? 2) k 2( n ? k ) n ?1 2 F ( x) ? x 2 n ? nCn x ? (n ? 1)Cn x ... ? (n ? k ? 1)Cn x ? ... ? 2Cn x ?1 当 x>0 时, F ?( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在[0,1]上为增函数 因函数 F ( x) 为偶函数所以 F ( x) 在[-1,0]上为减函数

所以对任意的 x1 , x2 ? ? ?1,1? F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? F (1) ? F (0)

0 1 2 k n ?1 F (1) ? F (0) ? Cn ? nCn ? (n ? 1)Cn ... ? (n ? k ? 1)Cn ? ... ? 2Cn
1 2 k ?1 n ?1 0 又因 F (1) ? F (0) ? 2Cn ? 3Cn ? ... ? kCn ? ... ? nCn ? Cn

1 2 k ?1 n ?1 0 所以 2[ F (1) ? F (0)] ? ( n ? 2)[Cn ? Cn ? ... ? Cn ? ... ? Cn ] ? 2Cn

F (1) ? F (0) ? ?

n?2 1 2 k ?1 n ?1 0 [Cn ? Cn ? ... ? Cn ? ... ? Cn ] ? Cn 2

n?2 n (2 ? 2) ? 1 ? 2n ?1 ( n ? 2) ? n ? 1 2

因此结论成立.

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22. (2006 年江苏卷) 设数列 {a n } 、{bn } 、{c n } 满足:bn ? a n ? a n ? 2 ,c n ? a n ? 2a n ?1 ? 3a n ? 2 (n=1,2,3,?) , 证明: {a n } 为等差数列的充分必要条件是 {c n } 为等差数列且 bn ? bn ?1 (n=1,2,3,?) 证明: 1 必要性:设数列 {a n } 是公差为 d1 的等差数列,则:
?

bn ?1 ? bn ? (a n ?1 ? a n ?3 ) ? (a n ? a n ? 2 ) = (a n ?1 ? a n ) ? (a n ?3 ? a n ? 2 ) = d1 - d1 =0, ∴ bn ? bn ?1 (n=1,2,3,?)成立;
又 c n ?1 ? c n ? (a n ?1 ? a n ) ? 2 (a n ? 2 ? a n ?1 ) ? 3(a n ?3 ? a n ? 2 ) =6 d1 (常数) (n=1,2,3,?) ∴数列 {c n } 为等差数列。 , 2 ? 充分性:设数列 {c n } 是公差为 d 2 的等差数列,且 bn ? bn ?1 (n=1,2,3,?) ∵ c n ? a n ? 2a n ?1 ? 3a n ? 2 ??① ∴ c n ? 2 ? a n ? 2 ? 2a n ?3 ? 3a n ? 4 ??② ①-②得: c n ? c n ? 2 ? (a n ? a n ? 2 ) ? 2(a n ?1 ? a n ?3 ) ? 3(a n ? 2 ? a n ? 4 ) = bn ? 2bn ?1 ? 3bn ? 2 ∵ c n ? c n ? 2 ? (c n ? c n ?1 ) ? (c n ?1 ? c n ? 2 ) ? ?2d 2 ∴ bn ? 2bn ?1 ? 3bn ? 2 ? ?2d 2 ??③ 从而有 bn ?1 ? 2bn ? 2 ? 3bn ?3 ? ?2d 2 ??④ ④-③得: (bn ?1 ? bn ) ? 2(bn ? 2 ? bn ?1 ) ? 3(bn ?3 ? bn ? 2 ) ? 0 ??⑤ ∵ (bn ?1 ? bn ) ? 0 , bn ? 2 ? bn ?1 ? 0 , bn ?3 ? bn ? 2 ? 0 , ∴由⑤得: bn ?1 ? bn ? 0 (n=1,2,3,?) , 由此,不妨设 bn ? d 3 (n=1,2,3,?) ,则 a n ? a n ? 2 ? d 3 (常数) 故 c n ? a n ? 2a n ?1 ? 3a n ? 2 ? 4a n ? 2a n ?1 ? 3d 3 ??⑥ 从而 c n ?1 ? 4a n ?1 ? 2a n ? 2 ? 3d 3 ? 4a n ?1 ? 2a n ? 5d 3 ??⑦ ⑦-⑥得: c n ?1 ? c n ? 2(a n ?1 ? a n ) ? 2d 3 , 故 a n ?1 ? a n ?

1 1 (n=1,2,3,?) , (c n ?1 ? c n ) ? d 3 ? d 2 ? d 3 (常数) 2 2

∴数列 {a n } 为等差数列。 综上所述: {a n } 为等差数列的充分必要条件是 {c n } 为等差数列且 bn ? bn ?1 (n=1,2,3,?) 。
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23. (2006 年全国卷 II)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn -1,n=1,2,3,?. (Ⅰ)求 a1,a2; (Ⅱ) {an}的通项公式.

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24. (2006 年四川卷)已知数列 ?an ? ,其中 a1 ? 1, a2 ? 3, 2an ? an ?1 ? an ?1 ? n ? 2 ? ,记数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,数列 ?ln Sn ? 的前 n 项和为 U n
(Ⅰ)求 U n ; (Ⅱ) 设 Fn ? x ? ? 数) ,计算 lim

eU n 2n ? n !?
2

' (其中 Fk ? x ? 为 Fk ? x ? 的导函 x 2 n ? x ? 0 ? , Tn ? x ? ? ? Fk' ? x ? ,
k ?1

n

n ??

Tn ? x ? Tn ?1 ? x ?

本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识,以及对数运算、导数运算和极限运 算的能力,同时考查分类讨论的思想方法,满分 12 分。 解: (Ⅰ)由题意, ?an ? 是首项为 1 ,公差为 2 的等差数列 前 n 项和 S n ?

U n ? 2 ? ln1 ? ln 2 ?
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1 ? 1 ? 2 ? n ? 1? 2 ? n ? n 2 , ln S n ? ln n ? 2 ln n 2

? ln n ? ? 2 ln ? n !?

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25. (2006 年上海春卷)已知数列 a1 , a 2 , ? , a 30 ,其中 a1 , a 2 , ? , a10 是首项为 1,公差为 1 的等差数列;a10 , a11 , ? , a 20 是公差为 d 的等差数列;a 20 , a 21 , ? , a 30 是公差为 d 2 的等差数 列( d ? 0 ). (1)若 a 20 ? 40 ,求 d ; (2)试写出 a 30 关于 d 的关系式,并求 a 30 的取值范围; (3)续写已知数列,使得 a 30 , a 31 , ? , a 40 是公差为 d 3 的等差数列,??,依次类推,把已 知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题( (2)应当作为特例) ,并进行研究,你能 得到什么样的结论?

? 1 ? d n ?1 ?10 ? , d ? 1, 依次类推可得 a10( n ?1) ? 10 1 ? d ? ? ? d ? ? 1? d ? d ? 1. ?10(n ? 1), 当 d ? 0 时, a10 ( n ?1) 的取值范围为 ( 10, ? ? ) 等.

?

n

?

?? 18 分

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26 . ( 2006 年陕西卷)已知正项数列 ?an ? ,其前 n 项和 S n 满足 10 S n ? an 2 ? 5an ? 6, 且

a1 , a2 , a15 成等比数列,求数列 ?an ? 的通项 an .
26.解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3. 又 10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),② 由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2). 当 a1=3 时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15 不成等比数列∴a1≠3; 当 a1=2 时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3. 27. (2006 年广东卷)已知公比为 q (0 ? q ? 1) 的无穷等比数列 {a n } 各项的和为 9,无穷等 比数列 {a 2 n } 各项的和为

81 . 5

(Ⅰ)求数列 {a n } 的首项 a1 和公比 q ; ( Ⅱ ) 对给定的 k (k ? 1,2,3,? ? ?, n) , 设 T ( k ) 是首项为 a k ,公差为 2a k ? 1 的等差数列 . 求数列

T ( k ) 的前 10 项之和; (Ⅲ)设 bi 为数列 T (i ) 的第 i 项, S n ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn ,求 S n ,并求正整数 m(m ? 1) ,使


(注:无穷等比数列各项的和即当 n ? ? 时该无穷数列前 n 项和的极限)

Sn 存在且不等于零. n ?? m lim

28. (2006 年福建卷)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)证明:

a n 1 a1 a2 n ? ? ? ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an ?1 2

28.本小题主要考查数列、不等式等基本知识,考查化归的数学思想方法,考查综合解题能 力。满分 14 分。
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(I)解:

an ?1 ? 2an ? 1(n ? N ),
*

??an ? 1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
? an ? 1 ? 2n.


? an ?1 ? 1 ? 2(an ? 1),

an ? 22 ? 1(n ? N * ).
4k1 ?14k2 ?1...4kn ?1 ? (an ? 1) kn .
① ②

(II)证法一:

? 4( k1 ? k2 ?...? kn ) ? n ? 2nkn . ? 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn ,

2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn ?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn ?1. ②-①,得 2(bn ?1 ? 1) ? ( n ? 1)bn ?1 ? nbn , 即 (n ? 1)bn ?1 ? nbn ? 2 ? 0, nbn ? 2 ? (n ? 1)bn ?1 ? 2 ? 0. ③-④,得 nbn ? 2 ? 2nbn ?1 ? nbn ? 0, 即 bn ? 2 ? 2bn ?1 ? bn ? 0,

??bn ? 是等差数列。

? bn ? 2 ? bn ?1 ? bn ?1 ? bn (n ? N * ),

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29. (2006 年安徽卷)数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知

1 a1 ? , S n ? n 2 an ? n ? n ? 1? , n ? 1, 2, ??? 2 (Ⅰ)写出 S n 与 S n ?1 的递推关系式 ? n ? 2 ? ,并求 S n 关于 n 的表达式;
(Ⅱ)设 f n ? x ? ?

S n n ?1 x , bn ? f n/ ? p ?? p ? R ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 n

30. (2006 年全国卷 I)设数列 ?an ? 的前 n 项的和

Sn ?

4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? , n ? 1, 2,3, 3 3 3

(Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ; (Ⅱ)设 Tn ?

2n , n ? 1, 2,3, Sn

,证明:

?T ? 2
i ?1 i

n

3

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31. (2006 年江西卷)已知数列{an}满足:a1=

3na n-1 3 ,且 an= (n ? 2,n ? N?) 2 2a n-1+n-1

(1) 求数列{an}的通项公式; (2) 证明:对于一切正整数 n,不等式 a1?a2???an?2?n!

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2005 年高考试题
数列部分 选择题 1. ( 2005 广东卷)已知数列 ? xn ? 满足 x2 ?

x1 1 , xn ? ? xn ?1 ? xn ? 2 ? , n ? 3, 4, ?.若 2 2

lim xn ? 2 ,则(B)
n ??

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(A)

3 (B)3(C)4(D)5 2

4. (2005 湖南卷)已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且 a1=3,a2=5,则
lim n ??

(

1 1 1 = ? ? ?? ? a 2 ? a1 a3 ? a 2 a n ?1 ? a n
B.

(C)

A.2

3 2

C.1

D.

1 2

5. (2005 湖南卷)设 f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N, 则 f2005(x)=(C) A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx

9. (2005 山东卷)?an ? 是首项 a1 =1,公差为 d =3 的等差数列,如果 an =2005,则序号 n 等 于(C ) (A)667 (B)668 (C)669 (D)670 10. (2005 上海)16.用 n 个不同的实数 a1,a2,┄an 可得 n!个不同的排列,每个排列为一行写 成 1 2 3 一个 n!行的数阵.对第 i 行 ai1,ai2,┄ain,记 bi=- ai1+2ai2-3 ai3+┄+(-1)nnain, 1 3 2 i=1,2,3, ┄,n!.用 1,2,3 可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 3 是 12,所以,b1+b2+┄+b6=-12+2 ? 12-3 ? 12=-24.那么,在用 1,2,3,4,5 形成 2 3 1 的数阵中, b1+b2+┄+b120 等于 3 1 2 3 2

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1 [答]( C (A)-3600 (B) 1800
n ??

)

(C)-1080

(D)-720 )

11. (2005 浙江卷) lim (A) 2 (B) 4

1? 2 ? 3 ? n2 1 (C) 2

?n

=( C

(D)0

填空题 1. (2005 广东卷) 设平面内有n条直线 (n ? 3) , 其中有且仅有两条直线互相平行, 任意三角形不过同一点. 若 用 f (n) 表示这n条直线交点的个数,则 f (4) _____5________ ;当n>4时, f ( n ) = __

1 (n ? 2)(n ? 1) ___________. 2

3. (2005 湖北卷)设等比数列 {a n } 的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数 列,则 q 的值为
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-2

.
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8 27 4. (2005 全国卷 II) 在 和 之间插入三个数, 使这五个数成等比数列, 则插入的三个数的 3 2 乘积为_______216 __.
2 n?2 Cn ? 2Cn 3 ? _ _________ 5. (2005 山东卷) lim 2 n ?? (n ? 1) 2

7、计算: lim

3 n ?1 ? 2 n =_3 _________。 n ?? 3 n ? 2 n ?1
1 n (7 ? 1) 6

1 2 3 2 n n ?1 8. (2005 天津卷)设 n ? N ? ,则 C n ? Cn 6 ? Cn 6 ? ? ? Cn 6 ?

9. (2005 天津卷)在数列{an}中, a1=1, a2=2,且 a n ? 2 ? a n ? 1 ? (?1) n (n ? N ? ) , 则 S100 =_2600_ 10. (2005 重庆卷) lim ___.

23n ? 32 n ?1 = -3 n ?? 23 n ? 32 n

.

解答题 1.(2005 北京卷)

? 1 a ? 1 ? 2 n 设数列{an}的首项 a1=a≠ ,且 an ?1 ? ? 4 ?a ? 1 n ? ? 4
记 bn ? a2 n ?1 ?

n为 偶 数
,

n为 奇 数

1 ,n==l,2,3,?· . 4

(I)求 a2,a3;
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(II)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论; (III)求 lim(b1 ? b2 ? b3 ?
n ??

? bn ) .

2.(2005 北京卷)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, an ?1 ? (I)a2,a3,a4 的值及数列{an}的通项公式; (II) a2 ? a4 ? a6 ?

1 S n ,n=1,2,3,??,求 3

? a2 n 的值.

( II )由( I )可知 a2 , a4 ,

, a2 n 是首项为

4 1 ,公比为 ( ) 2 项数为 n 的等比数列,∴ 3 3

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a2 ? a4 ? a6 ?

4 1 ? ( )2n 1 3 ? 3 [( 4 ) 2 n ? 1] ? a2 n = ? 3 1 ? ( 4 )2 7 3 3

3. (2005 福建卷) 已知{ a n }是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a3 , a 2 成等差数列. (Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)设{ bn }是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比较 Sn 与 bn 的大小,并说明理由.

4. (2005 福建卷)已知数列{an}满足 a1=a, an+1=1+ 同 的 数 列 , 如 当 a=1 时

1 我们知道当 a 取不同的值时,得到不 an
, 得 到 无 穷 数 列 :

3 5 1 1 1,2, , , ?;当a ? ? 时, 得到有穷数列 : ? ,?1,0. 2 3 2 2
(Ⅰ)求当 a 为何值时 a4=0; (Ⅱ) 设数列{bn}满足 b1=-1, bn+1=

1 求证 a 取数列{bn}中的任一个数, (n ? N ? ) , bn ? 1

都可以得到一个有穷数列{an}; (Ⅲ)若
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3 ? a n ? 2(n ? 4) ,求 a 的取值范围. 2
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(I)解法一:? a1 ? a, a n ?1 ? 1 ?

1 , an

故 a 取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{an} 5. ( 2005 湖 北 卷 ) 设 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 Sn=2n2 , {bn } 为 等 比 数 列 , 且

a1 ? b1 , b2 (a 2 ? a1 ) ? b1 .
(Ⅰ)求数列 {a n } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 c n ?

an ,求数列 {c n } 的前 n 项和 Tn. bn

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(II)? c ? a n ? 4n ? 2 ? (2n ? 1)4 n ?1 , n 2 bn 4 n ?1

? Tn ? c1 ? c 2 ? ? ? c n ? [1 ? 3 ? 41 ? 5 ? 4 2 ? ? ? (2n ? 1)4 n ?1 ], 4Tn ? [1 ? 4 ? 3 ? 4 2 ? 5 ? 4 3 ? ? ? (2n ? 3)4 n ?1 ? (2n ? 1)4 n ]
两式相减得

1 3Tn ? ?1 ? 2(41 ? 4 2 ? 4 3 ? ? ? 4 n ?1 ) ? (2n ? 1)4 n ? [(6n ? 5)4 n ? 5] 3 1 ? Tn ? [(6n ? 5)4 n ? 5]. 9
6. (2005 湖北卷) 已知不等式

1 1 1 1 [log 2 n] ? ? ? ? ? [log 2 n], 其中n 为大于 2 的整数, 2 3 n 2

表 示 不 超 过 log 2 n 的 最 大 整 数 . 设 数 列 {a n } 的 各 项 为 正 , 且 满 足

a1 ? b(b ? 0), a n ?

na n ?1 , n ? 2,3,4, ? n ? a n ?1

(Ⅰ)证明 a n ?

2b , n ? 3,4,5, ? 2 ? b[log 2 n]

(Ⅱ)猜测数列 {a n } 是否有极限?如果有,写出极限的值(不必证明) ; (Ⅲ)试确定一个正整数 N,使得当 n ? N 时,对任意 b>0,都有 a n ?

1 . 5

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由已知不等式知,当 n≥3 时有,

1 1 1 ? ? [log 2 n]. a n a1 2

∵ a1 ? b,?

2 ? b[log 2 n] 1 1 1 ? ? [log 2 n] ? . an b 2 2b

an ?

2b . 2 ? b[log 2 n]

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(Ⅱ)有极限,且 lim a n ? 0.
n ??

(Ⅲ)∵

2b 2 2 1 ? ,令 ? , 2 ? b[log 2 n] [log 2 n] [log 2 n] 5
10

则有 log 2 n ? [log 2 n] ? 10, ? n ? 2

? 1024,
1 . 5

故取 N=1024,可使当 n>N 时,都有 a n ?

7. (2005 湖南卷)已知数列 {log 2 (a n ? 1)}n ? N * ) 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9. (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式;

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(Ⅱ)证明

1 1 1 ? ??? ? 1. a 2 ? a1 a3 ? a 2 a n ?1 ? a n

8. (2005 湖南卷)自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从宏观 上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的总 量,n∈N*,且 x1>0.不考虑其它因素,设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成 正比,死亡量与 xn2 成正比,这些比例系数依次为正常数 a,b,c. (Ⅰ)求 xn+1 与 xn 的关系式; (Ⅱ)猜测:当且仅当 x1,a,b,c 满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变? (不 要求证明) (Ⅱ)设 a=2,b=1,为保证对任意 x1∈(0,2) ,都有 xn>0,n∈N*,则捕捞强度 b 的 最大允许值是多少?证明你的结论.

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② 假设当 n=k 时结论成立,即 xk∈(0, 2), 则当 n=k+1 时,xk+1=xk(2-xk)>0. 又因为 xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1<2, 所以 xk+1∈(0, 2),故当 n=k+1 时结论也成立. 由①、②可知,对于任意的 n∈N*,都有 xn∈(0,2). 综上所述,为保证对任意 x1∈(0, 2), 都有 xn>0, n∈N*,则捕捞强度 b 的最大允 许值是 1. 9. ( 2005 江 苏 卷 ) 设 数 列 { an } 的 前 项 和 为 S n , 已 知 a1=1, a2=6, a3=11, 且

(5n ? 8) S n ?1 ? (5n ? 2) S n ? An ? B , n ? 1,2,3, ?, 其中 A,B 为常数.
(Ⅰ)求 A 与 B 的值; (Ⅱ)证明数列{an}为等差数列; (Ⅲ)证明不等式 5amn ? am an ? 1对任何正整数m、n都成立 . 解:(Ⅰ)由 a1 ? 1 , a2 ? 6 , a3 ? 11 ,得 S1 ? 1 , S2 ? 2 , S3 ? 18 .
? A ? B ? ?28, 把 n ? 1, 2 分别代入 (5n ? 8) Sn ?1 ? (5n ? 2) Sn ? An ? B ,得 ? ?2 A ? B ? ?48

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10. (2005 辽宁卷) 已知函数 f ( x) ?

x?3 ( x ? ?1). 设数列 {a n }满足 a1 ? 1, a n ?1 ? f (a n ) , x ?1
*

数列 {bn }满足 bn ?| a n ? 3 |, S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn (n ? N ). (Ⅰ)用数学归纳法证明 bn ?

( 3 ? 1) n ; 2 n ?1

(Ⅱ)证明 S n ?

2 3 . 3

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( 3 ? 1) n (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知, bn ? . 2 n ?1
所以

S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ( 3 ? 1) ?

( 3 ? 1) 2 ( 3 ? 1) n ??? 2 2 n ?1

3 ?1 n ) 1 2 2 ????10 分 ? ( 3 ? 1) ? ? ( 3 ? 1) ? ? 3. 3 ?1 3 ?1 3 1? 1? 2 2 1? (
2 3. ??????(12 分) 3 1 11. (2005 全国卷Ⅰ) 设正项等比数列 ?a n ? 的首项 a1 ? ,前 n 项和为 S n ,且 2
故对任意 n ? N ? , S n ?

210 S 30 ? (210 ? 1) S 20 ? S10 ? 0 。
(Ⅰ)求 ?a n ? 的通项; (Ⅱ)求 ?nS n ?的前 n 项和 Tn 。

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12. (2005 全国卷Ⅰ) 设等比数列 ?a n ? 的公比为 q ,前 n 项和 S n ? 0 (n ? 1,2, ?) 。 (Ⅰ)求 q 的取值范围; (Ⅱ)设 bn ? a n ? 2 ?

3 a n ?1 ,记 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,试比较 S n 与 Tn 的大小。 2

(Ⅱ)由 bn ? aa ? 2 ?

3 3 3 an ?1 得 bn ? a n (q 2 ? q ), Tn ? (q 2 ? q ) S n . 2 2 2

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3 1 q ? 1) ? S n (q ? )(q ? 2). 2 2 又∵ S n >0 且-1< q <0 或 q >0 1 当 ?1 ? q ? ? 或 q ? 2 时 Tn ? S n ? 0 即 Tn ? S n 2 1 当 ? ? q ? 2 且 q ≠0 时, Tn ? S n ? 0 即 Tn ? S n 2 1 当 q ? ? 或 q =2 时, Tn ? S n ? 0 即 Tn ? S n 2 13. (2005 全国卷 II) 已知 ?an ? 是各项为不同的正数的等差数列, lg a1 、 lg a2 、 lg a4 成等差
于是 Tn ? S n ? S n (q 2 ? 数列.又 bn ?

(Ⅰ) 证明 ?bn ? 为等比数列; (Ⅱ) 如果数列 ?bn ? 前 3 项的和等于 项 a1 和公差 d .
F C E B A D

1 , n ? 1, 2,3, a2n



7 ,求数列 ?an ? 的首 24

P

14.( 2005 全国卷 II) 已知 ?an ? 是各项为不同的正数的等差数列,lg a1 、lg a2 、lg a4 成等差数列. 又 bn ?

1 , a2n

n ? 1, 2,3,



(Ⅰ) 证明 ?bn ? 为等比数列; (Ⅱ) 如果无穷等比数列 ?bn ? 各项的和 S ?
1 ,求数列 ?an ? 的首项 a1 和公差 d . 3

(注:无穷数列各项的和即当 n ? ? 时数列前 n 项和的极限)
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解: (Ⅰ)设数列{an}的公差为 d,依题意,由 2 lg a2 ? lg a1 ? lg a4 得 a2 2 ? a1a4 即 (a1 ? d ) ? a1 (a1 ? 3d ) ,得 d ? 0或d ? a1
2



an bn ?1 ? 2 bn a 2 n ?1

? 当 d =0 时,{an}为正的常数列 就有
n

an bn ?1 ? 2 ?1 bn a 2 n ?1
n ?1

当 d = a1 时,a 2 n ? a1 ? (2 ? 1)a1 , a 2 n ?1 ? a1 ? (2 于是数列{ bn }是公比为 1 或

? 1)a1 ,就有

an bn ?1 1 ? 2 ? bn a 2 n ?1 2

1 的等比数列 2

15. (2005 全国卷 III) 在等差数列 {a n } 中,公差 d ? 0, a 2 是a1与a 4 的等差中项. 已知数列 a1 , a3 , a k1 , a k 2 , ? , a k n , ? 成等比数列,求数列 {k n } 的通项 k n .

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16. (2005 山东卷) 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 5, 前 n 项和为 S n ,且 S n?1 ? S n ? n ? 5(n ? N * ) (I)证明数列 ?an ? 1? 是等比数列; ( II )令 f ( x) ? a1 x ? a2 x 2 ?

? an x n ,求函数 f ( x) 在点 x ? 1 处的导数 f ?(1) 并比较

2 f ?(1) 与 23n 2 ? 13n 的大小.

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17.(2005 上海)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分, 第 2 小题满分 8 分. 假设某市 2004 年新建住房 400 万平方米,其中有 250 万平方米是中低价房.预计在今后 的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外,每年新建住房中,中低价房的 面积均比上一年增加 50 万平方米.那么,到哪一年底, (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2004 年为累计的第一年)将首次不少于 4750 万平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%?

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18. (2005 天津卷) 已知 u n ? a n ? a n ?1b ? a n ? 2 b 2 ? ? ? ab n ?1 ? b n (n ? N ? , a ? 0, b ? 0) . (Ⅰ)当 a ? b 时,求数列 ?u n ? 的前 n 项和 S n ; (Ⅱ)求 lim
n ??

un . u n ?1

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若 a ? b ? 0 , lim

un a ?b ? lim n n ?? u n ?? a ? b n n ?1

n ?1

n ?1

b a ? b( ) n a ? a. ? lim n ?? b n 1? ( ) a

u 若 b ? a ? 0 , lim n ?? lim n ?? u n ?? n ?1

a a( ) n ? b b ? b. a n ( ) ?1 b

19. (2005 天津卷)若公比为 c 的等比数列{ an }的首项 a1 =1 且满足:an ? =3,4,?) 。 (I)求 c 的值。 (II)求数列{ nan }的前 n 项和 S n 。

an?1 ? an?2 (n 2

20. (2005 浙江卷)已知实数 a,b,c 成等差数列,a+1,了+1,c+4 成等比数

列,求 a,b,c.

21(2005 浙江卷)设点 An ( xn ,0), Pn ( xn , 2n ?1 ) 和抛物线 Cn :y=x +an x+bn(n∈N*),其
2

中 an=-2-4n-

1 , xn 由以下方法得到: 2n ?1
2 2

x1=1,点 P2(x2,2)在抛物线 C1:y=x +a1x+b1 上,点 A1(x1,0)到 P2 的距离是 A1 到 C1 上点的最短距离, ?, 点 Pn ?1 ( xn ?1 , 2n ) 在抛物线 Cn : y=x +an x+bn 上, 点 An ( xn , 0)到 Pn ?1 的距离是 An 到 Cn 上点的最短距离. (Ⅰ)求 x2 及 C1 的方程. (Ⅱ)证明{ xn }是等差数列.

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? 2 ? x2 2 ? 7 x2 ? b1 ,
解得 x2 ? 3, b1 ? 14. 故 C1 方程为 y ? x 2 ? 7 x ? 14.

22. (2005 重 庆 卷 ) 数 列 {an} 满 足 a1?1 且 8an?1?16an?1?2an?5?0 (n?1) 。 记

bn ?

(n?1)。 1 an ? 2 (1) 求 b1、b2、b3、b4 的值; (2) 求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前 n 项和 Sn。

1

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4 4 2 8 4 2 ? ?( ) , 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 (b2 ? ) 2 ? ( ) 2 , (b1 ? )(b3 ? ) ? (b2 ? ) 2 3 3 3 3 3 4 2 故猜想 {bn ? }是首项为 , 公比q ? 2的等比数列. 3 3
(II)因 (b1 ? )(b3 ? ) ? 因 an ? 2 , (否则将 a n ? 2 代入递推公式会导致矛盾) 。 故an ?1 ?

5 ? 2a (n ? 1). 16 ? 8an

4 1 4 16 ? 8an 4 20 ? 16an ? ? ? ? ? 1 3 a ? 3 6an ? 3 3 6an ? 3 n ?1 2 4 2 8 20 ? 16an 4 4 2(bn ? ) ? ? ? ? bn ?1 ? , b1 ? ? 0 1 3 3 6an ? 3 3 3 an ? 2 4 故 | bn ? | 确是公比为q ? 2 的等比数列. 3 1 n 4 4 2 4 1 因b1 ? ? , 故bn ? ? ? 2 n , bn ? ? 2 ? ( n ? 1) 由bn ? 3 3 3 3 3 3
∵ bn ?1 ?

1 1 an ? 2

得a n bn ?

1 bn ? 1, 2

1 故S n ? a1b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn ? (b1 ? b2 ? 2

? bn ) ? n

1 (1 ? 2n ) 5 1 3 ? ? n ? (2n ? 5n ? 1) 1? 2 3 3

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解法三: (Ⅰ)同解法一

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从而 bn ? (bn ? bn ?1 ) ? (bn ?1 ? bn ? 2 ) ? ? ? (b2 ? b1 ) ? b1

1 ? (2n ?1 ? 2n ? 2 ? ? 21 ) ? 2 3 1 1 4 ? (2n ? 2) ? 2 ? ? 2n ? ( n ? 1). 3 3 3 1 1 由bn ? 得anbn ? bn ? 1, 1 2 an ? 2
故 S n ? a1b1 ? a2b2 ?

? anbn ?

1 (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? n 2

1 (1 ? 2n ) 5 1 ?3 ? n ? (2n ? 5n ? 1). 1? 2 3 3
23. (2005 重庆卷)数列{an}满足 a1 ? 1且a n ?1 ? (1 ? (Ⅰ)用数学归纳法证明: a n ? 2(n ? 2) ; ( Ⅱ ) 已 知 不 等 式 ln(1 ? x) ? x对x ? 0成立, 证明 : a n ? e 2 (n ? 1) , 其 中 无 理 数 e=2.71828?.
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1 1 )a n ? n (n ? 1) . n ?n 2
2

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(Ⅰ)证明: (1)当 n=2 时, a 2 ? 2 ? 2 ,不等式成立. (2)假设当 n ? k (k ? 2) 时不等式成立,即 a k ? 2(k ? 2), 那么 a k ?1 ? (1 ?

1 1 )a k ? k ? 2 . 这就是说,当 n ? k ? 1 时不等式成立. k (k ? 1) 2

根据(1) 、 (2)可知: a k ? 2对所有n ? 2 成立.

(Ⅱ)证法二: 由数学归纳法易证 2 ? n(n ? 1)对n ? 2 成立,故
n

a n ?1 ? (1 ?

1 1 1 1 )a n ? n ? (1 ? an ? n(n ? 1) n(n ? 1) n ?n 2
2

(n ? 2).

令 bn ? a n ? 1

(n ? 2), 则bn ?1 ? (1 ?

1 )bn n(n ? 1)

(n ? 2).

取对数并利用已知不等式得

ln bn ?1 ? ln(1 ?

1 ) ? ln bn n(n ? 1)

? ln bn ?

1 n(n ? 1)

(n ? 2).

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上式从 2 到 n 求和得

ln bn ?1 ? ln b2 ?

1 1 1 ? ??? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

? 1?

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 1. 2 2 3 n ?1 n
(n ? 2).

因 b2 ? a 2 ? 1 ? 3.故 ln bn ?1 ? 1 ? ln 3, bn ?1 ? e1? ln 3 ? 3e

故 a n ?1 ? 3e ? 1 ? e 2 , n ? 2, 又显然a1 ? e 2 , a 2 ? e 2 , 故a n ? e 2 对一切n ? 1 成立 24. ( 2005 江 西 卷 ) 已 知 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Sn 满 足 Sn - Sn


1 n ?1 3 (n ? 3), 且S1 ? 1, S 2 ? ? , 求数列{an}的通项公式. 2=3 ( ? ) 2 2

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方法二:因为 S n ? S n ?2 ? a n ? a n ?1所以a n ? a n ?1 ? 3 ? (? ) n ?1 (n ? 3), 两边同乘以 (?1) ,可得:
n

1 2

1 1 (?1) n a n ? (?1) n ? 1 a n ? 1 ? 3 ? (?1) n ? (? ) n ? 1 ? ?3 ? ( ) n ? 1 . 2 2
令 bn ? (?1) n a n ,? bn ? bn ?1 ? ?3 ? (? ) n ?1 (n ? 3). 所以 bn ? bn ?1 ? ?3 ? (? ) n ?1 ,
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1 2

1 2

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1 bn ?1 ? bn ? 2 ? ?3 ? (? ) n ? 2 , 2
???

1 b3 ? b2 ? ?3 ? (? ) 2 , 2

25. (2005 江西卷) 已知数列 {a n }的各项都是正数, 且满足 : a0 ? 1, an ?1 ? (1)证明 an ? an ?1 ? 2, n ? N ; (2)求数列 {a n } 的通项公式 an. 解: (1)方法一 用数学归纳法证明: 1°当 n=1 时, a 0 ? 1, a1 ?

1 an , (4 ? an ), n ? N . 2

∴ a 0 ? a1 ? 2 ,命题正确. 则 n ? k ? 1时, ak ? ak ?1 ?

1 3 a0 (4 ? a0 ) ? , 2 2

2°假设 n=k 时有 a k ?1 ? a k ? 2.

1 1 ak ?1 (4 ? ak ?1 ) ? ak (4 ? ak ) 2 2

1 ? 2(ak ?1 ? ak ) ? (ak ?1 ? ak )(ak ?1 ? ak ) 2 1 ? (ak ?1 ? ak )(4 ? ak ?1 ? ak ). 2 4 ? ak ?1 ? ak ? 0, 而 ak ?1 ? ak ? 0.
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? ak ? ak ?1 ? 0.
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1 1 ak (4 ? ak ) ? [4 ? (ak ? 2) 2 ] ? 2. 2 2 ∴ n ? k ? 1 时命题正确. 由 1°、2°知,对一切 n∈N 时有 a n ? a n ?1 ? 2.
又 ak ?1 ?

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